重庆市某中学校2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题（解析版）

重庆市巴蜀中学教育集团初2025届初三（上）期末考试

数学

巴蜀中学初中数学试题研究中心命制

（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为

A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应

的方框涂黑.

1.下列四个数中，最小的数是（）

A.-2B.-3C.百D.2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了实数的大小比较，根据“正数大于负数，两个负数，绝对值大的而反而小”进行比较

即可判断求解，掌握实数的大小比较方法是解题的关键.

【详解】解：,••正数大于负数，

，最小的数在一2和一3中，

v|-2|=2,|-3|=3,

又：两个负数，绝对值大的而反而小，

—3<—2,

•••最小的数是一3,

故选：B.

2.下列五线谱符号中，是轴对称图形的是（）

BcD

AJR%于|§

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相

重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，据此判断即可求解，掌握轴对称图形的

定义是解题的关键.

【详解】解：A.是轴对称图形，该选项符合题意；

B.不是轴对称图形，该选项不符合题意；

C.不是轴对称图形，该选项不符合题意；

D.不是轴对称图形，该选项不符合题意；

故选：A.

Q

3.若反比例函数y=—的图象经过点（a,2）,则。的值为（）

X

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点（。，2）代入反比例函数解析式即可求解，掌握

反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.

Q

【详解】解：•••反比例函数y=—的图象经过点（a，2）,

••.2上

a

a=4,

故选：D.

4.如图，一个内角为30。的直角三角板与两条平行线4和。相交，已知/1=50°，则N2的度数为

()

A.70°B.60°C.50°D,40°

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由平行线的性质可得N3=/l=50°,再根据三

角形内角和定理即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键.

【详解】解：

.1.23=21=50%

VZ4=6O°,

Z2=180°-Z3-Z4=180°-50°-60°=70°，

故选：A.

5.如图，已知VABC和A'B'C位似，位似中心为0,且OB:O3'=1:2,则VABC和'AB'C的面积比

为（）

A.1:2B.2:1C.1:4D.4:1

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了位似图形和相似图形的性质，由VA3C和A'3'C'的位似比为1:2可得VA3C和

A8C'的相似比为1:2,进而根据相似三角形的性质即可求解，掌握位似图形和相似图形的性质是解题

的关键.

【详解】解：：VABC和A'3'C'位似，位似中心为。，且OF:OB'=1:2,

NABC和'AB'C的相似比为1:2,

/.NABC和AB'C的面积比为1:4,

故选：C.

6.已知根＜7伤（2&-则整数机的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，利用二次根式的乘法运算可得

72（2A/3-V2）-276-2=724-2,进而利用夹逼法可得2〈后（2/—拒）＜3,据此即可求解，掌

握无理数的估算方法是解题的关键.

【详解】解：V2（2V3-V2）=V2X2A/3-（V2）2=276-2=724-2,

V16<724<725，

•••4<V24<5>

•••2<A/24-2<3，

即2<四（26-⑹<3

,/m<A/2（2g-夜）<m+1,

，整数加=2,

故选：B.

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了图形类规律变化问题，由已知图形可得第"个图形苯环的个数为（“+US+4,据

2

此解答即可求解，由己知图形找到变化规律是解题的关键.

【详解】解：图①苯环的个数为3=0+1）*°+2）,

2

图②苯环的个数为6=（2+1）义（2+2）,

2

图③苯环的个数为10=（3+》（3+2）,

2

图④苯环的个数为15=（…义口+4,

2

L,

.•.第"个图形苯环的个数为（"+l）（"+2）,

2

当,〃=9时,，——+--+---^=^10—x1^1=55,

22

图⑨中苯环的个数为55,

故选：B.

8.如图，0为矩形ABCD的中心，一。与A。、3C相切于点£、F,以E为圆心、为直径的半圆

交（。于点G、H,若项=2,AD=2后,则阴影部分的面积为（）

A.四+3B.巴+且C心+"D.巴+走

62643234

【答案】C

【解析】

【分析】连接OF、OH,过点。作O做于点由垂径定理和矩形的性质可得

FM=-FH=-FC=-BC=—f根据切线的性质可得四边形A5CD是矩形，得到'=AB=2，

2242

进而得到OR=—AB=1,即可得O"=—=—,再根据锐角三角函数可得NMO尸=60。，

22

得至UNCFH=60°,NFOH=2ZMOF=120。,由S弓形切=S扇形即打一S.目求出弓形的面积，再根据

S阴影=2（5扇形仃”-S弓形FH）即可求解.

