轴对称易错训练（单元复习6类易错）解析版-2024-2025学年人教版八年级数学上册

轴对称易错训练（6类易错）

01易错总结

目录

易错题型一线段的垂直平分线与角平分线的判定定理证明易错.....................................1

易错题型二求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错............................9

易错题型三当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错...........................13

易错题型四求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错..................................15

易错题型五等腰三角形中与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错.............................22

易错题型六等腰三角形中与新定义型问题结合没有分类讨论产生易错.............................25

02易错题型

易错题型一线段的垂直平分线与角平分线的判定定理证明易错

例题：（23-24七年级下•山东威海•期中）如图，在△48C中，。是8c的垂直平分线上一点，过点。作

DEVAB,DFVAC,垂足为点E,F,BE=CF.求证：点。在//的平分线上.

【分析】本题考查了直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是

解题的关键.连接4D,先证明RMOEB之RQD尸C（HL）,可得DE=DF,再根据角平分线的判定定理求解

即可.

【详解】证明：连接ND,

A

■：DEYAB,DFLAC,

:./DEB=NDFC=90°,

在RtZ\DEB与RtAZ>^C中,

jDB=DC

'\BECF'

...RtAZ>£,S^RtAZ）FC（HL）,

DE=DF,

.〔AD平分/B/C,

.•.点。在//的平分线上.

巩固训练

1.（23-24八年级下•陕西咸阳•阶段练习）如图，在△Z3C中，点。在3c边上，连接ND,有

ZBAD=100°,/ABC的平分线BE交AC于点、E,过点E作EFL4B交BA的延长线于点F,且AAEF=50°,

连接DE.求证：平分24DC.

【答案】见解析

【分析】

此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平

分线上是解答此题的关键.过点E作EG14。于点G,EH1BC千点、H,先通过计算得出

ZFAE=ZCAD=40°,根据角平分线的性质得EF=EG,EF=EH,进而得EG=EH,据此根据角平分线的

性质可得出结论

【详解】证明：如图，过点E作EG，/。于点G,EH上BC于点、H,

■：EF1AB,ZAEF=50°,

=90°-50°=40°,

ABAD=100°,

ACAD=180。-100。-40。=40°,

AFAE=ACAD=40°,即NC为ND4尸的平分线.

又EFLAB,EGVAD,

EF=EG.

BE是N4BC的平分线，

.­.EF=EH,

EG=EH,

点E在ZADC的平分线上，

:.DE平分NADC.

2.（23-24八年级上•吉林・期中）如图，在a/BC中，边AB、ZC的垂直平分线分别交3c于点D、E,直线

(1)试判断点。是否在8c的垂直平分线上，并说明理由;

⑵若NB4c=100°,求AMON的度数.

【答案】(1)点。在8c的垂直平分线上，理由见解析

(2)80°

【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键.

(1)连接/。、BO、CO,根据垂直平分线的性质可得/。=2。,C。=/。，则8。=。。，根据垂直平分线

的判定可证明结论

(2)证明=N4NO=90。，又由Nft4c=100。及四边形内角为360。即可得到乙WON的度数.

【详解】(1)点。在2c的垂直平分线上，理由如下：

连接/。、BO、CO,

,:边4B、ZC的垂直平分线分别交8C于点。、E,直线。M、EN交于点O.

：.AO=BO,CO=AO,

：.BO=CO,

.••点。在2C的垂直平分线上；

(2)OM±AB,ON±AC,

.-.ZAMO=ZANO=90°,

•••ABAC=100°,

AMOM=360°-ZAMO-ABAC-ZANO=80°

3.(23-24八年级上•江苏扬州•阶段练习)如图，A4BC中，点。在边5c延长线上，/ACB=96°,NABC

的平分线交4D于点E,过点、E作EH，BD,垂足为且/CE"=48。.

(1)直接写出ZACE的度数=_；

(2)求证：4E平分/C4F；

(3)^AC+CD=14,/3=8,且SA/CD=21,求ANBE的面积.

