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文档简介
专题10圆的基本性质
考点类型
考点5:弧、弦、圆心角关系
考点1:圆的基本认识
考点6:圆周角定理
考点2:垂径定理
模块四图形的性质
考点7:圆周角定理推论
讲圆的基本性质
考点3:垂径定理的推论10
考点8:半径相等——等腰三角形
考点4:垂径定理的实际应用
考点9:圆的内接四边形
口^」知识一遍过
(-)圆的相关概念
(1)圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.如图所示的圆记做。。
(2)弦与直径:连接圆上任意两点的线段叫做弦,过圆心的弦叫做直径,直径是圆内最长的弦.
(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧,小于半圆的弧叫做劣弧,大于半圆的弧叫做优弧.
(4)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.
(5)圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
(6)弦心距:圆心到弦的距离.
(7)确定圆的条件:过已知一点可作无数个圆,过已知两点可作无数个圆,过不在同一条直线上的三点可
作一个圆
(二)垂径定理及推论
(1)定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧;
如图:CE=,弧BC=MBD,弧AC=3!HAD
(2)推论:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
(3)延伸:根据圆的对称性,如图所示,在以下五条结论中:
①弧AC=MAD;②弧BD=MCB;③CE=DE;@AB±CD;⑤AB是直径.
只要满足其中两个,另外三个结论一定成立,即推二知三.
(三)弧、弦、圆心角的关系
(1)定理:在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
(2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余
各组量都分别相笠.
(3)正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为:在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,
一项相等,其余二项皆相等。
(四)圆周角定理及推论
(1)定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图a,
ZA=-ZO.
2
(2)推论:
①在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b,ZA=ZC.
②直径所对的圆周角是直角.如图c,ZC=90°.
③圆内接四边形的对角互补.如图a,ZA+ZC=180°,ZABC+ZADC=180°.
亳2考点一遍过
考点1:圆的基本概念
典例1:(2022上•九年级单元测试)如图,点4,0,D,点、C,D,E以及点B,0,C分别在一条直线上,
则圆中弦的条数为()
C
A.2条B.3条C.4条D.5条
【变式1](2023上•安徽六安•九年级校考阶段练习)若点P为。。内一点,过点P的最长弦长为8,最短弦
长为4,则线段OP长为()
A.2B.V3C.3D.2V3
【变式21(2023上•山东泰安•九年级东平县实验中学校考阶段练习)如图,在RtAABC中,AB1BC,AB=6,
BC=4,P是AABC内部的一个动点,满足NP4B=NP8C,则线段CP的长的最小值为()
A.2B.4C.5D.7
【变式3](2023下•江苏无锡•七年级校考阶段练习)如图,一块四边形绿化园地,四角都做有半径为R的
圆形喷水池,则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为()
考点2:垂径定理
典例2:(2023上,陕西渭南•九年级统考期末)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的弧脑),点。是
这段弧所在圆的圆心,点C是A®上一点,0C12B,垂足为点D,AB=300m,CD=50m,则弧池所在圆
的半径是()
A
A.150mB.250mC.300mD.350m
【变式1](2023上•内蒙古通辽•九年级校联考期中)回。的半径是10,弦力B||CD,AB=16,CD=12,则
弦48与CD的距离是()
A.2B.14C.2或14D.7或1
【变式2](2023上,江苏盐城•九年级景山中学校考阶段练习)两个同心圆,大圆的弦与小圆相切于点C,
则4B=6,那么该圆环的面积为()
A.37rB.67TC.97TD.127r
【变式3](2023广西钦州・统考一模)如图,点A,3,C,E在O。上,OC148于点D/E=22.5°,。8=2夜,
A."B."C.V2;rD.H
42
考点3:垂径定理的推论
典例3:(2023上•广西南宁•九年级南宁市第四十七中学校联考阶段练习)如图,点4B在。。上,直径MN1
4B于点C,下列结论中不一定成立的是()
A.AC=CBB.0C=CNC.AN=BND.AM=BM
【变式1](2023上•辽宁葫芦岛•九年级校考期中)如图,以。为圆心的MMC、。三等分连MN、CD,
下列结论错误的是()
A.乙COM=乙CODB.若0M=MN,贝IJ/AOB=20。
C.MN||CDD.MN=3CD
【变式2](2023上•甘肃武威・九年级校联考阶段练习)如图,CD是。。的直径,是非直径的弦,AB^CD
相交于点从以下四个条件中任取一个,其中不能得到的有()
A.AM=BMB.0M=CMC.AC1=品D.AD=9
【变式3](2023上•山东济宁•九年级统考期中)如图,平面直角坐标系中,OP与x轴分别交于A、8两点,
点尸的坐标为⑶一1),48=28,若将O尸向上平移,则。P与1轴相切时点尸坐标为()
A.(3,2)B.(3,3)C.(3,4)D.(3,5)
考点4:垂径定理的实际应用
典例4:(2024上•河北保定•九年级统考期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光
启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理,如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆,
如图2,已知圆心。在水面上方,且。。被水面截得的弦力B长为8米,。。半径长为5米.若点C为运行轨
