2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题136 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50道）（举一反三）（人教版）含解析

2023.2024学年八年级数学上册举一反三系列专题13.6等腰三角形的

证明及计算大题专项训练（50道）

【人教版】

考卷信息：

本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对等腰三角形工具的应用及构造等

腰三角形！

一.解答题（共50小题）

1.（2022秋•勃利县期末）如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点Z）,过点力作于凡交BC

于E,且BD=BE,求证：△4BC为等腰三角形.

2.（2022秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB=AC,NA=50°,A8的垂直平分线MN交AC于点。,

交AB于点E,求N。8c的度数.

3.（2022秋•林州市期末）已知448。的两边长。和〃满足7^』+（b-4）2=0.

（1）若第三边长为c,求c的取值范围.

（2）若4A8c是等腰三角形，求△4BC的周长.

4.（2022秋•河东区校级期中）如图1,点A、。在y轴正半轴上，点B、C分别在％轴上，。平分NACB

与y釉交于。点，/。。=90°-ZBDO.

（1）求证：AC=BC；

（2）如图2,点C的坐标为（4,0）,点E为人C上一点，且NOEA=NOBO,求AC+EC的长.

5.（2022秋•武冈市期中）已知如图，△ABC中，EF//BC.交人4、人。于E、F,NB的平分线交E尸于O

点.

（1）求证：EO=BE；

（2）若EF=BE+CF,求证：0。平分NAC3.

6.（2022秋•盘龙区期末）如图，在△人"C中，AB=AC,点。、E、厂分别在人原RC,人C边上，且BE

=CF,BD=CE.

（1）求证：△£>£；”是等腰三角形；

（2）当NA=50°时，求NOE/的度数.

7.（2022秋•大石桥市期末）如图，ZkABC是等边三角形，延长8C到点E,使CE=若。是AC的

中点，连接ED并延长交A8于点F.

（1）若A尸=3,求AO的长;

(2)证明：DE=2DF.

8.（2022春•大埔县期末）如图，ZUBC是等边三角形，是等腰三角形，ZAEC=120c,AE=CE,

F为BC中点,连接AF.

（1）直接写出NBA石的度数为；

（2）判断人r与CE的位置关系，并说明理由.

9.（2022秋•宁明县期末）如图，在AABC中，AC=BC,ZACfi=120°,CE1A8于点。，且。E=OC.求

证：ACEB为等边三角形.

10.（2022春•二七区校级期中）在AABC中，AB=AC,。是直线8。上一点，以AO为一边在A。的右侧

作△AO£,使AE=A。，ZDAE=ZBAC,连接CE.设N8AC=a,NBCE=p.

（1）如图（1）,点。在线段8c上移动时，①角a与。之间的数量关系是;

②若线段8C=2,点A到直线BC的距离是3,则四边形AOCE周长的最小值是；

（2）如图（2）,点。在线段BC的延长线上移动时，

①请问（1）中a与p之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；

②线段BC、DC、CE之间的数晟是.

11.（2022秋•台江区期末）如图，已知NA8C=NAOC=90°,BC=CD,CA=CE.

（1）求证：NACB=NACQ；

（2）过点石作ME〃48,交力C的延长线于点M,过点M作MP_LOC,交。C的延长线于点尸.

①连接PE,交AM「点M证明AM垂直平分PE；

②点。是直线人工上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点。与点E重合.

备用图

12.（2022春•市南区期末）如图，RdABC中，NACB=90°，D是AB上一点,BD=BC,过点。作4B

的垂线交AC于点石，求证：BE垂直平分CD.

13.（2022秋•平房区期末）如图，点。、E在△ABC的边8c上，AD=AE,BD=CE.

（1）求证：AB=AC；

（2）若N8AC=108°,ND4E=36°,直接写出图中除△4BC与AAOE外所有的等腰三角形.

14.（2022秋•河西区期末）如图，在△ABC中，48=AC,点。在4C上，且8D=8C=A。，求△ABC各

角的度数.

15.（2022秋•巩义市期末）如图，在RtZXABC中，/C=90°,NA=60°,AB=l2cm,若点P从点B

出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点4出发以\cmls的速度向点C运动，设P、Q分别从点R、A

同时出发，运动的时间为体

（1）用含，的式子表示线段AP、4Q的长；

（2）当，为何值时，△APQ是以FQ为底边的等腰二角形？

（3）当f为何值时,PQ//BC2

16.（2022秋•清江浦区校级月考）如图，在△ABC中，N8=90°,AB=\bcm,BC=\2cm,AC=20cm,

P、。是△48C边上的两个动点，其中点。从点4开始沿A-B方向运动，且速度为每秒点Q从

点3开始沿3-C-A方向运动，且速度为每秒2。〃?，它们同时出发，设出发的时间为，秒.

