中考数学专项复习：圆中的重要模型-圆中的全等三角形模型（含答案及解析）

圆中的重要模型•圆中的全等三角形模型

知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。

圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型。

模型1、切线长模型

图1图2

1）切线长模型（标准类）

条件：如图1,尸为口。外一点，PA,总是口。的切线，切点分别为aB。

结论：①AOAP三△OBP；@ZAOB+ZAPB=180°；③。尸垂直平分NB；

2）切线长模型（拓展类）

条件：如图2,AD,CD,8c是口。的切线，切点分别为4,E,B。

结论：①AAOD34EOD；②△8OC三△£OC；@AD+BC=DC；®ZDOC=90°；

例1.（2023•河北衡水•校联考二模）如图，将直尺、含60。的直角三角尺和量角器按如图摆放，60。角的顶

点/在直尺上读数为4,量角器与直尺的接触点8在直尺上的读数为7,量角器与直角三角尺的接触点为点

C.6D.64

例2.（2023秋•福建莆田•九年级统考期末）如图，已知PA,是圆O的两条切线，A,B为切点，线段OP

交圆。于点以.下列说法不正确的是（）

A.PA=PBB.OP±ABC.尸。平分/APBD.OM=MP

例3.（2023,广东汕头•校考一模）如图，PA为nO的切线，/为切点，过点/作ABLOP,垂足为点C,

交JO于点8,延长80与的延长线交于点。.⑴求证：尸8是口。的切线；（2）若08=3,00=5,求。尸

的长.

条件：0A,。2是⑪O的半径，OC=OD。结论：①A/1O。三△8。。；②）/\PADm4PBC；

例1.（2023・重庆九年级课时练习）如图，以。为圆心的两个圆中，大圆的半径。AOB分别交小圆于点C,

D,连结AB.CRARBC,下列选项中不一定正确的是（

C.AB=2CDD.AD=BC

例2.（2023秋•福建龙岩•九年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题.

［材料］自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在每

个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生.他通过查阅新

课标获悉：切线长定理由"选学"改为"必学"，并新增"会过圆外的一个点作圆的切线在学习完《切线的性

质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题："已知：如图，口。及:］。外一点P.求作：直线PM,使

与口。相切于点M”.班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接。尸，

以。为圆心，0P长为半径作大圆O；（2）若。尸交小圆。于点N,过点N作小圆O的切线与大圆。交于A,2

两点（点A在点B的上方）；（3）连接AO交小圆O于连接PM,则PM是小圆。的切线.

［问题］（1）请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保留

作图痕迹），并说明理由.（2）延长AO交大圆。于C,连接CN,若。4=2,OM=1,求CN的长.

例3.（2023秋•湖北•九年级统考期末）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹:

⑴如图1,」ABC与VADE是圆内接三角形，AB=AD,AE=AC,画出圆的一条直径.

⑵如图2,AB,CD是圆的两条弦，AB=C。且不相互平行，画出圆的一条直径.

模型3.蝴蝶模型

E

\D/

条件：OA,是口。的半径，ADLOE,EB±OAo

结论：①三△£08；②A4BDm&EDB；

例1.（2023秋,江苏南京•九年级校联考期末）在以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦A8交小圆于C,D

两点.（1）如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7,AB=24,则C£＞的长为.

（2）如图②，大圆的另一条弦E尸交小圆于G,H两点，若=E尸，求证CD=G〃.

E\

A

例2.（2023•河南洛阳・统考一模）I概念引入］

在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离,叫做这条弦的弦心距.

［概念理解］

图1图2图3

(1)如图1,在口。中，半径是5,弦AB=8,则这条弦的弦心距OC长为—.

⑵通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等.但

是小明想证明时却遇到了麻烦.请结合图2帮助小明完成证明过程如图2,在口。中，AB=CD,OMLAB,

ONVCD,求证：OM=ON.

［概念应用］如图3,在口。中AB=CD=16,nO的直径为20,且弦A8垂直于弦8于E,请应用上面得

出的结论求OE的长.

例3.(2022•江西•九年级统考期中)用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，分别作出图中/A03的平分线:

(1)如图1,403的两边与一圆切于点A,8,点M,N是优弧AB的三等分点；

(2)如图2,NZ03的两边与一圆交于,且AM=BN.

