中考数学专项复习：圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型（含答案及解析）

园中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、

婆罗摩笈多（定理）模型

圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模

型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方

便掌握。

模型1.阿基米德折弦模型

【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。

如图1所示，48和BC是。。的两条弦（即42C是圆的一条折弦），BOAB,M是4BC的中点，则从M向

8C所作垂线之垂足。是折弦4BC的中点，即CD=AB+BD.

常见证明的方法:

1）补短法：如图2,如图，延长D2至尸，使BF=B4；

2）截长法：如图3,在CD上截取DG=DB；

3）垂线法：如图4,作射线48,垂足为〃。

例1.（2023・广东・统考一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦.阿基米德折弦

定理：如图1,AB和BC组成圆的折弦，AB>BC,M是弧ABC的中点，MF1AB于F,则AF=FB+BC.

如图2,AABC中，NABC=60。，AB=8,BC=6,D是AB上一点，BD=1,作DE1AB交AABC的外接圆于E,

连接EA,则4EAC=°.

国132

例2.（2023•浙江温州•九年级校考阶段练习）阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿

基米德折弦定理.如图2,已知8c为的直径，月B为一条弦点M是48C上的点，MD1BC

于点D,延长"D交弦48于点E,连接若BM=&,AB=4,则/£的长为（）

例3.（2023上•河南周口・九年级校考期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1,N8和3c是。。的两条

弦（即折线/5C是弦。。的一条折弦），BOAB,M是弧/3C的中点，则从M向所作垂线的垂足。

是折弦A8C的中点，即。。=/8+衣0,下面是运用"截长法"证明CD=AB+AD的部分证明过程-

证明：如图2,在C2上截取CG=/5,连接MB,MC和MG.

是弧/5C的中点，

MA=MC,

图4

⑵实践应用：如图3,“8C内接于。（9,BC>AB>AC,。是弧的中点，DELBC于点、E,依据阿

基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为.

⑶如图4,等腰”8C内接于。。，AB=AC,。为弧上一点，连接D5,ZACD=45a,AC=6,BC=4,

求△ADC的周长.

例4.（2023•江苏•九年级假期作业）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1,和8c是。。的两条弦（即

折线是圆的一条折弦），BC>AB,M是Z5C的中点，则从“向8C所作垂线的垂足。是折弦N3C的

是age的中点，：-MA=MC

请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分;

实践应用：（2）如图3,已知AZBC内接于。。，BC>AB>AC,。是/CS的中点，依据阿基米德折弦定

理可得图中某三条线段的等量关系为.

（3）如图4,已知等腰“8C内接于OO,AB=AC,D为4B上一点,连接。8,4CD=45。，于

点、E,ABZ）C的周长为4G+2，BC=2,请求出NC的长.

例5.（2023•河南商丘・统考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：

阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古

希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的.其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周

上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦.一个圆中一条由两长度不同的弦组成的

折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点.

如图1,48和2c是。。的两条弦（即4BC是圆的一条折弦），8c是弧Z8C的中点，则从M向8c

所作垂线之垂足。是折弦/2C的中点，即CD=/B+B。.

小明认为可以利用“截长法"，如图2：在线段C2上从C点截取一段线段CN=AB,连接.

小丽认为可以利用“垂线法"，如图3：过点M作于点凡连接7k砥7k必gC

任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程,

⑵就图3证明：MC2-MB2=BC-AB.

模型2.婆罗摩笈多(定理)模型

【模型解读】婆罗摩笈多(Brahmagupta)是七世纪时的印度数学家。

婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形的对角线互相垂直相交,那么从交点向某一边所引垂线的反向延

长线必经过这条边对边的中点。

如图1,N5CD为圆内接四边形，对角线/C和2D垂直相交，交点为过点E作2c的垂线所，延长EE

与4D交于点G；则点G是4D的中点。

如图2,所示已知等腰Rt^ABC和等腰Rt^AED,作BHHAE交AG的延长线于点H,(1)(2)

若4F1CD,则G为2E中点。

2、如图3,已知等腰用442。和等腰用A4ED,在4F的延长线取点〃，使得4F=FH；(1)SAACD=S^B£；

(2)若尸为CD中点，则/GLBE。

例1.（2023•浙江•九年级专题练习）阅读下列相关材料，并完成相应的任务.