【答案】(1)42。

(2)见解析

(3)12

【分析】（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得乙48=84。、ACHE=90°,进而得到NECH=42。,然后根

据ZACE=ZACD-ZECH即可解答；

（2）如图：过E点分别作尸于EN工AC与N,根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义

可得EM=EH、CE平分々CD、EN=EH,最后根据角平分线的判定定理即可解答；

（3）根据％少=$.虚+5女助结合已知条件可得及0=3,最后运用三角形的面积公式即可解答.

【详解】（1）1¥：-.-ZACB=96°,

.•.//CD=180°-96°=84°,

•••EHLBD,

：.ACHE=90°,

*/CEH=48°,

.•./EC〃=90°-48°=42°,

."ACE=ZACD-ZECH=84°-42°=42°,

故答案为：42°.

（2）证明：如图：过E点分别作尸于Af,EN工AC与N,

•:BE平分NABC,

：.EM=EH,

■：ZACE=ZECH=42°,

；.CE平分NNCD,

EN=EH,

：.EM=EN,

:.AE平分/C4F.

⑶解：・"+314,S.D=21,EM=EN=EH,

.•”D=S^CE+SACED=.EN+；CD.EH=；(AC+CD).EM=21,

即;xl4.EN=21,解得瓦0=3,

•・,AB=8,

.■.SAABE=^AB-EM=n.

【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用

相关知识点成为解答本题的关键.

4.(23-24八年级上•河北邢台•阶段练习)【发现】如图1,ZABC=/C=90°,E为5c的中点，平分N4DC,

过点E作斯上4D,垂足为尸，连接NE.

(1)求证：4E■是/D4B的平分线；

(2)连接8尸，求证：4E1垂直平分线段班7；

【拓展】如图2,AB//DC,/加。和/4DC的平分线4E和。£相交于点E,过点E的直线与DC

分别相交于点3，C(点3,C在4D的同侧).

图2

(3)判断E是否为线段3c的中点，并说明理由；

(4)若四边形ABCD的面积为16,的面积为2,则ACAE的面积是.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)£为线段3c的中点，理由见解析；(4)6

【分析】本题主要考查角平分线性质定理与判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定和性质;

(1)由题意得ER=EC和EB=EC,根据角平分线的判定定理即可判定；

(2)根据题意证得ANBE会,得4B=AF,根据线段垂直平分线的性质即可判定；

(3)过点£作48的垂线，交48的延长线于点尸，交8于点G,有尸GLCD.作吩，3于点P,由角

平分线的性质可得所=EG,证得△?£尸名△CEG,即可求证；(4)因为AAETWANE尸和

/\DEP=/\DEG,有S^AEF+S&DEG二,S四边形M7GO，根据LBEF会ACEG,得到S“BE+5口口=；S四边形即

可.

【详解】证明：(1)vZC=90°,

・•・ECLCD.

又♦：EF_LAD,DE平分NADC,

：.EF=EC.

•・・£为的中点，

••.EB=EC,

EF=EB.

•・・NABC=9。。,

・♦.EB_LAB.

又:EF，AD,

・・・/石是N7X45的平分线；

(2)AE平分NDAB,

・•・/BAE=ZFAE.

在小ABE和AAFE中，

ZABE=ZAFE=90°

</BAE=ZFAE,

EB=EF

,△ABE咨AAFEIAAS),

**.AB=AF>

.••点/,£都在线段8尸的垂直平分线上，

.••/E垂直平分线段8尸；

(3)£为线段8C的中点；

理由：过点E作4B的垂线，交4B的延长线于点尸，交CD于点G,如图，

VAB//CD,

：.FG上CD.

作成于点尸，由角平分线的性质可得£F=£P=EG.

在所与^CEG中，

ZEFB=ZEGC=90°

<EF=EG,

ZBEF=ZCEG

.“BEFRCEG(ASA),

・•.BE=CE,

.•石为线段3C的中点；

(4)在△/£1尸和△/£尸中，

ZEAP=ZEAF

<ZAPE=ZAFE,

EP=EF

.,.△AEP%AEF(A4S),

则S“EP=^AEF

同理可证4DEP2ADEG,则$&DEP=SDEG

**,S4AEF+S^DEG=5S四边形4/7GZ).

又•・•£\BEF四丛CEG,

•'•S&BEF=S&CEG

A=

84ABE+S^DCE3S四边形4BCD=8,

•*,^ACDE=8—2=6.

