重庆市某中学2024-2025学年高三年级上册12月初数学测试卷（含答案）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求.

1.已知等差数列｛""｝的前〃项和为若。2+%+。6=6,则邑=()

A.7B.14C.21D.42

2.已知复数2=匕，则以如―z2025|=()

1+i11

A.2B.72C.1D.0

3.已知直线4:+2y+3=0和4：x+(a—1)y+1=0,贝！j"a=2"是"/J/"”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知圆C：x2+y2=4,直线L：y=kx+m,则当左的值发生变化时，直线被圆。所截的弦长的最小

值为2,则机的取值为()

A.±2B.+72C.±73D.±3

5.已知椭圆左、右焦点分别为《，用，其右顶点为4若椭圆上一点尸，使得/尸片❷=15°,=75。，

则椭圆的离心率为()

A.-B.@C.叵D.在

2233

22

6.已知双曲线。：亍-=1的左、右焦点分别为片、歹2,过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点,

若忻刈=2国同，则|AB|=()

A.4A/7B.277C.4后D.4

7.已知抛物线C：>2=4X的焦点为F，直线y=g(x+l)与C交于A,8两点，贝I]|/刊+怛M=()

A.18B.16C.6D.4

8.设无穷等差数列｛4｝的公差为d,集合T=,f=sinq”〃eN*｝.则()

A.T不可能有无数个元素

B.当且仅当d=O时，T只有1个元素

C.当了只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为L

2

2兀

D.当d=—次22,左eN*时，T最多有女个元素，且这左个元素的和为0

k

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.在数列｛。“｝和也｝中，q=4=l,a“+]-a“=〃+l,痣二■一J£=1,〃GN*,下列说法正确的有（）

("+1)(”+2)

A.b”=IB-%

2

De1<-

C.36是｛4｝与也｝的公共项-ibM-aM

10.已知椭圆上+y2=i,不经过原点。、斜率为左的直线/与椭圆相交于A,8两点，4为线段的

4

中点.下列结论正确的是（）

A.直线AB与垂直

B.若点M坐标为,则直线/方程为x+2y—2=0

£2

c.若直线/方程y=x+i,则点/坐标为

3'3

若直线/方程为y=x+2,则|人同=警

D.

11.已知直线/经过点A（T,—2）,曲线。：（f+）?）2=4（x+y）2,下列说法正确的（）

17

A.当直线/与曲线。有2个公共点时，直线/斜率的取值范围为（-,，w）U｛l｝

B.当直线/与曲线。有奇数个公共点时，直线/斜率的取值共有4个

711

c.当直线/与曲线。有4个公共点时，直线/斜率的取值范围为（行，5）u（a，i）

D.存在定点。，使得过。的任意直线与曲线Q的公共点的个数都不可能为2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.过抛物线C：V=4x焦点产的直线交抛物线于A,B两点,若点A在第一象限，且恒司=3|EB|,则

直线AB的倾斜角为.

13.已知圆。：好+/=4,直线/：nu+y—m―1=0,直线/被圆C截得的最短弦长为.

14.椭圆C：3+y2=1的左右焦点分别为《、尸2,点M为其上的动点.当/片河片为钝角时，点M的横

坐标的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆C的半径为1,圆心既在直线y=2x—4上又在直线>=彳-1上.

(1)求圆c的标准方程

(2)过点4(2,0)作圆C的切线，求切线方程.

16.已知双曲线C：——丁2=。2(。>0)与椭圆,+3=1有相同的焦点.

(1)求双曲线。的方程；

(2)以p(l,2)为中点作双曲线c的一条弦AB，求弦所在直线的方程.

17.某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队

需要了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响.结合近12年的年研发

资金投入量x和年销售额y,该团队建立了两个函数模型：①丫二夕+月^,②》二一日，其中以/均

为常数，e为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令

%=lny(i=L2,…,12),计算得到如下数据.

AjV亿元

80.

75■:

70-

65­,

60■

OT1015202530

121212

S(x-y)2

Xy

Z=1i=\i=l

206677020014

121212

E(^-v)2

uVz(%一筋)(%—方

Z=1Z=1Z=1

4604.203125000030821500

(1)设变量”和变量，的样本相关系数为"，变量X和变量V的样本相关系数为4,请从样本相关系数的

角度，选择一个y与*相关性较强的模型.

