圆锥曲线离心率压轴题（含二级结论）十九大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题35圆锥曲线离心率压轴题（含二级结论）十九大题型汇

总

题型1直接型....................................................................1

题型2二级结论之通径型..........................................................3

题型3双曲线渐近线相关..........................................................4

题型4坐标法....................................................................5

题型5二级结论之焦点弦定比分点.................................................7

题型6二级结论之焦点已知底角...................................................8

题型7焦点三角形已知顶角型......................................................9

题型8焦点三角形双余弦定理.....................................................10

题型9利用图形求离心率.........................................................11

题型10利用椭圆双曲线的对称性求离心率.........................................12

题型11点差法..................................................................14

题型12二级结论之中点弦问题...................................................15

题型13角平分线相关............................................................17

题型14圆锥曲线与圆相关........................................................18

题型15内切圆相关..............................................................19

题型16与立体几何相关..........................................................20

题型17二级结论之切线方程......................................................23

题型18正切公式的运用..........................................................25

题型19圆锥曲与内心结合........................................................26

题型1直接型

【例题1】（2021•江西南昌•统考模拟预测）已知双曲线C：《—3=1似>0,6>0）的左、右

焦点分别为用,尸2,过尸2的直线1交C的右支于4,B两点，且丽•加=0,12|前|=5|加

I,贝北的离心率为

【变式1-1】1•（2021•全国•高三开学考试）设FI,F2分别是椭圆E]+g=l（a>fo>0）的

左、右焦点，过点Fi的直线交椭圆E于4B两点，|4Fi|=3|BFi|,若cos乙4尸28=*则椭圆E

的离心率为

29

【变式1-1】2.（2021•河北秦皇岛•统考二模）椭圆左=1（。>6>0）的左右焦点分

别为Fi,F2,过点FI的直线I交椭圆C于A,B两点，已知（加+证）•加=0,M=

舛，则椭圆C的离心率为（）

A-IB-TC-TD-I

【变式1-1】3.（2023•江西九江・二模）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧

制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘

有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴

长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切,

设切点为P,盘子的中心为。，筷子与大椭圆的两交点为人B,点A关于。的对称点为C.给

出下列四个命题：

①两椭圆的焦距长相等；

②两椭圆的离心率相等；

®\PA\=\PB\；

④BC与小椭圆相切.

其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式1-1】4.（2223下•恩施模拟预测）已知%,尸2分别为双曲线C:5-§=1（^>0）

4D

的左右焦点，且％到渐近线的距离为1,过尸2的直线1与C的左、右两支曲线分别交于4B两

点，且Z14F1,则下列说法正确的为（）

A.△AFF2的面积为2B.双曲线C的离心率为此

------*------*1]

C.71F1-BF1=10+4V6D.]^+j^y=V6+2

点为A,点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足PQiy轴，四边形FMPQ是等腰梯形，直

【变式2-1】1.（2324高三上•湖北•阶段练习）已知4,B是椭圆《+f|=l（a>b〉0）的

左右顶点，P是双曲皖-普=1在第一象限上的一点，直线P4PB分别交椭圆于另外的点

M,N.若直线MN过椭圆的右焦点F,且tan乙4MN=3,则椭圆的离心率为

【变式2-1】2.（2023•湖北武汉•三模）已知椭圆C:t+.=l（a>b>0）,点A,B分别

为椭圆C的左右顶点，点F为椭圆C的右焦点，P为椭圆上一点，且PF垂直于x轴.过原

点0作直线PA的垂线，垂足为M,过原点0作直线PB的垂线，垂足为N,记Si,S2分

别为△MON,48的面积.若||=与，则椭圆C的离心率为

【变式2-1】3.（2223•赣州•二模）已知双曲线E：§-g=l（a>O,h>0）的左右焦点分别

为F1,尸2,点P在E上，满足aFiPF?为直角三角形，作。MIPFi于点M（其中。为坐标原

点），且有丽=2而1，贝忸的离心率为

【变式2-1]4.（2023•河北保定•统考二模）已知双曲线C：/—'=l（a>0,b>0）的右焦点

为F,B为虚轴上端点，M是BF中点，。为坐标原点，OM交双曲线右支于N,若FN垂直于x轴,

则双曲线C的离心率为（）

A.V2B.2C.V3D.

