圆锥曲线轨迹全归纳-2025年高考数学一轮复习知识清单（解析版）

专题22圆锥曲线轨迹全归纳

更盘点・置击看老

M目录

题型一：定义法：圆型............................................................................1

题型二：椭圆定义型..............................................................................3

题型三：双曲线定义型............................................................................6

题型四：抛物线定义型...........................................................................9

题型五：直接设点型.............................................................................13

题型六：相关点代入法...........................................................................16

题型七：交轨法.................................................................................18

题型八：参数消参法............................................................................21

题型九：空间型：坐标法.........................................................................24

题型十：空间型：截面型曲线轨迹.................................................................29

题型十一：空间型：双球圆锥型...................................................................33

题型十二：立体几何定角型.......................................................................37

题型十三：复数中的轨迹........................................................................41

更突围・错;住握分

题型一：定义法：圆型

指I点I迷I津

如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，可直接写出所

求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法.

平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径.

(1)若直线含参，参数在x系数出，则不包含竖直，如y=k(x-1)+1,不含想x=1

(2)若直线含参，参数在y的系数出，则不含水平，如x+m(y-1)+2=0,不含y=1

(3)若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0与y=-x平行

1.(22-23高三・四川绵阳,阶段练习)已知加eR,若过定点A的动直线4：+机-2=。和过定点8的动

直线小丁-4=-加尤+2)交于点?(尸与A,B不重合)，则错误的是()

A.A点的坐标为(2,1)B.点尸的轨迹方程Y+y2-5y=0

C.R42+PB2=25D.2B4+P3的最大值为5班

【答案】B

【分析】求出直线恒过的定点可判断A,由已知可得两条直线互相垂直，由此可验证B、C,由已知可得m，PB,

设=进而求出2R4+P8的最大值，即可判断D.

【详解】由动直线4：x-，〃y+〃L2=。，得％-2+机(1一))=0,所以定点4(2,1),故A正确；

由动直线4：y-4=Tw(x+2),可得5(-2,4),

由:x-wy+/W-2=0和4："zx+y-4+2机=0,满足lx机+(-〃j)xl=0

所以ZjL/z，可得R4_LPB,

22

所以+|PB|=|AB|=(2+2)2+(1-4)2=25,故c正确；

设尸(x,y),则(x-2y+(y-l)2+(x+2)2+(y-4)2=25,

即点尸的轨迹方程为Y+y2-5y=0,而尸与A,8不重合，贝ljxw：±2,故B错误；

因为设=。为锐角，则|B4|=5cos。，|PB|=5sin。，

所以2|R4|+|P同=5(2cose+sin6)=5gsin(e+。),

所以当sin(O+0)=l时，2|上4|+|正外取最大值5石，故D正确.

故选:B.

2.(2022高三・全国・专题练习)设机©R,过定点A的动直线x+冲+机=0和过定点8的动直线5-y-m+2=0

交于点尸@y),则I正如+1尸例的取值范围是()_

A.[V5,2A/5]B.[A/10,275]C.[而4的D.[2下,4布]

【答案】B

【分析】先由两直线方程求出48的坐标，由于两直线垂直，所以|丛|2+|四|2=|48|2=10,若设/45「=6,

则1PAi=Msin。，|PB|=710cos然后表示出I尸A|+1P81变形后，利用三角函数的性质可求得其范围.

【详解】解：由题意可知，动直线x+my+m=。经过定点A(0,-l),

动直线M-y-相+2=0,即加(x-l)-y+2=0,经过点定点8(1,2),

...动直线x+冲+机=。和动直线-丫-相+2=0的斜率之积为一1,始终垂直，

尸又是两条直线的交点，E4J_PB,」如F+1尸8/=|AB/=10.设ZABP=0,贝！]|PA|=痴sin。，|P81=VHicos。，

由|PA|..O且|尸8|..0,可得6e[0,―]:\PA\+\PB\=^(sin9+cos6>)=275sin(6>+-),0e[0,—],

242

.•.8+feC，^],Sin(0+-)e[^,1],2氐in(。+f)e,26],故选：B.

444424

【点睛】关键点点睛：此题考查直线过定点问题，考查两直线的位置关系，考查三角函数的应用，解题的

关键是由已知得到\PA^+\PB|2=|AB|2=10,通过三角换元转化为利用三角函数的性质求IPA\+\PB\的取值

范围，考查数学转化思想，属于较难题.