【详解】解：连接OE、OF、OH,过点。作见于点〃，则9=!b〃=,/。=工8。，

224

ZOMF=90°，

9

•.•四边形ABCD是矩形,

:.BC=AD=2g，AD//BC,ZA=ZB=90°,

FM=-x2y/3=—

42

•/。与A。、5C相切于点E、F,

：.0E1BC,OFYAD,

ZAEO=ZBFO=NCFO=90°,

•：AD//BC,

，点、E、0、下三点共线,

VZA=ZB=ZAEO=ZBFO=90°,

，四边形A砂石是矩形,

：•EF=AB=2,

：.OF^-AB^1,

2

2_1

OM=y/OF-——,

2

是r

在RtZkOAlF中,sinZMOF=—=^=~，

OF12

：.ZMOF=60°,

ZOFM=900-ZMOF=90°-60°=30°,

NCFH=90°-ZOFM=90°-30°=60°,

OF=OH,OM1FH,

ZFOH=2ZMOF=120°,

2

.0_co_12071XI1R1_7TV3

**3弓形切_3扇形尸OH_3.FOH-—xX---―--,

‘巴+走]=巴+近

HF]64J32

故选：C.

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，扇形的面积，锐角三角函数，切线的性质，勾股定

理，正确作出辅助线是解题的关键.

9.如图，正方形ABCD中，点E在3D上，DE=2BE,连接CE,过点E作毋J_CE交A3的延长线

于点儿再过点尸作尸G〃CE,FG=CE,连接CG、DG,则空的值为（）

BD

654A/2J13

A.-B.-C.D.江

5453

【答案】D

【解析】

【分析】过点E作垂足分别为监N,先证明CEM”.EEN（ASA）,四边形

EFGC为正方形,过点G作GHLDC,交。。延长线于点打，再证明CGHgCEM（AAS）,设

EM=BM=x,由9CD得肛=%=工,则OW=2x=CH,CB=CD=3x,DH=5x,分

DECM2

别在Rt^DaGRtaOCB中，运用勾股定理求得。G=®x，BD=30，即可求出比值.

【详解】解：过点E作EMLBCENLAB,垂足分别为M,N,则/EMC=/硒〜=90°,

:四边形ABCD是正方形，

：.ZABC=ZBCD=9Q°，ZCBD=ZABD=-ZABC=45°,DC=BC,

2

:.EM=EN,四边形石MBN为正方形，

NMEN=90。，

VEF1CE,

NCEM+ZMEF=ZMEF+NFEN=90°,

A/CEM=/FEN,

：..CEMFEN(ASA),

：.EC=EF,

VFG//CE,FG=CE,

四边形瓦GC为平行四边形，

EFLCE,

四边形EFGC为矩形，

,:EC=EF,

.•.四边形瓦GC为正方形，

ACG=CE,ZECG=9Q°,

过点G作交。。延长线于点H,

AZH=ZCME=9Q°,

同理可得：N1=N2，

/.CGH^CEM(AAS),

：.GH=EM,CH=CM,

VEMYBC,NCBD=45°,

:.设EM=BM=x,

VEMLBC,ZBCD=90。,

：.EMCD,

,BEBM1

：.CM=2x=CH,

:.CB=CD=3x,

：.DH=5x,

在RtADHG,RtADCB中，分别由勾股定理得：DG=>JHG2+DH2=^x2+(5x)2=726%,

BD=3叵x-

.DG_426x_J13

'BD~3叵x—3'

故选：D.

【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的综合问题，平行线分线段成比例定理，

角平分线的性质定理，正确构造全等三角形是解题的关键.

