中考数学一轮复习强化训练：圆的基本性质（知识串讲+9大考点）原卷版

专题10圆的基本性质

考点类型

考点5：弧、弦、圆心角关系

考点1：圆的基本认识

考点6：圆周角定理

考点2：垂径定理

模块四图形的性质

考点7：圆周角定理推论

讲圆的基本性质

考点3：垂径定理的推论10

考点8：半径相等——等腰三角形

考点4：垂径定理的实际应用

考点9：圆的内接四边形

口^」知识一遍过

(-)圆的相关概念

(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.如图所示的圆记做。。

(2)弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.

(3)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.

(4)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

(5)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.

(6)弦心距：圆心到弦的距离.

(7)确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆,过已知两点可作无数个圆,过不在同一条直线上的三点可

作一个圆

(二)垂径定理及推论

(1)定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧;

如图：CE=,弧BC=MBD,弧AC=3!HAD

(2)推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：

①弧AC=MAD；②弧BD=MCB；③CE=DE；@AB±CD；⑤AB是直径.

只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.

（三）弧、弦、圆心角的关系

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余

各组量都分别相笠.

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，

一项相等，其余二项皆相等。

（四）圆周角定理及推论

（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图a,

ZA=-ZO.

2

（2）推论：

①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b,ZA=ZC.

②直径所对的圆周角是直角.如图c,ZC=90°.

③圆内接四边形的对角互补.如图a,ZA+ZC=180°,ZABC+ZADC=180°.

亳2考点一遍过

考点1：圆的基本概念

典例1：（2022上•九年级单元测试）如图，点4,0,D,点、C,D,E以及点B,0,C分别在一条直线上,

则圆中弦的条数为（）

C

A.2条B.3条C.4条D.5条

【变式1］（2023上•安徽六安•九年级校考阶段练习）若点P为。。内一点，过点P的最长弦长为8,最短弦

长为4,则线段OP长为（）

A.2B.V3C.3D.2V3

【变式21（2023上•山东泰安•九年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，在RtAABC中,AB1BC,AB=6,

BC=4,P是AABC内部的一个动点，满足NP4B=NP8C,则线段CP的长的最小值为（）

A.2B.4C.5D.7

【变式3］（2023下•江苏无锡•七年级校考阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的

圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（）

考点2：垂径定理

典例2：（2023上,陕西渭南•九年级统考期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧脑），点。是

这段弧所在圆的圆心，点C是A®上一点，0C12B,垂足为点D,AB=300m,CD=50m,则弧池所在圆

的半径是（）

A

A.150mB.250mC.300mD.350m

【变式1］（2023上•内蒙古通辽•九年级校联考期中）回。的半径是10,弦力B||CD,AB=16,CD=12,则

弦48与CD的距离是（）

A.2B.14C.2或14D.7或1

【变式2］（2023上,江苏盐城•九年级景山中学校考阶段练习）两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点C,

则4B=6,那么该圆环的面积为（）

A.37rB.67TC.97TD.127r

【变式3］（2023广西钦州・统考一模）如图，点A,3,C,E在O。上,OC148于点D/E=22.5°,。8=2夜,

A."B."C.V2;rD.H

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考点3：垂径定理的推论

典例3：（2023上•广西南宁•九年级南宁市第四十七中学校联考阶段练习）如图，点4B在。。上，直径MN1

4B于点C,下列结论中不一定成立的是（）

A.AC=CBB.0C=CNC.AN=BND.AM=BM

【变式1］（2023上•辽宁葫芦岛•九年级校考期中）如图，以。为圆心的MMC、。三等分连MN、CD,

下列结论错误的是（）

A.乙COM=乙CODB.若0M=MN,贝IJ/AOB=20。

C.MN||CDD.MN=3CD

【变式2］（2023上•甘肃武威・九年级校联考阶段练习）如图，CD是。。的直径，是非直径的弦，AB^CD

相交于点从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的有（）

A.AM=BMB.0M=CMC.AC1=品D.AD=9

【变式3］（2023上•山东济宁•九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，OP与x轴分别交于A、8两点,

点尸的坐标为⑶一1）,48=28，若将O尸向上平移，则。P与1轴相切时点尸坐标为（）

A.（3,2）B.（3,3）C.（3,4）D.（3,5）

考点4：垂径定理的实际应用

典例4：（2024上•河北保定•九年级统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光

启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，

如图2,已知圆心。在水面上方，且。。被水面截得的弦力B长为8米，。。半径长为5米.若点C为运行轨

道的最低点，则点C到弦力B所在直线的距离是（）

水面

图1图2

A.1米B.3米C.2米D.1.5米

【变式11（2023上・浙江温州•九年级统考期中）"圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广

泛的应用，例如古典园林中的门洞如图1，其数学模型为如图2所示.园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径

4B=1米，。为圆上一点，DC14B于点C,且CD=BC=0.7米，则门洞的半径为（）

图1图2

A.1.7米B.1.2米C.1.3米D.1.4米

【变式2]（2024上•黑龙江齐齐哈尔•九年级统考期末）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，

