重难点突破：带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题、多解问题（9大题型）原卷版-2024-2025学年高二物理（人教版选择性必修第二册）

带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题、多解问题

题型1"平移圆"颊临界或极值问题

题型2"放缩圆"处理临界或极值问题

题型“旋转圆”处理临界或极值问题

知识点1临界和极值问题3

重难点突破：题型4磁聚焦与磁发散

带电粒子在匀强磁场中运动的题型5磁场最小面积问题

临界问题、多解问题题型6带电粒子带电性不确定形成的多解

知识点2多解问题题型7磁场方向不确定形成的多解

题型8临界状态不唯一形成的多解

题型9运动的周期性形成的多解

........，方法技巧：磁场的最小面积问题

知识点1临界和极值问题

1、基本方法

带电粒子在有界磁场中运动时，粒子的运动轨迹与粒子入射的速度大小和方向有关，因此会出现粒子

恰好离开磁场或恰好经过某一位置的临界情境。解答带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动

态思维，找准临界点，以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，

分析可能的情况，必要时画出几个半径不同的轨迹，找出临界条件。

2、常用结论

（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

（2）当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

（3）当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的

草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等。

（4）带电粒子在圆形匀强磁场中运动，当带电粒子运动轨迹的半径大于磁场的半径，且入射点和出射点为

磁场直径的两个端点时轨迹对应的圆心角最大（所有弦长中直径最长）。

3、解决临界问题常用的四种方法

（1）平移圆

XXXXXXX

【适用条件】8一定、v的大小方向一定、入射点不同但在同一条直线上。

【轨迹圆圆心共线】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。

【界定方法】将半径为氏=竺^的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件。

qB

（2）放缩圆

XXXXXX

XX

X[x

X[x（X】*xMx

XXXXScX

【适用条件】①8一定、y方向一定、y大小变化。

②V方向一定、V大小一定，8大小变化。

【轨迹圆圆心共线】因为&二上二，所以随着粒子速度（或磁感应强度）的增大或缩小，导致粒子做圆周运

qB

动的半径也在变化。故带电粒子沿同一方向射入磁场后，在磁场中的运动轨迹相切于粒子源所在位置，且

圆心都在与v方向垂直的直线PP，上。

【界定方法】以入射点P为定点，圆心位于直线PP上，将半径放缩确定运动轨迹，从而探索出粒子运动的

临界条件。

（3）旋转圆

【适用条件】8一定、v的大小一定、v的方向变化。

【轨迹圆圆心共圆】因为R=—，所以粒子的轨迹圆半径相等，所有的轨迹圆的圆心都在以。点为圆心,

qB

半径为R的圆周上，随着粒子速度方向的变化，粒子的运动轨迹圆以。点为圆心，发生旋转，粒子所能打

到的区域在半径为2R的圆周内。

【界定方法】将半径为氏="的圆以带电粒子入射点为定点进行旋转，从而探索粒子运动的临界条件。

（4）磁聚焦和磁发散

磁发散磁聚焦

如图甲所示，当粒子从磁场边界上同一点沿不同如图乙所示，当粒子以相互平行的速度从磁场边界

方向进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方上任意位置进入磁场区域时，粒子一定会从同一点

向一定平行，而且与入射点的切线方向平行离开磁场区域，而且该点切线与入射方向平行

律（1）如图甲所示，相同速率的同种粒子以相同的初速度射向圆形匀强磁场时，若粒子在磁场中运动

的轨迹半径与磁场区域的半径相等，则经过磁场区域的所有粒子都会聚到磁场区域的一条直径的端点

处，该直径与粒子初速度垂直。

（2）如图乙所示，粒子进入磁场时，速度与射入点所在磁场半径的夹角和穿出磁场时速度与射出点

所在磁场半径的延长线的夹角相等。

知识点2多解问题

（1）带电粒子的带电性质不确定

受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，粒子电性不同在

磁场中运动的轨迹就不同，会形成多解。如图，如粒子带正电荷，其轨迹为0,若粒子带负电荷，其轨迹为

bo

（2）磁场方向不确定

在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向的情况下，必须考虑磁感应强度方向不确定

面形成的多解。如图，带正电粒子以速度V垂直进入匀强磁场，若8垂直纸面向里，其轨迹为。，若8垂直

纸面向外，其轨迹为人

(3)临界状态不唯一