易错题型二求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错

例题：（23-24八年级上•安徽・单元测试）设等腰三角形的一边长为5,另一边长为10,则其周长为（）

A.15B.20C.25D.20或25

【答案】C

【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义

【分析】本题主要考查等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，熟练掌握等边三角形的定义是解题的关

键.根据等腰三角形的定义得到三边长，再根据三角形的三边关系判断是否成立即可得到答案.

【详解】解：由题意可得：当5为腰长时，

三角形的三边长为5,5,10,

,.-5+5=10,不能构成三角形，故舍去，

当10为腰长时，

三角形的三边长为5,10,10,符合三角形的三边关系，

故周长为：5+10+10=25,

故选C

巩固训练

,2x-y=6

1.（23-24七年级下•山东泰安•期末）若方程组/的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的

[x+3.y=10

周长为（）

A.8B.10C.8或10D6或12

【答案】B

【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用、加减消元法

【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思

想求解是解题的关键.

先求方程组的解，再分腰长为2,底边长为4时，腰长为4,底边长为2时，两种情况结合构成三角形的条

件进行求解即可.

【详解】解：■:\2x-/y=皿6

[x+3y=10

fx=4

"1^=2'

当腰长为2,底边长为4时，则三角形三边为2,2,4,不能组成三角形，不符合题意；

当腰长为4,底边长为2时，则三角形三边为4,4,2,能组成三角形，符合题意，

•••三角形的周长为4+4+2=10,

故选8.

2.(23-24七年级下•陕西渭南•期末)等腰三角形的一边长是10cm,另一边长是4cm,则它的周长是cm.

【答案】24

【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义

【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确分两种情况讨论是解题关键.

分①腰长为10cm和②腰长4cm为两种情况，根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系即可得.

【详解】解：①当腰长为10cm时，

则这个等腰三角形的三边长分别为4cm,10cm,10cm,

因为10-4<10<10+4,

所以满足三角形的三边关系，

所以此时它的周长为4+10+10=24(cm)；

②当腰长为4cm时，

则这个等腰三角形的三边长分别为4cm,4cm,10cm,

因为4+4<10,

所以不满足三角形的三边关系，不能构成三角形；

综上所述，这个等腰三角形的周长为24(cm),

故答案为：24.

3.(23-24八年级下•江西九江•期中)已知一等腰三角形的两边x,v满足|》-4|+77/=0,则该等腰三角

形的周长为.

【答案】20

【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0,则每一个

算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断.

先根据非负数的性质列式求出无、了的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解.

【详解】解：根据题意得，x-4=0,y-8=0,

解得x=4/=8,

4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8,

■.-4+4=8,

・••不能组成三角形；

4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8,能组成三角形，

周长=4+8+8=20.

所以，三角形的周长为20.

故答案为：20.

4.(22-23八年级上•河南商丘•期中)一个等腰三角形的周长是12cm,且底边、腰长相差3cm,求这个三角

形的各边长.

【答案】2cm,5cm,5cm

【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用.设腰长为xcm,则底边长(12-2x)cm,

根据“底边、腰长相差3cm”，列出方程，即可求解.

【详解】解：设腰长为xcm,则底边长(12-2x)cm,

根据题意得：x-(12-2x)=3或12-21=3,

解得：x=5或x=3,

当x=5时，这个三角形的各边长分别为5cm,5cm,2cm；

当x=3时，这个三角形的各边长分别为3cm,3cm,6cm,此时3+3=6,不能够成三角形，舍去；

综上所述，这个三角形的各边长分别为5cm,5cm,2cm.

m〜cFx-y-3

—x+2ny=2

5.(23-24七年级下•山东荷泽•期末)若关于x,y的两个方程组2-与“，有相同的解.