模型4.手拉手（旋转）模型

注意：圆中的手拉手模型一般是需要辅助线构造出来的（常用旋转或截长补短法）。

条件：口。是A4AD的外接圆，且^ADB=a,C为圆。上一点。

结论：①AADCmABDC'；②△OCC，是等腰三角形；

特别地，当a=60°时，CD=CA+CB-,当c=90°时，桓CD=CA+CB；

例1.（2023春•浙江•九年级阶段练习）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD=CD,AC为直径，若四边

形ABCD的面积是S,8。的长是x,贝！JS与x之间的数关系式是（）

［2

A.S=x2B.5=岳？C.S=-x2D.5=-x2

例2.（2022秋,江苏盐城•九年级统考期中）（1）如图1所示，等边三角形ABC内接于圆。，点P是劣弧3c

上任意一点（不与C重合），连接PA、PB、PC,求证：PB+PC=PA.

（2）［初步探索］小明同学思考如下：将绕点A顺时针旋转60。到口4。8,使点C与点B重合，可得P、

B、。三点在同一直线上，进而可以证明△APQ为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明的思

路，请你完成证明.若圆的半径为4,则PB+PC的最大值为

（3）类比迁移：如图2所示，等腰RtA4BC内接于圆O,/54C=90°,点P是弧3c上任一点（不与B、

C重合），连接尸4、PB、PC,若圆的半径为4,试求DPBC周长的最大值.

（4）拓展延伸：如图3所示，等腰RtZXABC,点/、B在圆。上，ABAC^90°,圆。的半径为4.连接OC,

试求OC的最小值.

例3.（2023•山东潍坊•统考一模）如图1,在。。中，弦平分圆周角乙R4C,我们将圆中以“为公共点的

三条弦£4,CA,D4构成的图形称为圆中"爪形弦BA,CA,D4称为“爪形/"的爪.

（1）如图2,四边形N8CO内接于圆，AB=BC,①证明：圆中存在"爪形。"；

②若。。C=120。，求证：AD+CD=BD

⑵如图3,四边形/BCD内接于圆，其中8/=8C,连接8D若4D1OC,止匕时"爪形。”的爪之间满足

怎样的数量关系，请直接写出结果.

课后专项训练

1.（2023秋•四川绵阳•九年级统考期末）如图，在口相。中，ZA=60°,BC=8,它的周长为22,若口。与

BC,AC,AB三边分别切于£,F,。三点，则。产的长为（）

A.6B.8C.4D.3

2.（2022秋・贵州黔西•九年级统考期末）如图，。。的半径为2月，PA,PB,CD分别切于点4B,E,

分别交融，于点C,D,且尸，E,。三点共线.若乙？=60。，则CD的长为（

A.4B.2^/3C.3百D.6

3.（2023春•山东九年级课时练习）如图，PA切口O于点4PB切口O于点BPO交口。于点C,下列结论

中不一定成立的是（）

A.PA=PBB.P。平分NAP8C.AB1OPD.APAB=2ZAPO

4.（2022秋•安徽淮南•九年级校考阶段练习）如图，点AB和C、。分别在以点。为圆心的两个同心圆上,

若ZAOB=NCOD,ZC=m°,则ZD=（）

3,

A.—m°B.m°C.-m,D.2m°

2

5.（2022春•广西•九年级专题练习）如图，48为圆。直径，尸点在圆上，£点为/尸中点，连接EO,作CO1EO

交圆。于点C,作CD1AB于点D,已知直径为10,OE=4,求OD的长度.

6.（2022春•江苏九年级期中）如图，已知PA,PB,EF分别切口。于点N,B,D,若P4=15an,贝U!PEF

的周长是cm.若/尸=36。，贝!.

7.（2023,陕西西安•校考模拟预测）如图，口。的半径为2,AB为圆上一动弦，以AB为边作正方形ABCD,

求OD的最大值___.

8.（2022•湖北黄冈•九年级专题练习）如图，。。的半径为5,弦/8=6,弦/C1弦AD,点尸为CD的中

点，若点。在圆上逆时针运动的路径长为^兀，则点P运动的路径长为—.

