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文档简介
2024年中考数学真题专题分类精选汇编(2025年中考复习全国通用)
专题16三角形及其全等
一、选择题
1.(2024福建省)在同一平面内,将直尺、含30角的三角尺和木工角尺(CDDE)按如图方
式摆放,若ABCD,则1的大小为()
A.30B.45C.60D.75
【答案】A
【解析】本题考查了平行线的性质,由ABCD,可得CDB60,即可求解.
∵ABCD,
∴CDB60,
∵CDDE,则CDE90,
∴1180CDBCDE30,
故选:A.
2.(2024黑龙江齐齐哈尔)将一个含30角的三角尺和直尺如图放置,若150,则2的度数
是()
A.30B.40C.50D.60
【答案】B
【解析】本题考查了对顶角的性质,三角形内角和定理.根据对顶角相等和三角形的内角和定理,即
可求解.
如图所示,
由题意得3150,590,24,
∴24180903905040,
故选:B.
3.(2024内蒙古赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x210x210的两个根,则这个三角形的
周长为()
A.17或13B.13或21C.17D.13
【答案】C
【解析】本题考查了解一元二次方程,等腰三角形的定义,三角形的三边关系及周长,由方程可得
x13,x27,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出三
角形的周长,掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.
2
【详解】解:由方程x10x210得,x13,x27,
∵337,
∴等腰三角形的底边长为3,腰长为7,
∴这个三角形的周长为37717,
故选:C.
4.(2024云南省)已知AF是等腰ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F
到直线AC的距离为()
37
A.B.2C.3D.
22
【答案】C
【解析】本题考查了等腰三角形的性质,角平分线的性质定理,熟练掌握知识点是解题的关键.
由等腰三角形“三线合一”得到AF平分BAC,再角平分线的性质定理即可求解.
如图,
∵AF是等腰ABC底边BC上的高,
∴AF平分BAC,
∴点F到直线AB,AC的距离相等,
∵点F到直线AB的距离为3,
∴点F到直线AC的距离为3.
故选:C.
5.(2024安徽省)在凸五边形ABCDE中,ABAE,BCDE,F是CD的中点.下列条件中,
不能推出AF与CD一定垂直的是()
A.ABCAEDB.BAFEAF
C.BCFEDFD.ABDAEC
【答案】D
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形“三线合一”性质的应用,熟练掌握全等
三角形的判定的方法是解题的关键.
利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定,结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得
结论.
【详解】解:A、连接AC、AD,
∵ABCAED,ABAE,BCDE,
∴ACB≌ADESAS,
∴ACAD
又∵点F为CD的中点
∴AFCD,故不符合题意;
B、连接BF、EF,
∵ABAE,BAFEAF,AFAF,
∴ABF≌AEFSAS,
∴BFEF,AFBAFE
又∵点F为CD的中点,
∴CFDF,
∵BCDE,
∴CBF≌DEFSSS,
∴CFBDFE,
∴CFBAFBDFEAFE90,
∴AFCD,故不符合题意;
C、连接BF、EF,
∵点F为CD的中点,
∴CFDF,
∵BCFEDF,BCDE,
∴CBF≌DEFSAS,
∴BFEF,CFBDFE,
∵ABAE,AFAF,
∴ABF≌AEFSSS,
∴AFBAFE,
∴CFBAFBDFEAFE90,
∴AFCD,故不符合题意;
D、ABDAEC,无法得出题干结论,符合题意;
故选:D.
6.(2024四川广安)如图,在ABC中,点D,E分别是AC,BC的中点,若A45,
CED70,则C的度数为()
A.45B.50C.60D.65
【答案】D
【解析】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理,三角形的内角和定理,熟记性质并准确
识图是解题的关键.先证明DE∥AB,可得CDEA45,再利用三角形的内角和定理可得
答案.
【详解】∵点D,E分别是AC,BC的中点,
∴DE∥AB,
∵A45,
∴CDEA45,
∵CED70,
∴C180457065,
故选D
二、填空题
1.(2024湖南省)一个等腰三角形的一个底角为40,则它的顶角的度数是________度.
【答案】100
【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和,解答时根据等腰三角形两底角相等,求出顶
角度数即可.
【详解】因为其底角为40°,所以其顶角180402100.