（1）BP=（用/的代数式表示）

（2）当点。在边8C上运动时，出发几秒后，△PQ8是等腰三角形？

（3）当点。在边CA上运动时，出发秒后，△BCQ是以BC或8Q为底边的等腰三角形？

备用图

17.（2022春•渠县校级期末）已知：如图，AB=AC,。是AB上一点，DE上BC于点E,的延长线交

C4的延长线于点反求证：AA。尸是等腰三角形.

18.（2。22秋•北仑区期中）（1）如图1,△A8C'中，作NA8C、NACA的角平分线相交于凤O,过点。

作分别交AB、4c于E、F.

①求证：OE=BE；

②若△ABC的周长是25,4c=9,试求出△入£尸的周长；

（2）如图2,若N/WC的平分线与NAC4外角N4CO的平分线相交于点P,连接AP,试探求N/MC与

N附C的数量关系式.

19.（2022秋•余干县期中）如图，在四边形八BCO中，AB=AD,^ABC=ZADC.

20.（2022春•焦作期末）如图，在等边三角形A8C中NB,NC的平分线相交于点。，作B。，C。的垂直

平分线分别交BC于点E和点F.小明说：“E,尸是BC的三等分点.”你同意他的说法吗？请说明理

由.

A

B

E

21.（2022秋•工业园区期末）己知：如图，在四边形A8CO中，NA8C=N4OC=9（）。，点E是AC的中

点.

（1）求证：是等腰三角形:

22.（2022春•梅州校级期末）如图,在RtZXABC中,ZACT=90°,NA=30°,BC=\.将三角板中30°

角的顶点。放在A3边上移动，使这个30°角的两边分别与3c的边AC,6c相交于点£,凡且使

DE始终与A3垂直.

（1）是什么二角形？请说明理由；

（2）设AO=x,CF=y,试求y与x之间的函数关系式；（不用写出自变量x的取值范围）

（3）当移动点。使E/〃A8时，求A。的长.

23.（2022秋•阳新县校级期末）如图1,在RtZ\AC6中，NAC4=90",NA8C=30°AC=1点。为AC

上一动点，连接8Q,以BD为边作等边ABDE,E4的延长线交8C的延长线于凡设。。=〃，

（1）当〃=1时，则4尸=；

24.（2022•宁德一模）如图，已知5c中，NABC=NACB,以点8为圆心，8c长为半径的弧分别交

AC,AB于点。，E,连接6Q,ED.

（1）写出图中所有的等腰三角形:

,求NA8。和/AC8的度数.

25.（2022秋•平舆县期末）如图，在△"C中，N/WC=45°,点P为边8C上的一点，BC=3BP,且N

阴8=15°,点。关于直线以的对称点为。，连接8。，又△APC的PC边上的高为A"

(1)求N8P。的大小;

(2)判断直线8。，A”是否平行？并说明理由;

(3)证明：ZBAP=ZCAH.

26.（2022春•本溪县期中）如图，△A8C中，ADVBC,EF垂直平分AC,交AC于点八交4c于点£,

且BD=DE.

（1）若NBAE=40：求NC的度数;

（2）若△ABC周长为20a〃，AC=8cm,求。。长.

27.（2022秋•澧县期末）如图，一只船从A处出发，以18海里/时的速度向正北航行，经过10小时到达8

处.分别从A、8处望灯塔C,测得NNAC=42°,NNBC=84度.求8处与灯塔C距离.

N

28.（2022春•西安期末）如图，在△ABC中，。七是4c的垂直平分线，AE=5cm,△ABD的周长为17s〃,

求△ABC的周长.

29.（2022春•高县期末）如图所示.点P在NAO8的内部，点M、N分别是点〃关于直线。小。8的对

称点，线段MN交。4、OB于点E、F.

（1）若MN=20cm,求△尸E尸的周长.

（2）若N4OB=35°,求NEPF的度数.

30.（2022秋•沂南县期末）如图，A。为△ABC的角平分线，DE_LAB于点E,。/J_AC于点立连接Ef

交AZ）于点O.