布拉美古塔定理

婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定

理"，也称"布拉美古塔定理定理的内容是：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角

线交点的直线平分对边.

某数学兴趣小组的同学写出了这个定理的已知和求证.

己知：如图，在圆内接四边形/BCD中，对角线/C/AD,垂足为尸，过点尸作的垂线分别交DC

于点、H,M.求证：M是CD的中点.

任务：（1）请你完成这个定理的证明过程.（2）该数学兴趣小组的同学在该定理的基础上写出了另外一个命题：

若圆内接四边形的对角线互相垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边请判断此命题是—命

题.（填"真"或"假"）。⑶若尸。=2,HP=&BP=3,求MH的长.

例2.（2023・重庆・统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务.婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、

天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了"婆罗摩笈多定理"，也称"布拉美古塔定理定理

的内容是："若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边

任务：（工）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；

已知：求证：证明：

（2）如图（2）,在。O中，弦于连接尸分别是/C3C上的点，EM工BD

于G,于〃，当M是中点时，直接写出四边形ENFC是怎样的特殊四边形：.

图⑴图⑵

课后专项训练

1.（2023,浙江温州•校考三模）在几何学发展的历史长河中，人们发现了许多经久不衰的平面几何定理，苏

格兰数学家罗伯特•西姆森（火。岳：岱侬。〃）发现从三角形外接圆上任意一点向三边（或其延长线）所作垂线

的垂足共线，这三个垂足的连线后来被称为著名的“西姆森线如图，半径为4的0。为“8C

的外接圆，C8过圆心。，那么过圆上一点尸作“8C三边的垂线，垂足£、尸、。所在直线即为西姆森线,

若ZFPB=ZC,EF=3,则——的值为（）

AB

2.（2023山东•校考二模）阿基米德折弦定理：如图1,和8c是。。的两条弦（即折线N3C是圆的一条

折弦），BOAB,M是弧/5C的中点，则从M向8c所作垂线的垂足。是折弦/3C的中点，即

CD=AB+&D.请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2,已知等边“8C内接于。。，AB=\Q,。为

。。上一点，ZABD=45°,AELBD^/^E,则ABDC的周长是

M

图1

3.（2023春・山东威海•九年级校联考期中）早在公元前古希腊数学家欧几里得就发现了垂径定理，即垂直于

弦的直径平分弦.阿基米德从中看出了玄机并提出：如果条件中的弦变成折线段，仍然有类似的结论.

某数学兴趣小组对此进行了探究，如图1,/C和3c是。。的两条弦（即折线段/CB是圆的一条折弦），

BC>AC,川是/C8的中点，过点胡作垂足为。，小明通过度量NC、CD、D3的长度，发

现点。平分折弦/CB,即8。=/。+。.小丽和小军改变折弦的位置发现8O=/C+8仍然成立，于是

三位同学都尝试进行了证明：

小军采用了“截长法"（如图2）,在3。上液取3E,使得3E=ZC,……

小丽则采用了“补短法"（如图3）,延长8C至尸,使CF=4C,……

小明采用了“平行线法”（如图4）,过M点作〃石过3C,交圆于点E,过点E作E尸15C,......

⑴请你任选一位同学的方法，并完成证明；

（2）如图5,在网格图中，每个小正方形边长均为1,“8C内接于OO（/、B、C均是格点），点A、。关于

5c对称，连接8D并延长交。。于点E,连接CE.

①请用无刻度的直尺作直线/,使得直线/平分ABCE的周长；②求ASCE的周长.

4.（2023,浙江嘉兴•九年级校联考期中）阿基米德折弦定理：如图1,和2C是OO的两条弦（即折线Z8C

是圆的一条折弦），BC>AB,M是/5C的中点，则从初向所作垂线的垂足。是折弦28C的中点，即

CD=AB+BD.下面是运用"截长法"证明CD=AB+BD的部分证明过程.