题型3双曲线渐近线相关

则C的离心率为（）

A.V2B.2C.V5D.3

【变式3-1】1.（2022・贵州毕节•统考模拟预测）已知%,尸2是双曲线*J—看=1

（a>0,6>0）的左、右焦点，点A是C的左顶点，过点出作C的一条渐近线的垂线，垂足为

P,过点P作X轴的垂线，垂足为“，。为坐标原点，且P。平分乙4PM,贝！JC的离心率为（）

A.2B.V2C.3D.V3

【变式3-1】2.（多选）（2023•山东潍坊•三模）函数）/=取+/必>0）的图象是双曲线,

且直线％=。和丫=5是它的渐近线.已知函数y=苧%+±则下列说法正确的是（）

A.x*0,\y\>7^B.对称轴方程是y=每⑺=一争

C.实轴长为后后D.离心率为竽

【变式3-1】3.（2020上•广西桂林•高三广西师范大学附属中学校考阶段练习）已知双曲

线C：/—、=l（a>0力>0）的右焦点为F,左顶点为A,过F作C的一条渐近线的垂线,

垂足为M,若tan/AMF=1,则C的离心率为

【变式3-1】4.（2022・陕西咸阳•统考二模）已知双曲线C:（a>0,b>0）的左焦点为

F,过F且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线I与另一条渐近线交于点P,交y轴于点A,

若A为PF的中点，则双曲线C的离心率为

【变式3-1】5.（多选）（2023•河北唐山•模拟预测）已知双曲线C：/—?=l（a>0）的左、

右焦点分别为％,F2,过F2作直线y=|%的垂线，垂足为P,O为坐标原点，且〃止。=£,

过P作C的切线交直线y=—|x于点Q,则（）

A.C的离心率为亨B.C的离心率为孚

C.AOPQ的面积为D.AOPQ的面积为

题型4坐标法

【例题4】（2023•河南•模拟预测）已知双曲线C：《―f|=l（a>0力>0）的左顶点为A,P

为C的一条渐近线上一点，AP与C的另一条渐近线交于点Q,若直线AP的斜率为1,且A

为PQ的三等分点，则C的离心率为

22

【变式4-1】1.（2023•山东潍坊•模拟预测）已知双曲线日a―左=1（a>0,6>0）的左

焦点为F,过F的直线交E的左支于点P,交E的渐近线于点M,N,且P,M恰为线段

FN的三等分点，则双曲线E的离心率为（）

A.2B.C.V5D.V3

【变式4-1]2.（24.25高三上•浙江•开学考试）已知椭圆C：§+g=l（a>b>0）的右焦

点为F,过点F作倾斜角为曲勺直线交椭圆C于4B两点，弦4B的垂直平分线交久轴于点P,

若憎则椭圆C的离心率0=

【变式4-1】3.（2023・湖北襄阳•模拟预测）如图，已知有公共焦点Pi（—c,0）、P2（c,0）的

椭圆Ci和双曲线。2相交于A、B、C、D四个点，且满足|。*=|OB|=|OC|=|OD|=c,直

线AB与x轴交于点P,直线CP与双曲线C2交于点Q,记直线AC、AQ的斜率分别为七、

k2,若k「©=2,则椭圆Ci的离心率为

【变式4-1]4.（22.23高三上•河南洛阳•阶段练习）已知双曲线C：§-g=l（a>O.b>0）

的左、右焦点分别为Fi（-c,0）,F2（C,0）,过点FI的直线1与双曲线C的左支交于点A,与双

曲线C的一条渐近线在第一象限交于点B,且|FF2l=2|OB|（O为坐标原点）.下列四个结论

正确的是（）

①|BFi|=，4c2—田产2巴

②若同=2F^A,则双曲线C的离心率1宇;

®\BF1\-\BF2\>2a;

@c-a<\AFX\<V2c-a.