(2)(i)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的经验回归方程(系数精确到o.oi)；

(ii)若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量.

i=l

附：780»8,9443,e4-3820»80;样本相关系数厂=；经验回归方程$=6+%,

可苣5-寸

Vi=li=l

。£（%-可（%-刃-

其中b=~^—^-------，&=y-bx.

£（受-可2

Z=1

22

18.已知椭圆。：.+方=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为耳卜6,0)、月(、6刀)，左顶点为

4点P、。为C上关于坐标原点。对称的两点，且忸。|=闺月|，且四边形咫。鸟的面积为g/.

(1)求椭圆C标准方程；

(2)若斜率不为。的直线/过椭圆C的右焦点F?且与椭圆C交于G、”两点，直线AG、AH与直线x=4

分别交于点M、N.求证：M、N两点的纵坐标之积为定值.

19.已知函数/(x)=e*+i+ox2—ax-Z?(a,Z?wR).

(1)若曲线y=/(x)和直线丁=一公一6相切，求。的值；

(2)若存在两个不同a,使得了(%)的最小值为0,求证：0<b<e.

重庆南开中学高2025级高三(上)数学测试(12.1)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求.

1.

【答案】B

2.

【答案】B

3.

【答案】A

4.

【答案】C

5.

【答案】B

6.

【答案】A

7.

【答案】B

8.

【答案】D

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.

【答案】ACD

10.

【答案】BD

11.

【答案】ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.

71

【答案】-##60°

3

13.【答案】2行

14.

【答案】一+，+

[33J

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.

【分析】（1）由圆心既在直线y=2x-4上又在直线y=x-1上，所以条直线的交点即为圆心.（2）分别讨

论斜率存在和不存在时两种情况，再利用相切时点到直线的距离等于半径即可.

y=2x-4ix=3

【详解】⑴联立4।，得力则圆C的圆C坐标为（3,2）.

y=x-l[y=2

因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为：（x—3）2+（y—2）2=1.

（2）如果左不存在，则方程为x=2,是圆的切线；如果斜率存在，设切线方程为：y=k{x-2）,即

,\k-2\।3

kx-y-2k=0.运用距离公式d=c—=1，解得上=—.方程为3x+4y—12=0.

yjk2+l4

综上所述切线方程为：％=2和3%-4、-6=0.

16.

【解析】

【分析】

（1）根据椭圆的方程和题意，得到双曲线C的焦点坐标，求出c=2,再由等轴双曲线的性质，以及

°2="+廿，即可求出结果;

（2）先讨论所在直线斜率不存在时，根据题意，可直接排除；再讨论所在直线斜率存在时，联立

直线与双曲线方程，根据韦达定理，以及中点坐标公式，即可求出结果.

22

【详解】（1）由已知椭圆上+乙=1

84

得双曲线C的焦点为月（—2,0）,鸟（2,0）,即c=2,

由等轴双曲线的性质a=匕及c?=4+^,

则a=及

所求双曲线C的方程为V—V=2

（2）当所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可为P（l,2）,

故此时不满足题意;

当AB所在直线斜率存在时，设AB所在直线的方程为y=kx+m,

y=kx+m2

联立方程组《得（1—42卜2-2kmx-^m+2）=0

x2一丁2=2c

2km

=2①

1-1-k2

点P（l,2）在AB所在的直线＞=区+加上，即2=左+加②.

13

联立①②两式，解得k=二,m=x，

22

经检验，直线方程x-2y+3=0即为所求.

17.

【解析】

【分析】（1）分别将表中数据代入相关系数公式求出厂，比较大小即可判断;

（2）（i）由＞=/+,取对数，换元得v=f+Xx,由表中数据分别求几和，，得经验回归方程

v=0.02X+3,84-利用指数式和对数式的互化，即得》=e°g+3.84；

（ii）将y=80代入回归方程，利用题设条件，即可预测下一年的研发资金投入量.