证明：如图2,在C8上截取CG=/8,连接俏冲食70c和MG.•・・〃■是48C的中点，：-M4=MC

任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分;

（2）填空：如图（3）,已知等边“3C内接于OO,AB=2,。为OO上一点，NABD=45°,AE工BD与

点瓦则A8Z）C的周长是.

图⑴图⑵图⑶

5.（2023秋•山西阳泉•九年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务:

阿基米德折弦定理

阿基米德（Archimedes,公元前287〜公元前212年，

古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、

高斯并称为三大数学王子.

阿拉伯//-瓦n/M（973年〜1050年）的译文中保存了

阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据

//-瓦加就译本出版了像文版《阿基米德全集》，第一题

就是阿基米德的折弦定理.

阿基米德折弦定理：S

如图1,48和2C是O。的两条弦（即折线/5C是

固的一条折弦），BOAB,M是弧/8C的中点，

则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中

（图1）

点，即=+

这个定理有根多证明方法，下面是运用"垂线法"证

M

明CD=的部分证明过程.

证明：如图2.作Affl•，射线A8,垂足为连接

MA,MB,MC.

•••川是弧43C的中点，

（图2）

.-.MA=MC....

任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分;

⑵填空：如图3,已知等边“8C内接于。为NC上一点，N4BD=15°,CELBD于点E,48=2五，

则折弦/八8的长是.

（图3）

6.(2023•山西•校联考模拟预测)阅读以下材料，并按要求完成相应任务：

婆罗摩笈多(Brahmagupta)是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运

算规则、二次方程等方面均有建树.他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理"，该

定理的内容及部分证明过程如下：

古拉美古塔定理：如图1,四边形/BCD内接于对角线/C/5D,垂足为点直线垂

足为点£,并且交直线40于点b，则/b=ED.

证明：,.•/C/2D,MELBC,ABMC=AAMD=AMEC=90°

■.ZCME+ZECM=90°,NCBD+NECM=90°.NCBD=NCME.

'；CD=CD，；"CBD=NCAD-(依据)

又•；/CME=ZAMF,；.NAMF=NCAD.AF=FM.........

任务：(1)上述证明过程中的依据是;(2)将上述证明过程补充完整；

(3)古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形48CD内接于。。，对角线4。180,垂足为点〃，直线

交BC于点、E,交4D于点F.若4F=FD,则五EL3c.请证明该命题.

7.（2023•江苏宿迁•统考二模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四

边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边.

证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线ZC,3D互相垂直，垂足为点G,过点G的直线垂直于

AD,垂足为点E,与边2c交于点F,由垂直关系得/EGD+/FGC=90°，/EGD+/EDG=90°，所以

NEDG=NFGC,由同弧所对的圆周角相等得N/O3=N/C3,所以NFGC=NFCG,则尸G=RT,同理,

FG=FB,故BF=FC；

【思考】命题"若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边“为

（填"真命题"，"假命题"）;

【探究】（1）如图2,A4G3和ADGC为共顶点的等腰直角三角形，ZAGB=ZDGC=90°^过点G的直线

垂直于4D,垂足为点E,与边BC交于点F.证明：点F是8c的中点;

（2）如图3,AAGB和NDGC为共顶点的等腰直角三角形乙1GB=ZDGC=90。，点厂是8C的中点，连接尸G

交40于点£,若G尸=2,求4D的长.

8.（2023•山西太原•九年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务

婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算

规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献.他曾经提出了“婆

罗摩笈多定理"，该定理也称为“古拉美古塔定理该定理的内容及部分证明过程如下：

古拉美古塔定理：已知：如图，四边形ABCD内接于。。，对角线垂足为直线MKL8C,垂

足为E,并且交直线4D于点尸，则

证明："ACLBD,MELBC.•.zCAffi'+zC=90°,zCSZ）+zC=90°

:.ACBD=ACME,ACME=AAMF:./.CAD=AAMF:.AF=MF...