道的最低点,则点C到弦力B所在直线的距离是()
水面
图1图2
A.1米B.3米C.2米D.1.5米
【变式11(2023上・浙江温州•九年级统考期中)"圆”是中国文化的一个重要精神元素,在中式建筑中有着广
泛的应用,例如古典园林中的门洞如图1,其数学模型为如图2所示.园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径
4B=1米,。为圆上一点,DC14B于点C,且CD=BC=0.7米,则门洞的半径为()
图1图2
A.1.7米B.1.2米C.1.3米D.1.4米
【变式2](2024上•黑龙江齐齐哈尔•九年级统考期末)一次综合实践主题为:只用一张矩形纸条和刻度尺,
如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直并紧贴杯
口,纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、8、C、。四点,然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm,AB=8cm,
CD=6cm.请你帮忙计算纸杯的直径为()
C.10cmD.10.2cm
【变式3](2023上•浙江杭州•九年级杭州市丰潭中学校考期中)杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底
桥,桥面呈拱形.该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥,此圆拱桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)
3.2m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)约为2m,则此桥拱的半径是()
A.1.62mB.1.64mC.1.14mD.3.56m
考点5:弧、弦、圆心角关系
典例5:(2023上•辽宁鞍山•九年级统考期末)如图,点A,B,C,。在。。上,乙4OC=132。,点8是弧力C的
中点,则AD的度数是()
【变式1](2023上•河南周口・九年级校考期中)如图,4B为。0的直径,C、D是。。上的两点,^BAC=20°,
【变式2](2023上•甘肃平凉•九年级校考阶段练习)如图所示,在。。中,痂=2⑵,那么()
A.AB>2CDB.AB<2CDC.AB=2CDD.无法比较
【变式31(2022上•河北廊坊•九年级校考期中)如图,糜:=8=腌,已知AB是O。的直径,=35°,
那么N40E的度数是()
A.40°B.70°C.75°D.105°
考点6:圆周角定理
典例6:(2023上•辽宁盘锦•九年级校考阶段练习)如图,力B是。。直径,仁。是。。上的两点,且0。||BC,
连接力C和BD,下歹!J四个结论中:®AD=CD;②。D垂直平分AC;(3)AAOD=2zDBC;®BD=AC.所
有正确结论的序号是()
A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④
【变式1](2023上•江苏南京•九年级统考期中)如图,。。经过菱形A8CD的顶点A,B,C,顶点D在。。
内,延长AD,CD与。。分别交于点E,F,连接BE,BF,下列结论:①BE=BF;②?=和=际;
③N4BC=90°+^NEBF,其中正确的结论是()
C.②③D.①②③
【变式2](2023上•广东江门•九年级校考期中)如图,在。。中,P是弦28的中点,CD是过点P的直径,则
下列结论中不正确的是()
c
D
A.AB1CDB.乙AOD=幺BODC.AD=BDD.PO=PD
【变式3](2022上•湖南长沙•九年级长沙市雅礼实验中学校考期中)如图,在。。中,4、C、D、B是。。上
四点,OC、。。交AB于E、F,B.AE=BF.下列结论不正确的是()
A.OE=OF
B.AC=BD
C.AC=CD=DB
D.CD\\AB
考点7:圆周角定理推论
典例7:(2024上•安徽安庆•九年级统考期末)如图,在。。中,为直径,C为圆上一点,Nb4c的角平分
线与O。交于点。,若NADC=20。,则乙4:。的大小为(
A.120°B.125°C.130°D.135°
【变式1](2023上•河北石家庄•九年级统考期末)如图,4员4c=40。,。。的圆心。在AB上,且与边/C相切
于点D,与交于点E,F,连接F。,贝!)乙4?。=()
B
ADC
A.15°B.20°C.25°D.30°
【变式2](2024上•北京西城•九年级统考期末)如图,48为。。的直径,弦CD交4B于点E,BE=BC.若
ACAB=40°,贝!UBAD的大小为()
A.45°B.50°C.55°D.65°
【变式3](2023上•浙江杭州,九年级杭州市十三中教育集团(总校)校考阶段练习)如图,等腰AABC内接
于O0,4B=4C,连结。C,过点B作2C的垂线交。。于点。,交OC于点M,交4C于点E,连结力。,若ND=a,
A.90°—ccB.60°—ccC.90°—2aD.45°+cc
【变式4](2023上•吉林长春•九年级校考期末)如图,AB是半圆。的直径,点C,D在半圆。上.若乙4BC=55°,
则乙BDC的度数为()
c
D
AOB
A.155°B.145°C.135°D.125°
【变式5](2023上•湖北武汉•九年级武汉市武珞路中学校考阶段练习)如图,4B是OO切线,点4E是。。
上的点,CD的直径,418c=NE=45。,ABC。面积为27,贝的长为()
A.3B.2V3C.4D.3V6
【变式6](2023上•山东滨州•九年级统考期中)如图,OC过原点0,且与两坐标轴分别交于点4B,点4的
坐标为(0,5),点M是第三象限内附上一点,ABM0=120°,则。。的半径为()
【变式7](2023上•全国,九年级期末)如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点
上,以4B为直径的圆经过点C,D,贝Usin乙40c的值为()
考点8:半径相等一一等腰三角形
典例8:(2023•甘肃平凉•统考二模)如图,A、B、C是圆。上的三点,且四边形4BC。是平行四边形,OF10C
交圆。于点尸,贝亚4。尸等于()
c
【变式1](2023•四川广元•统考一模)如图,4B为o。的直径,CD是。。的弦,4B、CD的延长线交于点E,
已知2B=2DE,^AEC=20°,贝吐40C的度数为()
【变式2](2023下•浙江金华•九年级校考阶段练习)如图,在扇形20B中,。为弧4
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