2023-2024学年北京市朝阳区高二年级上册册期中数学学情调研模拟试题（附解析）

2023-2024学年北京市朝阳区高二上学期期中数学质量监测

模拟试题

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求

的一项.

1.直线石x-y—3=0的倾斜角是（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.设平面。的法向量为（12-2）,平面a的法向量为（-2,-4,左），若。〃夕，则女的值为（）

A.3B.4C.5D.6

3.尸是椭圆.d+4/=16上一点，耳，鸟是该椭圆的两个焦点，且1Ml=7,则归图=（）

A.1B.3C.5D.9

22

4.双曲线上-匕=1的焦点到渐近线的距离为（）

26

A.V2B.x/6C.272D.276

5.已知直线/：），=.丫被圆。:（、-3）2+（歹-1）2=叫「＞0）截得的弦长为2,则r=（）

A.73B.76C.3D.4

6.如图，在平行六而体4ACZ）—力百£/）]中，，44-万，AB=b，亚=云，点尸在上，且

A}P\PC=3:2,则万=（）

7.已知圆G：V+y2=l与圆a：（x-2）2+（y+2）2=l,则圆G与圆G的位置关系是（）

A.内含B.相交C.外切D.外离

8.已知用工是椭圆。：二十[=1（。＞6＞0）的左、右焦点，点尸为。上一点,0为坐标原点“尸。区

为正三角形，则C的离心率为（）

A.6-1B.8-1C.—

2D-T

9.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后,

C.15米D.16米

10.已知椭圆M：=+二=l（a>b>0）,双曲线N：二一与=1的>0,〃〉0）.设椭圆”的两

a'b~m'n~

个焦点分别为耳，片，椭圆M的离心率为修，双曲线N的离心率为g,记双曲线N的一条渐近

线与椭圆M一个交点为P,若尸片，尸鸟且IZKI=2|P不，则且的值为（）

A.B.V3-1

2

C.2D.V3+1

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.过点力（3,2）且与直线工+歹+1=0平行的直线方程为.

12.椭圆兰+广=1的一个焦点是（01）,那么我等于_____________.

2k

13.已知点P（2,。）在抛物线C：/=4x上，则点尸到抛物线C的焦点的距离为.

14.在长方体力BCQ-4qCQ中，»8|=l,|4）|=2,|44j=3,则丽次=.

15.已知点P是椭圆匕+上=1上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为则线段PM的中

64

点N（x,y）的轨迹方程为.

16.如图，正方体MCD-4BGA的棱长为1，底户分别为EG，GA的中点,尸是底面44GA上

一点.若力P〃平面BEF，则/夕长度的最小值是最大值是.

三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.在棱长为2的正方体力5CQ—44G。中，点E是8C的中点，点下是C。中点.

(1)证明：。£_1平面/阻尸；

(2)求。到面力"尸的距离.

18.已知椭圆C:工+匕=1,左右焦点分别为耳工，直线V=-x+1与椭圆C相交于48两点.

32

(I)求椭圆的焦点坐标及离心率；

⑵求“他的面积.

19.在如图所示的多面体中，ADHBC旦AD=2BC，ADLCD,EG/〃。且EG=4Q,CD//FG

旦CQ=2尸G,DGI¥SUABCD,O4=OC=OG=2,"N分别为棱";EG的中点.

(I)求点尸到直线EC的距离；

(II)求平面与平面EDC夹角的余弦值；

(III)在棱G产上是否存在一点0,使得平面MNQ//平而EDC?若存在.指出点。的位置，若不存

在，说明理由.

20.已知椭圆。:\+泰1(4>6>0)过点8(0冏，且离心率e邛.

(1)求椭圆。的方程：

(2)设点/为椭圆。的左焦点.点7(-3,加)，过点尸作7F的垂线交椭圆。于点尸,。，连接or与P。

交于点H.求的值.

21.已知集合［=｛《,%,/「,•，勺｝(0«卬〈生〈…〈q，〃之2)具有性质P：对任意的/；/

(1</<7<«),4+叫与%-外两数中至少有一个属于4

⑴分别判断数集｛0J3,4｝与｛0,2,3,6｝是否具有性质P,并说明理由;

(2)证明：q=0,且〃。“=2(4+%+—+〃”)；

(3)当〃=5时，若生=3,求集合力.

