专项突破卷：曲线的轨迹方程问题（解析版）

专题突破卷20曲线的轨迹方程问题

题生领嵬

椭圆的轨迹方程问题

原题生各小击破

题型一：椭圆的轨迹方程问题

1.如图所示，以过焦点用月的直线为X轴，线段耳耳的垂直平分线为V轴，建立平面直角

坐标系.其中国瑞|=2c(c>0),椭圆上任意一点尸满足忸£|+|pq=2a(a>0),求椭圆的标

准方程.

“0)

【分析】直接按求曲线的方程步骤求解即可.

【详解】设椭圆上任意一点P(x,y),焦点F](-c,0),6(c,O),

因为|P4|+|P周=2a(a>0).

贝!J+y2+—+y2_2a,

即J(x+c)2+/=2a-—c)2+y2,

两边平方得，(x+c『+y=4/一4aJ(x-c)2+=2+(x-c)2+y2.

整理得，oj(x-c)2+心=a2-ex,

两边平方得，a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2=a4-2a2ex+c2x2

整理得(6-c2>jx2+a2y2=a2一，).

22

两边同除以/(〃一。2)得，T+F^=i.

aa-c

由椭圆定义知2〃>2c>0,BPa>c>0,所以储一，〉。.

_________22

令b=[a?-c2,得/+==1(。>/?>0).

22

即椭圆的标准方程为1r+方=l(a>b>0).

22/1\

2.已知椭圆「：3+2=1(。>6>0)的离心率为e,且：T过点M[,0J，N(l,e).

⑴求「的方程；

⑵若A8分别为「的上、下顶点.。为坐标原点，直线/过「的右焦点尸与「交于C,。两点，

与y轴交于尸点.

①若E为O的中点求点E的轨迹方程；

②若A。与直线8c交于点°,求证。尸为定值.

【答案】(l)[+y2=l⑵①彳2-工+2y=0(彳*1)；②证明见解析

【分析】(1)根据离心率e=£以及两点坐标构造方程组即可求得「的方程；

a

(2)①联立直线和椭圆方程并利用韦达定理求得中点E的表达式，再利用斜率公式可得E

的轨迹方程；

②对直线斜率以及两点位置关系进行分类讨论，根据点共线时斜率相等整理变形可得

做=-1，即可求得OPOQ=-饭=1,为定值.

【详解】(1)设r的焦距为设,则e吟则M已。m,

21「2

将N代入椭圆方程可得品a=1,与+鼻=1,可得，=1；

acaab

22

又/=b+c,

解得。=>/2,b=l,c=l,

所以r的方程为］+y2=l.

(2)①由(1)知F(1,O),由题意知直线1的斜率存在,

故设1的方程为y=k(x—l),Ca，x),D(%,%),E(x,y),如下图所示:

_Iy2_1

联立2,一，消去y并整理，得（1+2/卜2一4左2%+2/-2=0,

y=A:（x—1）

所以》+"（­）="（百4"2一21>一2k

所以x=A±^=^^,y=2i±A=__J,所以x=_2外,

21+2/，21+242

又左=♦，%wl,所以x=-2・y-y,

x-\x-\

化简得d-x+2y2=O（xwl）,

即点E的轨迹方程为x2-x+2y2=0(x^1).

②证明：由(1)知4(0,1),8(0,—1),由(2)①知尸(0,—兀),

当左=0时，C,D分别为『的左、右顶点，由椭圆的对称性知AC〃3D,不合题意，故左W0,

当P异于A,B时，设。(%,%),

由A,Q,D三点共线，得工一二2^,由B,Q,C三点共线，得

x2x0xxXQ

因为牛=。，

x{+x22k

两式相除，得迎生=%%=依无2+（1-%）々

八'%一1%%一玉芯（也一女）一百2%2一（k+1）玉

k*2-\

左・^^（占+々）+（1-左）超（X]+x）+（l-^）x

2k222

k2-l

（玉+%2）-。+%）石（再+彳2）-（1+左）玉

2k2

（42_1）菁_（左_1）2%_（左一1）［（>+1）丁一（左一1）々］_l-k

_（1+左）~尤［+优2_1）々_（后+1）［（k+1）玉_（左一l）%］k+1

解得什o=-1.所以OPOQ=-Ay（）=1，为定值,

当P点与A点重合时，P（0,1）,Q（0,1）,OPOQ=1,

当P点与B点重合时，P（0-1）,Q（0,-1）,OPOQ=1,

所以OPOQ=1,为定值.

