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文档简介

2024年中考数学真题专题分类精选汇编(2025年中考复习全国通用)

专题16三角形及其全等

一、选择题

1.(2024福建省)在同一平面内,将直尺、含30角的三角尺和木工角尺(CDDE)按如图方

式摆放,若ABCD,则1的大小为()

A.30B.45C.60D.75

【答案】A

【解析】本题考查了平行线的性质,由ABCD,可得CDB60,即可求解.

∵ABCD,

∴CDB60,

∵CDDE,则CDE90,

∴1180CDBCDE30,

故选:A.

2.(2024黑龙江齐齐哈尔)将一个含30角的三角尺和直尺如图放置,若150,则2的度数

是()

A.30B.40C.50D.60

【答案】B

【解析】本题考查了对顶角的性质,三角形内角和定理.根据对顶角相等和三角形的内角和定理,即

可求解.

如图所示,

由题意得3150,590,24,

∴24180903905040,

故选:B.

3.(2024内蒙古赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x210x210的两个根,则这个三角形的

周长为()

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【解析】本题考查了解一元二次方程,等腰三角形的定义,三角形的三边关系及周长,由方程可得

x13,x27,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出三

角形的周长,掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

2

【详解】解:由方程x10x210得,x13,x27,

∵337,

∴等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

∴这个三角形的周长为37717,

故选:C.

4.(2024云南省)已知AF是等腰ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F

到直线AC的距离为()

37

A.B.2C.3D.

22

【答案】C

【解析】本题考查了等腰三角形的性质,角平分线的性质定理,熟练掌握知识点是解题的关键.

由等腰三角形“三线合一”得到AF平分BAC,再角平分线的性质定理即可求解.

如图,

∵AF是等腰ABC底边BC上的高,

∴AF平分BAC,

∴点F到直线AB,AC的距离相等,

∵点F到直线AB的距离为3,

∴点F到直线AC的距离为3.

故选:C.

5.(2024安徽省)在凸五边形ABCDE中,ABAE,BCDE,F是CD的中点.下列条件中,

不能推出AF与CD一定垂直的是()

A.ABCAEDB.BAFEAF

C.BCFEDFD.ABDAEC

【答案】D

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形“三线合一”性质的应用,熟练掌握全等

三角形的判定的方法是解题的关键.

利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定,结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得

结论.

【详解】解:A、连接AC、AD,

∵ABCAED,ABAE,BCDE,

∴ACB≌ADESAS,

∴ACAD

又∵点F为CD的中点

∴AFCD,故不符合题意;

B、连接BF、EF,

∵ABAE,BAFEAF,AFAF,

∴ABF≌AEFSAS,

∴BFEF,AFBAFE

又∵点F为CD的中点,

∴CFDF,

∵BCDE,

∴CBF≌DEFSSS,

∴CFBDFE,

∴CFBAFBDFEAFE90,

∴AFCD,故不符合题意;

C、连接BF、EF,

∵点F为CD的中点,

∴CFDF,

∵BCFEDF,BCDE,

∴CBF≌DEFSAS,

∴BFEF,CFBDFE,

∵ABAE,AFAF,

∴ABF≌AEFSSS,

∴AFBAFE,

∴CFBAFBDFEAFE90,

∴AFCD,故不符合题意;

D、ABDAEC,无法得出题干结论,符合题意;

故选:D.

6.(2024四川广安)如图,在ABC中,点D,E分别是AC,BC的中点,若A45,

CED70,则C的度数为()

A.45B.50C.60D.65

【答案】D

【解析】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理,三角形的内角和定理,熟记性质并准确

识图是解题的关键.先证明DE∥AB,可得CDEA45,再利用三角形的内角和定理可得

答案.

【详解】∵点D,E分别是AC,BC的中点,

∴DE∥AB,

∵A45,

∴CDEA45,

∵CED70,

∴C180457065,

故选D

二、填空题

1.(2024湖南省)一个等腰三角形的一个底角为40,则它的顶角的度数是________度.

【答案】100

【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和,解答时根据等腰三角形两底角相等,求出顶

角度数即可.

【详解】因为其底角为40°,所以其顶角180402100.

故答案为:100.