9.（2023春,江西南昌•九年级统考期末）如图，半圆。的直径AB=10cm,射线AM和BN是它的两条切线，

。点在射线AM上运动（且不与点/重合），£点在半圆。上，满足OE=AD,连接。E并延长交射线3N于

点C.⑴求证：C£>是半圆O的切线；（2）设A£>=xcm,BC=ycm.①写出y与x的关系式；

②若CD=10cm,求阴影部分的面积.

10.（2023春•北京西城•九年级校考开学考试）如图，线段A8为口。的直径，CB,8分别切口。于点B,

D,射线CO交的延长线于点E,C。的延长线交1O于点G,EFLOG于点、F.若08=3,DE=4.

⑴求证：=（2）求线段OF的长.

11.（2022年山东省济宁市创新联盟第五次中考模拟数学试题）如图1,直线/是过圆心。的一条直线，点

M,N是直线/上关于点。对称的两点.AB,CD是圆。的两条直径，其中NAOD=60。，过点4B,C,

。作圆。的切线ZN,BM,CN,DM.

■

图1图2

（1）求证：NAOO的角平分线垂直平分线段MN.⑵在若干个多边形组成的整体中，位于整体外侧的边的延长

线相交组成的边数最少的封闭多边形，其面积被称为该整体的延展面积.例如图2,虚线所示的矩形的面积

为两个小矩形所组成的整体的延展面积.则图1中，若NAO。可发生变化且不为60。，要使由四边形/NC。

和四边形BMDO组成的整体的延展面积与ZAOD=60°时的相同，求可能的度数.

12.（2023•陕西西安•九年级校考期末）如图，A8为圆O的弦，半径OC,OD分别交于点E,F.且

AC=DB-（1）求证：OE=OF.（2）作半径于点V,若AB=8,MN=2,求的长.

13.（2022•绵阳市,九年级专题练习）如图，已知圆。的直径A8垂直于弦CD于点£,连接CO并延长交ND

于点尸，且CF1/D（1）证明：点£是08的中点；（2）若/8=8,求CD的长.

14.（2023春•湖北武汉•九年级校考期中）如图，A,B,C,尸是圆上的四个点，ZAPB=ZAPC=30°.

（1）判断的形状，并证明你的结论.（2）若尸8=5,尸C=7,求力的长

15.（2023•河南商丘•统考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：

阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古

希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的.其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周

上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦.一个圆中一条由两长度不同的弦组成的

折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点.

如图和8c是口。的两条弦（即4BC是圆的一条折弦），BC>AB.M是弧ABC的中点，则从M向

所作垂线之垂足。是折弦ABC的中点，即CD=AB+3D.

小明认为可以利用“截长法"，如图2：在线段CB上从C点截取一段线段。V=AB,连接M4MB,MC,MN.

小丽认为可以利用“垂线法"，如图3：过点M作于点X,连接MAMB,MC

任务：⑴请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程,

（2）就图3证明：MC--MB1=BCAB.

16.（2023•广东东莞•校考模拟预测）已知在坐标系xOy内有一圆。（如图所示），。上有两点尸，Q,过这

两点作圆。的切线.⑴求证：NPNM+NPDQ=180。-NQMN.⑵若NP=QM,求证：点。在的垂直

平分线上.

圆中的重要模型•圆中的全等三角形模型

知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。

圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型。

模型1、切线长模型

图1图2

1）切线长模型（标准类）

条件：如图1,尸为口。外一点，PA,总是口。的切线，切点分别为aB。

结论：①AOAP三△OBP；@ZAOB+ZAPB=180°；③。尸垂直平分NB；

2）切线长模型（拓展类）

条件：如图2,AD,CD,8c是口。的切线，切点分别为4,E,B。

结论：①AAOD34EOD；②△8OC三△£OC；@AD+BC=DC；®ZDOC=90°；

例1.（2023•河北衡水•校联考二模）如图，将直尺、含60。的直角三角尺和量角器按如图摆放，60。角的顶

点/在直尺上读数为4,量角器与直尺的接触点8在直尺上的读数为7,量角器与直角三角尺的接触点为点

D.673

【答案】D

【分析】连接3,OB,OC,根据题意有：AB=7-4=3,ZG4B=120°,根据AC、AB是圆。的切线,

ZCAO=ZBAO=-ACAB=60°

可得AC=ABZABO=9Q°,证明AAOC^AAOB，可得2，即

OB=ABxtanABAO=373；问题得角军

【详解】连接04,OB,OC,如图,

根据题意有：皿=7-4=3,NGW=120。，...AC、AB是圆。的切线，AC=AB,ZABO=90°,

■,AO=AO,OC=OB,..AAOC^AAOB,

ZCAO=ZBAO=-ZCAB=60°………八、匚

2,...OB=A8xtanZa40=3j3,...量角器的直径是6J3,故选：D.