10.已知整式K=a/2+2x+q(%、a、q.均为整数，i=L2,3,4,5),且

A/1+M2+Af3+M4+M5=4x~+8x+17,下列说法：

①若曰<a2<a3<a4<a5,则⑷+同+同+同+|%|的值可能为20；

②存在M2,M3,M&,M5均为非零的整式的平方；

③若。1=1,2,3,4,5)均为正整数，则。「。2,。3.。435最大值为432.

其中正确的个数是()

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了整式加减的应用，由题意得囚+出+。3+。4+。5=4,。+。2+。3+C4+C5=W,据此

逐项判断即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键.

2

【详解】解：①：=aix+bix+q,

My+M]+M3+=(4+%+%+&+%)厂+(仿+b[+4+4+々)x+(C]+c2+C3+C4+C5)，

又Af]+M2+M3+M+Afj=4x~+8x+17,

囚+/+%+%+%=4,C[+C2+C3++%—17,

V为为整数，

二.%、。2、%、%、%的值可以为—5、-3、3、4、5,

V|-5|+|-3|+|3|+|4|+|5|=20,

二同+同+同+同+同的值可能为20,故①正确；

222

②若陷=(x+l)2,M2=(%+1)，M=(x+1»M4=(X+1),A/5=(V13),

2

则叫+M2+M3+M4+M5=4x+8x+17,

存在M],M2,M3,M4,M5均为非零的整式的平方，故②正确；

③'/。]+。2+。3+。4+%=17,c;(/=1,2,3,4,5)均为正整数，

则当=。2=。3=3,。4=。5=4时，qqqqc取最大值，最大值为3x3x3x4x4=432,故③正

确；

综上，正确的个数是3,

故选：A.

二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的正确答案直接填在答

题卡中对应的横线上.

11.新华社官方视频号的一条视频共获得点赞约6480000次，将6480000用科学记数法表示为

【答案】6.48xlO6

【解析】

【分析】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中

1<|a|<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，w的绝对值与小

数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，”是正数；当原数的绝对值<1时，”是负数.据此解答即

可.

【详解】解:6480000=6.48xlO6.

故答案为：6.48xlO6-

12.小巴同学要从2024年度的流行语“cg不c力、硬控、班味、松弛感”4个词语中随机抽取2个进行

“表演猜词语”，小巴同学抽中“班味”的概率为.

【答案】|

【解析】

【分析】本题考查了概率的计算，分别用A、B、C、。表示c班不c力、硬控、班味、松弛感，画树状图求

解即可.

【详解】解：分别用A、B、C、。表示的不如、硬控、班味、松弛感，画树状图如下：

开始

/N小/N小

BCDACDABDABC

共有12种等可能的情况，其中小巴同学抽中“班味”的有6种,

所以，小巴同学抽中“班味”的概率为：—

122

故答案为：

13.如图，VABC中，AB=AC,以为直径的交况■于点A过点〃作「O的切线应交48的延

长线于点£,若A5=4，tanZG4B=2,则切线庞的长为.

【答案】4

【解析】

【分析】连接OD,由切线的性质可得NODE=90°,由等腰三角形的性质可得NODS=/05D,

ZC=ZOBD,即得NODB=NC,得到OD〃AC,进而得到NOOE=NC4B,即可得

DE

tanZDOE==2,据此即可求解.

OD

【详解】解：连接00,

是。。的切线，

:.0D1DE,

ZODE=90°,

；OB=OD,

：.ZODB=ZOBD,

又：AB=AC,

ZC=ZOBD,

：.ZODB=ZC,

OD//AC,

.../DOE=/CAB,

tanACAB=2,

AtanZDOE=2,

即需2,

-：AB=4,

OD=2,

：.DE=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，正确作出辅

助线是解题的关键.

3

—x<x+1

14.关于x的一元一次不等式组《2至少有3个整数解，且关于v的分式方程

2（x+4）>-x+m

m-1〜2

--=2---的解为非负整数，则符合条件的整数机的值之和为______.

y—22—y

【答案】12

【解析】

【分析】本题考查了由不等式组的解集情况求参数，由分式方程的解求参数，有理数的加法运算，先求出

m+1

不等式组的解集加<8,再解分式方程得到y=《一，进而根据分式方程的解为非负整数，可得

m+1

m>-b（—为整数，即得-1<加<8,即可得，再根据分式方程有意义的条件可得机/3,即得得到

符合条件的整数加的值，据此即可求解，由不等式组和分式方程求出整数机的值是解题的关键.

