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文档简介

2025年河北省石家庄市行唐县第三中学校高三下学期3月阶段性检测试题数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知等比数列满足,,等差数列中,为数列的前项和,则()A.36 B.72 C. D.2.已知双曲线满足以下条件:①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合;②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q,且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点.则双曲线的离心率是()A. B. C. D.3.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(,)C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为58.79kg4.已知数列是公差为的等差数列,且成等比数列,则()A.4 B.3 C.2 D.15.已知点是双曲线上一点,若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.26.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D是AB的中点,若,且,则面积的最大值是()A. B. C. D.7.一个正四棱锥形骨架的底边边长为,高为,有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切,则该球的表面积为()A. B. C. D.8.已知函数,则在上不单调的一个充分不必要条件可以是()A. B. C.或 D.9.已知下列命题:①“”的否定是“”;②已知为两个命题,若“”为假命题,则“”为真命题;③“”是“”的充分不必要条件;④“若,则且”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为()A.③④ B.①② C.①③ D.②④10.已知,则()A. B. C. D.11.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:)服从正态分布,则直径在内的概率为()附:若,则,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.954412.已知定义在上的偶函数满足,且在区间上是减函数,令,则的大小关系为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.定义在R上的函数满足:①对任意的,都有;②当时,,则函数的解析式可以是______________.14.的角所对的边分别为,且,,若,则的值为__________.15.正四面体的一个顶点是圆柱上底面的圆心,另外三个顶点圆柱下底面的圆周上,记正四面体的体积为,圆柱的体积为,则的值是______.16.已知函数若关于的不等式的解集为,则实数的所有可能值之和为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知直线与椭圆恰有一个公共点,与圆相交于两点.(I)求与的关系式;(II)点与点关于坐标原点对称.若当时,的面积取到最大值,求椭圆的离心率.18.(12分)选修4-4:坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,曲线:(为参数),在以平面直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴,且与平面直角坐标系取相同单位长度的极坐标系中,曲线:.(1)求曲线的普通方程以及曲线的平面直角坐标方程;(2)若曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等,求这三个点的极坐标.19.(12分)在直角坐标系中,已知圆,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线平分圆M的周长.(1)求圆M的半径和圆M的极坐标方程;(2)过原点作两条互相垂直的直线,其中与圆M交于O,A两点,与圆M交于O,B两点,求面积的最大值.20.(12分)已知函数.(1)当a=2时,求不等式的解集;(2)设函数.当时,,求的取值范围.21.(12分)甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛,每人回答一个问题,答对得10分,答错得0分,假设甲班三名同学答对的概率都是,乙班三名同学答对的概率分别是,,,且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响.(1)记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件,求事件发生的概率;(2)用表示甲班总得分,求随机变量的概率分布和数学期望.22.(10分)已知椭圆C的中心在坐标原点,其短半轴长为1,一个焦点坐标为,点在椭圆上,点在直线上,且.(1)证明:直线与圆相切;(2)设与椭圆的另一个交点为,当的面积最小时,求的长.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】

根据是与的等比中项,可求得,再利用等差数列求和公式即可得到.【详解】等比数列满足,,所以,又,所以,由等差数列的性质可得.故选:A本题主要考查的是等比数列的性质,考查等差数列的求和公式,考查学生的计算能力,是中档题.2.B【解析】

由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率.【详解】依题意可得,抛物线的焦点为,F关于原点的对称点;,,所以,,设,则,解得,∴,可得,又,,可解得,故双曲线的离心率是.故选B.本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.3.D【解析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71,则=0.85>0,y与x具有正的线性相关关系,A正确;回归直线过样本点的中心(),B正确;该大学某女生身高增加1cm,预测其体重约增加0.85kg,C正确;该大学某女生身高为170cm,预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg,D错误.故选D.4.A【解析】

根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【详解】由成等比数列得,即,已知,解得.故选:.本题考查了等差数列,等比数列的基本量的计算,意在考查学生的计算能力.5.A【解析】

设点的坐标为,代入椭圆方程可得,然后分别求出点到两条渐近线的距离,由距离之积为,并结合,可得到的齐次方程,进而可求出离心率的值.【详解】设点的坐标为,有,得.双曲线的两条渐近线方程为和,则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为,所以,则,即,故,即,所以.故选:A.本题考查双曲线的离心率,构造的齐次方程是解决本题的关键,属于中档题.6.A【解析】

根据正弦定理可得,求出,根据平方关系求出.由两端平方,求的最大值,根据三角形面积公式,求出面积的最大值.【详解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中点,且,,即,即,,当且仅当时,等号成立.的面积,所以面积的最大值为.故选:.本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算,属于中档题.7.B【解析】

根据正四棱锥底边边长为,高为,得到底面的中心到各棱的距离都是1,从而底面的中心即为球心.【详解】如图所示:因为正四棱锥底边边长为,高为,所以,到的距离为,同理到的距离为1,所以为球的球心,所以球的半径为:1,所以球的表面积为.故选:B本题主要考查组合体的表面积,还考查了空间想象的能力,属于中档题.8.D【解析】

先求函数在上不单调的充要条件,即在上有解,即可得出结论.【详解】,若在上不单调,令,则函数对称轴方程为在区间上有零点(可以用二分法求得).当时,显然不成立;当时,只需或,解得或.故选:D.本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件,要注意二次函数零点的求法,属于中档题.9.B【解析】