3.(24-25高三・福建厦门•阶段练习)已知。(0,0),。]。,当)直线4：依-y+2左+3=0,直线

l2:x+ky+3k+2=0,若尸为44的交点，则31Poi+2|PQ|的最小值为()

A.3y/3B.6—3A/2C.9-3,\/2D.3+*\/6

【答案】A

【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定P的轨迹，取点构造相似结合三角形三边关系计算即可.

【详角单】因为直线4：质一y+2%+3=0,直线4:x+外+3上+2=。，易知/1J.4，

且44分别过定点4(一2,3),3(—2,-3),取其中点C(—2,0),易知APL5尸,

则尸点在以C为圆心，3为半径的圆上，取点连接PE,QE,QP,

不难发现p注c=CWO=2]，贝【「△月。。〜△ECP,所以P胃O=12

则3|尸。|+2\PQ\=2(|PE|+|Pe|)>2\QE\=2^QO2+OE2=36,

当且仅当P、。、E三点共线，且P与线段和圆C的交点重合时取得等号.

故选：A.

4.（22-23高三•福建莆田•阶段练习）已知机eR,若过定点A的动直线乙：x-邛y+根-2=。和过定点3的动

直线4：y-4=-根（X+2）交于点尸（P与4,8不重合），则下列结论中正确的是（）

A.A点的坐标为（2,1）B.点尸的轨迹方程/+y2-5y=0

C.PA2+PB2=25D.2R4+PB的最大值为56

【答案】ACD

【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.

【详解】对于选项A：

I1:兀_冲+根—2=0可以转化为机（l_y）+%_2=0,

故直线恒过定点A（2,1）,故该选项正确；

对于选项C：4：y_4=T〃（x+2）恒过定点8（-2,4）,由/,:x-my+m-2=0和l2:twc+y-4+2m=0,

足lx"z+（—m）xl=0,所以可得PA±PB,所以砰=（2+2）2+（1—4）2=25,故

C正确；

对于选项B：设P（x,y）,则（x-2）2+（y-l）2+（x+2）2+（y-4）2=25,

即点P的轨迹方程为f+丁_5y=0,而P与A,B不重合，则挖去A,B两点故B错误；

对于选项D：

因为PA±PB,设NPAB=e,e为锐角,则|M=5cosa网=5sin6,

所以2|到+|尸目=5（2cos6+sine）=58in（6+°）,所以当sin（。+同=1时，2\PA\+\PB\取最大值5百,

故D正确.

故选：ACD.

5.（22-23高三•新疆乌鲁木齐•阶段练习）设加eR,过定点A的动直线x+畋+1=0和过定点B的动直线

m-丫-2%+3=。交于点尸（x,y）,则尸点的轨迹方程是

【分析】根据两直线的方程可求得定点A、3的坐标，以及两直线垂直，进而可得尸点的轨迹是以AB为直

径的圆，即得.

【详解】由x+股+1=0可知=所以该直线过定点4（一1,0）,

由〃zx-y-2机+3=0可得加（％-2）=,一3,所以该直线过定点3（2,3）,因为1XM7—M7X1=O,

所以直线x+叼+1=0与力叱->-2m+3=0垂直，所以24_1_尸3,即尸点的轨迹是以A3为直径的圆,

所以尸点的轨迹方程是口-二1-1j=㈠一?”,即

题型二：椭圆定义型

；指I点I迷I津：

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆：

；的点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

二石6五一缸而近语:丽5而百~~^POQ=60°~尊研碗7鬲运转%-2'•有"谢不诵:万名'VABC鬲’

重心，B,C分别在射线。尸，。。上运动，记/的轨迹为C1,G的轨迹为G,则（）

A.G为部分圆，a为部分椭圆B.G为部分圆，G为线段

c.G为部分椭圆，C?为线段D.G为部分椭圆，c2也为部分椭圆

【答案】c

【分析】建系如图，由两点间距离公式结合中点坐标公式可得点M的轨迹方程，由此得G为部分椭圆；过

点A作与y轴垂直的直线分别交0尸于点E,交OQ于点尸，得等边"EF,由平面几何可得G是等边AOEF

的外心，由此可得点G的轨迹G为y轴在曲线内的一段线段.

【详解】以。为原点，以NPOQ的角平分线为y轴建立平面直角坐标系如图所示.