【详解】解：解不等式组得，l^<x<2,

3

:不等式组至少有3个整数解，

m-8„

-------<0,

m<8,

H7+1

解分式方程得，y=—

2

・・,分式方程解为非负整数，

m+1八=加+1、,士…〃

・•・------20且-----为整数,

22

m2—1,

A-l<m<8,

..•丝m+三1为整数，

2

.,.加=-1或1或3或5或7,

又：y-2w0,

，加w3,

综上，符合条件的整数"?的值为—1，1，5,7,

符合条件的整数加的值之和为一1+1+5+7=12,

故答案为：12.

15.如图，菱形ABCD中，点尸是上一动点，连接ABFC沿CF折叠至AB'FC，满足

B'CIAD,B'E=4,DE=8,则AB=,连接。尸，ADF=.

【解析】

【分析】由勾股定理求出8=10,作FHLBC于点H,连接AC,证明-DEC得

FH:BH:BF=CE:DE:CD^3A:5,设FH=3x,BH=4x,BF=5x,证明△口，”是等腰直角三角

形得然后根据求解即可.

CH=FH=3x,SAFUD=SZA11FLC=-S/iDALBC

【详解】解：：四边形ABCD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,AD//BC,ZB=ZADC,

,/B'CVAD,B'E=4,DE=8,

，CE2+DE-=CD-，

.-.(CD-4)2+82=CD2,

/.CD=10,

AAB=CD=10,CE=10-4=6.

作FHLBC于点H,连接AC,

ZBHF=ZCED=90°,

/.BHFsDEC,

：.FH:BH:BF=CE:DE:CD=6:8:10=3:4:5,

设FH=3x,BH=4x,BF=5%,

'：AD//BC,

：.ZBCE=NCED=9。。.

：.ZBCF=ZBCF=-ZBCE=45°,

2

•••△CF”是等腰直角三角形，

：.CH^FH=3x,

AB—BC=7%，

AF=lx,

.vv_2_2160

••5AFD=5AFC=~SABC=亍*万X1()X6=亍.

故答案为：10；—.

7

【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等

知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.

16.若一个四位自然数的百位数字比千位数字大2,个位数字是十位数字的2倍，且各个数位上的数字均

不为0,则称这个四位数为“加2数”.若一个四位自然数的百位数字是千位数字的2倍，个位数字比十

位数字大2,且各个数位上的数字均不为0,则称这个四位数为“倍2数”.例如3548是“加2数”，

3646是“倍2数”.则最小的“力口2数”与最大的“倍2数”之和是.若P为“力口2数”，Q为

“倍2数”，尸与Q的千位数字均为尸的十位数字为b,。的十位数字为b-1,且P、。各数位上的

数字之和分别记为K（P）、K（Q）,当K（P）_K（Q）为整数时，P-Q的最小值为

【答案】①.6191②.91

【解析】

【分析】根据定义可得最小“加2数”为1312,最大“倍2数”为4879,据此即可求解；

根据题意可得P=1000a+100（a+2）+106+26,Q=1000a+200a+10（b—l）+b+l,

K（P）=a+（a+2）+b+26=2a+3b+2,K（Q）=a+2a+（6—l）+（b+l）=3a+2〃,进而得到

P—Q=—100a+人+209,K（P）—K（Q）=—a+Z?+2,再代入代数式可得

P—。+996

进而根据K（P）-K（Q）为整数即可求解;

本题考查了列代数式，整式的加减运算，理解新定义解题的关键.