（1）求证：4。垂直平分Er；

（2）若NB4C=60°,写出。。与AO之间的数最关系，不需证明.

A

31.（2022秋•张家港市校级期末）如图：A。为△ABC的高，N8=2NC,用轴对称图形说明：CO=A8+8Q.

32.（2022春•锦江区校级期末）操作实验：

如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称.

所以所以23=ZC.

归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等.

根据上述内容，回答下列问题：

思考验证：如图（4）,在△ABC中，AB=AC.试说明N8=NC的理由；

探究应用：如图（5）,CBLAB,垂足为8,DAVAB,垂足为4.E为AB的中点，AB=BC,CELBD.

（1）8E与是否相等，为什么？

（2）小明认为AC是线段。E的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；

（3）NOBC与NOC8相等吗？试说明理由.

33.（2022•海丰县模拟）如图，在△ABC中，AB=AC,点。是的中点，点石在4。上.求证：BE=

CE（要求：不用三角形全等的方法）

34.（2。22春•余杭区期木）如图，已知AA8c中，AH=AC,BC=6,AM平分N8AC,。为AC的中点,

E为BC延长线上一点，且CE=》C.

（1）求ME的长；

（2）求证：△OMC是等腰三角形.

35.（2022•白城校级模拟）在△AEC中，AB=AC,点。是线段3c上一点（不与B、C重合），以AZ）为

一边在A。的右侧作△AOE,AD=AE,ND4E=NE4C,连接C£

（1）如图I,如果NB4C=90‘，则N8CE=；

（2）如图2,设N84C=a,ZBCE=p.当点。在线段上移动时，请写出a,p之间的数量关系，请

说明理由.

图1图2

备用图备月图

36.（2022秋•乐亭县期末）若a、b是△43。的两边且|a-3|+（8-4）2=0

（1）试求a、b的值，并求第三边c的取值范围.

（2）若△A8C是等腰三角形，试求此三角形的周长.

（3）若另一等腰△。七凡其中一内角为x°,另一个内角为（2r-20）°试求此三角形各内角度数.

37.（2022秋•盂县期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板A4C的斜边4c与含30°角的直角三

角板。8E的直角边8。长度相同，且斜边与8七在同一直线上，AC与3。交于点O,连接CD.

38.（2022秋•龙门县期中）如图，在△4BC中，点。、E、尸分别在BC、人从AC边上，且BE

=CF,BD=CE.

（1）求证：△/»〃是等腰三角形：

（2）求证：ZB=ZDEF：

（3）当NA=40°时，求NOE/的度数.

39.（2022春•静安区校级期末）已知：如图，在△A6C中，N/WC=3NC,Z1=Z2,BE1AE.

40.（2022秋•秦淮区校级期中）在△ABC中，NABC=2NC,B。平分乙4BC,交AC于。，AELBD,垂

足为E.求证：AC=2BE.

41.（2022秋•滑县校级期末）已知△ABC为等边三角形，。为AC的中点，ZEDF=120°,OE交线段

48于£。广交直线8c于F.

(1)如图(1),求证：DE=DF；

(2)如图(2),若BE=3AE,求证：CF=*C.

(3)如图(3),若BE=痴,则。尸=BC；在图(1)中，若BE=4AE,则。产=BC.

42.(2022春•峰城区期末)如图，在等边三角形A8C中，点。，E分别在边8C,AC上，1.DE//AB,过

点E作E/LLQE,交8c的延长线于点尸.

(1)求证：ACE尸是等腰三角形；

(2)若CD=2,求OF的长.

43.(2022秋•红山区期末)如图1,点、P、Q分别是边长为4c/n的等边△A3C边A3、3c上的动点，点P

从顶点4,点Q从顶点8同时出发，且它们的速度都为"/Ms,

(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、。运动的过程中，NCMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不

变，则求出它的度数；

(2)何时△PBQ是直角三角形？

(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线48、8C上运动，直线AQ、CP交点为M,则NCMQ

变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.

A

A

A/

44.（2022•南京模拟）数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有儿个等腰三角形？丙图中有几对全

45.（2022秋•五河县期末）如图，过等边△ABC的边A8上一点P,作尸于E,Q为延长线上

一点，且B4=CQ,连PQ交力。边于。.

（1）求证：PD=DQi

（2）若△ABC的边长为1,求的长.