任务：（1）材料中划横线部分短缺的条件为：;

（2）请用符号语言将下面"布拉美古塔定理"的逆命题补充完整，并证明该逆命题的正确性:

已知：如图，四边形/BCD内接于O。，对角线ZCLB。，垂足为尸为/。上一点，直线交于点

E,①.求证：②.证明:

D

8.(2023•广东佛山•统考三模)探索应用

材料一：如图1,在A/BC中，AB=c,BC=a,乙8=6,用c和9表示2C边上的高为,用a.c和

e表小AABC的面积为.

材料二：如图2,已知乙。=乙巴求证：CF・BF=QF・PF.

图4

材料三：蝴蝶定理(ButterflyTheorem)是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一，最早出现在1815年，由

W.G.霍纳提出证明，定理的图形象一只蝴蝶.

定理：如图3,〃为弦尸。的中点，过"作弦45和CD,连结/。和8C交P。分别于点£和尸，则以石=

MF.

证明：设乙4=z_C=a,乙5=乙。=0,

(DMP=LCMQ=Y,£AMP—Z.BMQ—p,PM=MQ=a,ME—x,MF—y

S^FCMAM*AE*sinaFM*CM•sinvED・MD・sin0MF•MB^m8

二L即------------•------------•------------•------------=1.1

S^EDMMC•CF•sinaEM^MD^myFB・BM・sin/3

MF2_CF-FB

化简得：MF?・AE・ED=ME?•CF・FB则有:

ME1~AE-ED

又•:CF・FB=QF・FP,AE»ED^PE»EQ,

MF2QF-FPMF2_(fl-y)(a+y)_a2-y222_2

即4=\一)；,从而x=y,ME=MF.

"ME2~PE•EQ'ME2~{a-x\a+x)~a2-x1xa-x

请运用蝴蝶定理的证明方法解决下面的问题：

如图4,B、C为线段尸0上的两点，且AP=C0,/为P0外一动点，且满足乙84P=4。。，判断AR。的

形状，并证明你的结论.

9.（2022•河南驻马店,统考三模）阅读以下材料，并完成相应的任务:

西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延

长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）.数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理.如图1,已

知。2C内接于OO,点P在。。上（不与点/、B、C重合），过点P分别作BC,NC的垂线，垂足分

别为AE,尸求证：点。，E,尸在同一条直线上

以下是他们的证明过程:

图1图2

如图1,连接尸瓦PC,DE,EF,取尸C的中点。，连接。E,QF,

则尸0=CQ=gpC=EQ=FQ（依据1）,

：.E,F,P,C四点共圆./CP+NFEP=180。（依据2）.

又•••ZACP+ZABP=180°,NFEP=NABP.

•••ZBDP=ZBEP=90°,.-.B,D,P,E四点共圆..•./。3尸=/。£尸（依据3）.

■■ZABP+ZDBP=U0°,:.NFEP+NDEP=18。。（依据4）.

:.点D,E,尸在同一条直线上.

任务：⑴填空：①依据1指的的是中点的定义及;②依据2指的是:

③依据3指的是；④依据4指的是.

（2）善于思考的小英发现当点尸是8C的中点时，8。=CF.请你利用图2证明该结论的正确性.

10.（2022•河南安阳•统考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务.

西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延

长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）.某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理.

如图（1）,已知“3C内接于。O,点尸在。。上（不与点B,C重合），过点尸分别作BC,AC

的垂线，垂足分别为•点。，E,尸求证：点。，E,尸在同一条直线上.

如下是他们的证明过程（不完整）：

图⑴

如图（1）,连接P8,PC,DE,EF,取PC的中点。，连接。E,QF,则E。==；尸。=尸。=CQ,

（依据工）

.•点E,F,P,C四点共圆，.•./尸CP+NFE尸=180。.（依据2）

又；ZACP+NABP=180°,ZFEP=NABP.

同上可得点2,D,P,E四点共圆，......

任务：（1）填空：①依据1指的是中点的定义及;②依据2指的是.

（2）请将证明过程补充完整.⑶善于思考的小虎发现当点尸是8c的中点时，BD=CF,请你利用图（2）证

明该结论的正确性.