【详解】解：①由题意可得，当四位自然数的千位数字为1，百位数字为3,十位数字为1，个位数字为2

时，所得“加2数”最小，最小为1312；当四位自然数的千位数字为4,百位数字为8,十位数字为7,

个位数字为9时，所得“倍2数”最大，最大为4879,

最小的“加2数”与最大的"倍2数”之和是的12+4879=6191,

故答案为：6191；

②由题意得，P=1000a+100（a+2）+10/?+26,Q=1000a+200a+10（b—l）+b+l,

/.P-2=1000fl+100（«+2）+10Z?+2h-[1000fl+200fl+10（Z?-l）+Z?+l]

=n00a+126+200-（1200a+1仍-9）

=—100Q+/7+209,

又「K（P）=Q+（Q+2）+Z?+2Z?=2a+3b+2,K（Q）=Q+2Q+（Z?-1）+（Z?+1）=3a+2b,

・・・K（P）-K（Q）=2a+3b+2-（3Q+2b）=-Q+b+2,

P-Q+99b_-100a+100Z?+209

''K（P）-K（Q）—u+b+2

_100(-(7+Z?+2)+9

—Q+/?+2

9

=100+--------,

—ci+Z7+2

P-Q+99b

,,,K⑻—K(Q)为整数，

99

...当----------=—9,即—。+6+2=—1时，100+------取最小值,

—a+Z?+2—a+Z?+2

此时最小值为100—9=91,

••.P—Q的最小值为91,

故答案为：91.

三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题

必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写

在答题卡中对应的位置上.

17.（1）计算：3tan30。一（g）+|g—4卜（兀一2024）°

cici~-9）a2+3a、

（2）先化简，再求值：---十——,其中。满足/+3。一5=0.

（a—3a-6a+9Ja-3

33

【答案Id）—y/3—1;（2）—-——；--

a+3a5

【解析】

【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

（1）原式分别根据特殊角三角值、负整数指数暴、绝对值的代数意义以及零指数幕运算法则计算，然后进

行加减运算即可；

（2）先将原式中的括号内进行通分，再把除法以转换为乘法，约分后得最简结果，再代入计算即可.

【详解】解：（1）3tan30°-W—4/（兀—2024）°

=73-4+4-273-1

=一^/^—1;

Qci—9)〃+3a

(2)----------2--------------------

、〃—3u—6〃+9Ja—3

~3ci/—9/+3i

二(〃—3)2—(〃—3)2『a-3

-3(a-3)a—3

(Q-3)2a1+3tz

_3

-2a+c3a，

•片+3。—5=0'

••a2+3a=5，

一3

原式=~—.

18.为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识

竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩(百分制)，通过收集、整

理、描述和分析(得分用工表示，共分为四组：A.904为4100,B.80<x<90,C.70Vx<80,

D.x<70),得到如下不完全的信息：

八年级所抽取学生竞赛成绩条形图

ABCD等级

八、九年级所抽学生竞赛成绩统计

表

年级平均数中位数众数

八年级86.6m86

九年级86.688.5n

八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：89,88,86,86,86,86

九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99,98,96,96,94,92,92,90,90,89,

88,88,88,82,81，77,77,76,73,66

请根据以上信息完成下列问题：

(1)填空：加=,〃=,并补全八年级的成绩条形统计图；

(2)根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由(写

出一条理由即可)；

(3)规定在90分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有1600名，请你

估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？

【答案】(1)87,88.5,补图见解析

(2)九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由见解析

(3)680人

【解析】

【分析】(1)根据中位数和众数的定义可求出加、〃，根据条形统计图求出成绩在。组的学生人数，即可

补全八年级的成绩条形统计图；

(2)根据平均数、中位数和众数判断即可；

(3)用1600乘以八、九年级参加知识竞赛的优秀人数占比即可求解；

本题考查了条形统计图，平均数、中位数和众数，样本估计总体，掌握相关的统计知识是解题的关键

【小问1详解】

QQ86

解：由题意可得，m=-----=87,

2

1/九年级抽取的学生竞赛成绩中88分的人数最多，

；.〃=88,

故答案为：87,88.5,

由八年级的成绩条形统计图可得，成绩在。组的学生人数为20-8-6-4=2人，

补全八年级的成绩条形统计图如下：

八年级所抽取学生竞赛成绩条形图

ABCD等级

解：九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下:

两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但九年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于八年级学生的，所以

九年级学生的竞赛成绩更优秀;

【小问3详解】

8+9

解：1600x———=680,

20+20

答：估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有680人.