°cQ

46.（2022•南京模拟）如图，/BAC=30°,点P是NB4C的平分线上的一点,PDA.AC于D,PE//AC

交AB于-E,已知AE=10c、〃?，求PO的长度.

B

ADC

47.（2022春•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，N8AC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线，且

B,C在A上的两侧，。在A,E之间，于Q,CE_L4E于E,求证：BD=DE+CE.

48.（2022秋•龙华区期末）如图，已知直线（〃/2〃/3，点七、/分别在*人上，RlZXABC的直角顶点C

在直线/i上，点B在直线6上，点人在直线，3上，6与4。交于点。，且NB4C=25°,ZBAE=25°.

（1）求证：△/WO是等腰三角形；

（2）求N8C*的度数.

49.（2022春•电白区期末）如图，已知△ABC是边长为3c/〃的等边三角形，动点P、Q同时从4、B两点

出发，分别沿AB、8C方向匀速移动，它们的速度都是当点P到达点B时，P、。两点停止运动,

设点P的运动时间为/（s）,则

（1）BP=cm,BQ=cm.（用含/的代数式表示）

（2）当，为何值时，APBQ是直角三角形？

50.（2022•南京模拟）如图，在等边Z\A5c的三边上分别取点。、E、F,使AD=8E=C1尸.

（1）试说明△/）£〃是等边三角形；

（2）连接AE、BF、CD,两两相交于点P、Q、R,则为何种三角形？试说明理由.

专题13.6等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50道）

【人教版】

考卷信息：

本套训练卷共5（）题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对等腰三角形工具的应用及构造等

腰三角形！

一.解答题（共50小题）

1.（2022秋•勃利县期末）如图：/XABC的边A8的延长线上有一个点。，过点。作。凡LAC于尸，交BC

于E,且BD=BE,求证：△ABC为等腰三角形.

【分析】要证△A8C为等腰三的形，须证NA=NC,而由题中已知条件，。/^_LAC,BD=BE,因此，可

以通过角的加减求得NA与NC相等，从而判断△A8C为等腰三角形.

【详解】证明：・・・OF_LAC,

/.ZDM=ZEFC=90°.

・•・NA=NO%-ND,ZC=NEFC-ZCEF,

•:BD=BE,

:.NBED=ND.

VNBED=NCEF,

：.ZD=ZCEF.

:.ZA=ZC.

•••△ABC为等腰三角形.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代换是正确解答本题的关键.

2.（2022秋•淮安区期末）如图，在△4BC中，AB=AC,ZA=50°,AB的垂直平分线MN交AC于点Q,

交AB于点E,求NOAC的度数.

E,

/jAD

/—

【分析】分别求出NA8C,/ABD,可得结论.

【详解】解：:△ABC中，AB=AC,NA=50°,

.533（180°-NA）=65°.

•・・A3的垂直平分线MN交AC于D,

:.AD=BD,

・・・NA8O=NA=50°,

：.ZDBC=ZABC-ZABD=65°-50°=15°.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形

的性质，灵活运用所学知识解诀问题.

3.（2022秋•林州市期末）已知△?!灰?的两边长〃和〃满足（b-4）2=（）.

（1）若第三边长为c,求c的取值范围.

（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长.

【分析】（1）利用非负数的性质可求得〃、〃的值，根据三角形三边关系可求得c的范围；

（2）分腰长为9或4两种情况进行计算：

【详解】解：⑴（0-4）2=0,

••・。・9=0,。-4=0,

解得4=9,0=4,

V9-4<c<9+4,

即5<c<13；

（2）当腰长为9时,

此时三角形的三边为9、9、4,满足三角形三边关系，周长为22：

当腰长为4时，

此时三角形的三边长为4、4、9,4+4<9,不满足三角形三边关系.

综上可知，△ABC的周长为22.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键.

4.(2022秋•河东区校级期中)如图1,点A、。在)，轴正半轴上，点8、C分别在x轴上，。平分乙4C3

与y轴交于。点，ZCAO=90°-ZBDO.

(1)求证：AC=BC；

(2)如图2,点C的坐标为(4,()),点上为AC上一点，且/。£4=/。30,求4C+EC的长.

【分析】(1)由题意NC4O=90°-/BDO,可知NCAO=NC3£>,CD平分ZACS与)，邦交于。点，

所以可由AAS定理证明△ACD丝△8CQ,由全等三角形的性质可得AC=8C：

(2)过D作。NJ_A。于N点，可证明RlZ\8OOgRtZ\£X>M△DO8XDNC,因此，BO=EN、OC=

NC,所以，BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC,即可得8C+EC的长.