依题意得直线OQ的方程为y=^3x,直线。尸的方程为y=-瓜.

设点8伍,一回)，C(c,V3c),由因=2得仅一c)z+3仅+4=4(*),

x=b+c=2x

设点M(x,y)，因为M是8c的中点，所以＜

y=

4J\

将其代入(*)得；/+12无2=4,即可+了一1,故M的轨迹C］为椭圆在4POQ内部的部分.

3

过点A作与y轴垂直的直线分别交O尸于点E,交0Q于点F,贝心OEF显然也是等边三角形.

下面证明等边VABC的重心G即等边AOEF的外心.

设/OCB=e,贝IjNOBC=120。一6=ZAC尸，又N3OC=NCE4=60°,且BC=AC,所以尸G4,

因此OC=AF.

在AOGC和△/G4中，ZOCG=0+30°=ZFAG,又G4=GC,所以AOGC=G4,则OG=fU,同理可

证OG=EG,即点G是等边AOEF的外心，所以，点G在》轴上移动，故点G的轨迹g为y轴在曲线C1内

【点睛】关键点点睛：建立适当的坐标系是解决本题的关键.

,rr,irr

2.(2024・浙江绍兴•模拟预测)单位向量力向量分满足k+6卜1夕6+2,若存在两个均满足此条件的向量

irirzirrx

瓦,£,使得优+%=X他+a),设£,瓦,£在起点为原点时，终点分别为4稣当.则S△四当的最大值()

A.2上B.6C.4D.2

【答案】B

22

【分析】设商=(1,。)，方=(x,y),整理得?+］=i,可知点用,当在椭圆上，设层关于点。的对称点为名，

分析可知A,Bt,B3三点共线，结合椭圆性质分析求解.

【详解】由题意不妨设万=(1,0),b=(x,y),贝U»+B=(x+l,y),

因为忖+W=］万,6+2,则+1)~+y2=—x+2,整理得+=1,

可知向量B的终点B的轨迹为椭圆，且4（1,0）为椭圆的右焦点，

可知点耳㈤在椭圆上，设与关于点。的对称点为名，因为瓦+£=彳（£+可，则瓦=（彳-1）£+热，

yjk

——厂'^

可得。4=（1—4）083+23，由（1一九）+2=1可知A为鸟三点共线，一~9多Z}勺

x

设耳G，X）,因为。为线段当员的中点，则山乡q=2%期=2x；|o4闻=回区右，

当且仅当月为短轴顶点时，等号成立，所以S△叫&的最大值为6•故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点有两点：

L设@=（1,0）,石=（x,y）,求得向量B的终点B的轨迹为椭圆；

2设.B2关于点。的对称点为鸟，可知A综鸟三点共线.

3.（23-24高三上•上海•模拟）设圆。]和圆。2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则动圆尸的圆心的

轨迹不可能是（）

00（OC

【答案】A

【分析】按动圆P与圆。I、圆。2内切、外切情况分类，结合椭圆、双曲线定义确定轨迹的可能情况即得.

【详解】设动圆尸的半径为「，圆。1和圆。2的半径分别是小4，

①当4=马，且两圆外离时，|。。2>4+4，

r+r=O,P\r—ry=O,P

若圆尸与圆。1、圆。2都外切或都内切，则有或_JD，

r+^2—Cz2r丫2—'*

于是11=1O2P\,此时点P的轨迹是线段。。2的中垂线；

r-r,=0,P[r+r,=0,P

若圆尸与圆。|、圆。2一个外切一个内切，则有八。或JD

r+r2=O2Pr-r,=O2P

于是11。伫-|。2Pll=：i+4,此时点P的轨迹是双曲线，

因此此时点尸的轨迹是一条直线和一个双曲线，B可能；

②当4片4，且两圆内含时（不妨设。马），1OXO2\<rx-r2<rx+r2,

若圆尸与圆。1、圆。2都内切，贝第'L即有|qp|+|QH=L0此时尸点轨迹为椭圆；

T—丫2=。2门

r,-r=0,P\1111

若圆尸与圆。I内切、与圆。2外切时，贝I有_'即有|0/|+|。2尸|=

r.+r2,此时尸点轨迹为椭圆;