3.记椭圆£:二+工=1的左，右顶点和左，右焦点分别为A，4，4,F,,尸是E上除左

43

右顶点外一点，记P在E处的切线为/,作直线4打〃尸片交/于点&,作直线4鸟〃尸鸟交/

于点&，记直线A居与的交点为Q.

⑴求点Q的轨迹方程;

（2）求|。周;

22

⑶求四边形A禺&&面积的最大值.附：椭圆|y+%=l（a>b>0）在点尸（加,〃）处的切线为

等+*1（P在椭圆上）.

22_

【答案】⑴］+卷=1（》*±4）⑵|。周=2（3）3君

【分析】⑴设点P（xo，y0）,联立直线4用和&&的方程求出。（2%,2%）,则

代入?+。=1，可以得到点Q的轨迹方程.

（2）运用两点间距离公式得到|PFi|,|「局，104,1，\QA,\,求出AQ：y=A+2后；求出

/c「4、\PF\\MF.\..

田-1,@,求出/匕,0）结合初中几何结论涡t=篙，求|网即可.

（3）由（2）同理可求得|然|=2,将四边形4N&4转化为△QA4,△。穴述2的面积之差,

结合余弦定理和基本不等式求解即可.

22

【详解】（1）设点P（x0,yo）,则/w±2,则至+』L=i.

43

由题知，直线4用的方程为尤=口〉-2,

%

直线4%的方程为X=9y+2,联立直线和4鸟的方程有Q（2x0,2%）,

%

设Q（xy）,则与=；,%=与代入五+近=1,得到《+$=1,

''202431612

22

•••点Q的轨迹方程为标+女=l（x2±4）.

（2）|尸耳|=J（x（）+1）+*=Jx：+2x0+1+3—IX；=［（x（）+4）,

同理可得|PB|=g（4-尤0）,1ali=4+x0,|以|=4-%，

由对称性，可设%>。，％=。时，则。（0,2道），AQ:y=&+26；

所以R"-1,6），此时|。周=2；%片。时，由对称性可设%>0,

（4）|P用幽

设1与x轴交于点M,则M一,0由初中几何有，y

（七）HI'

代入有|A周=2+5，此时|QN|=2.综上所述，I。周=2.

（3）由（2）同理可证明|。4|=2,记四边形A内&4,△QA4,△。我内的面积分别为风,

S],S2,

则S0=S「S?=；（|QAI|Q4H0周|0劝sinZAQA,

由前面知，风=?|。&|。阕一4六亩/4尺&，|QA||Q4区/」=16,

当且仅当x0=o时取等；在△QA4中，有COS/4Q41AA0+麻一4阕

2%。|也。

241/?

代入数据有cos/AQA=16.2-1Nsin，AQ4&y-，

当且仅当％=0时取等，.〔S。=；（|QA||Q4|-4卜inNA©4W3省,

当且仅当％=0时取等.

综上所述，四边形4片&4面积的最大值为3VL

22

4.如图，在平面直角坐标系x0y中，椭圆C：二+乙=1的左焦点为为椭圆C上的动点

95

（异于左顶点），定点。，|,0）在无轴上，点尸满足呼=2P£>，直线EP与椭圆c交于AB

⑴求点尸的轨迹方程；

（2）证明：尸为A3中点.

【答案】（i）（x+iy+竽=1（尤~2）⑵证明见口

【分析】（1）设P（x,y）,由EP=2PD，可得点E坐标，代入椭圆方程即可；

（2）分析可得斜率存在，得出直线方程，联立椭圆消元后可得一元二次方程，根据根

与系数的关系及中点坐标公式化简即可得证.

【详解】（1）设P（x,y）,由呼=2P£>且可知E（3x+3,3y）,

因为E在椭圆上且异于椭圆左顶点，所以3x+3w-3,且包苴+@£=i，

95

所以点P的轨迹方程为（x++容=1（力-2）；

（2）证明：易知直线A3的斜率存在，设直线AB:y=%（x+2）,

y=左（冗+2）

将直线方程与椭圆。的方程联立，工22,

——+—=1

化简得（93+5b2+36Hx+36k2-45=0,所以+/=，

yK।D

y=Z（%+2）

将直线方程与点尸的轨迹方程联立，/遂9y2，

（x+l），子=1

化简得（9犷+5b2+（36/+10）X+36/=0,

即（x+2）［（9公+5）x+18k［=0,解得马=一^^,

因为修=/血，所以尸为A3中点，原命题得证.