,-x+my=-3

[x+y=l[2

(1)求这个相同的解；

(2)若小,〃是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长.

fx=2

【答案】(1)I

⑵9

【知识点】加减消元法、等腰三角形的定义

【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值.

(1)联立两方程组中不含加，"的方程组成方程组，求出方程组的解即可;

(2)把x与了的值代入含加，〃的方程求出加，"的值，即可求出周长.

x+y=l

【详解】(1)解：联立得:

x-y=3"

x=2

解得:

J=T

x=2m-2n=2

(2)把I代入得:

y=-in-m=-3

加二4

解得:

n=l

若根为腰，”为底，则三角形三边长为4,4,1,周长为9,

若优为底，力为腰，则三角形三边长为1,1,4,由于1+1<4,故不能构成三角形,

综上，等腰三角形的周长为9.

6.⑵-23七年级下仞川眉山・期末)已知关于…的方程组o!x—+2y=14与《x-y二=213的解相同.

⑴求.、6的值；

(2)如果a、6是等腰三角形的两边，求该等腰三角形的周长.

【答案】(l)a=4,b=10

(2)24

【知识点】等腰三角形的定义、构成三角形的条件、同解方程组

fax+2y-14[x—y—2[x—y-2

【分析】(1)由题意/与:□的解相同，可得方程组解出X和丹即可求出

[x+y=4[x+勿=13[%+>=4

a,b的值；

(2)根据等腰三角形的性质以及构成三角形的条件即可求解.

[«x+2y=14[x-y=2

【详解】(1)解：•.・关于x,V的方程组/与；口的解相同，

[x+y=4[x+勿=13

x-y-2ax+2y=14x-y=2

・•・方程组的解相同,

x+y=4x+y=4x+by=13

x-y=2x=3

解方程组得:

x+y=4J=1

\x=3

将〈代入办+2y=14,得：3。+2=14,

b=i

解得：a=4.

「x=3

将彳，代入x+力=13,得：3+6=13,

［尸1

解得：6=1。.

a=4,6=10.

（2）当a、6分别是等腰三角形的底和腰时，a=4,b=10,

此时等腰三角形的周长为：a+2b=24,

当a、b分别是等腰三角形的腰和底时，a=4,b=W,

2a=8<10=Z>,

此时无法构成三角形，此种情况舍去，

即等腰三角形的周长为：24.

【点睛】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组、等腰三角形的性质以及构成三角形的条件等

知识，掌握二元一次方程组解相同的含义构成新的二元一次方程组是解答本题的关键.

易错题型三当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错

例题：（23-24八年级上•江苏常州•期中）已知一个等腰三角的两个角度数分别是（2尤-2）。，（3x-5）。，则这

个等腰三角形的顶角的度数为.

【答案】172。或46。或76。

【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用

【分析】（2》-2）。和（3%-5）。有可能是两个底角，即2x-2=3x-5,也有可能是一个底角，一个顶角.因此

分三种情况讨论，根据三角形内角和定理列方程求解即可.

本题考查了等腰三角形的性质；分类讨论是正确解答本题的关键.

【详解】①当（2》-2）。和（3x-5）。是两个底角时，

2x—2—3x—5,

解得x=3,

则底角为（2x-2）。=4。，

顶角为：180。-2*4。=172。；

②当（2x-2）。是顶角，（3x-5）。是底角时，

2x-2+2（3x-5）=180,

解得x=24,

贝l|（2x-2）o=46。，

••・顶角为46。；

③当（3x-5）。是顶角，（2尤-2）。是底角时，

（3x-5）+2（2x-2）=180,

解得x=27,

则（3%-5）。=76。，

••・顶角为76。.

综上，这个等腰三角形的顶角的度数为172。或46。或76。，

故答案为：172。或46。或76°

巩固训练

1.等腰三角形有一内角为80。，则这个等腰三角形底角的度数为.

【答案】50。或80。

【分析】由于不明确80。的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分80。的角是顶角和底角两种情况讨论.