带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时由于粒子运动轨迹是圆弧，因此它可能穿过磁场飞出，也

可能转过180°反向飞出，于是造成多解。

(4)运动具有周期性

带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中的运动往往具有周期性，因而形成多解。

磁场的最小面积问题

带电粒子经过一个一定形状的有界磁场区域，求该磁场的最小面积，这属于特殊的一类临界问题。

解决此类问题通常先找到粒子进入磁场和离开磁场的速度方向的垂线的交点，即为轨迹的圆心。特定

形状的磁场恰好覆盖粒子进入点和离开点间的圆弧，这种情况下磁场的面积最小。当磁场面积最小时,

般会出现轨迹与磁场边界相切，磁场的最小面积可以由几何关系求解。

题型1“平移圆”处理临界或极值问题

【例1】（多选）（24-25高二上•陕西宝鸡・月考）如图所示，在直角三角形/8C内充满垂直纸面向外的匀

JT

强磁场（图中未画出），45边长度为d,/-B=-o现垂直45边射入一束质量均为加、电荷量均为外速

6

度大小均为v的带正电粒子。已知垂直4C边射出的粒子在磁场中运动的时间为机而运动时间最长的粒子

4

在磁场中的运动时间（不计重力），则下列说法正确的是（）

气

----►：\

AC

A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0

Tim

B.该匀强磁场的磁感应强度大小为不二

3

C.粒子在磁场中运动的轨道半径为gd

、.371d

D.粒子进入磁场时速度大小为百一

【变式1-1］（多选）（23-24高三上・贵州贵阳•开学考试）地磁场对宇宙高能粒子有偏转作用，从而保护了

地球的生态环境。赤道平面的地磁场简化为如图所示，。为地球球心、R为地球半径。地磁场可视为分布在

半径R到2R的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小均为2,方向垂直纸面向里。太阳耀斑爆发时,

向地球持续不断地辐射大量高能粒子，假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直沿赤道平面射

向地球。己知粒子质量均为加、电荷量均为q,不计粒子的重力及相互作用力。下列说法正确的是（）

A.当入射粒子的速率不小于等时，部分粒子可以到达九W右侧地面

2m

B.若粒子速率为遮，入射到磁场的粒子到达地面的最短时间为舞

m6qB

C.若粒子速率为手，正对着。处入射的粒子恰好可以到达地面

2m

D.若粒子速率为等，入射到磁场的粒子恰好有一半不能到达地面

2m

【变式1-2］（多选）（2023•重庆•三模）如题图，直角三角形/3C区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图

中未画出），NC边长为/,NB为三,一群比荷为巨的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直NC

6m

边射入，射入的粒子恰好不从边射出，已知从2C边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为■1",在磁

场中运动时间最长的粒子所用时间为2/。，则以下说法中正确的是（）

5兀m

A.磁感应强度大小为KT

12%

c.粒子射入磁场的速度大小为密眩D.粒子在磁场中扫过的面积为伊山+37）二

42办49

【变式1-3］（多选）（22-23高二下•安徽合肥・期末）如图所示，直角三角形/3C区域内有垂直于纸面向

外、磁感应强度大小为8的匀强磁场，NC边长为L乙4=30。.带正电的粒子流（其重力忽略不计）以相

同速度在CD范围内垂直NC边射入（不计粒子间的相互作用力），从。点射入的粒子恰好不能从N3边射

出.已知从3c边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为3f,在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为43

则（）

A.粒子的比荷为白兀B.粒子运动的轨道半径为:2£

C.粒子射入磁场的速度大小为与D.粒子流在磁场中扫过的面积为耍万

15f25

【变式1-4］（多选）（23-24高二上•河南洛阳・期中）在I、II两个区域内存在磁感应强度大小均为2的匀

强磁场，磁场方向如图所示，ND、AC边界的夹角为30。，边界AC与边界VN平行，II区域宽度为小质

量为加、电荷量为g的正粒子，可在边界4D上的不同点以垂直4D且垂直磁场的方向射入磁场，若入射速

度大小为四，不计粒子重力，则（）

m

A.粒子在磁场中运动的半径为0.54

B.粒子在距/点0.54处射入，会进入n区域

C.粒子在距4点1.5d处射入，在I区域内运动的时间为—

qB

7TJTI

D.能够进入II区域的粒子，在n区域内运动的最短时间为—

2qB

题型2“放缩圆”处理临界或极值问题

【例2】（24-25高三上•广西•月考）如图所示，边长为心的正方形a6cd区域内分布磁感应强度大小为3、

方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从/边的中点尸处发射速率不同、质量为加、电荷量为4的带正电粒子,