D

图⑵

11.（2023・山东济宁•统考二模）阅读与思考；

婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，书写了两部关于数学与天文的书籍，他的一些数学成就在世界

数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术而他的负数乘除法法则在全世界都是

领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及证明如下：已知：如图，四边形ABCD内接与

圆。对角线AC1BD于点M,ME1BC于点E,延长EM交CD于F,求证：MF=DF

证明TAUIBD,MEIBC.-.ZCBD=Z.CME

•­•ZCBD=ZCAD,Z.CME=ZAMF.-.ZCAD=ZAMF.-.AF=MF

•■•ZAMD=9O°,同时NMAD+NMDA=90°.-.ZFMD=ZFDM

.'.MF=DF,即F是AD中点.

（1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成婆罗摩笈多逆定■■理的证明：

已知：如图1,四边形ABCD内接与圆O,对角线AQBD于点M,F是AD中点，连接FM并延长交BC于点

E,求证:ME1BC

（2）已知如图2,AABC内接于圆O,Z.B=302ACB=45。，AB=2,点D在圆。上，ZBCD=6O°,连接AD交BC

于点P,作0N_LCD于点N,延长NP交AB于点M,求证PM_LBA并求PN的长.

12.（2023•北京昌平•九年级统考期末）已知：对于平面直角坐标系中的点P和。。，的半径为4,

交x轴于点4B,对于点尸给出如下定义：过点C的直线与。O交于点N,点尸为线段ACV的中点,

我们把这样的点P叫做关于MN的"折弦点".

⑴若C（-2,0）,①点片（0,0）,^（-1,1）,6（2,2）中是关于〃N的"折弦点”的是；

②若直线了=h+6（左#0）上只存在一个关于的"折弦点"，求上的值；

⑵点C在线段28上，直线y=x+6上存在关于"N的"折弦点"，直接写出6的取值范围.

13.（2023•浙江•九年级专题练习）如图中所示和3c组成圆的折弦,4B>8C,D是N3C的中点，。及L/3

垂足为E.连结/〃，AC,BD.（1）写出所有与乙DA4相等的角（不添加任何线段）.

（2）判断/E,BE,2c之间的数量关系并证明.（3）如图，已知4D=7,BD=3,求4BBC的值.

14.(2023.浙江九年级期中)小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究.

(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在。。中，C是劣弧48的中点，直线

于点£,则/E=请证明此结论；

(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2,PA,可组成0。的一

条折弦.C是劣弧的中点，直线于点£,则/E=PE+P8.可以通过延长。8、/尸相交于点

F,再连接4。证明结论成立.请写出证明过程；

(3)如图3,PA.必组成0。的一条折弦，若C是优弧48的中点，直线于点£,则NE,PE

与尸8之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明.

15.(2023.重庆九年级期中)先阅读命题及证明思路，再解答下列问题.

命题：如图1,在正方形中，已知：ZEAF=45°,角的两边/E、/尸分别与8C、相交于点£、

F,连接EV.求证：EF=BE+DF.

证明思路：如图2,将AA8E绕点N逆时针旋转90。至A4DEL-/AB=AD,ABAD=90°,;.4B与4D重

合.ZADC=ZB=90°,ZFDE'=180°,点、F、D、E是一条直线.

根据"S,得证AAEF=A4FE',得EF=E'F=E'D+DF=BE+DF.

图1图2图3

（1）特例应用：如图1,命题中，如果8E=2,DF=3,求正方形48cD的边长.

（2）类比变式：如图3,在正方形48c。中，已知/£/尸=45。，角的两边/E、/尸分别与BC、CD的延

长线相交于点E、F,连接EF.写出防、BE、。厂之间的关系式，并证明你的结论.

（3）拓展深入：如图4,在。。中，AB、4。是。。的弦，SLAB=AD,M、N是。。上的两点,

AMAN=-ABAD.①如图5,连接跖V、MD,求证：MH=BM+DH,DMVAN-,

2

②若点C在（点C不与点”、D、N、M重合）上，连接C8、CD分别交线段AM、/N或其延

16.（2023•江苏盐城•九年级统考期中）【了解概念】

我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形.如图1,线段MQ、0N组成

折线段MQN.若点尸在折线段上，MP=PQ+QN,则称点尸是折线段的中点.