【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形等知识，明确题意，灵活运用切线的性质是

解答本题的关键.

例2.（2023秋•福建莆田•九年级统考期末）如图，己知尸A,P5是圆O的两条切线，A,B为切点，线段。尸

交圆。于点以.下列说法不正确的是（）

C.尸0平分/APBD.OM=MP

【答案】D

【分析】先根据HL证明ZWO乌△3尸°,然后利用等腰三角形三线合一、全等三角形性质对四个选项逐一

判断.

【详解】•；PA,PB是圆0的两条切线.•.041PAQB1PB

OB=OA

...[<9尸=OP...AAPO/△BPO（HL）...PB=PA,故A正确，不符题意；

；.ZAPO=NBPO,故c正确，不符题意；

...PA=P3,41PO=N3PO...在八针8中AB'OP,故B正确，不符题意；

若=连接.../05尸=90。，...0〃=3河=0瓦.口08"是等边三角形,

...ZBOM=60°,显然不一定成立，故D错误，符合题意；故选D

【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形三线合一、全等三角形判定与性质，掌握这些是本题关键.

例3.（2023•广东汕头•校考一模）如图，PA为nO的切线，/为切点，过点/作AB_LOP,垂足为点C,

交口。于点2,延长80与的延长线交于点。.

⑴求证：是口。的切线；⑵若03=3,OD=5,求。尸的长.

【答案】⑴见解析（2）10

【分析】（1）连接根据切线的性质得到N°W=90。，证明口尸耳。山，根据全等三角形的性质得

到=/。$=90。，根据切线的判定定理即可证得结论；

（2）先根据勾股定理求出AD,再求出PA,即可求解.

【详解】（1）证明：连接以，

'/ABYOP,OB=OA,:.ZBOP=ZAOP,是口。的切线，ZOAP=90°,

OB=OA

NBOP=ZAOP

在口0射与△OAP中,OP=OPAOBP^AOAP(SAS)

:.ZOBP=ZOAP=90°,:.OB1PB,QQ5是半径，.1PB是口。的切线;

(2)解：；8=5,OA=OB=3,

在RtQAOD中，AD=V0D2-OA2=>/52-32=4,

■：PA,尸8为口°的切线，..尸4=尸2,

在RtADBP中，PD2=PB-+BD-,即（PA+4）-=而+82,

解得PA=6,..DP=PA+AD=6+4=10.

【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应

用，切线长定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

模型2.燕尾模型

条件：OA,08是⑪O的半径，0C=0D。结论：®AA0C=AB0D；@APAD=APBC；

例1.（2023•重庆九年级课时练习）如图，以。为圆心的两个圆中，大圆的半径。AOB分别交小圆于点C,

D,连结4B,CD,AD,BC,下列选项中不一定正确的是（）

A.AC=BDB.AB//CDC.AB=2CDD.AD=BC

【答案】c

【分析】根据圆的基本性质，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质逐项分析即可.

【详解】解：由圆的基本性质可知：OA=OB,OC=OD,

.,OA-OC=OB-OD,即：AC=BD,故A正确；.•.口和口。钙均为等腰三角形,

.门。CD和口。45的顶角均为/AQB,

ZOCD=ZODC=-(l80°-ZAOB)ZOAB=/OBA=-(180°-ZAOB)

2.2

...ZOCD=ZOAB,...ABDCZ）；故B正确；

当8是口。4B的中位线时，满足AB=2CD,由于C、。不一定为。4、08的中点,

・•.A8不一定等于2CD,故c错误；

AC=BD

ZCAB=NDBA

在△ACB和ABDA中，.^ACB^BDA（SAS）：.AD=BC,故D正确；故选：C.

