轴对称-最短路径问题（解析版）-中考数学二轮复习难点题型专项突破

专题14轴对称--最短路径问题

1.（2021•绥化中考）已知在RtZUCB中，ZC=90°，/ABC=75°,AB=5,点E为边/C上的动点，点下为边

解：作尸关于"C的对称点尸，延长/尸、BC交于点

：.ZBAB'=30°,EF=EF,

：.FE+EB=BE+EF,

...当8、E、k共线且与4夕垂直时，长度最小，即求8。的长,

即作AD_L4®于。，

在中，8。=工皿交，

答案：B.

2.（2021•深圳中考）如图，在RtZX/02中，ZAOB^90°,04=3,OB=4,以点。为圆心，2为半径的圆与。2

交于点C,过点C作CD,08交N8于点。，点尸是边CM上的动点.当尸C+尸。最小时，0P的长为（）

242

解：如图，延长C。交。。于点E,连接ED,交/。于点尸，此时尸C+尸。的值最小.

'：CD±OB,

ZDCB=90°,

又402=90°,

ZDCB=ZAOB,

J.CD//AO

•BC_CD

"BO"AO

VOC=2,08=4,

：.BC=2,

...2皿，解得，CD=3_.

432

•:CD"AO,

二旦”取即2=半，解得，PO=1

ECDC4A4

2

答案：B.

3.（2020•荆门中考）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点。在点C右侧）在x轴上移动，A（0,2）,B

（0,4）,连接/C,BD,则NC+3。的最小值为（）

解：设C(冽，0),

,:CD=2,

:.D(m+2,0),

'：A(0,2),B(0,4),

：.AC+BD=ylm2+22+^1（m+2）2+42,

要求NC+8。的最小值，相当于在x轴上找一点P（垃，0）,使得点尸到河（0,2）和N（-2,4）的距离和

最小，

如图1中，作点M关于x轴的对称点。，连接N。交x轴于P,连接"P,此时PM+P'N的值最小，

尸河+PN的最小值=9'N+P。=可0=6"^=2折，

：.AC+BD的最小值为2/证.

答案：B.

4.（2020•贵港中考）如图，动点M在边长为2的正方形N8CD内，且尸是CD边上的一个动点，E是

40边的中点，则线段尸£+尸初的最小值为（）

A.V10-1B.V2+1C.V10D.&+1

解：作点E关于DC的对称点E,设4B的中点为点。，连接。£,交。C于点尸，连接PE,如图:

•.,动点M在边长为2的正方形Z2CD内，S.AMLBM,

...点河在以48为直径的圆上，。河=工48=1,

2

,/正方形ABCD的边长为2,

：.AD=AB=2,ZDAB=90°,

:E是4D的中点,

.,.DE=AZD=LX2=1,

22

7点E与点E关于0c对称,

：.DE=DE=\,PE=PE',

：.AE=AD+DE^2+\=3,

在RtZXNOE中，OEf.2+Ao2=j32+]2=Vib，

二线段PE+PM的最小值为:

PE+PM

PE'+PM

ME

OE-OM

=</io-1.

答案：A.

5.（2021•丹东中考）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果△ABC是锐角（或

直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足//尸8=/3尸。=/"％=120°.（例如：等边三角形的

费马点是其三条高的交点）.若AB=AC=巾,8C=2«,尸为△NBC的费马点，则P4+PB+PC=5；若

=2«,BC=2,NC=4,尸为△A8C的费马点，则P/+P2+PC=2夜.

解：如图，过/作4DL2C,垂足为D,

过8,C分别作ND8P=/DCP=30°,则尸3=PC,P为△/BC的费马点,

'：AB=AC=y[j，8C=2«,

•■•BD=DC=yBC-V3'

•+PDV3

,,tano0=-TT-，、,

BD3

：.PD=\,

•.7

=2'

AD=VAB2-BD2=V7^3=2;

；.P/+PB+PC=5：

②如图：

,:AB=2M，BC=2,AC=4,

：.AB2+BC1=\6,AC2=16,

：.AB2+BC2=AC2,ZABC=90

..,BC1

：.ZBAC=30°,

将△4PC绕点/逆时针旋转60°,

由旋转可得：△4PC0△//（？，

C.AP'^AP,PC=P。,AC^AC,NC4C=NP4P=60°,

：./\APP'是等边三角形，

ZBAC=90°,

为△/BC的费马点，

即2,P,P',。四点共线时候，PA+PB+PC=BC,

:.PA+PB+PC=BP+PP+PC=BC=MB2+AC'2=d（2/）2+42=2E

答案：5,2A/7-

P

BC

A

6.（2021•西宁中考）如图，△N2C是等边三角形，48=6,N是N5的中点，/D是5C边上的中线，M是/。上的

一个动点，连接瓦/MN,则HW+VN的最小值是_3\斤.

