上海市闵行第三中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

闵行三中2024学年第二学期3月月考高二年级数学学科试卷满分分值：150分完卷时间：120分钟命题人：王定一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1.已知抛物线方程为，则其准线方程为______．2.曲线在点处的切线斜率为_____________.3.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为______．4.双曲线渐近线方程是____________．5.已知，则______．6.从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有__________种.7若圆和圆外切，则______.8.若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为______．9.采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为_______可使爆破体积最大．10.设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是__．11.已知函数对有则实数a的取值范围为________12.定义在R上奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为_______.二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.下列选项中，不属于排列问题的是（）A.从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法B.有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案C.从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂D.从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点14.如果且，那么直线不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限15.如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（）A.在区间上是严格减函数 B.在区间上是严格增函数C.是极小值点 D.是极小值点16.已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：方程至多只有一个实数根；命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有．A.①真命题；②假命题 B.①假命题；②真命题C.①真命题；②真命题 D.①假命题；②假命题三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知圆的圆心为，且与直线相切.（1）求圆标准方程；（2）设直线与圆M交于A，B两点，求.18.设，已知函数．（1）若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间；（2）若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围．19.为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.）（2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？20.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率是，短轴长为2，若点分别是椭圆的左右顶点，动点，，直线交椭圆于点.（1）求椭圆的方程；（2）（i）求证：是定值；（ii）设的面积为，四边形的面积为，求的最大值.21.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）已知有两个极值点，且，（i）求实数a的取值范围；（ii）求的最小值．

闵行三中2024学年第二学期3月月考高二年级数学学科试卷满分分值：150分完卷时间：120分钟命题人：王定一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1.已知抛物线的方程为，则其准线方程为______．【答案】【解析】【分析】由题意可知，且焦点在x轴的正半轴上，即可得准线方程.【详解】由题意可知，且焦点在x轴的正半轴上，所以其准线方程为.故答案为：.2.曲线在点处的切线斜率为_____________.【答案】【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义运算求解.【详解】因为，则，可知曲线在点处的切线斜率.故答案为：.3.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为______．【答案】【解析】【分析】根据题意求，即可得椭圆方程.【详解】由题意可知：，即，则，且焦点在轴上，所以该椭圆的标准方程为.故答案为：.4.双曲线的渐近线方程是____________．【答案】【解析】【分析】由双曲线的方程可知，，即可直接写出其渐近线的方程.【详解】由双曲线的方程为，可知，；则双曲线的渐近线方程为.故答案为：.5.已知，则______．【答案】1【解析】【分析】直接求导，再根据导数含义即可得到答案.【详解】,，则.故答案为：1.6.从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有__________种.【答案】【解析】【分析】利用分步乘法计数原理即可，第一步从四个不同元素中选三个元素，第二步对所选元素进行排列.【详解】首先从四位家长中选三人有种方法，然后将选出的三位家长分别安排到三个路口有种方法，根据分步乘法计数原理，总的安排方法数为种.故答案为：7.若圆和圆外切，则______.【答案】4【解析】【分析】根据两圆外切则圆心距等于半径之和即可求解.【详解】圆圆心为，半径为1，圆圆心为，所以圆心距，因为两圆外切，所以,所以.故答案为：4.8.若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为______．【答案】##【解析】【分析】根据椭圆和双曲线方程可得出的表达式，再结合并利用对勾函数性质可求得的最大值为.【详解】由椭圆可得，由双曲线可得，所以，又，由对勾函数性质可得，当且仅当时，等号成立；所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立；故答案为：9.采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为_______可使爆破体积最大．【答案】【解析】【分析】先将圆锥的体积转化为关于深处的关系式，再利用导数与函数性质的关系求得的最大值点，从而得解.【详解】结合图形，可知圆锥的体积为，又因为，即，所以，，则，令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值，所以炸药包要埋在深处.故答案为：.10.设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是__．【答案】【解析】【分析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解．【详解】由已知得，由得．故答案为：．11.已知函数对有则实数a的取值范围为________【答案】【解析】【分析】根据题意设，不妨设，由已知化简可得即在上递增,进而判断可得结果.【详解】根据题意设，不妨设，，任意有可得即可得在上递增,因为，，当时，恒成立，即在上递增.当时，不能恒成立，即在不符合单调递增.综上，实数a的取值范围为.故答案为：12.定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为_______.