粒子沿纸面与R/成30。的方向射入该磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。已知某一速率的粒

子恰好能从船边离开磁场，则该粒子入射的速度大小是（

a

4qBL

A.「幽B.”幽C.,=迪D.v=

3m4mmm

【变式2-1］（2024・河南•二模）如图所示，在第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场（坐标轴上无磁场）,

位于x轴上的尸点有一粒子发射器，沿与x轴正半轴成60。角方向发射不同速率的电子，已知当速度为%时,

粒子恰好从。点沿y轴负方向离开坐标系，则下列说法正确的是（）

A.如果则粒子速度越大,在磁场中运动的时间越长

B.如果v>%,则粒子速度越大,在磁场中运动的时间越短

C.如果则粒子速度越大,在磁场中运动的时间越长

D.如果则粒子速度越大,在磁场中运动的时间越短

【变式2-2］（23-24高二上•陕西西安・月考）一匀强磁场的磁感应强度大小为8,方向垂直于纸面向外，其

边界如图中虚线所示，ab=cd=2L,bc=de=L,一束质子在纸面内从。点垂直于成射入磁场，这些粒子

具有各种速率。不计重力和粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为加、电荷量为+4。则在磁场中运动时

间最长的粒子，其运动速率为（）

.W5qBL

AD.----

4m4m

C5qBLD5qBL

,8m6m

【变式2-3］（2023•湖南•高考真题）如图，真空中有区域I和II,区域I中存在匀强电场和匀强磁场，电场方

向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF区域（区域n）内存在匀强磁

场，磁场方向垂直纸面向外。图中/、C、。三点在同一直线上，与GF垂直，且与电场和磁场方向均垂

直。/点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域I中，只有沿直线NC运动的粒子才能进入

区域II。若区域I中电场强度大小为£、磁感应强度大小为耳，区域n中磁感应强度大小为层，则粒子从CF

的中点射出，它们在区域II中运动的时间为仇若改变电场或磁场强弱，能进入区域II中的粒子在区域II中运

动的时间为不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（）

A.若仅将区域I中磁感应强度大小变为22/,贝卜＞电

B.若仅将区域I中电场强度大小变为2E,贝卜＞访

C.若仅将区域II中磁感应强度大小变为巧层，则/=当

D.若仅将区域n中磁感应强度大小变为亨与，贝=

【变式2-4］（2024•安徽阜阳•模拟预测）如图所示，在坐标系第一象限内有垂直纸面向外、磁感应强度为

B（）、足够大的匀强磁场。质量为〃八电荷量为+«的带电粒子在xQy平面内从y轴上的M（0,£）点以不同

速率射入磁场，且速度方向与y轴正半轴的夹角方53。保持不变。题中m、q、乙为己知值，不计粒子重

力,sin53°=0.8o回答下列问题:

（1）若粒子从x轴下方离开磁场，求粒子速度大小应满足的条件；

（2）若粒子从了轴左侧离开磁场，求y轴上有粒子经过的区域长度；

（3）若x轴上方充满着方向垂直纸面向外的非匀强磁场，磁感应强度大小随纵坐标y均匀增大，且满足

8=4比。粒子以大小为v=遗性的速度从M点沿原方向（即图示方向）射入磁场，求粒子在磁场中从M

Lm

点运动到离x轴最远位置的过程中运动轨迹与x轴围成的面积S。

题型3“旋转圆”处理临界或极值问题

【例3】（2024•广东深圳•二模）如图所示，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于圆所在

的平面。一速度为v的带电粒子从圆周上的/点沿半径方向射入磁场，入射点/与出射点8间的圆弧蓝为

整个圆周的三分之一。现有一群该粒子从N点沿该平面以任意方向射入磁场，已知粒子速率均为毡v,忽

3

略粒子间的相互作用，则粒子在磁场中最长运动时间为（

c兀R

6v

【变式3-1］（23-24高二上•重庆沙坪坝•期末）如图，空间分布着磁感应强度大小为3,方向垂直纸面向外

的匀强磁场。关于。点对称的薄板"N的长度为3a,。点到"N的距离为a。。点有一粒子源，能沿纸面

内任意方向发射速率相同、质量为加、电荷量为q的正电粒子。已知水平向右发射的粒子恰能垂直打在

上，打到九W上、下表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力，则被儿W吸收的粒子在磁场中运动的最长时