A.①②B.①③C.①②④D.①③④

【变式4-1】5.(2223高三上•河北石家庄•期中)椭圆C:/+f1=l(a>b>0)的左、右焦

点分别为Fi,&,过匕的直线交C于A,B两点，若3肃=市+24，|词=|丽其

中0为坐标原点，则椭圆的离心率为

题型5二级结论之焦点弦定比分点

型:-警1#占

1.点F是椭圆的焦点，过F的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为8%(0分，k为直线AB的

斜率，且而=4而(A>0),则e=VTT词

当曲线焦点在y轴上时，e=

注：4=器或者A=%而不是益或者笠点F是双曲线焦点，

2.过F弦AB与双曲线焦点所在轴夹角为8外(0,今,k为直线AB斜率，且而=4而(2>0

),则e=VTT9|舒|

当曲线焦点在y轴上时，e=缶|

【例题5](23-24高三上•云南•阶段练习)已知椭圆C：g+g=l(a>b>0)的左、右焦点

分别为乙,尸2,过点尸2且倾斜角为60。的直线1与C交于A,B两点.若△4F1&的面积是

△BF/2面积的2倍，贝！JC的离心率为

【变式5-1】1.(2022上•辽宁鞍山•高三鞍山一中校考期中)已知椭圆。搭+3=1的左焦

点为F,过F斜率为百的直线1与椭圆C相交于4B两点，若提=|,则椭圆。的离心率

e=

【变式5-1]2.（2022•全国•高三专题练习）已知双曲线定—'=l（a>0,b>0）的右焦点

为F,过F且斜率为旧的直线交C于4B两点，若丽=4而，贝北的离心率为（）

A-8BD，-5JC-5DU，-5

【变式5-1]3.（2023•浙江温州•乐清市知临中学校考二模）已知椭圆5+g=1的右焦点

为尸2,过右焦点作倾斜角为巾勺直线交椭圆于G,"两点，且南=2嬴，则椭圆的离心率为

（）

A-IB.?C.|D.空

27

【变式5-1】4.（2023•贵州•统考模拟预测）椭圆+^=l（a>b>0）的上顶点为4F是

C的一个焦点，点B在C上，若3而+5而=6,则C的离心率为（）

A.|B.|C返D—

J2/2

题型6二级结论之焦点已知底角

1.已知椭圆方程为5+*=1（。>b>0）,两焦点分别为尸I,工，设焦点三角形PFH,

NPFR=a,/PF?"=仇则椭圆的离心率e=;=黑温

2.已知双曲线方程为《―l（a>0,b>0）两焦点分别为设焦点三角形母M，

FX,F2,

艮="当=.0则：=二]器,________________________

【例题6】（2008•全国•高考真题）设△ABC是等腰三角形，乙4员;=120。，则以Z,B为焦

点，且过点C的双曲线的离心率为（）

A.1+B.C.1+V2D.1+V3

【变式6-111.（2022秋•山东青岛•高二山东省青岛第五十八中学校考期中）椭圆。今+3

=l（a>b〉0）的左、右焦点分别为焦距为2c,若直线y=VI（x+c）与椭圆C的一

个交点M满足NMF1F2=2AMF2F1,则该椭圆的离心率等于（）

A.V3-1B.V2-1C.亨D.?

【变式6-1】2.（2020秋•贵州贵阳•高二统考期末）已知椭圆C：，+—=l（a>%>0）的

左右焦点分别为Fi,F2,焦距为2c.若直线y=亨Q+c）与椭圆的一个交点M满足NM%%

=2ZMF1F2,则该椭圆的离心率等于

A.3—V5-B.V5*—C.+1D.—1

【变式6-1】3.（2023・全国•高二专题练习）已知椭圆E的两个焦点分别为%,点P为

椭圆上一点，目tanNPFF2=E，tan/PF2Fi=2,则椭圆E的离心率为

【变式6-1]4.（2023秋•江西吉安・高三吉安一中校考开学考试）点P是双曲线的：

=1（a>0,6>0）和圆C2：%2+y2=a2+b2的一个交点，且2NPF1F2=4PF2F1,其中

F1,尸2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为

【变式6-1】5.（2023秋•湖南衡阳•高三衡阳市八中校考阶段练习）已知FJ2分别是双曲

线唁-翁=1（£1>0力>0）的左、右焦点，点4是双曲线。的右顶点，点。在过点4且斜率为竽

O

的直线上，△PFF2为等腰三角形，ZPF2F1=120,则双曲线的离心率为.