故答案为:100.
2.(2024重庆市B)如图,在ABC中,ABAC,A36,BD平分ABC交AC于点D.若
BC2,则AD的长度为________.
【答案】2
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定,三角形内角和定理,三角形外角的性质,先根据
等边对等角和三角形内角和定理求出CABC72,再由角平分线的定义得到
ABDCBD36,进而可证明∠A∠ABD,∠BDC∠C,即可推出ADBC2.
【详解】∵在ABC中,ABAC,A36,
180A
∴CABC72,
2
∵BD平分ABC,
1
∴ABDCBDABC36,
2
∴∠A∠ABD,∠BDC∠A∠ABD72∠C,
∴ADBD,BDBC,
∴ADBC2,
故答案为:2.
3.(2024四川凉山)如图,ABC中,BCD30,ACB80,CD是边AB上的高,AE
是CAB的平分线,则AEB的度数是______.
【答案】100##100度
【解析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义.先求出ACD50,结合高
的定义,得DAC40,因为角平分线的定义得CAE20,运用三角形的外角性质,即可作答.
【详解】∵BCD30,ACB80,
∴ACD50,
∵CD是边AB上的高,
∴ADC90,
∴DAC40,
∵AE是CAB的平分线,
1
∴CAEDAC20,
2
∴AEBCAEACB2080100.
故答案为:100.
4.(2024四川内江)如图,在ABC中,DCE40,AEAC,BCBD,则ACB的度
数为________;
【答案】100##100度
【解析】本题考查三角形的内角和定理,等腰三角形的性质,角的和差.
根据三角形的内角和可得CDECED140,根据AEAC,BCBD得到
ACEAEC,BCDBDC,从而ACEBCD140,根据角的和差有
ACBACEBCDCDE,即可解答.
【详解】∵DCE40,
∴CDECED180DCE140,
∵AEAC,BCBD,
∴ACEAEC,BCDBDC,
∴ACEBCDCDECED140
∴ACBACEBCEACEBCDCDE14040100.
故答案为:100
5.(2024黑龙江绥化)如图,AB∥CD,C33,OCOE.则A______.
【答案】66
【解析】本题考查了平行线的性质,等边对等角,三角形外角的性质,根据等边对等角可得
EC33,根据三角形的外角的性质可得DOE66,根据平行线的性质,即可求解.
【详解】∵OCOE,C33,
∴EC33,
∴DOEEC66,
∵AB∥CD,
∴ADOE66,
故答案为:66.
6.(2024四川成都市)如图,△ABC≌△CDE,若D35,ACB45,则DCE的度
数为______.
【答案】100##100度
【解析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质,先利用全等三角形的性质,求出
CEDACB45,再利用三角形内角和求出DCE的度数即可.
【详解】由△ABC≌△CDE,D35,
∴CEDACB45,
∵D35,
∴DCE180DCED1803545100,
故答案为:100
三、解答题
1.(2024云南省)如图,在ABC和△AED中,ABAE,BAECAD,ACAD.
求证:△ABC≌△AED.
【答案】见解析
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键.利
用“SAS”证明△ABC≌△AED,即可解决问题.
【详解】证明:BAECAD,
BAEEACCADEAC,即BACEAD,
在ABC和△AED中,
ABAE
BACEAD,
ACAD
ABC≌AEDSAS.
2.(2024四川乐山)知:如图,AB平分CAD,ACAD.求证:CD.
【答案】见解析
【解析】利用SAS证明CAB≌DAB,即可证明CD.
AB平分CAD,
CABDAB,
在CAB和DAB中,
ACAD
CABDAB,
ABAB
CAB≌DABSAS,
CD.
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质,熟练掌握SAS、AAS、ASA、SSS等全等三角
形的判定方法是解题的关键.
3.(2024江苏连云港)如图,AB与CD相交于点E,ECED,AC∥BD.
(1)求证:△AEC≌△BED;
(2)用无刻度的直尺和圆规作图:求作菱形DMCN,使得点M在AC上,点N在BD上.(不写
作法,保留作图痕迹,标明字母)
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到AB,CD,结合ECED,利用AAS即
可证明△AEC≌△BED;
(2)作CD的垂直平分线,分别交AC,BD于点M,N,连接DM,CN即可.