„2,.21

5.已知椭圆E：3+斗=1（.>6>0）的长轴长为40,离心率为；,M（2,0）,N（-2,0）.

⑴求椭圆E的方程；

⑵过尸（4,0）作一条斜率存在且不为0的直线/交E于A,2两点.

（i）证明：直线AM和直线的斜率均存在且互为相反数；

（ii）若直线AM与直线3N交于点。，求。的轨迹方程.

【答案】（1）［+1=1（2）⑴证明见解析；（ii）9=1（尤X2,尸0）

【分析】（1）根据已知条件直接计算出椭圆相关基本量即可；

（2）（i）设A（x1,yi）,B（x2,y2）,直线/的方程为y"（x-4乂心0）,联立方程组,利用韦

达定理证明；（ii）设直线，直线：伍+2）y=%（x+2）,联立方程组得马=&，%=?我，

七不

采用代入法可得。的轨迹方程.

【详解】（1）根据题意，2a=40

1c1

因为椭圆离心率为1，所以e=—=彳，

2a2

所以c=5/2，b=y/a2—c2=6，

所以椭圆的方程为!+二=1;

86

(2)(i)设A(x1,yi),B(x2,y2),直线/的方程为y=k(x-4乂b0),

y=^(x-4)

联立方程/2消去y得：(3+4左2_32k2x+64k2-24=0,

—+—=1

[86

则A=96(3—4/)>0,即闪<#,

i4i*、4•小工田7曰32k264左2-24

由韦达定理得，％1+%22=--------7，%［・％2=---------厂，

3+4左2123+4左2

当网二日时，A=0,%=々=2,不合题意，故工产2,%2。2,

所以直线AM和直线的斜率均存在，心〃=』7«3=上7,

玉一2x2-2

左（玉_4）（%2_2）+k（x2—4）（玉—2）

所以％A«+原时=会+上=

（玉-2）（々-2）

左［2玉・％2-6（玉+元2）+16］%（128%2-48-6・32%2+16（3+422））

%人-2（X1+X2）+4（3+4左2）（玉.%2—2（%+々）+4）

即直线AM和直线BM的斜率均存在且互为相反数；

（ii）由（i）知/。2,>kAM=-kBM=,

2-X2

可设直线AM:（2-%2）丁=J2（X-2）,直线BM:（x2+2）y=%（x+2）,

（%2—2）%=-%（%o—2）%%=2%①

设。(%,%)，则整理得

（电+2）%=%（%+2）.%=2%%

由题意知％W。，由①知先工。，％0工。，

所以由①知，x2=—,yi=-@,

%%

将②代入［+》=i得怖+需=i,化简得］一4=1,

又因为苫2片2,所以不片2,

22

所以。的轨迹方程为5-3=1口/2,丫*0).

6.已知椭圆C:：y』，过C外一点尸作C的两条切线分别交x轴于小两点.

⑴记IJ的倾斜角分别为4M.若tanq•tan%=-2,求尸的轨迹方程.

（2）求..AB尸面积的最小值.

【答案】（1）2元?+/=9（"±2）（2）4

【分析】（1）设尸（%,%）,过点尸直线方程设为、-为=左5-%），联立直线与椭圆方程，

利用判别式为0,结合韦达定理，求解点P轨迹方程.

（2）根据点斜式可得A,8的坐标，即可根据三角形面积公式得表达式，结合韦达定理，以

及二次函数的性质即可求解最值.

【详解】（D设P5,%）,过点尸直线方程设为>-%=朗》-%）.

y=kx-(kx0-y0')

由V炉2解得1+左2)/一2女(此一%)%+(■-%)?-1=0.

=1

相切n△=4/(而°_-(1+4/)3一%了-1]=o.

化简得：(4-尺)左2+2%为4+1-y：=0.

k&=tang].tan%=--=一2n2%；+y；=9,

4—不

•••点轨迹方程为2炉+/=9(xw±2).