2.(2024重庆市B)如图,在ABC中,ABAC,A36,BD平分ABC交AC于点D.若

BC2,则AD的长度为________.

【答案】2

【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定,三角形内角和定理,三角形外角的性质,先根据

等边对等角和三角形内角和定理求出CABC72,再由角平分线的定义得到

ABDCBD36,进而可证明∠A∠ABD,∠BDC∠C,即可推出ADBC2.

【详解】∵在ABC中,ABAC,A36,

180A

∴CABC72,

2

∵BD平分ABC,

1

∴ABDCBDABC36,

2

∴∠A∠ABD,∠BDC∠A∠ABD72∠C,

∴ADBD,BDBC,

∴ADBC2,

故答案为:2.

3.(2024四川凉山)如图,ABC中,BCD30,ACB80,CD是边AB上的高,AE

是CAB的平分线,则AEB的度数是______.

【答案】100##100度

【解析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义.先求出ACD50,结合高

的定义,得DAC40,因为角平分线的定义得CAE20,运用三角形的外角性质,即可作答.

【详解】∵BCD30,ACB80,

∴ACD50,

∵CD是边AB上的高,

∴ADC90,

∴DAC40,

∵AE是CAB的平分线,

1

∴CAEDAC20,

2

∴AEBCAEACB2080100.

故答案为:100.

4.(2024四川内江)如图,在ABC中,DCE40,AEAC,BCBD,则ACB的度

数为________;

【答案】100##100度

【解析】本题考查三角形的内角和定理,等腰三角形的性质,角的和差.

根据三角形的内角和可得CDECED140,根据AEAC,BCBD得到

ACEAEC,BCDBDC,从而ACEBCD140,根据角的和差有

ACBACEBCDCDE,即可解答.

【详解】∵DCE40,

∴CDECED180DCE140,

∵AEAC,BCBD,

∴ACEAEC,BCDBDC,

∴ACEBCDCDECED140

∴ACBACEBCEACEBCDCDE14040100.

故答案为:100

5.(2024黑龙江绥化)如图,AB∥CD,C33,OCOE.则A______.

【答案】66

【解析】本题考查了平行线的性质,等边对等角,三角形外角的性质,根据等边对等角可得

EC33,根据三角形的外角的性质可得DOE66,根据平行线的性质,即可求解.

【详解】∵OCOE,C33,

∴EC33,

∴DOEEC66,

∵AB∥CD,

∴ADOE66,

故答案为:66.

6.(2024四川成都市)如图,△ABC≌△CDE,若D35,ACB45,则DCE的度

数为______.

【答案】100##100度

【解析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质,先利用全等三角形的性质,求出

CEDACB45,再利用三角形内角和求出DCE的度数即可.

【详解】由△ABC≌△CDE,D35,

∴CEDACB45,

∵D35,

∴DCE180DCED1803545100,

故答案为:100

三、解答题

1.(2024云南省)如图,在ABC和△AED中,ABAE,BAECAD,ACAD.

求证:△ABC≌△AED.

【答案】见解析

【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键.利

用“SAS”证明△ABC≌△AED,即可解决问题.

【详解】证明:BAECAD,

BAEEACCADEAC,即BACEAD,

在ABC和△AED中,

ABAE

BACEAD,

ACAD

ABC≌AEDSAS.

2.(2024四川乐山)知:如图,AB平分CAD,ACAD.求证:CD.

【答案】见解析

【解析】利用SAS证明CAB≌DAB,即可证明CD.

AB平分CAD,

CABDAB,

在CAB和DAB中,

ACAD

CABDAB,

ABAB

CAB≌DABSAS,

CD.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质,熟练掌握SAS、AAS、ASA、SSS等全等三角

形的判定方法是解题的关键.

3.(2024江苏连云港)如图,AB与CD相交于点E,ECED,AC∥BD.

(1)求证:△AEC≌△BED;

(2)用无刻度的直尺和圆规作图:求作菱形DMCN,使得点M在AC上,点N在BD上.(不写

作法,保留作图痕迹,标明字母)

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到AB,CD,结合ECED,利用AAS即

可证明△AEC≌△BED;

(2)作CD的垂直平分线,分别交AC,BD于点M,N,连接DM,CN即可.

【小问1详解】

证明:AC∥BD,

AB,CD.