1.B

【分析】根据直线一般方程得直线的斜率，结合直线倾斜角与斜率得关系可得倾斜角的大小.

【详解】解：由直线，1l一歹一3=0得直线的斜率左

又直线的倾斜角为a,且。€[0。,180。)，所以tana=百，得a=60。

故选：B.

2.B

【分析】依题意可得两平面的法向量共线，即可得到(-2,-4,攵)=〃1,2,-2),从而得到方程组，解

得即可；

-2=Z(2__2

【详解】解：因为a",所以(-2,-4,4)=4(1,2,-2),即"4=2"解得二二;

k=—2尢1=

故选：B.

3.A

【分析】首先将椭圆方程化戊标准形式，进而得出椭圆长半轴长，再根据椭圆定义即可求解.

【详解】解：对椭圆方程1+4必=16变形得二+亡=1,易知椭圆长半轴的长为4,

164

由椭圆的定义可得归用+归用=2x4=8,

又|叫|=7,故|尸周=1.

故选：A.

4.B

【分析】根据标准方程写出焦点坐标与渐近线方程，代入点到直线的距离公式即可求解.

【详解】由双曲线的对称性可知，求出一个焦点到一条渐近线的距离即可，则

]一片=1的一个焦点为(2立0),一条渐近线为".尸0,则焦点到渐近线的距离为

|V3X2V2-O|

=\fb,

/可+(7)2

故选：B.

5.A

【分析】根据半径的平方等于弦长一半的平方加圆心到直线的距离的平方，即可求出答案.

r=J(&)+「=6.

【详解】圆心到直线的距离弦长的一半为1,

VI2+12

故选：A.

6.C

【分析】利用空间向量的基本定理可得出/关于监短｝的表达式.

【详解】囚为4尸：尸C=3：2,所以4尸=

则有:

辞=麴+神=麴+|丞=麴+|卬+而+反)=您+|(一麴+而+刀)

2吧3喂3吧；2r313r

=—AA.+—AB+—AD=—Q+—b+—c

555555

故选：C.

7.D

【分析】求出圆心距，大于两半径之和，从而判断出两圆的位置关系.

【详解】G：r+/=i的圆心为^(0,0),半径々=1,

4：(x—2)2+"+2尸=1的圆心为。2(2,-2),半径[=1,

则圆心距|CG|=1(2-0『+(-2-0)2=2叵,且|CG|=26>々+弓，

故圆G与圆的位置关系是外离.

故选：D

8.B

【分析】结合图像，利用平面几何的知识证得/用”=90。，结合椭圆的定义可分别求出|户用,归周

及归国+归周=2%由此得到。的关系式，进而可求得椭圆C的离心率.

【详解】如图，连结尸片，

由椭圆c：£+[=ig〉b>o)可知|。周=~|历|+|尸周=2%

crb~

因为内。鸟为正三角形，所以|?用二|。叫二%

又因为|。制=|。6|=|。^，所以/尸6。=/0勿;，

又NPFQ+ZOPF\=ZPOF2=60°,所以NPFQ=40PF、=30°,

故4F\PF?=/OPR+ZOPF2=30°+60°=90°,

所以在心△耳尸死中，|P6|=|KK|COSNO£P=2CX¥=&,

所以由|产制+俨周=2。得由c+c=2“，即g+l)c=2a,

c22(73-1)

故椭圆。的离心率为6=一=一一=/厂'"/

aV3+1(G+1)(6-1)

【分析】沿拱顶建立如图所示的平面直角坐标系，求出圆的方程后可得水面卜降2米后的水面宽.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则力(-6,-2),5(6,-2),

设圆的方程为：/+()，+加丫=〃/(〃?＞0),代入A,则有加=]0,

故圆的方程为：./+(),+10)2=100,

令y=-4,贝ijx=±8,故忸月=16,

【分析】联系椭圆定义可顺利解得其离心率，由渐近线方程可以顺利解得双曲线的离心率.

【详解】椭圆M：£+£=15＞力：＞0)中，/¥；JLP鸟且|印冒=2|尸用

则仍用=6归制，椭圆长轴长为归用十|尸国=（1+6）|尸网

则椭圆”的离心率2行c五二FF向扁二2言地r一】

直线OP斜率为g

又由题意可知直线OP为双由线N的一条渐近线，

双曲线N：£一?=1的渐近线方程为y=±N%

m*nm

故'=G,即〃=#）m,

m

则双曲线N的实半轴长为J〃/+〃2=//+（扬人=》〃

则双曲线N的离心率e,=£=2"=2

am

则员=与

e22

故选：A

11.x+y-5=0

【分析】设所求直线方程为x+p+C=0,利用力点坐标求得C,从而求得正确答案.