（2）由（1）知：直线尸AP3的斜率％i，%2满足（4一%）左之+2%0>0左+l—y：=。,

"+2三皆，2=€

4人o4—%0

在直线V-%中，令y=0,贝1|3-学+两，

K

因此人(-4+%0,04+%0,0,

I勺JIk2)

故用一A七一铲

“11入2/22KlA2Kl

所以

1J-4+$+4y>2y^

当且仅当%=0,%=士点时，取等号，故面积的最小值为4.

7.已知点A在曲线C:土+二=1上，。为坐标原点，若点B满足04=008，记动点8的

86

轨迹为r.

（1）求r的方程;

（2）设r的右焦点为尸，过点尸且斜率不为。的直线/交椭圆「于尸,。两点，若板与x轴垂

直，且M是MB与r在第一象限的交点，记直线与直线MQ的斜率分别为左,网,当

尢+佝=0时，求aMPQ的面积.

【答案】⑴工+汇=1（2）至

438

【分析】（1）设2（羽田,4（/，以），根据。4=应08,把B点的坐标用A点的坐标表示，再

22

代入曲线C:二+匕=1即可得解；

86

（2）设直线/的方程为x=%+l（mwO）,P（叫+1,必）,。（〃少2+L%），联立方程，利用韦达

定理求出%+%，%%，再结合《+网=。可求出机，即可得直线/的方程，进而可求出三角形

的面积.

【详解】（1）设B（x,y）,A（XA，%）,因为点A在曲线C:二+3=1上,

86

所以立+近

1,

86

XA=y/2x

因为。4=夜。8,所以＜

f

yA=^y

代入E+比=1可得巫11+由正=1,

8686

即土+工=1,即「的方程为L+二=1；

4343

（2）由（1）知，r的右焦点为尸（i,o）,

令x=l,则:+：=1,解得>=土］,所以A/101,

据题意设直线/的方程为x=：畋+1（〃2/0）,尸的）\+1,芳）,。（冲2+1,%），

_3_3

则左-y'~22V.-3/2-22y-3,

/v|,“k22

my12my{my22my2

于是由尢+自=0得2十y—一3+2T必—一3=0,

2my12my2

化简得4%必=3（乂+%）（*），

x=my+1,

消去x整理，得（3利2+4）/+67到一9=0,

3x2+4y2-12=0'

22

A=(6m)+36(3疗+4)=144(//1+1)>0,

由根与系数的关系得…「3加--高

18m36

代入（*）式得:解得m=2,

3m2+43m2+4

所以直线/的方程为1—2y—1=0,

2

方法一：A=144(2+1)=720,^+72=一:，%%=一77，

416

所以|P0=J1+2?，(必+%)2-4%%二百x+二,

1—2X--1r-

点可到直线/的距离2__3。5,

J]+(-2)25

[13

方法二：由题意可知SMPQ=SMPF+SMQF=-|MF||xp-xe|=-|xp-xe|,

工一2丫一1=0代入3/+4：/-12=0消去',

得4，-2X-11=0,

所以A=(_2)2_4x4x(_n)=]80>O,4+q=J,Xpq=_t<0,

所以Supouljx..qb]“辱+x°)_4xpX°=|x+?=券•

8.已知曲线C上的点p(x,y)满足J尤2+(y+1)2+7x2+(y-l)2=2V2.

⑴化简曲线c的方程；

⑵己知点A(TO),点川-跖0),过点卜川的直线/(/斜率存在)与椭圆C交于不同

的两点直线4W,4V与V轴的交点分别为RQ,证明：三点在同一圆上.

【答案】(1)/+《=1⑵证明见解析

【分析】(1)根据已知曲线方程，进行移项平方，化简的方法，即可得曲线C的方程；

(2)设直线/的方程，并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，进而表示点尸，。的坐标，

从而可得以尸。为直径的圆的方程，并化简，求出该圆与x轴交点坐标，即可证明结论.