AB

在△AEC和BED中,CD,

ECED

AEC≌BED(AAS);

【小问2详解】

解:MN是CD的垂直平分线,

MDMC,DNCN,

由(1)的结论可知,AB,AEBE,

又∵AEMBEN,

则AEMBEN,

∴MENE,

CDMN,

CD是MN的垂直平分线,

DMDN,CMCN,

DMDNCNCM,

四边形DMCN是菱形,

如图所示,菱形DMCN为所求.

【点睛】本题考查了垂直平分线的作法,平行线的性质,三角形全等的判定,菱形的判定,熟练掌握

垂直平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键.

1

4.(2024江苏苏州)如图,ABC中,ABAC,分别以B,C为圆心,大于BC长为半径画

2

弧,两弧交于点D,连接BD,CD,AD,AD与BC交于点E.

(1)求证:△ABD≌△ACD;

(2)若BD2,BDC120,求BC的长.

【答案】(1)见解析(2)BC23

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,解直角三角形等知识,解题的关

键是:

(1)直接利用SSS证明△ABD≌△ACD即可;

(2)利用全等三角形的性质可求出BDACDA60,利用三线合一性质得出DABC,

BECE,在Rt△BDE中,利用正弦定义求出BE,即可求解.

【小问1详解】

证明:由作图知:BDCD.

在△ABD和ACD中,

ABAC,

BDCD,

ADAD.

△ABD≌△ACD.

【小问2详解】

解:ABD≌ACD,BDC120,

BDACDA60.

又BDCD,

DABC,BECE.

BD2,

3

BEBDsinBDA23,

2

BC2BE23.

5.(2024江苏盐城)已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,AE∥BF,AEBF.

若________,则ABCD.

请从①CE∥DF;②CEDF;③EF这3个选项中选择一个作为条件(写序号),使结

论成立,并说明理由.

【答案】①或③(答案不唯一),证明见解析

【解析】【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质,①根据平行线的性质得出

AFBD,DECA,再由全等三角形的判定和性质得出ACBD,结合图形即可证明;②

得不出相应的结论;③根据全等三角形的判定得出AEC≌BFD(SAS),结合图形即可证明;熟练

掌握全等三角形的判定和性质是解题关键.

【详解】解:选择①CE∥DF;

∵AE∥BF,CE∥DF,

∴AFBD,DECA,

∵AEBF,

∴AEC≌BFD(AAS),

∴ACBD,

∴ACBCBDBC,即ABCD;

选择②CEDF;

无法证明△AEC≌△BFD,

无法得出ABCD;

选择③EF;

∵AE∥BF,

∴AFBD,

∵AEBF,EF,

∴AEC≌BFDASA,

∴ACBD,

∴ACBCBDBC,即ABCD;

故答案为:①或③(答案不唯一)

6.(2024四川南充)如图,在ABC中,点D为BC边的中点,过点B作BE∥AC交AD的延长

线于点E.

(1)求证:BDE≌CDA.

(2)若ADBC,求证:BABE

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质,中垂线的判定和性质:

(1)由中点,得到BDCD,由BE∥AC,得到EDAC,DBEC,即可得证;

(2)由全等三角形的性质,得到EDAD,进而推出BD垂直平分AE,即可得证.

【小问1详解】

证明:D为BC的中点,

BDCD.

BE∥AC,

EDAC,DBEC;

EDAC

在BDE和CDA中,DBEC

BDCD

BDE≌CDAAAS;

【小问2详解】

证明:△BDE≌△CDA,

EDAD

ADBC,

BD垂直平分AE,

BABE.

7.(2024四川自贡)如图,在ABC中,DE∥BC,EDFC.

(1)求证:BDFA;

(2)若A45,DF平分BDE,请直接写出ABC的形状.

【答案】(1)见解析(2)ABC是等腰直角三角形.

【解析】本题考查了平行线的判定和性质,等腰直角三角形的判定.

(1)由平行证明AEDC,由等量代换得到EDFAED,利用平行线的判定“内错角相等,

两直线平行”证明DF∥AC,即可证明BDFA;

(2)利用平行线的性质结合角平分线的定义求得BDE90,ÐB=90°,据此即可得到ABC是

等腰直角三角形.

【小问

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