间为（）

【变式3-2］（23-24高二下•江苏常州•期中）如图所示，匀强磁场中位于尸处的粒子源可以沿垂直于磁场

向纸面内的各个方向发射质量为加、电荷量为外速率为v的带正电粒子，P到荧光屏VN的距离为小设

荧光屏足够大，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列判断正确的是（）

XXXX

B

XXXX

A.若磁感应强度3=一，则发射出的粒子到达荧光屏的最短时间为会

B.若磁感应强度8=-7,则同一时刻发射出的粒子到达荧光屏的最大时间差为空

qav

C.若磁感应强度8=丽，则荧光屏上形成的亮线长度为2Kd

D.若磁感应强度2=翡，则荧光屏上形成的亮线长度为（庄+g）d

【变式3-3]（23-24高二上•甘肃张掖・月考）如图所示，真空室内存在磁场方向垂直于纸面向里、磁感应强

度的大小为3=0.30T的匀强磁场。磁场内有一块较大的平面感光板油，板面与磁场方向平行，在距成的距

离为/=32cm处，有一个点状的a粒子放射源S,它能向各个方向发射a粒子，带正电的a粒子速度都是

v=3.0xl06m/so已知a粒子的电荷量与质量之比为2=5.0xl（）7C/kg,现只考虑在纸面内运动的a粒子,

m

则感光板湖上被a粒子打中区域的长度为（）

XXXXXX

a■b

XXX：XXX

X;/X

XXXX

B

s*

XXXXXX

A.40cmB.30cmc.35cmD.42cm

【变式3-4]（24-25高二下•全国•单元测试）如图，在平面直角坐标系。孙的第一象限内，存在垂直于纸

面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为3。大量质量为加、电荷量为夕的相同粒子从y轴上的P（0,V3Z）

点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为a

（0°<ct<180°）0当a=150。时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，则（）

A.粒子一定带负电

B.当a=45。时，粒子也垂直x轴离开磁场

C.粒子的入射速率为拽型

m

D.粒子离开磁场的位置到。点的最大距离为2阮

题型4磁聚焦与磁发散

【例4】（24-25高二上•全国•课后作业）带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原

理如图，真空中半径为的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一束宽度为2八沿x轴正方向运动的电子

流射入该磁场后聚焦于坐标原点。。已知电子的质量为仅、电荷量为e、进入磁场的速度为v,不计电子重

力及电子间的相互作用，则磁感应强度的大小为（）

2r''：'

、I

-----JA'//

J'__、、、、_、

'o]X

mvyflmvrnv2m

A.--D.----C.D.----

2er2er夕er

【变式4-1］（多选）（2024•福建泉州•模拟预测）我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了

全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图，实

线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场I、IL磁感应强度分别为S，两圆半径均为厂，

相切于。点。一束宽度为2r的带电粒子流沿x轴正方向射入后都汇聚到坐标原点。。已知粒子的质量均为

加、电荷量均为+外进入磁场的速度均为v,不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的

是（）

A.8/的大小为一

qr

B.从。点进入磁场II的粒子的速度仍相等

C.若B『2B、,则粒子在磁场II的边界的射出点在四分之一圆周上

D.若与=0・5瓦，则粒子在磁场II中运动的最长时间为丁

3v

【变式4-2］（多选）（2023・山东•模拟预测）利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人

们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为4的带正电粒子流水平向右

射入半径为4的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为综，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形