由命题的否定,复合命题的真假,充分必要条件,四种命题的关系对每个命题进行判断.【详解】“”的否定是“”,正确;已知为两个命题,若“”为假命题,则“”为真命题,正确;“”是“”的必要不充分条件,错误;“若,则且”是假命题,则它的逆否命题为假命题,错误.故选:B.本题考查命题真假判断,掌握四种命题的关系,复合命题的真假判断,充分必要条件等概念是解题基础.10.C【解析】

利用诱导公式得,,再利用倍角公式,即可得答案.【详解】由可得,∴,∴.故选:C.本题考查诱导公式、倍角公式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意三角函数的符号.11.C【解析】

根据服从的正态分布可得,,将所求概率转化为,结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意,,,则,,所以,.故果实直径在内的概率为0.8185.故选:C本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题,考查了正态曲线的对称性,属于基础题.12.C【解析】

可设,根据在上为偶函数及便可得到:,可设,,且,根据在上是减函数便可得出,从而得出在上单调递增,再根据对数的运算得到、、的大小关系,从而得到的大小关系.【详解】解:因为,即,又,设,根据条件,,;若,,且,则:;在上是减函数;;;在上是增函数;所以,故选:C考查偶函数的定义,减函数及增函数的定义,根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程:设,通过条件比较与,函数的单调性的应用,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(或,答案不唯一)【解析】

由可得是奇函数,再由时,可得到满足条件的奇函数非常多,属于开放性试题.【详解】在中,令,得;令,则,故是奇函数,由时,,知或等,答案不唯一.故答案为:(或,答案不唯一).本题考查抽象函数的性质,涉及到由表达式确定函数奇偶性,是一道开放性的题,难度不大.14.【解析】

先利用余弦定理求出,再用正弦定理求出并把转化为与边有关的等式,结合可求的值.【详解】因为,故,因为,所以.由正弦定理可得三角形外接圆的半径满足,所以即.因为,解得或(舍).故答案为:.本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解,本题属于中档题.15.【解析】

设正四面体的棱长为,求出底面外接圆的半径与高,代入体积公式求解.【详解】解:设正四面体的棱长为,则底面积为,底面外接圆的半径为,高为.∴正四面体的体积,圆柱的体积.则.故答案为:.本题主要考查多面体与旋转体体积的求法,考查计算能力,属于中档题.16.【解析】

由分段函数可得不满足题意;时,,可得,即有,解方程可得,4,结合指数函数的图象和二次函数的图象即可得到所求和.【详解】解:由函数,可得的增区间为,,时,,,时,,当关于的不等式的解集为,,可得不成立,时,时,不成立;,即为,可得,即有,显然,4成立;由和的图象可得在仅有两个交点.综上可得的所有值的和为1.故答案为:1.本题考查分段函数的图象和性质,考查不等式的解法,注意运用分类讨论思想方法,考查化简运算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)(II)【解析】

(I)联立直线与椭圆的方程,根据判别式等于0,即可求出结果;(Ⅱ)因点与点关于坐标原点对称,可得的面积是的面积的两倍,再由当时,的面积取到最大值,可得,进而可得原点到直线的距离,再由点到直线的距离公式,以及(I)的结果,即可求解.【详解】(I)由,得,则化简整理,得;(Ⅱ)因点与点关于坐标原点对称,故的面积是的面积的两倍.所以当时,的面积取到最大值,此时,从而原点到直线的距离,又,故.再由(I),得,则.又,故,即,从而,即.本题主要考查直线与椭圆的位置关系,以及椭圆的简单性质,通常需要联立直线与椭圆方程,结合韦达定理、判别式等求解,属于中档试题.18.(1),;(2),,.【解析】

(1)把曲线的参数方程与曲线的极坐标方程分别转化为直角坐标方程;(2)利用图象求出三个点的极径与极角.【详解】解:(1)由消去参数得,即曲线的普通方程为,又由得即为,即曲线的平面直角坐标方程为(2)∵圆心到曲线:的距离,如图所示,所以直线与圆的切点以及直线与圆的两个交点,即为所求.∵,则,直线的倾斜角为,即点的极角为,所以点的极角为,点的极角为,所以三个点的极坐标为,,.本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化,消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去参数的常用方法有:①代入消元法;②加减消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法,极坐标方程化为直角坐标方程,只要将和换成和即可.19.(1),(2)【解析】

先求出,再求圆的半径和极坐标方程;(2)设求出,,再求出得解.【详解】(1)将化成直角坐标方程,得则,故,则圆,即,所以圆M的半径为.将圆M的方程化成极坐标方程,得.即圆M的极坐标方程为.(2)设,则,用代替.可得,本题主要考查直角坐标和极坐标的互化,考查极径的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.(1);(2).【解析】试题分析:(1)当时;(2)由等价于,解之得.试题解析:(1)当时,.解不等式,得.因此,的解集为.(2)当时,,当时等号成立,所以当时,等价于.①当时,①等价于,无解.当时,①等价于,解得.所以的取值范围是.考点:不等式选讲.21.(1)(2)分布列见解析,期望为20【解析】

利用相互独立事件概

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