【详解】(1)证明：・・・NCAO=90°-NBDO,

：・4CAO=/CBD.

(Z.ACD=乙BCD

在ZVICQ和△8CO中］NG4O=Z.CBD,

(CD=CD

:.△ACDW4BCD(AAS).

：.AC=BC；

(2)由(1)知NC4O=NOE4=NZ)8O,

：.BD=AD=DE,过。作。MLAC于N点，如右图所示:

'：NACD=NBCD,

:.DO=DN,

在RtABDO和RtAED/V中｛篇;案，

:・RSD0@RSDN(HL),

；.BO=EN.

(^DOC=Z-DNC=90°

在△DOC和△ONC中，\z.OCD=Z.NCD

WC=DC

:.△DOCWADNC(AAS),

可知：OC=NC；

：,BC+EC=BO+OC+NC・NE=2OC=8.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出辅助线是解决问

题的关键.

5.(2022秋•武冈市期中)已知如图，△ABC中，EF//BC,交A3、AC于E、F,N8的平分线交E/7于。

点.

(1)求证：EO=BEx

(2)若EF=BE+CF,求证：0c平分NACB.

【分析】(1)利用平行线以及角平分线的定义证明NEO8=NE8。即可.

(2)想办法证明/。。/=/。(78即可.

【详解】证明：(1),:EFHBC,交4B、AC于E、F.

：,NBOE=NCBO,4C0F=NBCO,

VZB的平分线交EF于()点，

：.ZEBO=ZCBO,

：.ZEBO=ZBOE,

:.EO=BE.

(2)•:EF=BE+CF,fiEF=OE+OFf

：.OE+OF=BE+CF,

•：EO=BE,

：・OF=CF,

：.ZCOF=ZFCO,

•：4C0F=/BC0,

:・NBCO=NFCO,

OC平分NACB.

【点睛】此题主要考查了等腰一:角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识.进行线段的等量

代换是正确解答本题的关键.

6.(2022秋•盘龙区期末)如图，在△ABC中，A8=AC,点。、E、厂分别在A3、BC、AC边上，且3E

=CF,BD=CE.

(1)求证：△£>£尸是等腰三角形：

(2)当NA=50°时，求NOEF的度数.

【分析】(1)根据等边对等角可得/8=NC,利用“边角边”证明和△(?后尸全等，根据全等三

角形对应边相等可得DE=EF,再根据等腰三角形的定义证明即可；

(2)根据全等三角形对应角相等可得NBDE=NCEF,然后求出NBED+NCEF=NBED+NBDE,再利

用三角形的内角和定理和平角的定义求出

【详解】(1)证明：・・・48=4C,

:・/B=NC,

在△5DE和"中，

(BD=CE

乙B=ZC,

(BE=CF

:•△BDE94CEF(SAS),

:・DE=EF,

・•・△£)£：/,.是等腰三角形:

(2)解：,:XBDEmXCEF,

:./BDE=/CEF,

，NBED+NCEF=ZBED+ZBDE,

•・•/〃+(NBED+NBDE)=180°,

NDEF+(NBED+NBDE)=180°,

:・NB=NDEF,

VZA=5O0,AB=AC,

AZB=-(180°-50°)=65°，

2

AZDEF=65°.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟记

各性质并确定出全等三角形是解题的关键.

7.(2022秋•大石桥市期末)如图，△ABC是等边三角形，延长到点E,使CE=/C,若。是AC的

中点，连接七。并延长交43于点F.

(1)若八夕=3,求的长：

(2)证明：DE=2DF.

【分析】(1)根据已知条件，易证CD=CE,从而求出NE=NCOE=30°,然后再根据NB=60°,

求出N4FO=90",最后放在直角三角形4/力中，即可解答；

(2)根据等腰三角形的三线合一性质，想到连接3。，易证8D=DE,然后放在直角三角形引力中，即

可解答.

