中考数学难点突破与训练：以几何为背景的直角三角形的存在性问题（含答案及解析）

专题46以几何为背景的直角三角形的存在性问题

【题型演练】

一、解答题

1.正方形ABCD中，点E是AD的中点，EF//CD,EF交对角线AC于点?

（1）如图1,点G为CF的中点，连结DG,EG,求证：DG=EG；

（2汝口图2,△4月月是由△AEF沿射线C4平移得到的，点可与点A重合，点M为AC的中点，连结耳加交

AD于点”.

①若AB=2,求£归的长；

②连结OM，DE1,求证：是等腰直角三角形.

2.已知：AABC和AADE均为等腰直角三角形，ZABC=ZADE^90°,AB=BC,AD=DE,按图1放置，

使点E在AB上，取CE的中点尸，连接。尸，BF.我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半”.

（1）观察发现：图1中£）F，访的数量关系是，位置关系是;

（2）探究证明：将图1中的AADE绕点A顺时针转动45。，再连接CE,取CE的中点/（如图2）,问（1）中

的结论是否仍然成立？请证明你的结论；

⑶拓展延伸：将图1中的AADE绕点A转动任意角度（转动角度在0。至U90。之间），再连接CE,取CE的中

点尸（如图3）,问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论.

3.（1）如图1,/肱叁=120。,4。平分/跖加,。，41公（73，河，若AC=4,求AB+AD的长；

(2)如图2,其他条件不变，将图1中的NDC3绕点C逆时针旋转，。交改1的延长线于点。，CB交射

线AN于点8,写出线段心AC之间的数量关系，并就图2的情形说明理由；

(3)如图3,AABC为等边三角形，AB=8,尸为BC边的中点，ZMPN=120°,将—MPN绕点尸转动使射

线尸加交直线AC于点射线PN交直线AB于点N,当40=5时，求AN的长.

4.如图，AASC是边长是12cm的等边三角形，动点尸，。同时从A,8两点出发，分别沿AB,8c方向匀

速移动，其中点尸运动的速度是lcm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点。到达点C时，P、。两点都停止

运动，设运动时间为f(s),解答下列问题：

⑴当点。到达点C时，PQ与A3的位置关系如何？请说明理由.

(2)在点P与点。的运动过程中，VBP。是否能成为等边三角形？若能，请求出f,若不能，请说明理由.

(3)则当f为何值时，V8PQ是直角三角形？

5.等腰AABC,AB=AC=4,^BAC=120°,尸为8c的中点，小慧拿着含30。角的透明三角板，使30。角

(1)如图。，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、尸时，求证：ABPESACFP；

(2)操作：将三角板绕点尸旋转到图匕情形时，三角板的两边分别交班的延长线、边AC于点E、F,

①探究1：ABPE与ACEP还相似吗？(只需写出结论)

②探究2：连接所，与dFE是否相似？请说明理由；

2

③设所=机，的面积为S,试用机的代数式表示S(直接写出答案即可)

6.如图，在边长为6的正方形ABCD中，过AD中点E作正△£>1/,过点尸的直线分别交边AB、QC于点

G、H、已知点M、N分别是线段FH、48的动点，且4£2耽是等边三角形.

(1)判断所与GH的位置关系，并说明理由.

(2)当点N在线段GB上时

①求证：AG=FG

②试判断“〃+GN的结果是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值.

(3)设=点A关于EN的对称点为A,若点A，落在的内部，请直接写出a的范围.

7.已知“BC为等边三角形，点。、E分别是BC、AC上一点.

(1)如图1,BD=CE,连接AZKBE,AD交BE1于点尸，在BE的延长线上取点G,使得PG=AF,连接

AG,若AF=4,求AAFG的面积；

(2)如图2,AD、旗相交于点G,点、F为AD延长线上一点,连接BF、CF、CG,已知BD=CE,ZBFG=60°,

ZAEB=ZBGC,探究3尸、GE、CP之间的数量关系并说明理由；

(3)如图3,已知AB=12,过点A作AD13C于点。，点M是直线上一点，以CM为边，在CM的下方

作等边ACMN,连DN,当ON取最小值时请直接写出CM的长.

8.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点2、C在无轴上，ZABO=30°,AB=2,OB=OC.

3

(1)如图1,求点A、B、C的坐标；

(2)如图2,若点。在第一象限且满足AC,ZDAC=90°,线段交y轴于点G,求线段3G的长；

(3)如图3,在(2)的条件下，若在第四象限有一点E,满足=请探究BE、CE、AE之间的

数量关系.

