中考数学专项训练《相似三角形》模型分析（含答案及解析）

相似三角形模型大全

一、相似三角形判定的基本模型认识

（一）A字型、反A字型（斜A字型）

（平行）

（二）8字型、反8字型

A

C

（蝴蝶型）

（平行）（不平行）

（三）母子型

1

（四）一线三等角型:

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

（五）一线三直角型:

（六）双垂型:

2

二、相似三角形判定的变化模型

旋转型：由A字型旋转得到。。78字型拓展

「AA

8(共享性§C

一线三等角的变形

'E一d一线三直角的变形

3

第二部分相似三角形典型例题讲解

母子型相似三角形

例1：如图，梯形ABCD中，AD//BC,对角线AC、BD交于点。，BE〃CD交C4延长线于E.

求证：OC2=OA-OE.

E

BC

例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线A。上,ZDEB=NABC.

求证：(1)DB2=DE•DA；(2)ZDCE=ZDAC.B

A

AC

4

例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC,AO_1_BC于。，CG//AB,BG分别交AD、AC于E、F.

求证：BE2=EF-EG.

相关练习：

1、如图，已知为△ABC的角平分线，EF为/W的垂直平分线.求证：FD2=FB-FC.

2、已知：AD是RtZ^ABC中NA的平分线，ZC=90°,EF是AD的垂直平分线交AD于M,EF、BC的延长线

交于一点N。

求证：(l)AAME^ANMD;(2)ND2=NC•NB

A

5

3、已知：如图，在AABC中，ZACB=90°,CD_LAB于D,E是AC上一点，CF_LBE于F。

求证：EB•DF=AE•DB

4.在A48C中，AB=AC,高AD与BE交于H,EFLBC,垂足为F,延长AD到G,使DG=EF,M是AH的中点。

求证：ZGBM=90°

5.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）

己知：如图，在中，Z（=9Q°,BC=2,AC=4,P是斜边45上的一个动点，PD1AB,交边47

于点。（点2与点/、C都不重合），£是射线加上一点，且/9%设4

户两点的距离为x,△戚的面积为y.

（第25题图）

(1)求证：AE=2PE；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;

(3)当△期与相似时，求△应P的面积.

双垂型

1、如图，在AABC中，ZA=60°,BD、CE分别是AC、AB上的高

求证：(1)AABD^AACE；(2)AADE^AABC；(3)BC=2ED

2、如图，已知锐角△ABC,AD、CE分另lj是BC、AB边上的高，Z^ABC和4BDE的面积分别是27和3,DE=6行,

求：点B到直线AC的距离。

7

共享型相似三角形

1、ZiABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上，NDAE」20°,已知BD=1,CE=3,,求等边三角形的边

长.

2、已知：如图，在RtZkABC中，AB=ACfZDAE=45°.

8

2

求证：(1)AABES^ACD；(2)BC=2BE-CD.

一线三等角型相似三角形

例1：如图，等边△ABC中，边长为6,。是BC上动点，ZEDF=60°

(1)求证：△BDEs^CFD

(2)当BO=1,FC=3时，求BE

例2：(D在A4BC中，AB=AC=5,BC=8,点尸、0分别在射线C8、ZC上(点尸不与点。、

点8重合)，且保持NZPQ=NN8C.

①若点尸在线段C8上(如图)，且8尸=6,求线段C。的长;

9

②若BP=x,CQ=y,求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域;

(2)正方形48co的边长为5(如下图)，点尸、0分别在直缱CB、DCh(点尸不与点。、点8重

合)，且保持N4PQ=90°.当C0=1时，求出线段AP的长.

例3：已知在梯形ABCD中，AD//BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.

(1)如图8,P为4D上的一点，满足NBPC=/4

①求证；AABPS^DPC

②求AP的长.

(2)如果点P在4D边上移动(点P与点4、。不重合)，且满足N8PE=/4PE交直线BC于点

E,同时交直线0C于点Q,那么

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①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定

义域；

②当CE=1时，写出4P的长.

例4：如图，在梯形48CD中，AD//BC,AB=CD=BC=6,40=3.点M为边8C的中点，以

M为顶点作NEMF=NB,射线"E交腰28于点E,射线"F交腰CD于点/，联结EF.

(1)求证：AMEFsABEM；

(2)若△8EM是以8/为腰的等腰三角形，求EE的长；

(3)若EF_LCD,求BE的长.

BM

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相关练习:

1、如图，在^ABC中，AB=AC=8,BC=10,。是8C边上的一个动点，点E在/C边上，且

NADE=ZC.

(1)求证：AABDSADCE；A

(2)如果8D=x,AE=y,求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域；//\

(3)当点。是的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由.//\F

BDC

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2、如图，已知在△ABC中，AB=AC=6,BC=5,D是AB上一点，BD=2,E是BC上一动点，联结0E,并

作NDEF=Z5,射线EF交线段AC于F.

(1)求证：ADBES/\ECF；(2)当F是线段AC中点时，求线段BE的长;

(3)联结DF,如果△口£「与△D8E相似，求FC的长.

3、已知在梯形ABCO中，AD//BC,AD<BC,且BC=6,AB=DC=4,点E是AB的中点.

(1)如图，P为BC上的一点，且BP=2.求证：ABEPs^CPD；

(2)如果点P在BC边上移动(点P与点B、C不重合)，且满足NEPF=NC,PF交直线CD于点F,同

时交直线A。于点/W，那么

①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x,DF=y,求y关于X的函数解析式，并写出函数的定

义域；

(第25题图)(备用图)

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4、如图，已知边长为3的等边AABC,点E在边BC上，CR=1,点E是射线R4上一动点，以线段防

为边向右侧作等边皿8，直线EG,EG交直线/c于点",N,

(1)写出图中与A8EE相似的三角形；

(2)证明其中一对三角形相似；

(3)设BE=x,MN=y,求y与》之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;

(4)若/E=l,试求的面积.

备用图

一线三直角型相似三角形

例1、已知矩形ABCD中，CD=2,AD=3,点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作尸E_LCP,

交边AB于点E,设尸£>=x,/E=y,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。

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A02

例2、在A48C中，NC=90°,/C=4,8C=3,。是AB上的一点，且工1=,点P是AC上的一个动

点，尸0,00交线段BC于点Q,(不与点B,C重合)，设4P=x,CQ=y,试求y关于X的函数关系,

并写出定义域。

【练习1]

3

在直角AA8C中，NC=90°,45=5,tan8=—，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF1DE

交射线AC于点F

⑴、求AC和BC的长

(2)、当EE〃8C时，求BE的长。

(3)、连结EF,当AO所和A48C相似时，求BE的长。

【练习2】

在直角三角形ABC中，NC=90°,Z8=5C,。是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，(与A,C

不重合)，DF1。瓦。厂与射线BC相交于点F.

⑴、当点D是边AB的中点时，求证：DE=DF

⑵、当W2=掰，求的值

DBDF

4D1

(3)、当/C=3C=6,­=彳，设=歹=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域

UB2

3

【练习31