题型7焦点三角形已知顶角型

【例题7】（2021高二上•吉林白城•阶段练习）已知乙尸2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是

它们的一个公共点，且乙个尸2=或椭圆的离心率为ei,双曲线的离心率02,则看+誉

【变式7-1】1.（2021•重庆•校联考三模）已知双曲线—真=l（a>0,6>0）的左右焦点

分别为乙,尸2,过％的直线交双曲线C的左支于P,Q两点，若PF2=PF2QF2,且

△PQF2的周长为12a,则双曲线C的离心率为（）

A.粤B.WC.V5D.2V2

【变式7-1】2.（2021•山东烟台•统考二模）已知双曲线C:5=1（。>0力>0）的左、

右焦点分别为F1,尸2,点4在C的右支上，4Fi与C交于点B,若不•不=0,且|可|=|不

I,则C的离心率为（）

A.V2B.V3C.V6D.V7

【变式7-1]3.（2021・浙江•模拟预测）已知Fi,92分别是双曲线E：5-g=l（a>0,b>0）

的左、右焦点，直线y=依与E交于4,B两点，且“遇尸2=60。，四边形FMF2B的周长C与

面积S满足16gs=。2,贝恒的离心率为（）

A.孚B.苧C.4D.V3

【变式7-1】4.（2023・上海崇明一模）已知椭圆「1与双曲线上的离心率互为倒数，且它们

有共同的焦点F1、尸2,P是「1与二在第一象限的交点，当“止尸2=段时，双曲线「2的离心率

等于

【变式7-1】5.（2022上•江苏南京•高三南京师大附中校考期中）已知Fi,92分别为双曲线

C：5—♦=19>0力>0）的左，右焦点，过点尸2且斜率为1的直线1与双曲线C的右支交于

P,Q两点，若△FiPQ是等腰三角形，则双曲线C的离心率为

题型8焦点三角形双余弦定理

22

【例题8]（22-23高二下•河南安阳・开学考试）已知&乃是椭圆。今+:=l（a>b>0）的

两个焦点，过Fi的直线与椭圆C交于M,N两点，\MF2\-\MF1\=a,\MFx\+\NF^\=\NF2],

则椭圆C的离心率为（）

A.|B.半C.半D.半

【变式8-1】1.（2223上•河南•模拟预测）双曲线C:5—\=l（a>0,6>0）的左，右焦

点分别为Fi,尸2,过尸2的直线与C交于A,B两点，且旃=2嬴，乙4BFi=60。，则双曲

线C的离心率为（）

A.1B.2C.|D.g

【变式8-1】2.（2023•浙江•一模）已知双曲线C:5—\=1的左右焦点分别为Fi,F2,0

为坐标原点，A,B为C上位于x轴上方的两点，且4F//BF2,乙4%/2=60。.记A去,则

交点为P,过点P作PQ//4%,交久轴于点Q.若|OQ|=2|PQ|,则双曲线。的离心率是.