9.点尸为等边三角形AABC所在平面内一点，且N"C=120。.

图1图2图3

(1)如图1,点尸在AABC外部，若3尸=4,CP=6,则AP的长为；

(2)尸点在AABC内部，连接AP.

①如图2,若APLBP,求证8P=2CP；

②如图3,。为8C边中点，连接PD,求证：ZAPC+ZBPD=180°.

10.如图，AABC为等腰三角形，AB=AC.点。、点E分别在射线助、射线8C上，连接DE,将线段DE

绕点。逆时针旋转至。尸，使得点P恰好在射线3C上，旋转角为a.

(1)当点C、点E重合时，如图1,若a=30。，ZB=60°,AD=4,求线段8C的长度;

4

(2)当点C、点歹重合时，如图2,AC与DE交于点G,若DG=EG,求证：BE=CE；

(3)当BE=CE=CF,NB=30。时，如图3,点尸是射线54上的动点，连接CP,将线段CP绕点C顺时针

旋转60。至线段CP',连接FP1.将△CFP'沿直线五P翻折至ACFP所在平面内得到AC'FP,直线CP与

P'Q

射线8C交于点Q.在点P运动过程中，当FP最小时，请直接写出奇的值.

11.已知：在“IBC中，AB=AC,NBAC=120。，点尸是边BC上一点，连接AP,AP^CP.

A

Q

D

图1图2图3

(1)如图1,求证：AP±AB-,

⑵如图2,将AABC沿3C翻折得到延长AP交8于点。，求证：AP=2PQ.

(3)如图3,在(2)的条件下，连接BQ,在CP上取一点E,连接AE,^ZCAE=ZDBQ,若AQ=6,求PE

的长.

12.将两块全等的三角板如图1摆放，其中/DCE=NACF90。，ZD=ZA=30°.

图1图2图3

(1)将图1中的ADEC绕点C顺时针旋转45。得图2,点P是。C与A3的交点，点。是。E与BC的交点，求

证：CP=CQ.

(2)在图2中，若止之，则CQ等于多少？

⑶将图1中的ADEC绕点C顺时针旋转得到如图3,点P是。C与A3的交点，在EC上取一点F,连接BF、PF,

设8c=1,当即'_LEB时，求△尸1面积的最大值.

13.如图，在等边“1BC中，点。是边AC上一定点，点E是直线BC上一动点，以DE为一边作等边〃)£尸,

连接CF.

备用图

5

⑴如图1,若点E在边8c上，且DEL3C,垂足为£,求证：CD=2CE；

(2)如图1,若点E在边BC上，且DELBC,垂足为E,求证：CE+CF=CD-,

⑶如图2,若点E在射线CB上，请探究线段CE,C/与C。之间存在怎样的数量关系？并说明理由.

14.如图1,点E是四边形ABCD的边BC上一点，分别连接E4,ED,把四边形ABCD分成三个三角形,

如果其中有两个三角形相似，那么我们把点E叫做四边形ABCD的边BC上的“相似点”；如果这三个三角形

都相似，那么我们把点E叫做四边形ABCD的边3C上的“强相似点”.

图1图2图3

(1)任务一：如图1,NB=NC=ZAED=a0,试判断点E是否是四边形ABC。的边上的“相似点”，并说

明理由;

(2)任务二：如图2,矩形ABCD的四个顶点A,B,C,。均在正方形网格的格点上，试在图中画出矩形A8CD

的边BC上的“强相似点”；

(3)任务三：如图3,矩形ABCD中，AB=6,将矩形ABCD沿CE折叠，点。落在A3边上的点F处，若点

尸是四边形ABCE的边A2上“强相似点”，求BC.

15.如图1,在建BC中，C2BE分别是AB,AC边上的高线，M,N分别是线段的中点.

(1)求证：MN±DE.

(2)连接猜想NA与"ME之间的关系，并说明理由.

(3)若将锐角三角形A3C变为钝角三角形ABC,其余条件不变，如图2,直接写出NBAC与NOME之间的

关系.

16.已知，AABC和ADEC都是等腰直角三角形，C为它们公共的直角顶点，如图1,D,E分别在8C,AC

边上，尸是郎的中点，连接CF.

6

(1)求证：NACD^IBCE.

(2)请猜想AD与CF的数量关系和位置关系，并说明理由.