【理解应用】（1）如图2,。。的半径为2,尸/是。。的切线，A为切点，点3是折线段PQ4的中点.若

ZAPO=30°,则尸8=；

【定理证明】（2）阿基米德折弦定理：如图3,和2C是。。的两条弦（即折线段/3C是圆的一条折弦），

BC>AB,点M是age的中点，从〃向5c作垂线，垂足为。，求证：。是折弦A8C的中点;

【变式探究】(3)如图4,若点M是/C的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则⑺、DB、氏4之间

存在怎样的数量关系？请直接写出结论.

【灵活应用】(4)如图5,2C是OO的直径,点A为。。上一定点，点。为上一动点,且满足/D4B=45°，

若48=8,3c=10,则/£>=

图3图4图5

17.（2023•福建泉州•九年级校考期中）材料：如图1,和2c是。。的两条弦（即折线Z8C是圆的一条

折弦），BC>AB,M是Z5C的中点，则从初向2。所作垂线的垂足。是折弦Z3C的中点，即

CD=AB+BD.下面是运用"截长法"证明CD=AB+BD的部分证明过程.

图4

证明：如图2,在C8上截取CG=/3,连接和MG,是45。的中点，.•.M4=MC,……

⑴请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）如图3,已知“8C内接于。QBC>/8>/C,D

是/法的中点，依据（1）中的结论可得图中某三条线段的等量关系为；

（3）如图4,已知等腰。3C内接于。O,/3=/C,。为力3上一点，连接。B,44CD=45°,4ELCD于点瓦

△BCD的周长为40+2,BC=2，请求出NC的长.

18.（2023・山西•九年级专题练习）阅读与思考请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务.

阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家物理学家，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.他的著作《阿

基米德全集》的《引理集》中记述了有关圆的15个引理，其中第三个引理是：如图1,N5是O。的弦，点

尸在。。上，尸CJ_/8于点C,点。在弦48上且NC=C。，在心上取一点。，使尸0=打，连接80,

贝I]80=BD.小明思考后，给出如下证明：如图2,连接4P、PD、PQ、BP-

•••AC=CD,PCLAB■-PA=PD（依据1）ZPAD=ZPDA

■-PQ=PAAQBP=ZABP（依据2）...

任务：⑴写出小明证明过程中的依据：依据1：依据2：

⑵请你将小明的证明过程补充完整；（3）小亮想到了不同的证明方法：如图3,连接/P、PD、PQ、.请

你按照小亮的证明思路，写出证明过程；⑷结论应用：如图4,将材料中的“弦改为"直径48”,作直线

/与相切于点。，过点3作于点M,其余条件不变，若=4,且。是0/的中点，则加=.

因中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、

婆罗摩笈多（定理）模型

圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模

型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方

便掌握。

模型1.阿基米德折弦模型

【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。

如图1所示，48和BC是。。的两条弦（即42C是圆的一条折弦），BOAB,M是4BC的中点，则从M向

8C所作垂线之垂足。是折弦4BC的中点，即CD=AB+BD.

常见证明的方法:

1）补短法：如图2,如图，延长。2至尸，使AF=A4；

2）截长法：如图3,在CD上截取DG=DB；

3）垂线法：如图4,作射线48,垂足为〃。

例1.（2023・广东・统考一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦.阿基米德折弦

定理：如图1,AB和BC组成圆的折弦，AB>BC,M是弧ABC的中点，MF1AB于F,则AF=FB+BC.

如图2,AABC中，NABC=60。，AB=8,BC=6,D是AB上一点，BD=1,作DE1AB交AABC的外接圆于E,

连接EA,则4EAC=°.

S1图2

【答案】600.