【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解圆的基本

性质，熟练运用等腰三角形的判定以及全等三角形的判定是解题关键.

例2.（2023秋•福建龙岩•九年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题.

［材料］自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在每

个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生.他通过查阅新

课标获悉：切线长定理由"选学"改为"必学"，并新增"会过圆外的一个点作圆的切线在学习完《切线的性

质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题："己知：如图，口。及口。外一点尸.求作：直线PM,使

与口。相切于点班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接。尸，

以。为圆心，0P长为半径作大圆O；（2）若。尸交小圆。于点N,过点N作小圆O的切线与大圆。交于48

两点（点A在点B的上方）；（3）连接A。交小圆。于“，连接PM,则PM是小圆。的切线.

［问题］（1）请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保留

作图痕迹），并说明理由.（2）延长AO交大圆。于C,连接CN,若。4=2,OM=1,求CV的长.

【答案】（1）作图方法正确；作图见解析；理由见解析（2）近

【分析】（1）作图方法正确，作出图形，如图所示，要证尸加是小圆。的切线，由图及“连半径、证垂直”

的方法，先根据条件判定△A°NgZXjP°"（SAS）,进而得到N/WO=NPMO=90。，即可确定尸

从而得证;

（2）连接3C,如图所示，在Rt&4CW中，ON==1,=2,利用勾股定理得到AN=-ON2=血,

再由垂径定理得到AN=BN=石，结合。4=℃,利用三角形中位线定理得到3C=2ON=2,在Rt^BCN

CN=4BN2+BC-=J（同+2?=布

中，由勾股定理可得。

【详解】（1）解：小岩同学所在的学生习小组提供的作图方法正确，如图所示：

以上即为所求作的图形；理由如下：

「是小圆。的切线，...ONLAB,...NANO=90。，

ON=OM

<NAON=ZPOM

在DAON和:]POM中，l0A=0P,AA4O^APOM（SAS）；

...ZANO=ZPMO=90°,PM1OM,

又OM为半径，.•.PM是小圆。的切线；

（2）解：连接8C,如图所示：

在RSON中，ON=OM=\,OA=2,...AN=qO4-ON。=6,

,■ONLAB,OP为圆的半径，:.AN=BN=6,

・：OA=OC,：.BC=2ON=2,•.•40为大圆0的直径，...川0=90。,

在Rt3N中，CNKBN'BC、/可+展昉.

【点睛】本题考查圆综合，涉及切线证明、两个三角形全等的判定与性质、勾股定理、垂径定理、三角形

中位线的判定与性质等知识，读懂题意，作出图形，熟练掌握切线判定、垂径定理及勾股定理的运用是解

决问题的关键.

例3.（2023秋,湖北•九年级统考期末）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹：

（1）如图1,口脑。与VADE是圆内接三角形，AB=AD,AE^AC,画出圆的一条直径.

（2）如图2,AB,8是圆的两条弦，=且不相互平行，画出圆的一条直径.

【答案】（1）见解析⑵见解析

【分析】（1）设8C、DE交于点G,连接AG,交圆于点F,即可作答；

（2）连接3C、AD,交于点F,延长胡、DC,两线交于点E,作直线石尸，交圆于点M、N,即可作答.

【详解】（1）如图，设3C、DE交于点G,连接&G并延长，交圆于点F,

线段AF即为所求;

证明：如图，BC、AE交于点Q,DE、&C交于点p,连接OB,交AF于点H,

A

F

•.AB=AD,AE=AC,.-.ZC^ZE,/ADE=/ABC,

,-,ZDAE=ZBAC,,-JDAE^BAC,-,BC=DE,

•；ZDAE=/BAC,NBAE=NDAC,

...AB=AD,ZADE=ZABC,.^DAP^QBAQ.AQ=AP

...AE=AC,..QE=PC..ZQGE=ZPGCfNC=ZE,

.JQGE^QPGC,QG=PG

••J，

.•.AG=AG，AQ=AP，•.•JQAG^PAG，•.•ZQAG=ZPAG，

...ZBAE=ZDAC,.../BAG=ZDAG,

AH=AH9AB=AD9...J3AH四口DAH,

...BH=DH,NAHB=NAHD=90°,

・•.”垂直平分弦。8,「.AT是圆的直径；

(2)如图，连接BC、AD,交于点F,延长加、DC,两线交于点E作直线后尸，交圆于点M、N,

注

/、

W

线段MN即为所求.证明方法同(1).