区域，正方形过。点的一边与半径为％的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域,

使汇聚到。点的粒子经过该磁场区域后宽度变为功,且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用

力及粒子的重力，下列说法正确的是（）

A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2稣，方向垂直纸面向里

B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为;及,，方向垂直纸面向里

C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2（万-2）4

D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为一婿

【变式4-3］（2023・广东•模拟预测）磁聚焦和磁发散技术在许多真空系统中得到了广泛应用，如电子显微

镜技术，它的出现为科学研究做出了重大贡献。现有一个磁发散装置，如图所示，在半径为R的圆形区域

内存在垂直纸面向外，磁感应强度为8的匀强磁场，在圆形磁场区域右侧有一方向竖直向下，电场强度为£

的匀强电场，电场左边界与圆形磁场右边界相切。在水平地面上放置一个足够长的荧光屏尸。，它与磁场相

切于P点。粒子源可以持续的从P点向磁场内发射速率为v方向不同的带正电同种粒子。经观测：有一粒

子。以竖直向上的初速度射入磁场，该粒子经磁场偏转后恰好以水平方向离开磁场，然后进入电场区域。

粒子6进入磁场的速度方向与粒子a的速度方向夹角为6（未知），进入磁场后，粒子6的运动轨迹恰好

能通过圆形磁场的圆心O,最终也进入到电场区域。已知电场强度和磁感应强度的关系满足E=不计

粒子重力及粒子间相互作用。求：

（1）粒子的比荷幺；

m

（2）粒子b与粒子a的夹角夕和6粒子打在荧光屏上的亮点到P点的距离x；

（3）入射方向与荧光屏所在平面成60。〜120。区间范围内的粒子，最终打到荧光屏上形成的亮线长度。

题型5磁场最小面积问题

【例5】（多选）（2023•湖北•模拟预测）如图所示，有一个正方形区域N2CD,在内部某一区域内有一垂

直于纸面向里、磁感应强度大小为稣的矩形匀强磁场。一个质量为〃八电量为q（4＞。）的带电粒子从

的中点以速度v垂直于CD射入正方形区域，从3c边的中点垂直于3c飞出该正方形区域，不计粒子的重

力，下列说法正确的是（）

A.该粒子在磁场里运动的时间才

2qB。

rem

B.该粒子在磁场里运动的时间t=--

2qB0

m~v~

C.该矩形区域磁场的最小面积S=而

（2+血）加2V2

D.该矩形区域磁场的最小面积S=--------1——

/纭2

【变式5-1]（2024•山西临汾•二模）如图所示，M、N为纸面内一直线上的两点，某圆形区域中存在垂直

纸面的匀强磁场。一质量为加、电荷量为4（4>0）的带电粒子，垂直于直线从M点以速度为v进入圆形磁

场区域，经过磁场的偏转，粒子再次通过该直线的位置为N,且方向与直线之间的夹角6=30。。已知加、N

两点间的距离为乙不计粒子的重力。求：

（1）磁感应强度2的大小；

（2）圆形磁场区域的最小面积S。

【变式5-2]（2023•黑龙江•一模）如图所示，。/与y轴的夹角9=60。，在此角范围内有沿y轴负方向的

匀强电场，一质量为〃八电荷量为qS>0）的粒子以速度从左侧平行于x轴射入电场，入射点为P,经

电场后沿垂直于。/的方向由0点进入一矩形磁场区域（未画出，方向垂直纸面向外），并沿x轴负方向

经过。点。已知。点到0点的距离为6/,不计粒子的重力，求：

（1）匀强电场的电场强度大小；

（2）匀强磁场的磁感应强度大小；

（3）矩形磁场区域的最小面积。

【变式5-3]（23-24高二下•安徽•期末）如图所示，平面直角坐标系了办的第二象限内存在垂直纸面向外

的匀强磁场，磁感应强度大小为例（品未知），第一象限内一圆形区域中存在垂直纸面向外、磁感应强度

大小为的匀强磁场（图中未画出）。一质量为加、电荷量为4的带正电粒子从x轴上的尸点以速

度W沿与x轴负方向成45。角的方向射入第二象限内的匀强磁场中，恰好从M点垂直于y轴射入第一象限,

在第一象限内经磁场偏转后从N点垂直x轴射入第四象限，已知。、P之间的距离为心。、N之间的距离

为22,不计粒子重力，求：

（1）第二象限内磁场的磁感应强度大小8/；

（2）第一象限内圆形匀强磁场区域的最小面积S。

【变式5-4］（23-24高二上•内蒙古赤峰•期末）如图所示，第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未

画出），一质量为加、电荷量为q的带正电粒子从x轴上的M点以速度垂直于x轴射入磁场，从y轴上

的N点射出时速度方向与>轴正方向的夹角a=60。，M点和原点。间的距离为力不计粒子所受的重力。

（1）求匀强磁场磁感应强度2的大小；

（2）若仅在第一象限内一矩形（MN为矩形的一条边）区域内存在磁场，求矩形磁场的最小面积”。

__

0Mx

题型6带电粒子带电性不确定形成的多解

【例6】（多选）（23-24高二下•四川广元•开学考试）如图所示，左右边界分别为尸P、00，的匀强磁场的

宽度为d,磁感应强度大小为8,方向垂直纸面向里。一个质量为〃?、电荷量为q的粒子，沿图示方向以

速度%垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界。2射出，粒子入射速度%的最大值可能是（）

PQ

XX

P'X0'

A（2+V^）8qdBBqdC（2—\[2^Bqdy/lBqd

\n-J----------

m2m

【变式6-1］（多选）（22-23高二下•全国•课前预习）如图所示,匀强磁场的磁感应强度为8,方向垂直纸

面向里，AGV是它的下边界。现有质量为“、电荷量为q的带电粒子与MN或30。角垂直射入磁场，则粒子

在磁场中运动的时间可能为（）

XXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXX

B

XXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXX

XXXXXX1XXX

MON

zrm27rm

B.