19.平行四边形的一组对边的中点连线的垂直平分线与平行四边形的另外一组对边所在直线交于两点，这

两个点与原来的两个中点组成的四边形是菱形.为了验证这个结论，小希进行了以下操作，请按要求完成

下列问题:

如图，在平行四边形ABCD中，E、尸分别为边ARCD的中点，连接班.

（1）尺规作图：作出所的垂直平分线，交直线A。、BC于点G、H,GH交EF于点O,连接

EG、FG、FH、EH；（只保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）结合（1）中图形，请你帮小希完成以下证明过程并将答案填在答题卡上对应的横线上：

证明：在平行四边形ABCD中，AB//CD,AD//BC,AB=CD

■:E、/分别为AB、CD的中点，

AE——AB,DF=一CD,

22

•••①___,AE//DF,

•••四边形AEED为平行四边形，

：.EF//AD//BC,

：.GO=OH,

为所的垂直平分线，

二③，

四边形EG"/为平行四边形,

•/EF1GH

，四边形EGEH为菱形.

小希进一步研究发现，当平行四边形A3CD为正方形时，四边形EGEH的形状为④.

【答案】（1）见解析（2）①AE=DF,②——，③OE=OF,④正方形

0H

【解析】

【分析】本题主要考查线段垂直平分线的作法，平行四边形的性质和菱形的判定，熟练掌握性质和判定是解

答本题的关键.

（1）分别以点E,尸为圆心，大于的长为半径画弧，两弧将于点M,N,过点N作直线，则直线

2

为所的垂直平分线；

（2）根据菱形判定定理进行判断即可.

【小问1详解】

解：如图，直线为所的垂直平分线，

【小问2详解】

证明：在平行四边形A3CD中，AB//CD,AD//BC,AB=CD

；E、厂分别为AB、CD的中点，

AE=—AB,DF=—CD,

22

：.@AE=DF,AE//DF,

.••四边形AEED为平行四边形，

EF//AD//BC,

GOAE,

②——=——=1,

OHEB

：.GO=OH,

•••GH为所的垂直平分线，

:.（3）OE=OF,

・・・四边形石GFH为平行四边形

•：EF1GH,

，四边形EGEH菱形.

小希进一步研究发现，当平行四边形A3CD为正方形时，四边形EGFH的形状为④正方形.

理由：当平行四边形A8CO为正方形时，如图，

:四边形ABCD是正方形，

：.AB=BC=CD=DA,ZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB//CD,AD//BC,

,:E、/分别为AB、CD的中点，

/.AE=—AB,DF=—CD,

22

AE=DF,

AE//DF，

，四边形AMD为平行四边形，

又ZA=ZD=90°,

/.ZAEF=ZDFE=90°,

二四边形AMD为矩形，

EF=AD,

：.AE=-EF,

2

为防的垂直平分线，

:.OE=OF=AE，

又GHLAD,

GO—AE=OE,

同理可得，OF=OH,

GH=EF,且互相垂直平分，

，四边形EGEH是正方形

故答案为：①AE=DF,②—,③OE=OF,④正方形.

0H

20.甲、乙两人计划周末到诗橙奉节徒步三峡之巅，甲选择乘坐高铁，已知主城到奉节的高铁线路长

240km,乙选择乘坐顺风车，主城到奉节的驾车线路长400km,已知高铁的平均速度为顺风车的1.5

倍，甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时.

(1)求出甲乘坐高铁和乙乘坐顺风车的平均速度；

(2)甲、乙商议在各自去奉节的途中拍摄精美照片.由于高铁速度快，乙每小时可拍到的精美照片比甲

每小时可拍到的2倍还多4张，最后要使甲、乙拍到的精美照片总和不少于115张，请问甲每小时至少要

拍多少张精美照片？

【答案】(1)甲乘坐高铁的平均速度为120千米/时，乙乘坐顺风车的平均速度为80千米/时

(2)甲每小时至少要拍7张精美照片

【解析】

【分析】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意找出相等关系和不等关系是解

答本题的关键.

(1)设乙乘坐顺风车的平均速度为x千米/时，则甲乘坐高铁的平均速度为1.5九千米/时，根据甲乘坐高铁

到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时列分式方程求解即可；

(2)设甲每小时至少要拍丁张精美照片，根据甲、乙拍到的精美照片总和不少于115张列不等式求解即可.