r+R—

因此尸点轨迹为两个椭圆，C可能；

③当两圆々片弓且两圆外离时（不妨设石>4）,1。。2\>rx+r2>rx-r2,

r+r,-O,P\fr-r=0,P\

若圆P与圆。1、圆o?都外切或都内切，则有或1_'L

厂+乃二02门|r一2二02门

有I«PI—iaHI=La，尸点轨迹为双曲线；

r-n=O,P\fr+r=0P\

若圆尸与圆。1、圆。2一个外切一个内切，则有或}

有|qr—14尸|=卷+々,尸点轨迹为双曲线,

因此尸点轨迹为两个双曲线，D可能；

而两个圆相交或相外切时，P点轨迹是被直线。。2分成的不连续的两段图形，轨迹不可能是完整的椭圆

两圆内切时，P点轨迹是直线。。2被其中较大的圆分成的在该圆外部的两条射线(不含端点)，A不可能.

故选：A

【点睛】关键点睛：涉及轨迹形状的判断问题，利用基本轨迹定理、椭圆、双曲线及抛物线定义是求解问

题的关键.

4.(23-24高三•陕西榆林•模拟)已知点N(2,0),动点A在圆跖(尤+2丫+/=64上运动，线段AN的垂直

平分线交AM于尸点，则尸的轨迹方程为；若动点0在圆(x+iy+y2=1上运动,则|尸0的最大值为.

22

【答案】—r+^v=16

1612

【分析】由题意得出R4=PN,得到点P满足|PM|+|PN|=8>4,根据椭圆的定义，求得点P表示MN为

焦点的椭圆，即可求解.

将求卢。|最大值的问题，转化为求点尸到圆心C(-LO)距离最大值的问题，结合点P满足椭圆方程，转化为

二次函数求给定区间的最大值即可.

【详解】由题意，圆(x+2)2+V=64的圆心为M(-2,0),点N(2,0),线段AN的垂直平分线交AM于点尸，

所以尸是⑷V的垂直平分线上的一点，所以|即=|PN|,又由|AM|=8,所以点P满足1PMi+|尸凶=8>4,

根据椭圆的定义，可得点尸表示为焦点的椭圆，其中2a=8,2c=4,

22

可得a=4,c=2,所以=7=12,所以椭圆的方程为—+匕=1.

1612

22?

,•,圆C的方程为(x+iy+y2=i,.•.圆心c(-l,o),半径厂=1,设尸(x,y),则友+气=1,j?二口一广，

P到圆心C的距离1Pq=J(x+l)2+y2=^(X+1)2+12-|X2=£(x+4)2+9,

又无目T,4].•.当x=4时，|PC|取得最大值5,尸。的最大值为：1Pqim+厂=5+1=6,

22

故答案为：上+二=1,

1612

题型三：双曲线定义型

指I点I迷I津

平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定

点做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

1.(22-23高三•江西•阶段练习)已知点电,2后)，8(2夜,0),点尸为圆X2+/-5A/2X+V2j+12=0上一

点，则|叫T冏的最小值为()

A.2B.4C.逑D.盛

55

【答案】D

【分析】A,8为两个定点，问题可转化为以A,8为焦点的双曲线与圆有交点，由此求|网-|尸目的最小值.

【详解】圆C：X2+/-5A/2X+圆心

(5^2㈤

c

2'2

I乙乙)

由％AB=%BC=-1,所以A,B,C二点共线,

问题可以转化为：已知点4(-2,0),8(2,0),点尸为圆C:(x-3)2+y2=l上一点，求121H冏的最小值,

设4Hp3|=2a(a>0),则点尸轨迹为以A,8为焦点的双曲线的右支，

22

双曲线方程为二-一二=1,由点尸在圆C:(X-3)2+/=1上，所以双曲线与圆有交点,

a4—a

尤2/

=1

由-a14-a2,消去y,得4——6a2工+々4+4/=0,

。-3)“2=1

42

224=20fl-64a>0,解得心拽,

A=(-6fl)-16(fl+4«,2

5

则|PA|-|尸8|=2a2竽，所以附-阿的最小值竽.

故选：D

【点睛】1.求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标

准方程的形式，然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系，求出a,6的值.

2.解答曲线与曲线相交的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助

根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，要强化联立得出一元二次方程后的运算能

力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.