•..△A8C是等边三角形，4D是中线，

C.ADLBC,BD=CD,

是BC的垂直平分线，

:.BM=CM,

：.BM+MN=CM+MN,即当点C、M、N三点共线时，员攸+MN最小值为CN的长,

,:前N是AB的中点，

C.CNLAB,AN=LB=3,

2

CN=VAC2-AN2=^62-32=3^'

.•.8W+7W最小值为：3«,

答案：3正.

7.（2021•聊城中考）如图，在直角坐标系中，矩形。N5C的顶点。在坐标原点，顶点/,C分别在x轴，y轴上,

B,。两点坐标分别为2(-4,6),D(0,4),线段所在边。/上移动，保持即=3,当四边形ADE尸的周长

最小时，点E的坐标为(-2,0)

5

...四边形BHEF是平行四边形，

：.BF=EH,

;点。与点。'关于x轴对称，

:.DE=D'E,点。'坐标为(0,-4),

,/四边形BDEF的周长=EF+8尸+3D+DE,

四边形BDEF的周长=£7升EO+BD+ER

厂和8。是定值，

/.当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值,

当点E,点〃，点。共线时，EH+ZTE有最小值，

:点B(-4,6),

.•.点”(-1,6),

设直线D'H的解析式为丁=区+6,

则产k+b,

lb=-4

解得：尸1°，

lb=-4

直线。旧的解析式为y=-10x-4,

/.当y—0时，x=-―,

5

:.点、E（-2,0）,

5

答案：（-2,o）.

5

8.（2021•毕节中考）如图，在菱形/BCD中，BC=2,ZC=120°,。为N8的中点，P为对角线8。上的任意一

点，贝U4P+P。的最小值为_、艮.

•.•四边形/BCD是菱形,

ZABP=ZPBC,

在△4BP和△CAP中，

'BA=BC

<ZABP=ZCBP>

BP=BP

:.△ABP四4CBP(SAS),

：.PA=PC,

,JAB//CD,

：.ZABC+ZBCD^1SO°,

AZABC=180a-120°=60°,

,:AB=BC,

...△/8C是等边三角形,

；4Q=QB,

J.CQLAB,

.,.C0=2C・sin6O°=«,

PA+PQ=PC+PQ^CQ,

:.PA+PQ，M，

：.PA+PQ的最小值为

答案：V3.

9.（2020•宜宾中考）如图，四边形/BCD中，DAUB,CBLAB,AD=3,AB=5,BC=2,尸是边48上的动点,

贝ijPC+PD的最小值是5、万..

解：延长C8到C',使C'B=CB=2,连接。C'交于尸.贝。就是尸C+P。的和的最小值.

'JDALAB,CBLAB,

J.AD//BC,

：./A=NPBC',ZADP=ZC,

:.△ADPs^BC'P,

：.AP：BP=AD：BC'=3：2,

：.PB=2LAP,

3

；AP+BP=AB=5,

：.AP=3,BP=2,

PD=VAD2+AP2=V32+32=3^PC，=VBP2+BC/2=V22+22=2^）

:.DC'=PD+PC=3后2如=5如，

：.PC+PD的最小值是5加，

故答案为572.

10.（2020•营口中考）如图，△ABC为等边三角形，边长为6,ADLBC,垂足为点。，点E和点尸分别是线段4D

和上的两个动点，连接CE,EF,则CE+斯的最小值为.

解：过C作CF_L4B交4D于E,

则此时，CE+Ek的值最小，且CE+EF的最小值=（7尸,

为等边三角形，边长为6,

：.BF=XAB=LX6=2）,

22

CF=VBC2-BF2=VS2-32=3«'

：.CE+EF的最小值为3«,

答案：3y.

11.（2020•永州中考）NNOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且//。3=60°,在N/O8内有一点尸（4,

3）,M,N分别是0408边上的动点，连接尸MPN,MN,则△PMN周长的最小值是5y.

解：分别作P关于射线。4、射线08的对称点P与点P',连接PP",与。4、08分别交于“、N两点,

此时周长最小，最小值为PP"的长，

连接。尸'，OP",OP,

,：0A,分别为尸尸'，PP"的垂直平分线，P（4,3）,

：.0P'=OP=OP"=山2+铲=5,且NPO/=NP'OA,ZPOB^ZP"OB,

VZAOB=ZAOP+ZBOP=60Q,

AZP'OP"=120°,

过。作OQ_LPP",可得PQ=P"Q,ZOP'Q=ZOP"。=30°,

.,.6>2=A,P'Q=P"Q=

22，

：.P'P"=2尸'0=2X孚=5«,

则△RWN周长的最小值是5y.

答案：5A/§.

12.（2020•黑龙江中考）如图，在边长为1的菱形48CD中，