【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质等知识，掌握圆周角定理以

及垂径定理是解答本题的关键.

模型3.蝴蝶模型

条件：CM,。£是口。的半径，AD10E,EB±OA.

结论：®/\AOD^AEOB；②A4BDm&EDB；

例1.（2023秋・江苏南京•九年级校联考期末）在以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C,D

（2）如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G,H两点，若AB=E产，求证CD=G”.

【答案】⑴46（2）见解析

AH=-ABCH=-CD

【分析】（1）连接。A,℃,过。点作。”,.，则H为A8,CO的中点，得出2,2,

DM=-CD

根据勾股定理即可求出以》的长；（2）过。作作WEP,垂足分别为“、N,得出2,

HN=-GHAM=-ABEN=-EF

222连接。4、OE、OD、OH,通过证明RtQ。4MMMQOEN和

RQODM=RtQOHN,即可得证CD=GH.

【详解】（1）连接OC,过0点作则H为AB,8的中点,

AH=-AB=-x24=UCH=-CD

■-AB=24,...22,2

22222

.,OHLABf.OH=O^-AHfOH=OC-CH,

•.•-AH1^OC1-CH-，•-•132-122-72-CH2，

；.01=2巫，：.CD=2CH=4瓜,故答案为：4m

(2)过。作作ONLEF,垂足分别为叔、N,

DM=-CDHN=-GHAM=-ABEN=-EF

2,2,2,2,

X-.-AB=EF,,-.AM=EN,连接OA、OE、OD、OH,

\OA^OE

在RtaCMM和Rt」0£?V中，［AM=EN

■.RGOAM=RtQOEN,...OM=ON,

JOD=OH

在RtnODM和RtDQffiV中，1OM=ON,

■.RaODM=RlUOHN,-,OM=HN,：.CD=GH.

【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题

的关键.

例2.(2023•河南洛阳・统考一模)［概念引入］

在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距.

［概念理解］

(1)如图1,在:］。中，半径是5,弦AB=8,则这条弦的弦心距OC长为.

(2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等.但

是小明想证明时却遇到了麻烦.请结合图2帮助小明完成证明过程如图2,在口。中，AB=CD,OMLAB,

ONLCD,求证：OM=ON.

［概念应用］如图3,在口。中AB=CD=16,口。的直径为20,且弦A8垂直于弦。于E,请应用上面得

出的结论求OE的长.

【答案】⑴3；⑵证明见解析；EO=6^2

【分析】(1)根据垂径定理得出3C=4,然后再根据勾股定理求出结果即可；

(2)连接8°、OC,证明RtQBOM用RtQCON(HL),即可得出答案；

［概念应用］过点。作OG工CD交于G,过点。作。H交于H,连接DO,证明四边形GEHO是正方形,

得出GE=G。，根据垂径定理得出DG=8,根据勾股定理求出GO=Ji。?-82=6,最后求出结果即可.

【详解】(1)解：连接°8,•••COLAS,:.BC=ACfZBCO=90\

\*AB—85/.BC=4,*.*BO=5>:.CO=1t"-42=3,故答案为:3；

图1

(2)证明：连接80、OC,

•/OM±AB,BM=AM,Z.BMO=90°

QON工CD,:.CN=DN,NOVO=90°,

-.-AB=CD,:.BM=CN,vBO^CO,

RQBOM^RtQCOMHL)OM=ON.

图2

［概念应用］解：过点。作OG'CO交于G,过点。作WA6交于“，连接0°,

'：AB=CD^16,:.GO=OH,

•••AS±CD,.•.NGE"=90。，.•.四边形GEH。是正方形，.♦.GE=GO,

VCD=16,，r>G=8,•••口。的直径为20,

.-.GO=\/102-82=6,:.GE=GO=6,EO=6-J1

图3

【点睛】本题主要考查了垂径定理，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的

关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法和正方形的判定和性质.