【详解】设过点力（3,2）且与直线工+^+1=0平行的直线方程为工+旷+。=0,

将力（3,2）代入X+），+。=0得3+2+。=0,。二一5,

所以所求方程为工+）-5=0.

故x+y-5=0

12.3

【分析】根据椭圆中。2=62+。2,得出c・2的代数式，并根据焦点坐标列出方程即可求解.

【详解】因为椭圆工+武=1,所以°2=%-2,

2k

又因为椭圆的一个焦点是（。，-1），

所以攵一2二1,解得攵=3,

故答案为.3

13.3

【分析】根据给定的抛物线方程求出其准线方程，再结合抛物线定义即可计算作答.

【详解】抛物线C：V=4x的准线方程为：x=-l,由抛物线定义得，点尸（2,0到抛物线。的焦

点的距离d=2-（—1）=3,

所以点尸到抛物线。的焦点的距离为3.

故3

14.3

【分析】根据给定的几何体，用空间向量的基底赤，万，福表示向量而，否，再利用向量数量

积运算律计算即得.

【详解】在长方体4BCD-力BCQi中,BD=JD-JB.AC^AD+AB+AA.,

所以丽•苑*=~AD-1B•布+而心狼）=方一时+了b石I-刘讶=2-2=3.

故3

15.—+/=1

6'

【分析】先利用中点坐标公式写出夕（x,2封,再把外x,2y）代入椭圆方程化简即可.

【详解】因为PWlx轴，垂足为M,且PA/的中点为N（xj）,

所以P（x,2y）,又因为尸是椭圆＜+口=1上任意一点，

64

所以工+包匚=1,即《+『=1.

646,

故答案为*+V=i

6

3>/2人

16.

-T

取4A中点N,中点M,连接4W,AN,MV,利用面面平行的判定定理证得平面HMN//

平面8E产，结合已知条件可知PwMN,在等腰中，可求得力。长度的最值.

【详解】取4A中点N,4斗中点M,连接力加，AN,MN

由正方体抽CD-44GA，由正分别为4G,4■的中点，・・・/N//8E

又4N(z平面8EF,BEu平面BEF,:.4N"平面BEF

•••旦/分别为4GC分的中点，由中位线性质知EF/1B\D\

同理可知MN//4Q,/.MN//"'

又MNu平面3EF,Qu平面32年，/.MN//平面。£才

又NNAMN=N,AN,MNu平面AMN

..・平面4WN//平面BE产

P是底面48cA上一点.且APH平面BEF，:.PwMN

在等腰△4WV中，力尸的长度最大时为4月ni”aA、

MN、_372

4P的长度最小时，P为MN中点，MN=AP=jAM2-\

一下'

即小考

故逑，在

42

B

方法点睛：证明面面平行常用的方法：

（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平

面平行；

（2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

（3）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

（4）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.

17.（1）证明见解析

*

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面垂直时，直线的方向向量与平面的法向量共线证明

即可；

（2）利用空间向量，根据点到平面的距离公式求解即可.

【详解】（1）以A为原点，直线力4,AD,44所在直线分别为x轴、N轴、z轴建立空间直角

坐标系，如图所示：

则4(0,0,0),(2,0,2),〃(0,2,2),尸(1,2,0),£(2,1,0),D(0,2,0),

贝=福二(2,0,2),屏二(2,—1,-2),

设平面48尸的一个法向量为而二(x,y,z),

.ir'uuur

MF=2y=0

则tiruuir,取x=-2,则y=1,z=2,

加必4=2x+2z=0

所以碗=(-2,1,2),

又因为屏=(2,-1,-2),所以而=一屏，

所以RE_L平面彳B7.

(2)由(1)知平面48尸的法向量为言=(-2,1,2),

又因为耳=(0,—2,0),

DA-m2

所以。到面AB.F的距离为下丁=-.

网3

18.⑴焦点坐标为£(-1,0),居(1,0)；离心率为由

3

⑵竽

【分析】(1)由椭圆的定义及性质可以得出椭圆的焦点坐标及离心率，

(2)先计算点6到y=-x+l的距离，再利用公式求出线段的长，

最后用面积公式计算解决问题.