29

【变式8-1]3.（23-24高三上•江苏淮安•开学考试）椭圆C:女+^=l（a>b>0）的左、右

焦点分别为尸1尸2,上顶点为A,直线力&与椭圆C交于另一点B,若乙4F2B=120。，则椭

圆C的离心率为

【变式8-1]4.（22-23高三下•山东荷泽•开学考试）已知双曲线C:§-g=l（a>0,&>0）

的左右焦点分别为Fi,F2,点A在C上，点B在y轴上，。•齐5=0,范=源，则C

的离心率为

【变式8-1】5.（2023•湖南株洲•一模）已知椭圆。5+\=1（£1>6>0）的左右焦点为尸1,

F2,过％的直线交椭圆C于P,Q两点，若布=?石，且|西卜恒方则椭圆C的离

心率为

题型9利用图形求离心率

【例题9】（2023•安徽安庆•二模）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：，-/

=1缶>0力>0）的左、右焦点分别为91,F2I过FI的直线与双曲线C的右支相交于点P,过

点。,尸2作。NIPFLFZMIPFI,垂足分别为N,M,且M为线段PN的中点，\ON\=a,则双曲

线C的离心率为（）

A.2B.包C.牛D.平

222

【变式9-1】1.（2223•包头•二模）双曲线C：§-g=l（a>0,b>0）的两个焦点为

Fi（-c,0）,F2（C,0）,以C的虚轴为直径的圆记为D,过FI作D的切线与C的渐近线

y=一宗交于点H,若△F*。的面积为乎ac,则C的离心率为

【变式9-1]2.（2023秋•江西宜春・高三江西省宜丰中学校考阶段练习）双曲线-g=l

（a力>0）的左焦点为F,直线FD与双曲线C的右支交于点D,A,B为线段FD的两个三等分

点，且|。川=|。用=争1（。为坐标原点），则双曲线C的离心率为

___2

【变式9-1】3.（2023・湖南邵阳•邵阳市第二中学校考模拟预测）已知乙,尸2是椭圆。女+

g=l（a>b>0）的左、右焦点，4是C的上顶点，点P在过4且斜率为28的直线上，△PF1F2

为等腰三角形，NPFiF2=120°,则C的离心率为（）

A.用B.夕C.叵D.i

101494

22

【变式9-1】4.（2023•海南省直辖县级单位•文昌中学校考模拟预测）已知椭圆7奈+标

=1（。>匕>0）的左、右焦点分别为尸1尸2,左顶点为4上顶点为B,点P是椭圆上位于第一

象限内的点，且△力BO〜△F1PF2，。为坐标原点，则椭圆的离心率为

题型10利用椭圆双曲线的对称性求离心率

22

【例题10】（2223高二下•湖南・期末）如图，已知修尸2是双曲线c角一下=1的左、右焦点,

P,Q为双曲线C上两点，满足FiPII&Q,且l&QI=IF2Pl=3|/止|,则双曲线C的离心率为

【变式10-1】1.（2023•河南商丘•模拟预测）已知双曲线c[—，=l（a>0,b>0）的左、右

焦点分别为Fi，/2,点MN是C的一条渐近线上的两点，且防万=2加（。为坐标原点），

|MN|=IFF?卜若P为。的左顶点，且NMPN=135。，则双曲线C的离心率为（）

A.V3B.2C.V5D.V7

【变式10-112.（2023•福建宁德•模拟预测）已知椭圆C：5+g=l（a>b>0）的右焦点是

F,直线y=日交椭圆于4B两点,直线皿与椭圆的另一个交点为C,若黑=繇=1,贝嫡

圆的离心率为

【变式10-1】3.（2324高三上•山西大同•阶段练习）已知椭圆。]+\=1（（1>6>0）的

左、右焦点分别为％,电,过点P（3c,0）作直线/交椭圆C于MN两点，若丽=2而，|"力|=4

|嬴|则椭圆C的离心率为

22

【变式10-1]4.（2022•全国•校联考模拟预测）已知双曲线C：a-^=l（a>O.b>0）的左、

右焦点分别是Fi,F2I过F2的直线।交双曲线C于P,Q两点且使得丽="会

（0<Z<l）.A为左支上一点且满足元7+彳=6,银=|加+辆，△加12P的面积为

b2,则双曲线C的离心率为（）

A.孚B.V2

C.当D.V3

【变式10-1】5.（2021下•山西•高三校联考阶段练习）如图，O是坐标原点，P是双曲线

E：，—、=19>06>0）右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO,PF分别交E于Q,R

两点,已知QF_LFR,S.\QF\=2\FR\,则E的离心率为（）

V17DV17rV21D叵

题型11点差法

1.根与系数关系法：联立直线方程和椭圆（或双曲线）方程构成方程组，消去一个未知数,

利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；

2.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆（或双曲线）方程，

然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知/（Xi,%），3（X2,"）是椭圆

x2y2但+H=1①

:+K=l（a>b>0）上的两个不同的点M（x（）,为）是线段N8的中点，搂嚣由①-

a2b1

b2xo

~.一,(%1—％2。°,

屐次

+%2H0)