例3.（2022•江西•九年级统考期中）用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，分别作出图中/A03的平分线：

（1）如图1,203的两边与一圆切于点48,点M,N是优弧AB的三等分点；

（2）如图2,403的两边与一圆交于,且AM=3N.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）利用点加、M是优弧AB的三等分点，连接⑷V,MB,其交点为P,即可得出答案;

（2）利用4〃=即，连接4V,MB,其交点为P,即可得出答案.

【详解】解：（1）射线°E即为所求，如图：

Si

证明：连接AF、BF,如图:

的两边与一圆切于点A,B.-.OA=OB

•・•点M,N是优弧AB的三等分点;AF=BF

'AF=BF

<OF=OF

...在口4。尸^BOF中1%=°B.JAOF^nBOF(SSS)

^OF=ZBOF...射线OE为/AOB的平分线；

(2)射线°E即为所求，如图：

证明：■,-ZMAP=ZNBP,ZAPM=ZBPN,AM=BN

JAMP^BNP(AAS)/AP=BPMP=NP

■,AP+NP=BP+MP^AN=BM

■■ZMAP^ZNBP,ZAON=NBOM

JAON^BOM(AAS),OA=OB

...OA-AM=OB-BN即OM=ON

.二尸。“却PON(SSS)./MOP=dop

•••射线OE为203的平分线.

【点睛】此题主要考查了复杂作图，涉及到的知识点有切线长定理、同弧或等弧所对的弦相等、全等三角

形的判定和性质、角平分线的定义、等式性质等知识点，利用角平分线的定义得出角平分线上的点P是解题

关键.

模型4.手拉手（旋转）模型

注意：圆中的手拉手模型一般是需要辅助线构造出来的（常用旋转或截长补短法）。

条件：口。是418。的外接圆，^.AD=BD,UDB=a,C为圆。上一点。

结论：®AADC=ABDC\②△OCC，是等腰三角形；

特别地，当a=60°时，CD=CA+CB；当cr=90°时，72CD=CA+CB；

例1.（2023春•浙江•九年级阶段练习）如图，在圆内接四边形A8CD中，AD=CD,AC为直径，若四边

形A5CD的面积是S,BD的长是无，贝不与尤之间的数关系式是（）

12

A.5=x2B.S=y/2x2C.S=-x2D.5=-x2

【答案】C

【分析】延长BA到E,使AE=CB,连接DE,先证明△n场9ADCWSAS),得到

四边形

BD=DE=x,SADAE=SADCB,ZADE=ZCDB再证明S诋。=S/XBDE,NBDE=NCDA=90°,最后得到

&_1_12

D四边形ABCD一、XBDE~~X'X~~X

【详解】解：如图，延长54到石，使A£=CB,连接DE,

•.•四边形ABCD是圆内接四边形，皿3+〃四=180。=皿3+血虚，:./DAE二/DCB,

AD=CD

<ZDAE=ZDCB

在口加石和△。口中，［AE=CB...ADAE-ADCB(SAS),

BD-DE=x,SWAE—SWCB，乙6E=Z.CDB

：,S4DAE+^/XABD=S4DCB+^/\ABD,ZADE+ZADB=NCDB+AADB

即%边鹿BcLg皿，NBDE=NCDA=90°,，防wwe=$△皿=,故选：仁

【点睛】本题考查圆的内接四边形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形.

例2.（2022秋•江苏盐城•九年级统考期中）（1）如图1所示，等边三角形ABC内接于圆。，点P是劣弧8c

上任意一点（不与C重合），连接PA、PB、PC,求证：PB+PC=PA.

图1

（2）［初步探索］小明同学思考如下：将△APC绕点A顺时针旋转60°到口AQB，使点C与点B重合，可得P、

B、。三点在同一直线上，进而可以证明△APQ为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明的思

路，请你完成证明.若圆的半径为4,则PB+PC的最大值为.

（3）类比迁移：如图2所示，等腰RtZkABC内接于圆O,/54C=90。，点P是弧3C上任一点（不与B、

C重合），连接PA、PB、PC,若圆的半径为4,试求DPBC周长的最大值.

A

(4)拓展延伸：如图3所示，等腰Rt^ABC,点4B在圆。上，ZBAC=90°,圆。的半径为4连接OC,

试求OC的最小值.