【详解】(1)椭圆C：£+炉=1知，该椭圆的焦点在X轴上，设焦距为2c,

32

由/=3万=2,所以。2=1,所以焦点坐标为耳(-L0),玛(1,0)

c16

离心率为:e――=-7==—

aG3

(2)由直线y=-x+l与椭圆C相交于48两点,设4不乂),3(孙必)

，匕=163

则132消去N得5.d-6x—3=0,X1+x2=—,x]x2=--,

y=-x+\55

6\238G

所以|WB|=J(l+F)[(*+々)2-49.]=J2x-4x

5—

又与到口=一工+1的距离为dJT?TLjI

V2

所以186的面积为：S^=lx|J5|xJ=-lx迪x逝=逋

2255

19.(I)V2;(II)手；(III)不存在，证明见解析；

【分析】(D由题知，DGiDC,DG1DA,又4DLCD,建立以。点为原点的空间直角坐标

I->2CEEF2

系，求得向量0方=（2,-2,2），EF=（-2,1,0）»则点/到直线£C的距离为“尸一’一反一）；

（II）求得平面和平面E。。的法向量，利用向量的夹角求得二面角的余弦值；

（H1）假设G厂上存在点。使得平面"N。//平面E。。，设出坐标，求得平面的法向量,

与平面EDC的法向量应共线，验证是否存在即可.

【详解】（I）由。G_L平面45C。知，DG上DC,DG上DA,又ADLCD,

则建立以。点为原点的空间直角坐标系，如图所示，

则。(0,0,0),4(2,0,0),0(020),6(0,0,2),£(2,0,2),尸(0,1,2),8(1,2,0),

则M(0尚,1),N(l,0,2)

&=(2,-2,2)，£>=(-2,1,0)，

产EF

所以点尸到直线EC的距离为但产一（-）=尸羔』

CE

(ID由(I)知，而=(1,2,0)，法=(2,0,2)，DC=(0,2.0)

设平面BED的法向量为7=J,>，/），

mDB=x+2y=0

则、，令y-1,则〃;=(-2,1,2)

m-DE=2x+2z=0

设平面EDC的法向量为n=（X,y,z），

nDE=2x+2z=0*

则___,令x=l则；二(1,0,-1)

n-DC=2y=0

ftm-n-42\/2

故责cos<〃?，n>=1|-；|n|~；~；r|=—3五产=----3--

由图知，二面角8-EO-C为锐二面角，故余弦值为延

3

(III)设G)上存在一点0,设。(0",2),2G[0,1]

T3T3

设平面MNQ的法向量为j=(x,y,z)

p-MN=x--v+z=0.

则J2，令少=1,则"=(41,37-2)

■S7

pMQ=(A,--)y+z=0

若平面MN。//平面瓦)C,则；〃：，

故义不存在，即不存在点。使得平面MNQ〃平面EDC

X2),2

20.(1)—+^-=1

62

(2)1

【分析】第一问用椭圆短轴和离心率的相关定义求解即可，第二问中止的斜率易求，讨论〃，是否

为0分别求解即可.

s/6

3

【详解】(1)由题意得a2=b2+c2

〃=J2

解得a-=6,b2=2.

「•椭圆。的方程为《+片=1.

由『（一工〃?）,/^—2,。），显然斜率存在，kTF=-m,

当〃7=0时，翳1.

当〃?工0时，直线尸。过点尸且与直线小垂宜，则直线产。方程为y='（x+2）.

m

厂4+2)

m2得(〃/+3卜2+12工+12-6"/=0.

th-2

二十匕=1

62

显然A〉o.

1212—6/

设产（凡,必）,。（孙乃），则再+工2=-

则？。中点>号=-高.

直线。7的方程为沙=-gx,

y」(x+2)

6

由,M得

m2+3

y=---x

3

.㈣=1

..闷•

综上招的值为1.

本题考查解析几何，属于难题，第一问用基本定义即可求解，第二问用所学知识，分析题意，进

行分类讨论，求解即可，考生需加强分类讨论思想的学习.

21.⑴数集｛0,1,3,4｝具有性质P,数集｛0,2,3,6｝不具有性质P；理由见解析;

（2）证明见解析;

(