【详解】(1)解：:△ABC为等边三角形，

：.AC=BC,NA=NAC5=60°,

为AC中点，

：,CD=AD=^AC,

*：CE=^BC,

:,CD=CE,

:・NE=NCDE,

:/ACB=NE+NCDE,

••・NE=NCOE=30°,

：.ZADF=ZCDE=3(r,

*.*NA=60°

，NAFO=180°-ZA-ZADF=90°,

•・・A尸=3

・"。=2A/=6；

(2)证明：连接BZ),

A

BC五

•••△ABC为等边三角形，。为AC中点，

・・・8。平分NABC,ZABC=60°,

・•・ZDBC=ZABD=：NA8C=30°,

2

VZBFD=90°

/.BD=2DF

•••NO8C=NE=30°

:・BD=DE

：.DE=2DF.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，根据等腰三角形的三线合•添加辅助线是解题的关键.

8.（2022春•大埔县期末）如图，△ABC是等边三角形，ZXACE是等腰三角形，NAEC=120。，AE=CE,

F为5C中点，连接AF.

（1）直接写出NZME的度数为90°:

（2）判断A”与CE的位置关系，并说明理由.

【分析】（1）分别求出NB4C,NC4E即可解决问题.

（2）证明人£LBCEC_L8c即可判断.

【详解】解：（1）•••△48C是等边三角形，

・・・NZMC=N4C4=60°,

*：EA=EC,ZAEC=\2O°,

・・・NEAC=NECA=30°,

••・N84E=N84C+/CAE=90°.

故答案为900.

（2）结论：AF//EC.

理由：f：AB=AC,BF=CF,

：.AFLBC,

VZACB=60°,ZACE=30°,

:・/BCE=9C,

：.ECLBC,

：.AF//EC.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌

握基本知识，属于中考常考题型.

9.（2022秋•宁明县期末）如图，在△/WC中，AC=BC,ZACfi=120°,CEA.AB于点、D,且。E=OC.求

证：△C£4为等边三角形.

AE

D,

CB

【分析】根据于点。，且。石=QC得出根据角的关系得出/ECB=60。，即可证得

△CE5为等边三角形.

【详解】证明：•・・CE_LA3于点。，KDE=DC,

:・BC=BE,

*：AC=BC,ZACB=\2Q0,CELAB于点D,

AZECB=60°,

•••△CEB为等边三角形.

【点睛】本题考杳了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

10.（2022春•二七区校级期中）在△人8c中，A8=AC,。是直线8C上一点，以人。为一边在AD的右侧

作△AQE,使AE=A。，NDAE=N3AC,连接C£设N/MC=a,ZBCE=p.

（1）如图（1）,点。在线段4c上移动时，①角a与p之间的数量关系是。+^=如0°；

②若线段3。=2,点A到直线的距离是3,则四边形ADCE周氏的最小值是8；

（2）如图（2）,点。在线段8C的延长线上移动时，

①请问（1）中a与（3之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；

②线段8C、DC、CE之间的数量是CE=BC+CD.

图（1）图（2）

【分析】（1）①先证NCAE=NB4。，再证明△ABOgAACE,得出对应角相等N4BO=/4CE,即可

得出结论；

②根据全等三角形的性质和等接三角形的性质即可得到结论；

（2）①如图2,根据等式的性质就可以得出/C4E=N/MQ,就可以得出△人4。0△ACE就可以得出N

ABD=ZACE,就可以得出结论；

②根据全等三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：（1）①a+p=180°；理由如下：

•：ZDAE=ZBAC,

：.ZDAE-ZDAC=ZBAC-NDAC

：.ZCAE=ZBAD,

在△A8。和△ACE中，

(AB=AC

l/LBAD=/.CAE,

[AD=AE

：.^ABD^/\ACE(SAS),

・•・NABD=NACE,

•.•/B4C+N4BO+NAC8=180°,

AZBAC+Z4CE+ZACB=180°,

：.ZBAC+ZBCE=180°，即a+B=180°，

故答案为：a+p=180。；

②由①如，△A8OW4ACE,

：.BD=CE,AD=AE,

:.CD+CE=BD+CD=BC=2,

当AZ)J_BC时，AO最短，

即四边形AOCE周长的值最小，

•・•点A到直线BC的距离是3,

：.AD=AE=3,

・•・四边形43CE周长的最小值是2+3+3=8,

故答案为：8；

(2)①成立，理由如下：

'：ZDAE=ZBAC,

：.ZDAE+ZCAD=ZBAC+ZCAD,

工NBAD=NCAE,

在△B4。和△CAE中，

(AB=AC

{/.BAD=Z.CAE,

lAD=AE

：.(SAS),

ZABD=ZACE,

ZACD=NABD+NBAC=NACE+NDCE,

:・/BAC=NDCE,

AZBAC+ZBCE=ZDCE+ZBCE=\SO<>,

aPa+p=180°；

②•••△A8D也△ACE(SAS),

AZABD=ZACE,BD=CE,

f：BD=BC+CD,

：.CE=BC+CD,

故答案为：CE=BC+CD.