【答案】(1)见解析；(2)8:(3)80+8；(4)40-4

［分析］(1)由旋转得AQ=AP,QB=PCZABQ=ZACP则NA2Q+NABP=NACP+NABP=180。，

所以P、B、0三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则尸B+=+==

(2)当尸A是□°的直径时，抬=8,此时PA的值最大，所以P3+PC的最大值是8；

(3)先由/3AC=90。证明8C是口。的直径，且圆心°在BC上，则OB=℃=4,BC=8,再证明P、B、

。三点在同一条直线上，则尸8+尸0=尸8+08=p0=夜丛，当尸A是口°的直径时，PA=8,此时PA的

值最大，则PB+PC=80,即可求得nPBC周长的最大值是80+8；

(4)连接OA,将线段绕点A逆时针旋转90。到AE,连接OE,先求得OE=4&,再连接EC、OB,

证明IE4c三口。止，得EC=OB=4,所以OC+4240,则OC24及-4,所以OC的最小值为4近一4.

【详解】(1)证明：由旋转得AQ=4尸，QB=PC,^Q=^APCtZABQ=ZACPt

ZACP+ZABP=180°,NABQ+NABP=180°

••)、B、。三点在同一条直线上，:-PB+PC=PB+QB=PQ,

•••□ABC是等边三角形，.•./APC=/ABC=60。，

;.NQ=60。，.•.△APQ是等边三角形，；./＞。=抬，-,PB+PC=PA.

(2)是口°的弦，且口°的半径为4,

■:当PA经过圆心°,即尸A是口°的直径时，丛=8,此时尸A的值最大,

•L+PC的最大值是8,故答案为：8.

⑶［类比迁移］解：如图2,•••AB=AC,ZBAC=90°,

将△APC绕点A顺时针旋转90。到nAQB,使点C与点B重合，则QA=P4,QB=PCtZABQ=ZACP

ZACP+ZABP=180°,NABQ+ZABP=180°,

：P、B、Q三点在同一条直线上，

...ZPAQ=90°PB+PC=PB+QB=PQ=JPA2+。解=也PA1=及PA

•••当尸A经过圆心。,即尸4是口°的直径时，丛=8,此时出的值最大，

.•.尸3+PC=8&，...PB+PC的最大值是80,

PB+PC+BC=8y/2+8,.,.△PBC周长的最大值是8及+8.

(4)［拓展延伸］解：如图3,连接以，将线段4°绕点A逆时针旋转90。到AE,连接

E

-：EA=OA=4,ZOAE=90°,OE=V<9A2+EA2=742+42=472,

连接EC、OB,ABAC=90°,Z.EAC=ZO4B=90°-ZQ4C,

TAC=AB,।OAB（SAS）,；.EC=OB=4,

OC+ECNOE,OC+4>4A/21OC>4,\/2—4,.:。（7的最小值为4'\/^'—4.

【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、

勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

例3.（2023,山东潍坊•统考一模）如图1,在。。中，弦/。平分圆周角NA4C,我们将圆中以/为公共点的

三条弦BA,CA,N构成的图形称为圆中"爪形N",弦34CA,称为"爪形的爪.

（1）如图2,四边形48CD内接于圆，AB=BC,①证明：圆中存在"爪形。"；

②若4。。=120。，求证：AD+CD=BD

（2）如图3,四边形/BCD内接于圆，其中A4=8C,连接8D若4D1OC,止匕时"爪形的爪之间满足

怎样的数量关系，请直接写出结果.

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AD+CD=0BD

【分析】（1）①由圆周角性质得出NADB=NCDB,即可得出结论；②延长DC至点E,使得CE=AD,连接

BE,由全等三角形判定可得4BAD三ABCE,由等边三角形的判定得4BDE为等边三角形即可得出结论；（2）

延长DC至点E,使得CE=AD,连接BE,由全等三角形判定可得ABAD三ABCE,易判断4BDE为为等腰直角

三角形即可得出结论.

【详解】（1）①证：-.^6=66）.-.ZADB=ZCDB,

・•・DB平分圆周角NADC,.•.圆中存在"爪形D"；

②延长DC至点E,使得CE=AD,连接BE,

•■•ZA+ZDCB=18O°ZECB