【详解】(1)由题意知曲线C上的点P(X,y)满足&2+(y+1)2+收+(y-1)2=20，

则Jx?+(y+l)2=20-y/x2+(y-l)2,

故x?+(y+l)2=8-4^2-y/x2+(y-l)2+x2+(y-l)2,

y—2=—V2-yjx2+(_y—I)2，故(y-2>=2[x-+(y-1)~],

2

即2/+9=2,即化简曲线C的方程为尤2+5=1；

(2)证明：由题意知直线/斜率存在，故设>=/+；),联立尤2+亡=1,

得(左？+2)无？+左2尤+；%2-2=0,

由于直线I过点而点在椭圆f+；=i内，故必有公＞0,

-k2-i

设加（石，%）小（%2，%），则r一k?4

12=x,x2=----

"F7212e+2

直线AM的方程为照房（x+1）,直线AN的方程为"言（x+1）,

令x=0,可得20,已）,。（0,4），

xx+1x2+1

故以p。为直径的圆的方程为

2玉+1x2+14玉+1x2+1

即x2+y2-（-上+」My+上上=0,

玉+1x2+1玉+1x2+1

111

k9（X|++5）k9[石/+—（玉+马）+

而工2

玉+1x2+l玉玉+%+1+玉+%+1

-k2-2.

k2山一6,

k2[4-----+-（-

r+22F+2

OSk2

+1

F+2-F+2

即以P2为直径的圆的方程为一+4点+加）i一。,

令y=o，贝U—6=o,「.x=±J^,

即〃卜布,0）在以PQ为直径的圆上，故H,P,Q三点在同一圆上.

9.椭圆总+丁=1上有动点P,点片，尸2分别是椭圆的左、右焦点，求W鸟的重心M的

轨迹方程.

2

【答案】*+千=1（"0）

9

【分析】根据重心坐标公式以及相关点代入法求出M的轨迹方程.

【详解】设点P，M的坐标分别为（餐,兀），（x,y）,

,•在已知椭圆的方程中，a=3,b=l,

••c=J'9-1=2,\/2,

则已知椭圆的两焦点为耳（-272,0）,F2（2A/2,0）.

•.二尸百乙存在，；.〉尸0.

%+卜2@+2忘

X-%=3%,

由三角形重心坐标公式有3即

y+0+0%=3y

<yw0,二・"0.

・・•点P在椭圆上，，式+犬=1,

9'

,（3x）2

.•玩-+（3>）=l（y/0），

,2

故/耳工的重心M的轨迹方程为/+丁=1（k°）.

9

10.已知点尸，。是圆。：炉+,2=6上的两个动点，若直线OP与0。的斜率都存在且满足

kopk（）Q—几.

⑴当〃=-1时，求尸。的中点M的轨迹方程；

（2）当〃=-彳时，椭圆°：与+左=ig〉b>o）与动直线尸。恒相切，求椭圆c的标准方程.

2ab

【答案】⑴龙2+/=3k±§（2）三+匕=1

I2J42

【分析】（1）先根据七判断出△OPQ为等腰直角三角形以及点P,Q的限制条件，

求出=再利用两点间距离公式化简可得到点M的轨迹方程.

（2）根据条件对直线PQ的斜率是否存在进行分类讨论.当直线PQ的斜率存在时，设出直

线方程；先与圆的方程联立，由电得到4右一2=77?；再与椭圆方程联立，由椭圆

与动直线PQ相切得至1」/%2+廿="2；最后两式联立求出a,b的值，得到椭圆方程.当直线

PQ的斜率不存在时，列出关系式求出直线PQ的方程，易判断直线PQ与椭圆相切.

【详解】（1）设点M（x,y）,尸（%,%）,。（孙为）.

如图所示:

.点P,Q是圆。：/+;/=6上的两个点，直线OP与0Q的斜率都存在.

OP=OQ=-\/6,不+X,片i>/6.

；当〃=_］时，*及。=-1

•••OPLOQ,△OPQ为等腰直角三角形.

「点M是PQ的中点

.•.在△OPQ中|OM|=#x"=6，

22

•••由两点间距离公式得,Jx+y=6，其中x=与歪w土半，

B|J%2+y2=3x^+^~.

所以PQ的中点M的轨迹方程为f+/=3,片土乎.

k27

（2）由题意得：当〃二一5时，kOPkOQ=

当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为丁="+根（人工。）,尸（石,另）,。（%2，%），如图

y=kx+m（、、、、

联立方程组j+y2一6，消去y可得：k+1）尤+2A?a+机—6=0.

△1=4%2_4（22+1）（加2_6）=24k2-4疗+24>0

2km

X.+x=------

则12%2+1

m-6

国九2二—；---

.12廿+1

-=（脑+加）（优+加）=/左21]

），化简得：4k2-2=府.