【例题11】（2223・吉安•一模）椭圆E「+\=l（a>b>0）的内接四边形48CD的对角线

4&BD交于点P（l,l）,满足羽=2而，BP=2PD,若直线AB的斜率为-，则椭圆的离心率

等于（）

A.7B.CiD.1

【变式11-111.（2023•湖北•模拟预测）设椭圆黑+/=1（。>6>0）的离心率时孝，C

的左右焦点分别为Fi，%,点A在椭圆C上满足NFMF2=?AF遇尸2的角平分线交椭圆于

另一点B,交y轴于点D.已知荏=2丽，贝监=

【变式11-1】2.（2022下•云南昭通•高二校联考期末）已知双曲线E:§-g=l（a>0,b>0）

斜率为-第勺直线与E的左右两支分别交于4,B两点，P点的坐标为（-1,2）,直线4P交E于

另一点C,直线BP交E于另一点，如图1.若直线CD的斜率为则E的离心率为（）

22

【变式11-1】3.（2223・河北•模拟预测）已知斜率为-2的直线队与双曲线E套—左=1

（a>0,6>0）的左、右两支分别交于点4B,/2//Z1,直线％与E的左、右两支分别交于点，

C,AC交BD于点P,若点P恒在直线Z:y=-3久上，则E的离心率为

___22

【变式11-114.（2023•云南•统考模拟预测）已知椭圆C套+襄=l（a>b>0）的右焦点

尸90）的>°）和上顶点瓦若斜率为5的直线I交椭圆C于P,Q两点，目满足丽+而+而

=0,则椭圆的离心率为

【变式11-1】5.（2020上•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）如图，过原点。的直

线AB交椭圆C:§+g=l（a>b>0）于A,B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线

AP,AQ分别交椭圆C于点P,Q,连接BQ交AP于一点M,若前=M，则椭圆C的

2.P为椭圆上一点，e为离心率,

①公，心为两个顶点，则kp4jkp4z=e2—l;

②41，为关于原点对称的两点，贝UkpAi•kpA2=e?-1;

以上结论也适用于双曲线.