【分析】连接OA、OC、OE,由已知条件，根据阿基米德折弦定理，可得到点E为弧ABC的中点，即/石=。后,

进而推得NAOE=NCOE,已知NABC=60°,贝!UAOC=2NABC=2X60°=120°,可知NAOE=NCOE=120°,故NCAE

=2zCOE=60°.

【详解】解：如图2,连接OA、OC、OE,

•；AB=8,BC=6,BD=1,；.AD=7,BD+BC=7,；.AD=BD+BC,而EDIAB,

・・•点E为弧ABC的中点，即/E=CE,.•.NAOE=NCOE,

•••ZAOC=2ZABC=2x60o=120o,.­•ZA0E=ZC0E=120o,

【点睛】本题是新定义型题，考查了圆周角定理及推论，解本题的关键是掌握题中给出的关于阿基米德折

弦定理的内容并进行应用.

例2.（2023•浙江温州•九年级校考阶段练习）阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿

基米德折弦定理.如图2,已知2c为。。的直径，4B为一条弦（BOAB）,点M是/台。上的点，MD1BC

于点。，延长交弦于点瓦连接的/若BM=&,48=4,则4E的长为（）

【答案】A

【分析】延长ME,设交圆于点F,连接BF、AF,可得BF=BM,NBMF=NBFM=NFAB,从而可得ABFAsABEF,

利用相似三角形的性质列式可求BE的长度，从而可求得AE的长度.

【详解】解：延长ME,设交圆于点F,连接BF、AF,如图，

•••BC为的直径，MD_LBC于点D,，.MB=FB=",ZBMF=ZBFM

又NBMF=NFAB；ZBFM=NFAB.・.NBFE=NFAB

BF_BEBE335

•­•ZEBF=ZFBA.-.ABFA^ABEF.-.AB3尸即4逐,-.BE=2,-.AE=4-2=2

故选：A.

【点睛】本题考查垂径定理及三角形相似的判定和性质，解题的关键是准确做出辅助线，得出三角形相似.

例3.（2023上•河南周口•九年级校考期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1,和3C是。。的两条

弦（即折线N8C是弦。。的一条折弦），BC>AB,M是弧43C的中点，则从M向2c所作垂线的垂足。

是折弦/2C的中点，即+下面是运用"截长法"证明CD=AB+AD的部分证明过程・

证明：如图2,在C8上截取CG=/3,连接M4,MB,九Q和MG.

是弧43C的中点，

：.MA=MC,

t

AA~L

图1图2图3图4

⑴请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

⑵实践应用：如图3,"8C内接于。（9,BC>AB>AC,。是弧NC3的中点，DELBC于点、E,依据阿

基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为.

⑶如图4,等腰”8C内接于。。，AB=AC,。为弧48上一点，连接D3,4CD=45。，AC=6,BC=4,

求ABOC的周长.

【答案】⑴见解析；（2）8E=CE+/C；⑶6立+4

【分析】（1）首先证明△Affl//"WGC（SAS）,进而得出八力=板，再利用等腰三角形的性质得出8。=GD,

即可证明结论；（2）直接根据阿基米德折弦定理，即可证明结论；

（3）过点A作/E，CD,根据阿基米德折弦定理，勾股定理求得CE,即可得出结论.

【详解】（1）证明：如图2,在C8上截取CG=4B,连接M4,MB,MC和MG.

A

图2

是4BC的中点，:.MA=MC_

BA=GC

<NA=NC

在和NMGC中［MA=MC,

:.AMBA名AMGC（SAS）-MB=MG

又：MD工BC,BD=GD,DC=GC+GD=AB+BD_

（2）解：根据（1）中的结论可得图中某三条线段的等量关系为BE=B+/C

故答案为：BE=CE+AC.

（3）解：如图所示，过点A作/E'CD,

图4

由阿基米德折弦定理得：CE=BD+DE,

CE=—AC=3y[2

...NACD=45。...ZEAC=45°...2

...△8。。的周长为5。+助+。。=5。+助+。£'+£'。=3。+2£。=4+6公

【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，理解“截长法”

是解答本题的关键.