..KopK。。——~——2~7~

玉一。%2-0玉々机一6

y=kx+m

联立方程组/,2,消去y可得：左2+/）/+2（^kfWC+#1T^—//—0,

17+

直线PQ与椭圆C恒相切,

/.4=4/公小2_4（〃2左2M2_.2/）=0,化简得/左2+〃=机2

4k2+2=a2k2+b2,

■4〃+2=片左？+/对任意的女都成立,

/=4万=2,

22

•••椭圆c的标准方程为L+匕=1.

42

xx=x2

%=%

当直线PQ的斜率不存在时，＜项2+%2=6，解得国2=4,此时直线PQ的方程为x=±2,

j_

kopkoQ=

x{x22

22

显然直线PQ与椭圆C：?+与=1相切.

22

综上可得：椭圆C的标准方程为工+匕=1.

42

题型二：双曲线的轨迹方程问题

11.已知直线/：丁=履+/与双曲线C：]-v=i相切于点。.

⑴试在集合孝，弓,1,中选择一个数作为上的值，使得相应的f的值存在，并求出相应

的f的值;

⑵过点。与/垂直的直线/'分别交苍'轴于A,2两点，P是线段A8的中点，求点P的轨迹方

程.

【答案】（1）当％=变时，­0；当上=噂时，/=±也；当左=1时，”土1.

222

，y29（）

⑵厂》获*土3丁0）

【分析】（1）直线方程和双曲线方程联立，由A=0求得上与/的函数关系，再由左的值求出

相应的f的值；

（2）设2（根,〃），利用导数求直线/的斜率，得直线/'的斜率和方程，求出两点的坐标,

表示出分点尸的坐标，由Q（w）在双曲线上，得点尸的轨迹方程.

v_

【详解】（1）由《2,2=一1，消去y得（2左2-l*+4依+2/+2=0,

y=kx+t

由公=-16左2+8/+8=0,得2左2=产+1,当"=£时，/不存在；

当％=也时，rwO；当后=中时，t=+—＞当左=1时，r=±l.

222

（2）设。（九九），贝m2=2n2+2.

Y

对c求导可得x-2y.y=o,则y'=E，

有品=一为=一®,所以/':,一〃=_&（%一机），

xmm

则相=:与,〃=;兀,所以才+2,得,=¥+，无。。,

33yV2o

2Q(3万

即P的轨迹方程是f-3=Jxw土学.

2814J

12.在平面直角坐标系xQy中，已知双曲线加：片->2=1经过点A(2,1),点3与点A关于

m

原点对称，C为"上一动点，且C异于A,8两点.

⑴求M的离心率；

(2)若4台^^的重心为人一点^岱⑷，求口刀的最小值；

(3)若小BCT的垂心为A,求动点T的轨迹方程.

【答案】⑴半⑵0(3)苒一9=1(去除点(一2,±1),(2,-1)).

【分析】(1)将点4(2,1)代入双曲线的方程求出加值，即可求得〃的离心率；

(2)根据三角形的重心公式求得动点T的轨迹方程，根据两点间距离公式求出陷刀的最小

值；

(3)根据原广原7,k=1求动点7的轨迹方程.

【详解】⑴因为双曲线M:二72=1经过点A(2,1),所以3-1=1,解得加=2,

mm

所以Af的离心率e-Jl+4=Jl+g=,

(2)易知5(-2,-1).设。(%o，%),T(x,y).

-+/-2_O

a-,fx--8-x

因为ABCT的重心为A,所以।，解得°

y+%T=11%==4-y'

13

因为五一y；=l,所以场―-(4一y)2=l,即(X-8)2=2+2(y-4)2.

22

[x^6[x^lO

因为A,B,C不共线，所以。且

["3["5

所以T的轨迹不含(6,3),(10,5)两点.

故口T|=J(x-8)2+(y_4)2=j2+3(y-4)2>72,当且仅当y=4时，等号成立,

即|。刀的最小值为JL

(3)因为人为八BCT的垂心，所以AT_L3C,3T_LAC,

设c®，%)，T(x，y)，

当直线BC或AC的斜率为0时，点C的坐标为(2,-1)或(-2,1),

此时点T与点C重合，不合题意，舍.

当直线BC或AC的斜率不为0时，直线AT与3T的斜率存在,

则kAT'kBC=kBT-Kc=T，

由(2)知号一y；=l,则y；-l=才一2,

贝k=%+]%_]尤_].(”―)j.