【详解】分两种情况：

①当80。的角为等腰三角形的顶角时，

底角的度数=（180。-80。）+2=50。；

②当80。的角为等腰三角形的底角时，其底角为80。，

故它的底角度数是50°或80。.

故答案为:50°或80。.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意80。的角是顶角和底角两

种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键.

2.等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20。，则这个等腰三角形的顶角度数是.

【答案】44。或80。或140。

【分析】设另一个角是x,表示出一个角是2x-20。，然后分①x是顶角，2x-20。是底角，②x是底角，

2x-20。是顶角，③x与2x-20。都是底角根据三角形的内角和等于180。与等腰三角形两底角相等列出方程

求解即可.

【详解】解：设另一个角是》,表示出一个角是2x-20。，

①x是顶角，2x-20。是底角时，x+2（2x-20°）=180°,

解得x=44。,

所以，顶角是44。；

②x是底角，2x-20。是顶角时，2苫+（2>20。）=180。，

解得x=50。，

所以，顶角是2x50°-20°=80°；

③x与2x-20°都是底角时，x=2x-20°,

解得x=20。，

所以，顶角是180°-20°x2=140°；

综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44。或80。或140。.

故答案为：44。或80。或140°.

【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是

这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错.

易错题型四求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错

例题：（2024八年级上•江苏•专题练习）如图，ZAOB=60°,0c平分/NO2,如果射线。/上的点E满足

△OCE是等腰三角形，ZAEC的度数为.

【答案】60。或105。或150。

【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的定义

【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想.求

出N/OC,根据等腰得出三种情况，OE=CE,OC=OE,OC=CE,根据等腰三角形性质和三角形内角

和定理求出即可.

【详解】解：如图,

AAOB=60°,OC平分

.-.ZAOC=30°,

①当E在4时，OE=CE,

•••NAOC=ZOCE=30°,

NOEC=180°-30°-30°=120°,

NAEC=180。-ZOEC=60°；

②当E在点时，OC=OE,

则ZOEC=NOCE=1(180°-30°)=75°

ZAEC=180°-ZOEC=105°；

③当E在4时，OC=CE,

则NOEC=ZAOC=30°

ZAEC=180°-ZOEC=150°；

故答案为：60。或105。或150。.

巩固训练

1.(23-24八年级上•湖北武汉•阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，4L0)、8(0,1),在坐标轴上找一点

P，使A/BP为等腰三角形，则这样的点尸有个.

y八

0\AX

【答案】7

【知识点】等腰三角形的定义、坐标与图形

【分析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质.根据等腰三角形两腰相等，分别以A、8为圆

心以N8的长度为半径画圆，与坐标轴的交点即为所求的点P,的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满

足AABP是等腰二角形.

【详解】解：如图，使得A/3尸是等腰三角形，这样的点尸可以找到7个.

故答案为：7.

2.（23-24八年级上•重庆渝北•期中）如图，在△ABC中，zB=9Q°,AB=16cm,SC=12cm,AC=20cm

点。是△4BC边上的一个动点，点0从点2开始沿87C-»4方向运动，且速度为每秒1cm,设出发的时

间为［秒.当点。在边。上运动时，出发秒后，△BC。是以C0为腰的等腰三角形.

【答案】22或24

【知识点】等腰三角形的定义

【分析】题考查了等腰三角形的性质，分两种情况：当C0=C5时；当0C="时；然后分别进行计算即

可解答.

【详解】解：分两种情况:

当CQ=C8时，如图:

■.■CB=CQ=ncm,

当时，如图:

NC=NCBQ,

/ABC=90°,

.•./C+/4=90。，NCBQ+/QBA=90。,

NQBA=ZA,

•.BQ=QA,

CQ=QA=^AC=10（cm）,

…丁=22（秒）；

综上所述：当点。在边C4上运动时，出发22或24秒后，ABC。是以C。为腰的等腰三角形，

故答案为：22或24.