(3)如图2,将"RC固定不动，AOEC由图1位置绕点C逆时针旋转，旋转角/及笫=夕(0°<&<90。)，旋

转过程中，其他条件不变.试判断，AD与C尸的关系是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求

出相关正确结论.

17.等腰Rt^ACB,ZACfi=90°,AC^BC,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上.

(1)如图1,求证：NBCO=NCAO；

(2)如图2,若OA=5,OC=2,求8点的坐标；

(3)如图3,点C(0,3),Q,A两点均在x轴上，且也皿=18.分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等

腰RSCW、等腰REQCM,AC=CN,CM=CQ,连接MV交y轴于尸点，。尸的长度是否发生改变？

若不变，求出。尸的值；若变化，求。尸的取值范围.

18.在AABC中，AB=AC,。是边AC上一点，尸是边AB上一点,连接3。、CF交于点£,连接A片,

且AE_LCF.

D1

图3

图

图12

7

(1)如图1,若/BAC=90。，AF=1,AC=6,求B到AE的距离；

(2)如图2,若E为中点，连接ED,FD平分ZAEC,G为CF上一点,RZGDC=ZGCD,求证：

DG+AF=FC；

(3)如图3,若ABAC=120°,8C=12,将△ABD沿着AB翻折得，点H为3。的中点，连接HA、HC,

求△曲C周长的最小值.

19.［问题情境］如图①，在四边形ABC。中，ZB=ZD=90°,求证：AB、C、。四点共圆.

图①

小吉同学的作法如下：连接AC,取AC的中点。，连接。8、OD,请你帮助小吉补全余下的证明过程；

［问题解决］如图②，在正方形ABCD中，AB=2,点E是边。的中点，点歹是边8C上的一个动点，连接

4£,4尸，作£?_1飘于点儿

(1)如图②，当点尸恰好落在正方形ABCD对角线BO上时，线段AP的长度为；

(2)如图③，过点尸分别作PMLAB于点M,PN,3c于点N,连接脑V,则肱V的最小值为.

图③

20.如图直角坐标系中直线A2与x轴正半轴、y轴正半轴交于A,B两点，已知3(0,4),ZBAO^30°,P,

。分别是线段。5AB上的两个动点，尸从。出发以每秒3个单位长度的速度向终点8运动，。从8出发以

每秒8个单位长度的速度向终点A运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时

间为r(秒).

8

(1)求线段A3的长，及点A的坐标；

(2)/为何值时，VBPQ的面积为2月;

(3)若C为Q4的中点，连接QCQP,以QC,QP为邻边作平行四边形PQCO,

①f为何值时，点。恰好落在坐标轴上；

②是否存在时间r使尤轴恰好将平行四边形尸的面积分成1:3的两部分，若存在，直接写出r的值.

9

专题46以几何为背景的直角三角形的存在性问题

【题型演练】

一、解答题

1.正方形ABC。中，点E是AD的中点，EF//CD,EF交对角线AC于点凡

⑴如图1,点G为的中点，连结DGEG,求证：DG=EG；

⑵如图2,是由△AEF沿射线C4平移得到的，点耳与点A重合，点M为AC的中

点，连结交4）于点H.

①若AB=2,求斯的长；

②连结。M,DE1,求证：是等腰直角三角形.

【答案】（1）见解析

（2）®|；②见解析

【分析】（1）延长EGDC交于点证明△GCM=△GEE（AAS）,推出GE=GM,利用

直角三角形斜边中线的性质即可得到结论；

（2）①延长耳加交8c于点N.证明△A£；MgZiOVM（ASA）,求得CN=A&=1,证明

△&HAs△gNB,利用相似三角形的性质即可求解；

②延长片加交3C于点N,连接ZW,由2△CMW,推出旦M=MN,E&=NC.证

明△/必耳/△DCW（SAS）,据此即可证明结论.

【详解】（1）证明：延长EG,DC交于点M.

:四边形ABC。正方形，

CDLAD.

EF//CD,

：.ZM=ZGEF,ZGCM=ZGFE.

10

:点G为CF的中点，

:.GC=GF,

：.AGCM/△GFE（AA^）,

/.GE=GM,

：.GO是RUDEN斜边上的中线，

GD=GE；

（2）①解：VAB=2,

：.A4=AE[=|AB=|X2=1,E1B=E|A+A8=l+2=3.

延长E也交8C于点N.

NA=NNCM=45°,NEM=NCMN,=CM,

/.A41KM/△CW（ASA）,

：.CN=A&=1,

BN=BC-CN=2-1=1.

