2024年中考数学真题专题分类汇编专题13 二次函数的综合题（原卷版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）

专题13二次函数的综合题

一、选择题

2

1.（2024四川泸州）已知二次函数yax2a3xa1（x是自变量）的图象经过第一、二、

四象限，则实数a的取值范围为（）

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A.1aB.0a

82

93

C.0aD.1a

82

n1

2.（2024四川自贡）一次函数yx2n4，二次函数yx2(n1)x3，反比例函数y

x

在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（）

A.n1B.n2C.1n1D.1n2

二、填空题

1.（2024甘肃威武）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2

是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关

系y0.02x20.3x1.6的图象，点B6，2.68在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货

车截面看作长CD4m，高DE1.8m的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填“能”

或“不能”）．

7

2.（2024广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球沿

4

一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则

OM______m．

1

3.（2024四川德阳）如图，抛物线yax2bxc的顶点A的坐标为,n，与x轴的一个交点

3

位于0和1之间，则以下结论：①abc0；②5b2c0；③若抛物线经过点6,y1,5,y2，

2

则y1y2；④若关于x的一元二次方程axbxc4无实数根，则n4．其中正确结论是______

（请填写序号）．

三、解答题

1.（2024甘肃临夏）在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴交于A1,0，B3,0

两点，与y轴交于点C，作直线BC．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQBC，垂足为Q，请问线段PQ

是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．

（3）如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线BC下方），已知

MN2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．

2

2.（2024甘肃威武）如图1，抛物线yaxhk交x轴于O，A4,0两点，顶点为B2,23．点

C为OB的中点．

（1）求抛物线ya(xh)2k的表达式；

（2）过点C作CHOA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．

（3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．

①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；

②如图3，连接BD，BF，求BDBF的最小值．

3.（2024深圳）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并

分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择

不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD读数为y，抛物线的顶点为C．

（1）（Ⅰ）列表：

①②③④⑤⑥

x023456

y012.2546.259

（Ⅱ）描点：请将表格中的x,y描在图2中；

（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；

2

（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线yaxhk的顶点为C，该数学兴趣小组用

水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且ABm，CDn，为了求出该抛物线

的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：

2

方案一：将二次函数yaxhk平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式

为yax2．

①此时点B的坐标为________；

②将点B坐标代入yax2中，解得a________；（用含m，n的式子表示）

方案二：设C点坐标为h,k

①此时点B的坐标为________；

2

②将点B坐标代入yaxhk中解得a________；（用含m，n的式子表示）

（3）【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB4，且AB∥x轴，二次函

数2和2都经过，两点，且和的顶点，距线

C1:y12xhkC2:y2axhbABC1C2PQ

段AB的距离之和为10，求a的值．

4.（2024贵州省）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不

低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．

销售单价x/元…1214161820…

销售量y/盒…5652484440…

（1）求y与x的函数表达式；

（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？

（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该

种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．

5.（2024武汉市）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火

箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直

线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直

1

于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线yax2x和直线yxb．其

2

中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．

（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km．

①直接写出a，b的值；

②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．

（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．

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6.（2024武汉市）抛物线yx2x交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C．

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（1）直接写出点A，B，C的坐标；

（2）如图（1），连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q．若

BC平分线段PQ，求点P的坐标；

（3）如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在

x轴下方），线段DE交抛物线于另一点G，连接FG．若EGF90，求直线DE的解析式．

7.（2024湖北省）如图1，二次函数yx2bx3交x轴于A1,0和B，交y轴于C．

（1）求b的值．

（2）M为函数图象上一点，满足MABACO，求M点的横坐标．

（3）如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为L,L与y轴交于点D，记DC=d，记L顶

点横坐标为n．

①求d与n的函数解析式．

②记L与x轴围