3.（23-24八年级上•重庆铜梁•阶段练习）如图，ZBOC=60°,/是2。的延长线上一点，CU=10cm,动

点尸从点/出发，沿以3cm/s的速度移动，动点。从点O出发沿OC以2cm/s的速度移动，若点尸、Q

同时出发，当△。尸0是等腰三角形时，移动的时间是s.

【知识点】等腰三角形的定义、行程问题（一元一次方程的应用）

【分析】分点P在。点左边及右边两类讨论，根据等腰列式求解即可得到答案;

【详解】解:①当点尸在。点左边时，设时间为

ZBOC=60°,

.•./尸。。=180°-60°=120°,

•••△OP。是等腰三角形，

PO=QO,

.•■10—3/=2t,解得t=2,

当点尸在。点右边时，设时间为3

■.-ZBOC=60°,△。尸。是等腰三角形，

PO=QO=PQ,

.•.310=2/,解得：f=10

故答案为：2s或10s；

【点睛】本题考查动点围城等腰三角形问题，解题的关键是注意分类讨论列等式求解.

4.（2023八年级上•江苏•专题练习）如图，直线。，b交于点O,/a=40。，点A是直线。上的一个定点,

点3在直线b上运动，且始终位于直线。的上方，若以点。，A,B为顶点的三角形是等腰三角形，则

/OAB=_。.

【答案】40或70或100

【知识点】等腰三角形的定义、三角形内角和定理的应用

【分析】根据题意，分三种情况讨论，①当。4=盟时，②当。/=/当时，③当。4=。自时，根据三角

形内角和定理，即可求解.

【详解】解：如图，要使AQ"为等腰三角形需分三种情况讨论:

①当=AB1时，AOAB=/I=40°；

②当。/=/与时，/0/5=180°-2x40°=100°；

③当O/=OB3时，ZOAB=AOBA=|x(180°-40°)=70°；

综上，NO48的度数是40。或70。或100。.

故答案为：40或70或100.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，分类讨论是解题的关键.

5.在RtA/5C中，ZC=90°,有一个锐角为60。，48=6,若点尸在直线48上(不与点A,B重合)，且

NPCB=30°,则4P的长为.

【答案】1或9或3

【分析】分乙48c=60、乙43c=30。两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可.

【详解】解：当乙43。=60。时，贝！kA4c=30。，

BC=—AB=3,

2

•••AC=ylAB2-BC2=373，

当点尸在线段上时，如图,

VZPCB=30°,

.ZBPC=9O。,BPPCLAB,

••・AP=AC-cosZBAC=3y/3x—=~；

22

当点尸在45的延长线上时，

vZPC5=30°,2PBC=2PCB+乙CPB,

・,・4CPB=3。。,

:.乙CPB=^PCB,

；,PB=BC=3,

：.AP=AB+PB=9；

当乙45C=30。时，贝此氏4060。，如图,

vZPC5=30°,

山尸。=60。，

“C尸=60。，

山PC=dAC=，4CP,

・・・A4PC为等边三角形，

：.PA=AC=3.

9

综上所述，4尸的长为:或9或3.

9

故答案为：:或9或3

【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的

判定和性质等，分类求解是本题解题的关键.

易错题型五等腰三角形中与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错

例题：（22-23八年级上•山东济宁•期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为16。，则顶角的度数为一.

【答案】74。或106°

【知识点】等腰三角形的定义、三角形的外角的定义及性质、直角三角形的两个锐角互余

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角性质，当等腰三角形的顶角是钝

角或锐角两种情况分析即可，熟练掌握等腰三角形的性质及理解分类讨论思想的应用是解题的关键.

【详解】①当等腰三角形的顶角为锐角时，过8作3D_L4c于点。，如图所示，

ABDA=90°,

：.乙4=74°；

②当等腰三角形的顶角为钝角时，过8作交CA延长线于点。，如图所示,

ABDA=90°,

■：AABD=\60,

ABAC=ZBDA+ZABD=90°+16°=106°,

故答案为：74。或106°.

巩固训练

1.（23-24八年级上•河南商丘•阶段练习）在某等腰三角形中，一条腰上的中垂线与另一条腰所在直线的夹

角为40。，则该等腰三角形顶角的度数为.