如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯

口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、8、C、。四点,然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm,AB=8cm,

CD=6cm.请你帮忙计算纸杯的直径为（）

C.10cmD.10.2cm

【变式3]（2023上•浙江杭州•九年级杭州市丰潭中学校考期中）杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底

桥，桥面呈拱形.该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）

3.2m,拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为2m,则此桥拱的半径是（）

A.1.62mB.1.64mC.1.14mD.3.56m

考点5：弧、弦、圆心角关系

典例5：（2023上•辽宁鞍山•九年级统考期末）如图，点A,B,C,。在。。上，乙4OC=132。，点8是弧力C的

中点，则AD的度数是（）

【变式1］（2023上•河南周口・九年级校考期中）如图,4B为。0的直径，C、D是。。上的两点,^BAC=20°,

【变式2］（2023上•甘肃平凉•九年级校考阶段练习）如图所示，在。。中，痂=2⑵，那么（）

A.AB>2CDB.AB<2CDC.AB=2CDD.无法比较

【变式31（2022上•河北廊坊•九年级校考期中）如图，糜：=8=腌,已知AB是O。的直径，=35°,

那么N40E的度数是（）

A.40°B.70°C.75°D.105°

考点6:圆周角定理

典例6：（2023上•辽宁盘锦•九年级校考阶段练习）如图，力B是。。直径，仁。是。。上的两点，且0。||BC,

连接力C和BD,下歹！J四个结论中：®AD=CD；②。D垂直平分AC；（3）AAOD=2zDBC；®BD=AC.所

有正确结论的序号是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【变式1］（2023上•江苏南京•九年级统考期中）如图，。。经过菱形A8CD的顶点A,B,C,顶点D在。。

内，延长AD,CD与。。分别交于点E,F,连接BE,BF,下列结论：①BE=BF；②?=和=际；

③N4BC=90°+^NEBF,其中正确的结论是（）

C.②③D.①②③

【变式2］（2023上•广东江门•九年级校考期中）如图，在。。中，P是弦28的中点，CD是过点P的直径，则

下列结论中不正确的是（）

c

D

A.AB1CDB.乙AOD=幺BODC.AD=BDD.PO=PD

【变式3］（2022上•湖南长沙•九年级长沙市雅礼实验中学校考期中）如图，在。。中，4、C、D、B是。。上

四点，OC、。。交AB于E、F,B.AE=BF.下列结论不正确的是（）

A.OE=OF

B.AC=BD

C.AC=CD=DB

D.CD\\AB

考点7:圆周角定理推论

典例7：（2024上•安徽安庆•九年级统考期末）如图，在。。中，为直径，C为圆上一点，Nb4c的角平分

线与O。交于点。，若NADC=20。，则乙4:。的大小为（

A.120°B.125°C.130°D.135°

【变式1］（2023上•河北石家庄•九年级统考期末）如图，4员4c=40。,。。的圆心。在AB上，且与边/C相切

于点D,与交于点E,F,连接F。，贝！）乙4?。=（）

B

ADC

A.15°B.20°C.25°D.30°

【变式2］（2024上•北京西城•九年级统考期末）如图，48为。。的直径，弦CD交4B于点E,BE=BC.若

ACAB=40°,贝!UBAD的大小为（）

A.45°B.50°C.55°D.65°

【变式3］（2023上•浙江杭州,九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考阶段练习）如图，等腰AABC内接

于O0,4B=4C,连结。C,过点B作2C的垂线交。。于点。，交OC于点M,交4C于点E,连结力。，若ND=a,

A.90°—ccB.60°—ccC.90°—2aD.45°+cc

【变式4］（2023上•吉林长春•九年级校考期末）如图,AB是半圆。的直径，点C,D在半圆。上.若乙4BC=55°,

则乙BDC的度数为（）

c

D

AOB

A.155°B.145°C.135°D.125°

【变式5］（2023上•湖北武汉•九年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）如图，4B是OO切线，点4E是。。

上的点，CD的直径，418c=NE=45。，ABC。面积为27,贝的长为（）

A.3B.2V3C.4D.3V6

【变式6］（2023上•山东滨州•九年级统考期中）如图，OC过原点0,且与两坐标轴分别交于点4B,点4的

坐标为（0,5）,点M是第三象限内附上一点，ABM0=120°,则。。的半径为（）

【变式7］（2023上•全国,九年级期末）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点

上，以4B为直径的圆经过点C,D,贝Usin乙40c的值为（）

考点8：半径相等一一等腰三角形

典例8：（2023•甘肃平凉•统考二模）如图，A、B、C是圆。上的三点，且四边形4BC。是平行四边形，OF10C

交圆。于点尸，贝亚4。尸等于（）

c

【变式1］（2023•四川广元•统考一模）如图，4B为o。的直径，CD是。。的弦，4B、CD的延长线交于点E,

已知2B=2DE,^AEC=20°,贝吐40C的度数为（）

【变式2］（2023下•浙江金华•九年级校考阶段练习）如图，在扇形20B中，。为弧4