例4.（2023•江苏•九年级假期作业）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1,28和8C是。。的两条弦（即

折线43C是圆的一条折弦），M是N5C的中点，则从M向8C所作垂线的垂足。是折弦48c的

中点，即8=+下面是运用“截长法”证明CD=/3+5。的部分证明过程.

（1）证明：如图2,在C2上截取CG=48,连接M4,MB,MC和MG.

是/Be的中点，

：.MA=MC...

请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

实践应用：（2）如图3,已知O5C内接于。。，BC>AB>AC,。是/C3的中点，依据阿基米德折弦定

理可得图中某三条线段的等量关系为.

（3）如图4,已知等腰“8C内接于。（9,AB=AC,D为AB上一点、,连接DB,乙4CD=45。,/ELCD于

点及ABDC的周长为40+2，BC=2,请求出/C的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）BE=CE+AC.（3）4

【分析】（1）首先证明△初3,/AMGC（SAS）,进而得出儿必=MG,再利用等腰三角形的性质得出BD=GD,

即可得出答案；（2）直接根据阿基米德折弦定理得出结论；

（3）根据阿基米德折弦定理得出°£=。石，进而求出CE,最后用勾股定理即可得出结论.

【详解】（1）证明：如图2,在C8上截取CG=/8,连接"4MB,MC和MG.

图2

rM是4BC的中点，.•.M4="C.

BA=GC

<NA=NC

在和VMGC中，［M4="C,

...AA©/9AMGC(SAS),.MB=MG,

处.MDLBC,...BD=GD,...DC=GC+GD=AB+BD；

(2)根据阿基米德折弦定理得，BE=CE+AC,答案为：BE=CE+AC;

(3)根据阿基米德折弦定理得，CE=BD+DE,

...△BCD的周长为40+2,.-,BD+CD+BC^4yf2+2,

BD+DE+CE+BC=2CE+BC=+2,

-：BC=1,,-.CE=2^2,在RM/CE中，NACD=45。，...AC=^CE=4.

【点睛】此题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，理解和应用阿基米

德折弦定理解题关键.

例5.(2023•河南商丘・统考二模)阅读下面材料，完成相应的任务：

阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古

希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的.其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周

上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦.一个圆中一条由两长度不同的弦组成的

折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点.

如图1,48和2C是。。的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，8cM是弧Z8C的中点，则从M向8c

所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=.

小明认为可以利用“截长法"，如图2：在线段C2上从C点截取一段线段CN=AB,连接.

小丽认为可以利用“垂线法"，如图3：过点M作回耳，/8于点区连接7k砥7k必gC

任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，

(2)就图3证明：MC2-MB2=BC-AB.

【答案】⑴见解析⑵见解析

【分析】(1)首先证明△加丝AMVC(SAS),进而可得力必=MN,即可得到解答；

(2)由(1)可知，AC=AM,BH=BD,AH=CD,整理等式即可得到结论.

【详解】(工)证明：如图2,在CB上截取CN=/8c,连接加&MB、MC、MN,

•.•M是Z5C的中点，...=

BA=NC

<ZA=ZC,

在△A®/和中，\MA=MC：.4MBAAMNCEAS),；.MB=MN

,.MD±BC,...BD=ND.,CD=NC+ND=AB+BD.

(2)证明：在中，AM2=AH2+MH2,

在RtZXBHM中，BM2=BH2+MH2,由(1)可知，AC=AM,BH=BD,AH=CD,

MC1-MB2=AM2-MB2=AH2+HM-BH2-HM2=AH2-BH1

=(AH+BH)\AH-BH)=(CD+BD)\AH-BH)=BC.AB

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键.

模型2.婆罗摩笈多(定理)模型

【模型解读】婆罗摩笈多(Brahmagupta)是七世纪时的印度数学家。

婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形的对角线互相垂直相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延

长线必经过这条边对边的中点。

如图1,4BCD为圆内接四边形，对角线NC和3。垂直相交，交点、为E,过点E作的垂线即，延长山

与40交于点G；则点G是/。的中点。

如图2,所示已知等腰必A4BC和等腰放△4ED,作交4G的延长线于点以，⑴