【答案】50。或130。

【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的定义、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义

及性质

【分析】本题考查等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等，理解图形的基本性质是解题关键.

根据等腰三角形的性质以及中垂线的性质进行分类讨论求解即可.

【详解】解：①如图1所示，当顶角为锐角时，

由题意，NADE=90°,ZAED=40°,

N4=180°-90°-40°=50°；

②如图2所示，当顶角为钝角时，

由题意，N4DE=90°,NAED=40°,

ABAC=NAED+ZADE=90°+40°=130°；

故答案为：50。或130。.

图1图2

2.（23-24八年级下•四川成都•阶段练习）在U5c中，AB=AC,42的垂直平分线与/C所在的直线相交

所得的锐角为52。，则顶角//的大小为.

【答案】38。或142。

【知识点】等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余

【分析】本题考查线段垂直平分线的定义、直角三角形的两锐角互余，分为锐角和//为钝角两种情况,

根据题意画出图形，利用直角三角形的两锐角互余分别求解即可.

【详解】解：若/N为锐角，的垂直平分线交48于交/C于N,如图，

则N㈤W=52。，ZAMN=90°,

ZA=90°-ZANM=90°-52°=38°；

若//为钝角，48的垂直平分线交48于交/C延长线于N,如图,

N

A

芈j

B\C

则N/2W=52。，ZAMN=9QP,

：.2MAN=90°-ZANM=90°-52°=38°,

ABAC=180°-AMAN=180°-38°=142°,

综上，顶角-4的大小为38。或142。.

故答案为：38。或142。.

3.（23-24八年级上•湖北武汉•期中）若等腰三角形的两条高所在直线形成的角中有一个为45。，则其顶角的

度数为.

【答案】45。或90°或135。

【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用、等边对等角、等腰三角形的定义

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的有关概念，三角形的内角和定理，分三种情况讨论即可,

熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】分情况讨论：

①如图，AB=AC,NBFE=45°,

•••CE1AB,BD1AC,

：.ZBEC=ZADB=NBDC=90°,

ZABD=ZA=45°,即顶角为45。,

②如图，AB=AC,ABAD=45°,

A

B

DC

•••ADIBC,

:./ADB=/ADC=90°,

ABAD=NB=45°,

.•.ZS=ZC=45°,

ABAC=90°,即顶角为90。,

③如图，

同①理可得NPBN=NBAM=45°,

ABAC=135°,即顶角为135°,

综上可知：顶角度数为45。或90。或135。.

易错题型六等腰三角形中与新定义型问题结合没有分类讨论产生易错

例题：（23-24七年级下•上海普陀・期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么

这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于.

【答案】:或5

【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用

【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两

种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.

依题意，根据等腰三角形的性质，已知一条边长为6厘米，不明确具体名称，故可分情况讨论腰长的值，

还要依据三边关系验证能否组成三角形.

【详解】解：当腰为6厘米时，三边为6,6,4,能构成三角形；

当底为6厘米时，腰为5,5,能构成三角形，

所以这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于24=92或6

635

小田0工2-6

故答案为：§或

巩固训练

1.定义：在一个等腰三角形中，如果一个内角等于另一个内角的两倍，则称该三角形为“倍角等腰三角

形”.“倍角等腰三角形”的顶角度数是（）

A.90°B.45°或36°C.108°或90°D.90°或36°

【答案】D

【分析】设等腰三角形的顶角为x。，则底角为:（180。-苫。）=90。-；》。，分两种情况：当顶角为底角的2倍

时，当底角为顶角的2倍时，分别列出方程求出x的值即可.

【详解】解：设等腰三角形的顶角为尤°,则底角为，180。-》。）=90。-；/，

当顶角为底角的2倍时，x=2（90，；x1

解得：x=90；

当底角为顶角的2倍时，2x=90°-1x,

解得：x=36；

综上分析可知，“倍角等腰三角形”的顶角度数是90。或36。，故。正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是注意进行分类讨论.

2.（23-24九年级下•辽宁沈阳•期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成

两