【小问1详解】

2（%一”）（％一9）

2150021500

由题意知彳=I、'」12=0.86,

口（4-江）苣（X-寸73125000x20025000

Vi=ii=i

12

可（匕-"）

1414

In'«0.91.

154

\£（七一元）2£（匕一"）2V770x0.308

V«=11=1

因为0.86＜。91,所以用＜同，

故从样本相关系数的角度，模型y=e'K‘中V与X的相关性较强.

【小问2详解】

(i)由>=-*+',得lny=/+2x,即丫=»+忒.

„fa-可(匕-羽)

因A=1=1-----------------=------«0.02,,

匕_、2770

；=1

-14

所以/="—/I元=4.20-------x20»3.84,

770

故v关于x的经验回归方程为V=0,02X+3.84，即

]ny=0.02x+3.84，所以夕=e002v+3-84.

（ii）将y=80代入$=e°g+3-“得gQ=e0.02x+3.84.

e4-3820«80,故得0.02x+3.84=4.382,解得x=27.1,

故预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元.

18.

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的定义与勾股定理列式求解a,4c即可得椭圆方程;

（2）直线与椭圆相交确定交点坐标关系，根据坐标运算即可得结论.

【小问1详解】

因为点尸，。为C上关于坐标原点。对称的两点，且忸。=山月|,所以四边形尸耳。鸟为矩形,

又|尸Q|=|耳7讣所以尸耳,尸巳

}PF^\PF^=2a

所以S矩形网凿=10片"尸闾’由椭圆定义与勾股定理知＜

」P耳「+|P8「=如

所以归耳卜归闾所以尸=（一打所以会合

=2%92=22«2

又C=A/§*，解得a=2.

所以廿=々2—°2=1,故椭圆C的标准方程为—+/=1.

4

【小问2详解】

因为乙(6,0),所以可设直线/的方程为x=+百.

x=my+A/3

联立方程组|必

消去尤化简并整理得(m2+4)/+20ny-1=0.

-1

设Gl%(,%)，H(4，%)，可得%+%=—;——,=

m+4m2+4

因为4(-2,oy所以直线AG的方程为.

y=」(*+2)

设点M、N的纵坐标分别为,yN,令x=4,可得j7，同理可得＞N=一^.

X]i-Z*2十乙

_36yly2「___________36%/_________

所以(xj+2)(x2+2)(州+2+7§'),%+2+君)

=_____________36%%_____________

机~%+(2+6)冽(%+%)+(2+君)

=3673-63.

所以M、N两点的纵坐标之积为定值.

19.

【解析】

【分析】(1)设切点为/GJ)，结合导数的几何意义可得。刊+2axi=0,结合题设可得eM+依；=0,

进而求解即可；

6%+1

(2)求出导数后，分。=0、。＜0与。＞0讨论函数的调性后，构造函数g(x)=、----结合导数可得

12%

(x；3xo+])e"°M

存在两个不同的。,使得/(九)的最小值为0等价于存在两个不同的X。，使得6=再

l—2x°

x2-3x+l)eA+1利用导数研究其单调性后即可得证.

构造函数"(x)=

1-2%

【小问1详解】

由f(x)=ex+1+ax2-ax-b,则/'(x)=ex+1+lax-a,

设切点为(*1则/'(芯)=6"+2%—a=-a,即e』"+2ax1=0,

又e'1+1+ax；—a%—b=—ctx1—b,即e*+l+ax；=0,

则axf=2axi,解得％=0或%=2,

JC1+1

当为=。时，e+2ax1=e^0,不符合题意，舍去;

3

当玉=2时，由e""i+2〃否=。3+4〃=0,即〃=一(_

3

综上所述，a=-—e.

4

【小问2详解】

证明：由/(x)=e"+i+公2一改一人，则/'(%)=©*+1+2以一〃，

令//(x)=ex+1-\-2ax-a,则/J(x)=ex+1+2a,

当〃=。时，r(%)=ex+1>0,/(x)单调递增，没有最小值，不满足题意;

当avO时,考虑％<0这一侧，</(x)<e+ax2+|Z?|,

则当X=_J—网—e时,f(x)<o,不满足题意；

Va

当a>0时，/(％)>