又：AD//BC,

：.AE[HAsAE^NB,

・更=里即用」

BNg2'即I一3'

DH=AD-AH=2--=-.

33

②证明：延长E阳交3C于点N,连接DN,

11

由①得会△CNM,

：.ElM=MN,E&=NC.

又•.•EW=&A,

E[A=NC.

■：DA=DC,NDAE[=NDCN=90°,

ADAEt部△DCN（SAS）,

：.DEX=DN,ZEtDA=ZNDC.

,：ZNDA+ZNDC=90°,

EQ±DN,

：.ZE,DA+ZNDA=90°,

：.DM1,

；.DM=%M=*△,

LDE'M是等腰直角三角形.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形

的判定和性质，正方形的性质，平移的性质，知识点较多，难度较大，解题时要充分利用已

知条件进行推理，得到全等和相似三角形，从而推出角的关系以及边的关系.

2.已知：AABC和AADE均为等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°,AB=BC,AD=DE,

按图1放置，使点E在AB上，取CE的中点尸，连接£）尸，BF.我们现给出如下结论：“直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.

AEBB

图1E图3

（1）观察发现：图1中。尸，所的数量关系是，位置关系是；

⑵探究证明：将图1中的AADE绕点A顺时针转动45。，再连接CE,取CE的中点F（如图

2）,问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；

⑶拓展延伸:将图1中的A4DE绕点A转动任意角度（转动角度在0。至IJ90。之间），再连接CE,

取CE的中点/（如图3）,问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论.

【答案】（1）DF=8R，相互垂直

（2）仍然成立，证明见解析

（3）仍然成立，证明见解析

【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知A尸=2尸，根据

12

ZDFE=2ZDCF,NBFE=2NBCF,得到NEFD+/EFB=2/DCB=90°,DF±BF.

(2)延长。尸交BC于点G,先证明AZ)EF丝AGCF,得到OE=CG,DF=FG,根据

AD=DE,AB=BC,得到BD=3G,又因为NABC=90°,所以DF=BE且DF_LBF.

(3)延长即至点G,使=连接03,DG,GE,可证明\EFG-CFB，得到EG=CB,

NEGF=NCBF,继而求得AZMB丝ADEG,得到OG=£>3,ZADB=ZEDG,所以

NBDG=ZADE=90。,可得D尸=B尸且小_L3产.

【详解】(1)解：ZABC=ZADE=90°,AB=BC,AD=DE,

\?CDE90?,ZAED=ZACB=45°,

•••F为CE的中点，

：.DF=EF=CF=BF,

:.DF=BF,

:.ZDFE=2ZDCF,ZBFE=2ZBCF,

ZEFD+ZEFB=2NDCB=90°,

即：ZDFB=90°,

.-.DF±BF.

故答案为：DF=BF,相互垂直；

(2)解：仍然成立.

证明：如图2,延长。尸交BC于点G,

ZABC=ZADE=90°,

:.DE//BC,

:.ZDEF=ZGCF,

又,；EF=CF,ZDFE=ZGFC,

:.\DEF^\GCF,

:.DE=CG,DF=FG,

•;AD=DE,AB=BC,

:.AD=CG,

:.BD=BG,

又•.♦ZABC=90°,

.•.£)尸=3尸且£>尸_1_3产.

(3)解：仍然成立.证明：如图3,延长所至点G,使产G=3尸，连接£>3、DG、GE,

13

C

G.

^---****"\]7-*———

B

E图3

在AEFG与AGRB中，

FG=BF

•.=ZEFG=NCFB,

EF=CF

..■FG%ACFB〈SAS）,

:.EG=CB,NEGF=NCBF,

:.EGHCB,

AB=BC,AB±CB,

：.EG=AB,EGLAB,

•；ZADE=90。,EG±AB,

又,；ZAED=ZDAE,

:.NDAB=NDEG,

在ADAB和ADEG中,

AD=DE

,.•<ZDAB=ZDEG

AB=EG

:.^DAB^ADEG（SAS）,

;.DG=DB,ZADB^ZEDG,

:.ZBDG=ZADE=90。,

；.ABGD为等腰直角三角形，

.•.£）尸=3尸且£）尸_1_3匹.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定.要掌握等腰三角形

和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键.

3.（1）如图1,/心W=120。,4c平分NMAN,CD，AM,C3,4V,若AC=4,求

的长；

14

点。，8交射线AN于点8,写出线段隹＞,AB,AC之间的数量关系，并就图2的情形说明

理由；

(3)如图3,44BC为等边三角形，AB=8,P为边的中点，ZMPN=120。，将NMPN绕

点P转动使射线交直线AC于点M,射线PN交直线AB于点N,当AM=5时，求AN的

长.