【小问1详解】

解：设乙乘坐顺风车的平均速度为了千米/时，则甲乘坐高铁的平均速度为1.5尤丁米/时，根据题意得，

240.400

-------1-3=-----,

1.5%x

解得，x=80,

经检验，x=80则原方程的根，

/.1.5x=1.5x8O=12O(千米/时)，

答：甲乘坐高铁的平均速度为120千米/时，乙乘坐顺风车的平均速度为80千米/时；

【小问2详解】

解：240+120=2(时)，400+80=5(时)，

设甲每小时至少要拍y张精美照片，则乙每小时拍(2y+4)张精美照片，根据题意得,

2y+5（2y+4）>115,

解得，y27—，

■12

答：甲每小时至少要拍7张精美照片.

21.【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为24V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变

电流y/A的大小，从而控制小灯泡L的亮度，实验电路图如图所示，已知小灯泡的电阻为3Q（不计温度

对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为尤/Q（0WxW9）（串联电路中总电阻=灯泡电阻+滑动变阻器

的电阻），通过多次试验，得到以下数据表：

电阻

La23579

x/Q

电流

L64.843b2

y/A

（1）根据实验结果，填空：a=,b=,根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：

（0<^<9）；

（2）【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数》的一条性质：

O123456789x/Q

（3）【深入探究】

4

已知一次函数y'=—§x+8（xN0）,结合（2）中函数图象分析，请直接写出当时x的取值范围：

24

【答案】（1）1，2.4,y=——

x+3

（2）画图见解析，性质：当owxw9时，y随着x的增大而减小

（3）0<x<3

【解析】

【分析】（1）根据（2+3）x4.8=（3+3）x4=（5+3）x3=（9+3）><2=24即可求解；

（2）根据（1）中表格数据及所得函数解析式可画出函数图象，再根据图象写出函数》的性质即可；

（3）画出一次函数的图象，根据图象解答即可；

本题考查了反比例函数的应用，反比例函数与一次函数的交点问题，由题意得到反比例函数的解析式是解

题的关键.

【小问1详解】

解：•.•（2+3）x4.8=（3+3）x4=（5+3）x3=（9+3）x2=24,

/.（a+3）x6=（7+3）b=24,

，a=1,b=2.4，

,・・（x+3）y=24,

24

••y—9

x+3

24

故答案为：1，2.4,y=——；

x+3

【小问2详解】

由图象可得，当owxw9时，y随着x的增大而减小,

故答案为：当ow九W9时，y随着龙的增大而减小；

【小问3详解】

解：当x=0时，y'=8；当y'=0时，%=6,

由函数图象可得，当时x的取值范围为0W尤43,

故答案为：0WxW3.

22.“1"腔热血护家园，“1”呼百应齐参与，“9”久守护永不变，在“全国消防日”之际，学校组织学

生到消防队参观消防救援车实施救援演练的过程，图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，

操作面OD与水平地面用平行，操作面离地面的距离OH=1米，伸缩臂CO可绕着点。旋转，点A在

0。上，A3为云梯的液压杆，其中可伸缩，已知套管05=3米，且套管08的长度不变.消防员为

大家介绍：此时，ZAOB=30°,ZBAD=6Q°,CELHG于点E,交。。于点R云梯末端工作台C上

升到了离地面CE=5.5米的高处.（参考数据：sin53°®0.8,cos53°«0.6,结果精确到0.1）

ffl!图2

（1）求此时液压杆A3的长度；（结果保留根号）

（2）通过消防员的操作，云梯伸缩臂CO绕点。逆时针旋转23。并伸长至OC,云梯末端工作台C的铅

锤高度上升了4米至（7,请问伸缩臂OC比伸缩臂OC伸长了多少米？

【答案】（1）=8米

（2）伸缩臂OC比伸缩臂OC伸长了1.625米

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.

（1）过点8作①3LAD,分别解和Rt_A3P,进行求解即可；

（2）过点C作C'QLOO,垂足为Q,过点C作CRLC'。，垂足为R,通过解直角三角形可求出。。和

0C,再相减即可得到答案.