2.(21-22高三・江苏南通•阶段练习)在矩形WA中，AA=8,AB=6,把边AB分成w等份，在83的

延长线上，以B'B的“分之一为单位长度连续取点.过边上各分点和点A作直线，过*8延长线上的对应

分点和点A作直线，这两条直线的交点为P,如图建立平面直角坐标系，则点P满足的方程可能是()

22

D.---^=l(x>8,y>0)

6436、'

【答案】C

【分析】设尸(1,%),结合题意找出/与%的关系式，即可求解.

【详解】设%),贝斯“，为N。，根据题意，易得直线lA.P:y=(x+4),直线:y=七(x-4).

由心：y=U、(x+4),令无=4,得>=&、，因此边A2上各分点坐标为

尤o+4%+4(xo+4)

由L：y=(x-4),令y=6,得元=研“。-4)+4,因此台为延长线上的对应分点坐标为|鲍二夕+4,6

%-4%I%

65-4)8%72

结合题意，可知y0%+4，化简得无-九=1.

——=-^—169

86

22

因此点P满足的方程为：—-^=l(x>4,y>0).

169v7

故选：C.

3.(2018高三上•全国•专题练习)已知定点耳(-2,0),月(2,0),N是圆0：//1上任意一点，点^关

于点N的对称点为M,线段片加的中垂线与直线7yl相交于点P,则点P的轨迹是

A.直线B.圆

C.椭圆D.双曲线

【答案】D

【分析】由N是圆。:/+产=1上任意一点，可得ON=1,结合已知，由垂直平分线的性质可得PM=P£,

从而可得|沙-P耳|=|时-"用=峥=2ON=2为定值，由双曲线的定义可得点尸的轨迹是以用，工为焦点

的双曲线.

【详解】/Jd因为N为居M中点，。为用工中点，所以|&M|=2|ON|=2,

因为P在线段邛0的中垂线上，所以|P£I=|PM|,因此归KH尸周=£M=2|ON|=2,即点P的轨迹是双曲

线，故选D.

【点睛】本题主要考查定义法求轨迹方程、双曲线定义的应用，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接

法，设出动点的坐标(x,y),根据题意列出关于羽y的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的

定义，直接求出方程；③参数法，把x，y分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将

代入/■(%,%)=。.

4.(20-21高三•湖北武汉,模拟)在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点片卜石,0)和鸟(石连线

的斜率之积等于;，记点尸的轨迹为曲线E,直线/：丫=左(》一2)与£交于人，8两点，贝IJ()

A.E的方程为‘-丁之B.E的离心率为6

C.E的渐近线与圆(x-2『+y2=l相切D.满足|AB|=2g的直线/有2条

【答案】CD

yy1x21—

【解析】由已知结合斜率的两点式有二方•甘方="即可得E的方程为9=门3士石，进而可求E

的离心率，利用圆心到E的渐近线距离判断圆与E的渐近线的位置关系，联立直线/与曲线E,结合

|筋|=71二记|占-尤21求％值的个数，由此即可判断各选项的正误.

yV12I—

【详解】令玖尤,了），由题意得：太后,广百=§,即得,r一/=1/*±百，

EIA错误，又a=0,c=2,即e=^g,故B错误，

3

由E的渐近线为y=±*x,而（x-2『+丁=1圆心为（2,0）,半径为1,

_2坦

回(2,0)至ljy=是巨离为d=/3=1,故E的渐近线与圆（x-2『+y2=l相切，故C正确,

3月

联立曲线E与直线/的方程,整理得：（1-3犷）/+12/无一3（4/+1）=0,A=l+F>0,

2

El&+/=］,尤述2=；），ffi!|AB|=yjl+k|-x21=2^,

代入整理：|叫=2*］：）=26即有左2=1或公=0（由y=0与y2=i,x*±6无交点，舍去），故

k=+l,E1D正确.故选：CD

【点睛】易错点睛：

（1）两点式表示斜率时要保证分母不为0,从而确定曲线E的轨迹要去掉xw±g.

（2）由|=J1+/|-々1=2有求得k值要考虑曲线E的轨迹不包含x手七耳的情况舍掉增根.

5.（24-25高三•全国•模拟）过曲线C上一点P作圆d+y2=i的两条切线，切点分别为若kpA«PB=2,

则曲线C的方程为.

【答案】2x2-y2=l且xri）

【分析】设尸及切线方程，由直线与圆相切得出关于斜率左的方程，由判别式得出片+$>1,再由斜率关

系计算即可.