【答案】(1)4；(2)见解析；(3)5或15

【分析】(1)利用直角三角形30度角的性质证明即可；

(2)过点C分别作AM,3的垂线，垂足分别为E、F,证明△CED四△CEB,即可解决问

题；

(3)连接上4,在上取点G,使得3G=PB,连接PG,通过ASA证明丝△尸GN,

得AM=GM,则AN-A4=AG,求出AG的长度即可.当点M在射线AC上时，同理可

得4V=5.

【详解】(1)证明：如图1中，

图I

；AC平分/MAN,

ACAD=ZCAB=-AMAN=60°,

2

CD±AM,CBrAN,

：.ZADC=ZABC=90°,

：.ZACD=ZACB=30°,

：.AC=2AD=2AB,

：.AD+AB=AC=4-,

(2)解：结论：AB-AD=AC,理由如下：

过点C分别作4/4V的垂线，垂足分别为E、F,

15

图2

•・,/MAN=120°,AC平分NMAN,

：.ZEAC=ZFAC=60°,

・・・AC=2AF=2AE,

•:ZECF=ZDCB=6U。,

：./ECD=/FCB,

・.・ZCED=ZCFB=90°,CE=CF,

ACED^ACFBCASA),

:.ED=FB,

：.AB-AD=AF+FB-AD

=AF+ED-AD

=AF^AE+AD-AD

=2AF

=AC；

(3)解：如图，连接B4,在5N取点G,使得BG=PB,连接PG,

・・•"IBC是等边三角形，点尸是的中点,

ZABP=60°,AP±BC,

PB=BG,

：.ZBGP=ZBPG=ZPAG=30°,

ZAPG=120°,PA=PG,

ZMPN=120°,

・•・ZAPG=ZMPN9

：.AAPM=ZNPG,

,：ZCAP=ZPGA,

：.ZPAM=ZPGN,

16

在和VPGN中,

ZPAM=NPGN

<PA=PG,

ZAPM=NGPN

：.^PAM^PGN(ASA),

：.AM=GN=5,

：.AN-AM=AG,

过点尸作PHJ_AG于"，

NBPH=30°,

：.BH=-PB=2,

2

HG=HB+BG=2+4=6,

：.AG=24/=2x5=10,

yW=AG+(3V=10+5=15.

如图，当点M在射线AC上时,

同理可得AN=5.

故答案为：5或15.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边

三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，根据角平分线的性质构造全等三角

形是解题的关键.

4.如图，AABC是边长是12cm的等边三角形，动点P,。同时从4,8两点出发，分别沿AB,

8c方向匀速移动，其中点尸运动的速度是lcm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点。到达

点C时，P、。两点都停止运动，设运动时间为f(s),解答下列问题：

⑴当点。到达点C时，PQ与的位置关系如何？请说明理由.

(2)在点尸与点。的运动过程中，VBPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出f,若不能,

17

请说明理由.

⑶则当f为何值时，VBPQ是直角三角形？

【答案】（l）PQSAB,见解析；

⑵能，当"4时，VBPQ是等边三角形.

12

⑶";或r=6,V8PQ是直角三角形.

【分析】（1）先求出AP的长，可得点尸是的中点，由等边三角形的性质可求解；

（2）由等边三角形的性质可得方程，即可求解；

（3）在VBPQ中，当ZPQ3=90。和=90。时，利用30。角所对的直角边等于斜边的一

半建立方程求解即可.

【详解】（1）解：点。到达点C时，PQ与A3垂直，理由如下：

AB=BC=AC=12cm,

12

当点。到达点C时，/=y=6s,

AP=6x1=6cm,

，点P为AB的中点，

・・・△ABC是等边三角形，

・・.PQJ.AB.

（2）假设点尸与点。的运动过程中，VBPQ是等边三角形，

：.BP=PQ=BQ,

*.*AP=/cm,BQ=2tcm,

族=（12-，）cm,

:.n-t=2t.

解得：t=4f

・・・当力=4时，VBPQ是等边三角形.