【小问1详解】

解：过点2作成_LA£）,如,

在RJBPO中,03=3米，ZAOB=30°,

13

ABP=-OB=-（米），

22

在RtAP3中，ZBAD^60°,

3

BP-r

：.sinZBAP=——,即2_3,

AB~AB=~2

:.AB他（米）；

【小问2详解】

解：过点C'作垂足为Q,过点C作CRLC'。，垂足为凡

根据题意知，EF=OH=T（米）

,:CE=55（米）

ACF=CE-£F=5.5-1=4.5（米）

,/ZCOD=30°,

AOC=2CF=9（米）

由作图知四边形CRQF是矩形,

QR="=4.5米,

•/C'R=4米,

，CQ=CR+RQ=4+4.5=8.5米,

又ZCOC=23°,ZCOD=30°,

NC'OD=23°+30°=53°,

CQ

在RtaC'。。中，sinZC'OD

OC,

八悬喂f米，

OC'—OC=10.625—9=1.625米,

即伸缩臂OC比伸缩臂0c伸长了1.625米

23.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=+云+3(awO)经过点(-4,3),与y轴交于点2,与x

轴交于A、C两点(A在C的左侧)，连接ABBC,tanZBAO=~.

2

(2)点尸是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作？D〃AB交y轴于点。，交尤轴于点E,点尸为

y轴上一动点，当AE+BD取最大值时，求此时点P的坐标及|A/-P目的最大值;

(3)如图，点。是抛物线的对称轴与A3的交点，将该抛物线沿射线H4方向平移，使得新抛物线丁,刚

好经过点。，K为新抛物线y'上一动点，当NAQK+NR4O+NCBO=90°,请写出所有符合条件的点

K的坐标，并写出求解其中一个点K坐标的过程.

19

【答案】(1)y=—w%—%+3

3741

(2)|AF—P目的最大值为

4

⑶(-12T3)或奇，詈

Vyo1

【解析】

【分析】(1)先求出点8的坐标，再解直角三角形求出Q4的长，进而得到点A的坐标，再利用待定系数法

求解即可；

(2)求出直线AB解析式为y=；x+3；设p]机,一；机2+3],则直线解析式

y=-x--m2--m+3,求出6(工加？+3加-6,0],D\0,--m2--m+3|,进而求出

24212J42J

AE=-1/n2-3m,BD=-^irr-^m,则AE+3D=—：(根+3『，据此可得到AE+皿有最

大值时，点P的坐标为1-3,9]；再由|AF—P典WAP,得到当4、P、/三点共线时，|AF—「典有最

大值，最大值为心的长，据此利用勾股定理即可求出答案；

(3)先求出0(-2,2)；可设原抛物线向下平移九个单位长度，向左平移2〃个单位长度得到抛物线了，

17

则新抛物线解析式为y=-^(%+2+2冷+4-〃，利用待定系数法可得新抛物线解析式为

2

y=_l^x+4)+3；如图所示，取M(—2,0),连接血1,证明.注。BC(SAS),得到

ZMBO=NCBO；导角可证明NAQK=NA5M,如图所示，过点。作QK'〃创/交新抛物线与K'，

3

则NAQK'=NABM,即点K'即为所求；可求出直线QK'的解析式为y=/%+5,联立

[3<

y=—x+5

<2,可得K'(—12,—13)；如图所示，过点A作AK〃QK',且使得=连接

y=--(x+4)2+3

QR并延长，交新抛物线于K",则NR4Q=NAQK',可证明NRQA=NAQK,即点K"即为所求；

(52179、

求出点R的坐标，进而求出直线RQ的解析式，同理可得K〃-§,亚丁•

【小问1详解】

解：在〉=宙^+陵+3(。，0)中，当尤=0时，y=3,

AS(0,3),

OB=3,

•.•在Rt^ABO中，tanZBAO=~,ZAOB=90°,

2

.OBI

••二,

OA2

:.OA=6,

A（-6,0）,

把A（—6,0）,（Y,3）代入y=+云+3（〃wo）中得：J,

16〃-4-b+3=3