【答案】3【解析】【分析】要求函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数，可构造函数，将问题转化为函数与函数的图象的个数．根据已知条件可判断函数的单调性和奇偶性，进而画函数的图象，观察两个函数图象交点的个数即可．【详解】令，因为当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，所以当x＞0时，．所以函数在上为增函数．因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以．所以函数为偶函数，且函数在上为减函数．因为定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，所以．所以．做函数与函数的图象如图所示．由函数的图象可知，函数与函数的图象有三个交点．所以函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为3个．【点睛】本题考查函数零点的个数问题，判断函数的零点个数，方法一，零点存在性定理的运用；方法二，函数与方程的关系，零点个数可转化为方程根的个数的判断；方法三，可转化为两个函数的图象交点问题．本题由条件“不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，”应想到构造函数．二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.下列选项中，不属于排列问题的是（）A.从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法B.有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案C.从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂D.从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点【答案】B【解析】【分析】排列是要求有顺序的，故而只需看每个选项中的是否和顺序有关即可.【详解】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误；B.分组无顺序，故不属于排列问题，B正确；C.如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误；D.如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误.故选：B.14.如果且，那么直线不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据横截距和纵截距的范围求得正确答案.【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；令，得；令，得；所以直线不经过第三象限.故选：C15.如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（）A.在区间上是严格减函数 B.在区间上是严格增函数C.是极小值点 D.是极小值点【答案】B【解析】【分析】根据图象分析在不同区间上取值的正负，然后判断相应的单调性，即可判断每个选项.【详解】对于A，由图象知在上取正值，所以在上递增，A错误；对于B，由图象知在上取正值，所以在上递增，B正确；对于C，由图象知在某个上取负值，这里，所以在上递减，从而不可能是的极值点，C错误；对于D，由图象知在上取正值，在某个上取负值，这里，所以在上递增，在上递减，从而是的极大值点，D错误.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用图象判断导数的正负，再由此确定函数的单调性.16.已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：方程至多只有一个实数根；命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有．A.①真命题；②假命题 B.①假命题；②真命题C.①真命题；②真命题 D.①假命题；②假命题【答案】C【解析】【分析】对于命题①：构造函数，利用导数判断其单调性，结合单调性分析其零点即可；对于命题②：利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论.【详解】因为，即，对于命题①：令，故，可知函数在上单调递增，则至多有一个零点，所以方程至多只有一个实数根，故命题①为真命题；对于命题②：因为函数是周期为2，取一个周期，由题意可知在内连续不断，则在内必有最大值和最小值，设在内的最大值为，最小值为，设，，且，对任意，显然时，恒成立，下面考虑的情况，由导数定义可知，即，若，则成立；若，设，即，则，且，可得，所以成立；综上所述：对任意实数，都成立，故命题②为真命题；故选：C.【点睛】关键点点睛：对于命题②：设的最大值为，最小值为，在一个周期上，，当时，结论显然成立，当时，利用不等式的性质可证明.三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知圆的圆心为，且与直线相切.（1）求圆的标准方程；（2）设直线与圆M交于A，B两点，求.【答案】（1）+（2）【解析】【分析】（1）由圆心到切线的距离等于半径求得半径后可得圆的标准方程；（2）求出圆心到弦所在直线的距离，由勾股定理求得弦长．【小问1详解】因为圆心为，所以圆心M到切线的距离=，所以半径，所以圆M的标准方程为：+；小问2详解】由题可知圆心M到直线的距离=，又由（1）知半径，所以=，所以=．18.设，已知函数．（1）若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间；（2）若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围．【答案】（1）；减区间是，增区间是（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由，求出a的值即可；（2）求出函数的导数，结合函数的单调性讨论a的范围即得.【小问1详解】由得，由曲线在处切线斜率为-1，可得，.,当单调递增；单调递减.减区间是，增区间是.【小问2详解】由得：①时，，∴在递增，满足函数在区间上严格增，②时，时，，在递增，若函数在区间上严格增，综上可得19.为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.）（2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？【答案】（1）；（2）当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.【解析】【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可；（2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，比较即可得出答案.【小问1详解】由题意，当时，；当时，.所以【小问2详解】当时，，令，解得.易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，.当时，，当且仅当，即时取等号.综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.20.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率是，短轴长为2，若点分别是椭圆的左右顶点，动点，，直线交椭圆于点.（1）求椭圆的方程；（2）（i）求证：是定值；（ii）设面积为，四边形的面积为，求的最大值.【答案】（1）；（2）①证明见解析；②1.【解析】【分析】（1）由已知得的值，再由离心率求出关系，即可求出椭圆方程.（2）①由（1）得，求出直线方程，与椭圆方程联立，求出点坐标，进而得出坐标，即可证明结论；②，将表示为关于的函数，进而得出关于的函数，整