【例题⑵（22-23上徐州•期末）已知椭圆C:g+g=l（a>b>0）,经过原点0的直线

交C于A,B两点.P是C上一点（异于点A,B）,直线BP交x轴于点D.若直线AP,

BP的斜率之积为a且乙BD0=4B0D,则椭圆C的离心率为^

【变式12-1]1.（22.23下•安徽•一模）已知直线/与椭圆+芸=l（a>6〉0）交于M,N

两点，线段MN中点P在直线比=-1上，且线段MN的垂直平分线交x轴于点Q（—q,0）,则椭

圆E的离心率是

【变式12-1]2.（2023•贵州•模拟预测）设O为坐标原点，A为椭圆C:§+g=l（a>b>0）

上一个动点，过点A作椭圆C内部的圆E：2爪》+俨=0（爪>o）的一条切线，切点为

D,与椭圆C的另一个交点为B,D为AB的中点，若OD的斜率与DE的斜率之积为2,

则C的离心率为

【变式12-1】3.（2021•全国•模拟预测）已知椭圆C：2+看=1（。>6>0）的短轴长为4,

上顶点为8,。为坐标原点，点。为。8的中点，双曲线E:g-g-l（m>0,n>0）的左、右

焦点分别与椭圆C的左、右顶点出,七重合，点P是双曲线E与椭圆C在第一象限的交点，且

P,。三点共线，直线P&的斜率际42=—$则双曲线E的离心率为（）

3

Ar

A.-3V5Bn.-C.8V10--10cD.-5+4-V-10

【变式12-1】4.（2223下•南通•阶段练习）已知两点A,M在双曲C：《—f|=l（a>。力>0）

的右支上，点A与点B关于原点对称，BM交y轴于点N,若荏1询，且丽之十8方.而

=0,则双曲线C的离心率为（）

A.V5B.V6C.V7D.2V2

题型13角平分线相关

普）=I，则双曲线E的离心率为（）

A.V2B.2C.D.V3

【变式13-1】1.（2223下•湖北•模拟预测）已知％,&分别是双曲线唁—着=1

（a>0,6>0）的左、右焦点，过％的直线分别交双曲线左、右两支于A,B两点，点C在x

轴上，方=3不，平分NF/C,则双曲线「的离心率为（）

A.V7B.V5C.V3D.V2

【变式13-112.（2223高三•云南•阶段练习）已知椭圆定+着=1似>6>0）的左、右

顶点分别为4B,右焦点为F,P为椭圆上一点，直线4P与直线x=a交于点M,NPFB的角

平分线与直线x=a交于点N,若PF148,△MA8的面积是△NFB面积的6倍，则椭圆C的

离心率是

【变式13-1】3.（2023•山东烟台•校考模拟预测）设椭圆宅+*=l（a>b〉0）的焦点为

%（—c,0）尸2（C,0）,点P是C与圆“2+y2=c2的交点，NPFI&的平分线交PF2于Q,若

-1

|PQI=5lQ&l，则椭圆C的离心率为（）

A.亨B.V2-1C.乎D.V3-1

【变式13-1]4.（2023春•江西赣州•高三统考阶段练习）已知椭圆C]+g=l（a>b>0）

的左、右焦点分别为F-F2.椭圆C在第一象限存在点M,使得|MFi|=|%F2l，直线FiM与

y轴交于点4且尸24是NMF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为（）

A.亨B.亨C.JD.亨

题型14圆锥曲线与圆相关

【例题14】（2023•福建漳州•模拟预测）已知椭圆C:/+\=l（a>6>0）的左、右焦点分

别为Fi、F2,以F2为圆心的圆与左轴交于FI,B两点，与y轴正半轴交于点4,线段4Fi与C交

于点M.若田阳与C的焦距的比值为粤，则C的离心率为（）

A.B.|C.宇D.空

【变式14-111.（2324高三上•福建福州•开学考试）已知双曲线C：§-§=l（a>0,fa>0）

的左、右焦点分别为Fi、F2,以F2为圆心的圆与x轴交于FI,B两点，与y轴正半轴交于

点A,线段2%与C交于点M.若|BM|与C的焦距的比值为亨，则C的离心率为（）

A."1

c®D处

【变式14-1]2.（2023•全国二模）已知双曲线C:5—'=l（a>0,b>0）的左，右顶点分

别是公，圆久2+y2=a2与c的渐近线在第一象限的交点为“，直线41M交C的右支于点

P.设△”「公的内切圆圆心为/4以了轴，则C的离心率为（）

A.2B.V2C.V3D.V5

22

【变式14-1】3.（2223•马鞍山•三模）已知Fi,F2分别是双曲线。"一4=1（a>0,

。>0）的左，右焦点，点M在双曲线上，MF11MF2I圆0:x2+y2=|（a2+/）,直线MF1

与圆。相交于4B两点，直线“尸2与圆。相交于P，Q两点，若四边形力PBQ的面积为2b房，则

C的离心率为（）

A.fB.C.|D.|

【变式14-1]4.（22.23上•全国•阶段练习）已知圆3：久2+（y一竽丫=学过双曲线

，=l（a>0,6>0）的左、右焦点Fi,F2,曲线CI与曲线C2在第一象限的交点为M,若

\MF1\-\MF2\=12,则双曲线C2的离心率为（）

A.y/2B.V3C.2D.3

题型15内切圆相关

29

【例题15】（2223高三下江西•阶段练习）已知椭圆C:叁+与=l（a>6>0）的左、右焦点

分别为尸1尸2.点P在C上且位于第一象限，圆。1与线段的延长线,线段PF2以及%轴均相切，

△PF1F2的内切圆为圆。2.若圆。1与圆。2外切，且圆。1与圆。2的面积之比为9,则C的离心

率为（）

A-IB.|C.孝D.唱

【变式15-1】1.（2023•山东潍坊•模拟预测）已知双曲线J4一<=l（a>0力>0）的左,

右焦点分别为Fi,尸2,点尸2与抛物线C2：y2=2px（p>0）的焦点重合，点P为的与C2的一个

交点,若”尸1/2的内切圆圆心的横坐标为4,。2的准线与G交于A,B两点，且

则Ci的离心率为（）

A.|B.C.|D.；

【变式15-1]2.（22-23下•宁波•阶段练习）已知椭圆+g=l（a>b>0）的左、右焦点

分别为尸1/2,为椭圆上不与顶点重合的任意一点，/为△PF/2的内心，记直线OP,。/的斜

率分别为姮也，若的=决2,则椭圆E的离心率为（）

A空B.|C.乎D.辛

22

【变式15-1】3.（2324高三上•云南昆明•期中）已知椭圆C:女+与=l（a>b>0）的两个