【详解】设POo，%），则过点P的切线方程为丁一%=左（3-%），即依-y+%-心=。,

所以［甫=1,得（片-1）二一2%%左+上一1=0,

则如，如是此方程的两根，A=4x：y；-4（x：-I）（y：-l）>0,即君+尤>1,

7

故kpA，kpB=2,得2片一%二1而要满足题意需P在圆外，则%>§，

7

即曲线C的方程为2--/=1（f>:且Vwl）.

故答案为：2尤2-〉2=1（/>］且灯21）

题型四：抛物线定义型

指I点I迷I津：

平面内与一个定点F和一条定直线1（1不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线：

的焦点，直线I叫做抛物线的准线.

1?'（2i-27高三示.薪江薪酶芍厂巨而箫F（b7i）7直磅7；J二二i'~p旃而言奇高-a万在首第

垂线，垂足为。，且诙・/=乔,河，动点尸的轨迹为C,已知圆M过定点。（0,2）,圆心M在轨迹C

上运动，且圆M与x轴交于A、2两点，设|。4|=乙，|。为=/2,则%+乎的最大值为（）

12,1

A.2B.3C.272D.372

【答案】C

【分析】利用数量积运算可得动点P的轨迹C方程，设M4，£进而得至岷M的方程为：

22

-4+（—）7+/2）2，可得A32,0）,如-2,。），利用两点之间的距离公式可得,

*+}=与詈=*16，再利用基本不等式即可得出.

，2v（2+64

【详解】设尸（X,y）,则Q（x,-1）,

0QP-QF=FPFQ,0(0,y+l),(—x,2)=(x,y~l)'(x,—2),02(y+l)=x2—2(^—1),Elr2=4y.

团动点尸的轨迹C为：Jc2=4y.设（oGIR）.则IW的方程为：（x-a）?+（y/+（?-2>.

2

22

化为X2-lax+y--^-y=4-a.令y=0,贝!JN—2qx+〃2=4,解得X=〃+2,或〃-2.

取A(〃+2,0),B(a~2,0).回|D4|=//=J(a+2)2+4,|Q8|=〃=J(a-2)2+4.当〃工0时,

116

4J_2〃+162(4+8)2_?]।16a221+-----

丁厂优二而+64=">+64-V\+646420，当且仅当

a2H—Q

a

”=±2近时取等号.当。=0时，7t+j=2.综上可得：:’的最大值为20.故选：C.

’2’121

2.（2024高三•全国•专题练习）已知尸是直线/：x-y-2=0上的一个动点，过点尸作抛物线C:y=d的两条

切线R4,PB,切点分别为A,B,则AAPB的重心G的轨迹方程为（）

142412

A.y=—x2——%+一B.y=-x2——%+一

333333

214421

C.y=—x2——x+—D.y=—x2——x+—

333333

【答案】B

【分析】设a01，%）,B（x2.y2）-的重心为G（x,y）,由定理1.1知P（E券,万62），再由重心公式得

至1］与=无，力=4尤2-3y,代入直线/方程整理即可.

【详解】设4（久】,月），BO2,%），△上钻的重心为G（x,y）.

由定理1.1知P（詈,万62），则由三角形的重心坐标公式，

可得x=%+1+Xp=辱,

_M+>2+力_X；+¥+%尤2_（玉+*2）—XiX2_421

y=-3-=-3-=3,一厂

2

于是，xp=x,yp=4xp-3y=4x-3yf

由点尸在直线/：元_y_2=0上得x_（4*_3y）_2=0,即y=+

其中定理1.1及证明：如图，抛物线f=2py（p>0）上两个不同的点A,B的坐标分别为4（xi，y）8（孙均），

以A,8为切点的切线以，尸3相交于点尸，我们称弦42为阿基米德△上钻的底边.

所以过点A的切线方程为y-4=土"-％）,过点B的切线方程为y-4=邃5-%）,联立这两个方程

,消去可得了=丑/，再将x=q追代入点A处的切线方程，

22

可得>=¥+土（上产-%]=毕.这表明，点尸的坐标为（三三，竽].故选：B.

3.（20-21高三•广西南宁•模拟）抛物线：y2=4x的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（）

A.y2=x-1B.y~=x-/C.y~=2（x-1）D.y~=2x—1

【答案】C

【解析】设出过焦点的直线方程，与抛物线方程联立求出两根之和，可得中点的坐标，消去参数可得中点

的轨迹方程.