图（l）图（2）

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等得出对应角相等、

对应边相等是解决问题的关键.

II.（2022秋•台江区期末）如图，已知NABC=NAQC=90°,BC=CD,CA=CE.

（.I）求证：ZACB=ZACD-

（2）过点£作"£〃其4,交AC的延长线于点M,过点/作MP_LQC,交QC的延长线于点P.

①连接交AM于点、N,证明4M垂直平分PE：

②点。是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点。与点E重合.

【分析】（1）证明RtZXABCgRtZ\4OC（HL）即可；

（2）①证明△NECg/^NPC（SAS）即可；

②延长P。、ME交于。点，结合①推导出/£P。=/。。£=30°,则PE=EQ,则M£+PE=QE+ME2

MQ,此时A/E+PE的值最小，再由点0是直线AE上的动点，可得当MO+PO的值最小时，E点、与O点

重合.

【详解】证明：（1）ZABC=ZADC=90a,BC=CD,AC=AC,

/.RtAABC^RtAADC(HL)：

・•・ZACB=ZACD；

(2)®VRtA/lBC^RtAADC,

：,ZBAC=ZCAD,

,:CA=CE,

：.ZCAE=ZCEA,

*：ZEBA=9O0,

AZ13EA=ZBAC=ZCAE=3()°,

*：PDVAE,MFSD,

：.AE//MP,

・•・/尸MC=NAME=30°,

,:ME〃AB,

:・NMEB=NABE=90°,

.\ZME4=90o+30°=120°.

VZMA£=30°,

,\ZEMA=30°,

VCP±MP,CEA,ME,ZMCP=ZMCE=60°,

:.△NECQ/\NPC(SAS),

:・EN=PN,

・・・N是石尸的中点，NCIPE,

・・・AM垂直平分PE;

②延长P。、ME交于。点，

由①知，NBEA=30°,ZMEB=90°,

：.ZMEA=120°,

AZDEQ=60a,

.•・/石。。=90°,

・・・NEQQ=30°,

■:/CPN=30°,

：,4EPD=4DQE,

:・PE=EQ,

:・ME+PE=QE+ME2MQ,此时ME+PE的值最小,

•・•点0是直线AE上的动点，

:.当MO+PO的值最小时，E点与O点重合.

【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，线段垂直平

分线的性质，全等三角形的判定及性质，轴对称求最短距离是解题的关键.

12.（2022春•市南区期末）如图，中，ZACB=90°.Q是43上一点，BD=RC,过点Q作人“

¥j垂线交AC于点E,求证：BE垂直平分CD.

【分析】证明R3DEaR3CE,根据全等三角形的性质得到ED=EC,根据线段垂直平分线的判定

定理证明.

【详解】证明：•••N4C8=90°,DEA-AB.

・・・NACB=N8Q£=90°,

在RtABDE和RtABCE中,

\BD=BC

[BE=BE'

：.RtABDE且RtABCE,

：.ED=EC,

,:ED=EC,BD=BC,

，BE垂直平分CD.

【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平

分线上是解题的关键.

13.（2022秋•平房区期末）如图，点。、七在△ABC的边BC上，AD=AE,BD=CE.

（1）求证：AB=AC；

（2）若N8AC=I（）8°,ND4E=36°,直接写出图中除△人BC与△AOE外所有的等腰三角形.

【分析】（1）首先过点A作A凡LBC于点F,由根据三线合一的性质，可得。F=EF,又由

BD=CE,可得然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB=AC.

（2）根据等腰三角形的判定解答即可.

【详解】证明：⑴过点A作"J_8c于点R

\*AD=AEt

:・DF=EF,

,:BD=CE,

：.BF=CF,

：.AB=AC.

（2）ZB=ZBAD,ZC=ZEAC,NBAE=NBEA,ZADC=ZDAC,

・•・除与△AOE外所有的等腰三角形为：△"/）、XNEC、△ABE、△AOC,

【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形

结合思想的应用.

14.（2022秋•河西区期末）如图，在△ABC中，A8=4。，点。在AC上，且3Q=3C=A。，求△A3C各

角的度数.

【分析】设NA=x,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数.