焦点为Fi（-C,0）,F2（C,0）（C>0）,过Fi作倾斜角为W的直线交椭圆于4B两点，若△ABF2的内

切圆半径T=W。，则该椭圆的离心率为

O

【变式15-1】4.（2023•山西・二模）已知椭圆。，+\=1（。>6>0）的左、右焦点分别为

Fi（-c.0）,尸2（。,0）,点网（久0，处）（>0>0是。上一点，点4是直线用尸2与洋由的交点，△AMFi

的内切圆与MF1相切于点M若［MN|=&伊1?2|，则椭圆C的离心率0=

【变式15-1】5.（2223•红河一模）已知双曲线E:菖―'=l（a>0乃>0）的左、右焦点

分别为％、F2,若E上存在点P,满足|0P|=J%F2l，（。为坐标原点），且△PFF2的内

切圆的半径等于a,则E的离心率为

题型16与立体几何相关

【例题16】（2023・安徽安庆•一模）.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面

截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为"Dandelin双球"）；在圆锥内放两个大小不同

的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球。1,球。2的半径分别为4和1,

球心距|。1。2|=6,截面分别与球0,球。2切于点E,F,（E,F是截口椭圆的焦点）,则此

椭圆的离心率等于（）

A

A等B.乎C.乌D.1

9326

22

【变式16-1】1.（2223高三下•河北衡水•阶段练习）已知乙,尸2分别是双曲线C轰-左

=l（a>0,b>0）的左、右焦点，过点F2作直线力B1FF2交C于4B两点.现将C所在平面沿

直线FF2折成平面角为锐角a的二面角，如图，翻折后4B两点的对应点分别为4万，且N4

%夕=0・若黑=||,贝!JC的离心率为（）

【变式16-1】2.（2023云南大理•模拟预测）某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作

一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形

纸板NCEM（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形OCEF卷后为圆柱。iS的侧面.为

准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以。为坐标原点的平面直角坐标系，设P（x,y）为裁剪曲

线上的点，作轴，垂足为从图乙中线段。“卷后形成的圆弧丽（图甲），通过同学们

的计算发现y与x之间满足关系式y=3-3cosf（0<X<6TT）,现在另外一个纸板上画出曲线

y=1—cos女0<%<4n）,如图丙所示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲

线围成的椭圆的离心率为（）

甲乙丙

A等B.当

C-D—

23

【变式16-1】3.（2022・辽宁沈阳•一模）如图，在底面半径为1,高为6的圆柱内放置两

个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平

面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为

【变式16-1】4.（2223下辽宁•阶段练习）如图所示圆锥，C为母线SB的中点，点。为底

面圆心，力B为底面圆的直径，且SC,OB,SB的长度成等比数列，一个平面过4,C,与圆

锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为.

【变式16-1】5.侈选）（2023•江苏南通・模拟预测）如图，已知圆锥PO的轴PO与母线所

成的角为a,过力1的平面与圆锥的轴所成的角为伏S>a）,该平面截这个圆锥所得的截面为

椭圆，椭圆的长轴为4遇2,短轴为B/2,长半轴长为a,短半轴长为6,椭圆的中心为M再以

名史为弦且垂直于P。的圆截面，记该圆与直线P&交于Ci,与直线P公交于。2,则下列说法

正确的是（）

p

A.当。＜a时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆

B.\NCr\-\NC2\=a2sm（3+瑞岭）

C.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e=鬻

D.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率0=器

题型17二级结论之切线方程

圆锥曲线切线方程的常用结论

22

【结论1］（1）经过圆/+y=N上一点M（xo,yo）的切线方程为x（）x+yoy=r.

（2）当MQo,yo）在圆外时，过M点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为

2

xox+yoy-r.

【结论2】（1）若圆心不在原点，圆的方程：（x—a）2+（y—6）2=八，若”（沏,火）为圆上

一点,则过〃（曲,〉。）切线方程：（久0—a）（x—a）+（yo-b）（y—6）=/

（2）若MQo,yo）在圆外，过M点切线有两条：切点弦所在直线方程：（久0-a）（x-a）+

（7o-b）（y-6）=r2

方便记忆，求切线和切点弦的方法，统一称为“代一留一”.

【结论3](1)过圆《+fJ=l(a>b>0)上一点M®),yo)切线方程为簧+需=1；

(2)当MQo,y°)在椭圆《+5=1的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线

方程为箸+置=1.

(3)设过椭圆会+:=l(a>b>0)外一点MQo,yo)引两条切线，切点分别为力(孙月)，B

(x2,y2).由(1)可知过4B两点的切线方程分别为：管+猾=1,簧+置=1.又因MQ

是两条切线的交点，，有署+赞=1,等+殁=1.观察以上两个等式，发现力(八九),

现孙及)满足直爵+瑞-1，二过两切点4B两点的直线方程为簧+