ACBC-

~x0+2x0-2"xj-4考-4-2

因为K?■•原广心厂的。=1，所以心广凝r=晨」厂=2,

加=二j==，则二・二=2,得>2-1=2/-8,

x—2x+2x+2x-2

22

则2上x一V上=1,因为民CT构成三角形，故B不能在轨迹上，

77

,22

综上，动点T的轨迹方程为会-5=1(去除点(一2，±1)，(2，一1)).

13.已知点A是双曲线C:己-三=1的上顶点.

42

(1)若点B的坐标为(虚,1),延长A3交双曲线于点。，求点。的坐标;

(2)双曲线C与直线l:y=kx+m(k^±逝)有唯一的公共点尸，过点尸且与/垂直的直线分别

交x轴，y轴于M(x,O),N(O,y)两点，当点尸运动时，求点Q(x,y)的轨迹方程.

【答案】⑴，孚与(2)合啧=1("0)

<。/yio

【分析】(1)求出直线AB的方程，联立双曲线方程，求出加=个，进而求出租，得到点。

的坐标;

2k4

（2）联立/与双曲线方程，由A=0得到2犷+苏=4,求出尸和过点P且与/垂直

mm

的直线方程，表达出”（x,O）,N（O,y）的坐标，结合2产+疗=4得到轨迹方程，注意ywO.

【详解】（1）由题意得人（0,2）,

故直线A3方程为三=上淮，即x+应v-20=O,

2-10-壶

22

联立X+0-20=0与--土=1得-3y2+16)-20=0,

42

由韦达定理得2%=弓，解得知=5,

故冗0=20-0%=-W则点。的坐标为/f，9;

3133J

22

(2)联立/:y=日+机(左。土形)与——土=1得，

42

(k2—2)x2+2kmx+m2—4=0,

k手土血，由A=4左2/_4伏2—2）（加2—4）=0,解得242+4=4,则相。0,

_-km_—km_2k

72k2k2+H12

又尸k2-2m2m，y=k-----\-m=

Pmmm

（2k4]

故P一,一,由题可知上wO,

mmJ

过点尸且与/垂直的直线方程为y-3=-；（x-如l即y=-1x+g,

mk\mJkm

令尤=0得y=g,令y=0得无=竺,

mm

66,mx6xx

因为y=一,所以加=一，故々=w=_.£=_，显然ywO,

my6y6y

r236

代入242+根2=4中得2=十三二4,

yy

22

化简得2y2一元2=18,即（_一言=i（〉#o）；

14.已知过点尸（2,0）的直线4与双曲线C：*-y2=i的左右两支分别交于A、8两点.

（1）求直线乙的斜率k的取值范围;

⑵设点&/，%）&*2y）,过点。且与直线4垂直的直线4,与双曲线C交于M、N两点.

当直线4变化时，身画一看西恒为一定值，求点。的轨迹方程.

【答案】（1）-理<k<亚⑵Y-2y2=4

22

【分析】（1）当人=0时，显然符合题意，当人声0时，设直线乙的方程为x=少+2,其中

|A=8r2+16>0

f=1,设A®,%）、3（羽,巴），联立直线与双曲线方程，消元、依题意可得产-2x0

k„

%%>0

即可得到不等式求出左的取值范围，即可得解;

2r+1

（2）由（1）知，因为|到.网=十—『，设Q（%为）,则直线4的方程为可产%）,

F-2|

设M（x,,%），N（z，yJ,联立直线与双曲线方程，消元，即可表示出画耘所，从而表

不出网彳闲一@7口函，即可得至小片一2y；一斗=2时，网府旷何丽函为定值，从

而求出动点的轨迹方程.

【详解】（1）当左=0时，显然符合题意，

当人r0时，设直线4的方程为x=少+2,其中/=：,设4（/yJ、35,羽），

k

与双曲线方程联立可得（『-2b2+4ry+2=o,

A=8r+16>0-4/

…="2

因为直线4与双曲线交于不同的两支，所以<「-2片。，又♦

2

*当>°“J

211/y

所以「7>。，解得->2,即>2,所以产〈”且太r0,解得-——〈左＜0或0＜女＜

t-2k7T222

综上可得当

2（?+1）

（2）由（1）知，因为|以|.|尸理=（/+1）|%%|=*一A

F-2|

、1_R

所以网