【详解】由抛物线的方程可得焦点尸（1,0）,可得过焦点的直线的斜率不为0,

设直线方程为：X=my+1,

设直线与抛物线的交点A&,%）,B（X2,%）,设A3的中点P（x,y）,

联立直线与抛物线的方程可得：

22

y-4my-4=0,%+%=4根，^+x2=m（yt+y2）+2=4m+2,

Y—2fli+]

',消去机可得产的轨迹方程：y2=2x-2,故选：C.

{y=2m

【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有：1、定义法；2、待定系数法；3、直接求轨迹法；4、反求

法；5、参数方程法等等.

4.（2024・浙江•模拟预测）已知曲线C上的点满足：到定点（1,0）与定直线'轴的距离的差为定值机，其中,

点A,8分别为曲线C上的两点，且点8恒在点A的右侧，则（）

A.若机=g,则曲线C的图象为一条抛物线

B.若机=1,则曲线C的方程为V=4x

C.当7"＞1时，对于任意的A（X，%）,3（9,%）,都有㈤＞闯

D.当心＜-1时，对于任意的A（%,%）,8优,％）,都有㈤＞同

【答案］AC

【分析】设曲线C上的点P（x,y）,由题意求出的方程，分x20、x＜0化简后逐项判断可得答案.

【详解】对于A,若机=；,设曲线C上的点P（x,y）,由题意可得小》-吁+六一禺=g,

化简得y2=2x+W—9当XNO时，y=3x--为抛物线，

1144

33

当x＜°时’因为x＜。，所以尤-丁。，而冷0,显然不成立,

综上，若则曲线C的图象为一条抛物线，故A错^________

对于B,若m=1,设曲线C上的点P（x,y）,由题意可得，a-1）2+丫2一国=1,

化简得V=2X+2N，当时，产=以为抛物线，当无＜0时，y=0为一条射线，故B错误;

对于C,若m＞1,设曲线C上的点P（x,y）,由题意可得J（x-l『+y2-0=加，

化简得丁=2x+2机国+4一1,因为m＞1,当时，y2=2（m+l）|x--y

一帆）（

为开口向右，顶点为［/亏1,oj的抛物线的一部分,，当x＜0时，/=2（l-777）lx1-|—-rvi

为开口向左，顶点为（手,4的抛物线的一部分，，且（一,。］与［T,可关于旧对称,其图象大致如

下，

因为4（%,%）,3（%，%）两点的纵坐标相同，根据对称性可得闾＞国，故c正确;

对于D,若相＜-1,设曲线C上的点P（K,y）,由题意可得+;/-|x|=m,

为开口向右，顶点为（臂,。］的抛物线的一部分，且（一'°j与（亨，“关于x=；对称，其图象大致如下，

因为A&,%）,3（.，%）两点的纵坐标相同，根据对称性可得闾＜同，故D错误.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设曲线C上的点P(x,y),求出尸点的轨迹方程，数形结合求出答案.

5.(24-25高三•全国•模拟)设厂(1,0),点M在x轴上，点尸在y轴上，且丽=2旃，PM1PF>当点尸在

'轴上运动时，点N的轨迹方程为.

【答案】y2=4x

【分析】设知(知0)，尸(0,%),N(x,y),根据而_)_丽可得%+y：=0,根据丽=2而可得毛=-x,%=gy,

代入即可得结果.

【详解】设M(%,0),「(。,%)，阳羽,八则加=5,-%)//］。,-%),MN=(x-x0,y),MP=(-x0,y0),

无o=—x

UU1UULUx-x0=-2x0

因为两1而，贝尸=%+尤=0,又因为丽=2诙，则、，即11

y=2%%=5〉

2

可得T+2=0,2

即y2=4x.故点N的轨迹方程是y2=4x.故答案为：y=4x.

4

题型五：直接设点型

指I点I迷I津

如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述

成含的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法.

(1)到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线.

(2)到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线.

(3)平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径.

求解过程：

(1)建系：建立适当的坐标系

(2)设点：设轨迹上的任一点P(x,y)

(3)列式：列出有限制关系的几何等式

(4)代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，

(5)检验：对某些特殊值应另外补充检验.

1.(24-25高三上•河北保定•阶段练习)已知曲线C：无2+/=火丫>0),从c上任意一点P向x轴作垂线段PP',

尸’为垂足，点Af满