【详解】解：设N4=x.

■:AD=BD,

・•・ZABD=ZA=x；

,:BD=BC,

：,ZBCD=ZBDC=N4BO+/A=2x；

'：AB=AC,

：.NABC=NBCD=2x,

:.NDBC=x;

,：x+2x+2x=\S（）°,

Ax=36",

・・・NA=36°,ZABC=ZACB=72°.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质：利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正

确解答本题的关键.

15.（2022秋•巩义市期末）如图，在RtZXABC中，NC=90°,NA=60°,AB=\2em,若点P从点8

出发以2cm/s的速度向点4运动，点Q从点4出发以\cmls的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A

同时出发，运动的时间为/s.

（1）用含/的式子表示线段AP、AQ的长；

（2）当/为何值时，是以户Q为底边的等腰三角形？

（3）当，为何值时，PQ//BC2

c

【分析】（1）由题意，可知N8=30°,AC=6cm.BP=2t,AP=AB-BP,AQ=t.

（2）若AAP。是以尸。为底的等腰三角形，则有AP=4Q,即12-2/=/,求出，即可.

（3）先根据直角二角形的性质求出/”的度数，再由平行线的性质得出NQ/%的度数，根据直角二角形

的性质即可得出结论.

【详解】解：（1）・.,RtZ\ABC中，ZC=90°,NA=60°,

••・NB=30°.

又•.•48=\2em,

•*.AC=6cm,BP=2t,AP=AB-BP=12-2t,AQ=t；

（2）•••△APQ是以P。为底的等腰三角形，

：.AP=AQ,即12・2f=f,

・••当f=4时，ZSAP。是以PQ为底边的等腰三角形；

（3）当PQ_LAC时，PQ//BC.

VZC=9O0,NA=60°,

••・N4=30°

•:PQ"BC,

・・・NQB4=30°

：.AQ=^AP,

・•・/=；（12-2r）,解得r=3,

・••当/=3时，PQ//BC.

【点睛】本题考杳的是等腰三角形的判定及平行线的判定与性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此

题的关键.

16.（2022秋•清江浦区校级月考）如图，在△ABC中，NB=90°,A8=16o〃，BC=\2cm,AC=20cm,

P、。是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A-8方向运动，且速度为每秒〃，点Q从

点8开始沿B-CfA方向运动，且速度为每秒2,刈，它们同时出发，设出发的时间为/秒.

(1)BP=(16-/)c/n(用t的代数式表示)

(2)当点。在边3c上运动时，出发几秒后，△PQ3是等腰三角形？

(3)当点Q在边CA上运动时，出发11秒或12秒后,△BC。是以8C或8Q为底边的等腰三角形？

备用图

【分析】(I)根据题意即可用/可分别表示出BP；

(2)结合(1),根据题意再表示出8Q,然后根据等腰三角形的性质可得到8P=8Q,可得到关于/的

方程，可求得八

(3)用/分别表示出BQ和CQ,利用等腰三角形的性质可分CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到

关于，的方程，可求得，的值.

【详解】解：(1)由题意可知AP=3BQ=2t,

，

：AB=\6cmf

：.BP=AB-AP=(16-/)cm.

故答案为：(16-/)cm•

(2)当点。在边6c上运动，△心券为等腰三角形时，则有3P=3Q,

即167=2/,解得/=g,

・•・出发当秒后，△PQB能形成等腰三角形：

(3)①当ABCQ是以8C为底边的等腰三角形时：CQ=BQ，如图1所示，

C

图1

则NC=NC8Q,

VZABC=90°,

・・・NC3QiNA3Q=90°.

N4+NC=90°,

/.ZA=ZABQ,

：,BQ=AQ,

ACQ=AQ=\OCem),

：,BC+CQ=22(cm),

.\/=224-2=11；

②当，ABCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ=8C,如图2所示,

图2

则3。十。。=24（cm）,

A/=244-2=12,

综上所述：当，为II或12时，ABCQ是以BC或8Q为底边的等腰三角形.

故答案为：11秒或12.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.用时间，表示出相应线段的

长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用.

17.（2022春•渠县校级期末）已知：如图，AB=AC,D是A3上一点、，DELBC于点E,口）的延长线交

C4的延长线于点立求证：△4QF是等腰三角形.

【分析】根据等边对等角得出/B=NC,再利用等角的余角相等和对顶角相等得出N£FC=NAQR进

而证明即可.

【详解】解