3qB3qB

4Tim57tm

D.

3qB3qB

【变式6-2］（多选）（21-22高二•全国•课时练习）如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里的匀强磁

场。一个质量为机、电荷量大小为夕（不计重力）的带电粒子从坐标原点。处以速度v进入磁场，粒子进入

磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120。角，若粒子在磁场中运动时与x轴的最大距离为“，则

磁感应强度B的大小和该粒子的电性可能是（）

XX

B

XX

XX

X

3mv4—,cmv小十+

A.-一，市正电B-通5正电

2aq

3mv.mv

C.-一，市负电D-通’带负电

2aq

题型7磁场方向不确定形成的多解

【例7】（多选）（2023高二•全国・专题练习）如图所示，/点的离子源沿纸面垂直。。方向向上射出一束

负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在。尸之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。己知

。、/两点间的距离为s,负离子的比荷为幺，速率为v,OP与间的夹角为30。，则所加匀强磁场的磁

m

感应强度B的大小和方向可能是（）

/P

一上眦.f____

oAQ

mv

A.一,垂直纸面向里B.B>——，垂直纸面向里

3qsqs

mv3mv

C.B>—,垂直纸面向外D.B>---,垂直纸面向外

qsqs

【变式7-1］（多选）某电子以固定的正电荷为圆心在匀强磁场中做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运

动平面，电子所受电场力恰好是磁场对它作用力的3倍。若电子电量为e,质量为加，磁感应强度为5。那

么，电子运动的角速度可能是（）

4Be3Be2BeBe

A.-----B.-----C.-----D.—

mmmm

题型8临界状态不唯一形成的多解

【例8】（23-24高二下•江苏扬州•期中）如图所示，直线儿W与水平方向成60。角，的右上方存在垂直

纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为次一粒子源位

于"N上的。点，能水平向右发射不同速率、质量为加、电荷量为《（q>0）的同种粒子（重力不计，粒子间

的相互作用不计），所有粒子均能通过"N上的6点，已知仍=£,则粒子的速度可能是（）

x\....................

a\・•••

xx\B

B'J**

xxx'、」

Ay/iqBL口扣qBL「6qBL门y/iqBL

A.--------D.----------C.---------D.---------

m2m3m4m

【变式8-1］（23-24高二上•山东青岛•期末）长度为上的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大

小为8的匀强磁场，从距水平板中心正上方g的尸点处以水平向右的速度%释放一个质量为加、电荷量为

e的电子，若电子能打在水平板上，速度「应满足（）

XXXXX

XXXX

P・-----

XXXXX

XXXXX

eBLeBL

A.%>B.vo<~

2m4m

eBLeBLeBLeBL

C.<v0<-----D.%>------或%<-----

4m2m2m4m

【变式8-2］（多选）（22-23高二上•河南南阳•期中）如图所示，区域内有一方向垂直纸面向里、

磁感应强度大小为2的匀强磁场44=30。，AE=L,弧EFC是直径为筋的半圆，/EC在一条直线上。在

/点有一个粒子源，可以沿方向发射速度大小不同的带正电的粒子，均打到弧E/C上。已知粒子的比

荷均为总不计粒子间相互作用及重力，则关于粒子在上述过程中的运动时间可能的是（）

A

E

xXx

\F

XXXX

XXX

DC

.5万2%2%

B.-----D.-----

'嬴3Bkc建9Bk

【变式8-3］（多选）（2024高三・全国•专题练习）如图所示，边长为上的等边三角形区域/C。内、外的

匀强磁场的磁感应强度大小均为5、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点/处有一质子源，能沿乙4

的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子（质子重力不计、质子间的相互作用可忽略），所有质子

恰能通过。点，已知质子的比荷包=左，则质子的速度可能为（）

m

AB

/x\

•/xx公、•

c乙尸-”'2

，BkL

A-FB.BkL

c3BkL