【小问1详解】
证明:AC∥BD,
AB,CD.
AB
在△AEC和BED中,CD,
ECED
AEC≌BED(AAS);
【小问2详解】
解:MN是CD的垂直平分线,
MDMC,DNCN,
由(1)的结论可知,AB,AEBE,
又∵AEMBEN,
则AEMBEN,
∴MENE,
CDMN,
CD是MN的垂直平分线,
DMDN,CMCN,
DMDNCNCM,
四边形DMCN是菱形,
如图所示,菱形DMCN为所求.
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法,平行线的性质,三角形全等的判定,菱形的判定,熟练掌握
垂直平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键.
1
4.(2024江苏苏州)如图,ABC中,ABAC,分别以B,C为圆心,大于BC长为半径画
2
弧,两弧交于点D,连接BD,CD,AD,AD与BC交于点E.
(1)求证:△ABD≌△ACD;
(2)若BD2,BDC120,求BC的长.
【答案】(1)见解析(2)BC23
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,解直角三角形等知识,解题的关
键是:
(1)直接利用SSS证明△ABD≌△ACD即可;
(2)利用全等三角形的性质可求出BDACDA60,利用三线合一性质得出DABC,
BECE,在Rt△BDE中,利用正弦定义求出BE,即可求解.
【小问1详解】
证明:由作图知:BDCD.
在△ABD和ACD中,
ABAC,
BDCD,
ADAD.
△ABD≌△ACD.
【小问2详解】
解:ABD≌ACD,BDC120,
BDACDA60.
又BDCD,
DABC,BECE.
BD2,
3
BEBDsinBDA23,
2
BC2BE23.
5.(2024江苏盐城)已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,AE∥BF,AEBF.
若________,则ABCD.
请从①CE∥DF;②CEDF;③EF这3个选项中选择一个作为条件(写序号),使结
论成立,并说明理由.
【答案】①或③(答案不唯一),证明见解析
【解析】【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质,①根据平行线的性质得出
AFBD,DECA,再由全等三角形的判定和性质得出ACBD,结合图形即可证明;②
得不出相应的结论;③根据全等三角形的判定得出AEC≌BFD(SAS),结合图形即可证明;熟练
掌握全等三角形的判定和性质是解题关键.
【详解】解:选择①CE∥DF;
∵AE∥BF,CE∥DF,
∴AFBD,DECA,
∵AEBF,
∴AEC≌BFD(AAS),
∴ACBD,
∴ACBCBDBC,即ABCD;
选择②CEDF;
无法证明△AEC≌△BFD,
无法得出ABCD;
选择③EF;
∵AE∥BF,
∴AFBD,
∵AEBF,EF,
∴AEC≌BFDASA,
∴ACBD,
∴ACBCBDBC,即ABCD;
故答案为:①或③(答案不唯一)
6.(2024四川南充)如图,在ABC中,点D为BC边的中点,过点B作BE∥AC交AD的延长
线于点E.
(1)求证:BDE≌CDA.
(2)若ADBC,求证:BABE
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质,中垂线的判定和性质:
(1)由中点,得到BDCD,由BE∥AC,得到EDAC,DBEC,即可得证;
(2)由全等三角形的性质,得到EDAD,进而推出BD垂直平分AE,即可得证.
【小问1详解】
证明:D为BC的中点,
BDCD.
BE∥AC,
EDAC,DBEC;
EDAC
在BDE和CDA中,DBEC
BDCD
BDE≌CDAAAS;
【小问2详解】
证明:△BDE≌△CDA,
EDAD
ADBC,
BD垂直平分AE,
BABE.
7.(2024四川自贡)如图,在ABC中,DE∥BC,EDFC.
(1)求证:BDFA;
(2)若A45,DF平分BDE,请直接写出ABC的形状.
【答案】(1)见解析(2)ABC是等腰直角三角形.
【解析】本题考查了平行线的判定和性质,等腰直角三角形的判定.
(1)由平行证明AEDC,由等量代换得到EDFAED,利用平行线的判定“内错角相等,
两直线平行”证明DF∥AC,即可证明BDFA;
(2)利用平行线的性质结合角平分线的定义求得BDE90,ÐB=90°,据此即可得到ABC是
等腰直角三角形.
【小问
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