（3）假设点尸与点。的运动过程中，V5P。是直角三角形，

AP=ton,BQ=2tcm,

B尸=（12-f）cm,

①如图1,在V5PQ中，当/尸金=90。时，

・・•NPBQ=60。,

,\ZBPQ=30°

:.BP=2BQ

12—/=2x2，

解得：.=?12,

18

p

p/\\

/\Q\

BC

图1

②如图2,在V8PQ中，当/QP8=90。时,

ZPBQ=6Q°,

:.ZBQP=30°

BQ=2BP

:.2（12-t）=2t

解得：t=6,

图2

故'或'=6

【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何

动点问题，熟练掌握直角三角形含30。度角的性质是关键.

5.等腰AMC,AB=AC=4,ZB4c=120。，P为BC的中点，小慧拿着含30。角的透明

三角板，使30。角的顶点落在尸，三角板绕尸点旋转.

(1)如图。，当三角板的两边分别交A3、AC于点E、/时，求证：ABPESKFP；

(2)操作：将三角板绕点尸旋转到图6情形时，三角板的两边分别交54的延长线、边AC于

点E、F,

①探究1：ABPE与ACFP还相似吗？(只需写出结论)

②探究2：连接石尸，ABPE与APEE是否相似？请说明理由；

19

③设EF=m,A£PF的面积为S,试用加的代数式表示S（直接写出答案即可）

【答案】⑴见解析

⑵①ABPES^CFP,②相似，见解析，③S=2m

2

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到=利用三角形内角和及平角得到

/BPE+/BEP=150°,NBPE+NCPF=150°,得出NBEP=NCPF,由相似三角形的判

定定理即可得到结论；

（2）①同（1）,根据等腰三角形的性质得到-3=-C,利用三角形内角和及平角证得

NBEP=/CPF,从而得到结论；

PFpcPFBP

②根据久尸尸得到二由尸为中点得到加二汴，再利用相似三角形的

PEBEPEBE

判定定理即可得到结论.

③求出ABPE中BE上的高，求出跖中跖上的高，得出关系式代入即可.

【详解】（1）证明：•••在△ABC中，^BAC=120°fAB=AC,

"5=4=30。.

・・・NB+NBPE+/BEP=180。,

，NBPE+NBEP=150。,

又NEPF=3。。,且NBPE+NEPF+NCPF=180°,

ZBPE+ZCPF=150°,

:.NBEP=NCPF,

:ABPESKFP（两角对应相等的两个三角形相似）.

（2）①结论：&BPEs卫FP.

理由：•••在△ABC中，3840=120。，AB=ACf

.•./3=/C=30。.

•/ZB+NBPE+NBEP=180°,

ZBPE+ZBEP=150°,

又NEPF=30。,且N3PE+NEPF+NCPF=180°,

ZBPE^ZCPF=150°,

.•.NBEP=NCPF,

:ABPES卫FP,

②结论：ABPE与APFE相似.

理由：入BPES&CFP,

.CP_PF

而CP=3P,

20

BPBE

--------

PFPE'

又：NEBP=NEPF,

:.ABPESAPFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似).

③由②得ABPES好FE，

:.^BEP=^PEF.

图6

在R/AABP中，由—3=30。，AB=4,可得AP=2.

:.PM=6则PN=VL

设EF=m,△EPE的面积为S,

S=-PNxEF=—m.

22

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的

判定及性质定理是解题的关键.

6.如图，在边长为6的正方形ABCD中，过AD中点E作正过点歹的直线分别交

边AB、DC于点G、H、已知点M、N分别是线段切、A3的动点，且AEMN是等边三

⑴判断跖与GH的位置关系，并说明理由.

⑵当点N在线段G3上时

①求证：AG^FG

②试判断必7+GN的结果是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值.

(3)设=点A关于EN的对称点为A,若点A落在AEMN的内部，请直接写出&的

范围.

21

【答案】(DEFJLGH,理由见解析

(2)①见解析；②不变，MH+GN=26;

(3)当30°＜。＜60°时，点A落在AEM/V的内部

【分析】(1)证明AA£N/AEEM,即可得出结论；

(2)①证明Rt^AEG/RtAFEG(HL),即可得出结论；

@MH+GH=2y/3,理由如下，如图所示，过点尸作FK_LAB于点K,得出四边形“K3C

是矩形，则〃K=CB=6,在RtMfGK中，ZGHK=30°,勾股定理得出HG=，在

以△AEG中，勾股定理得出AG=g,则尸G=AG=A/L根据

MH+GN=4y/3-MF-FG+MF-FG,即可求解；

(3)分当A，落在上时，当A落在上时，根据轴对称的性质以及等边三角形的性质

即可求解.

【详解】(1)EF1GH,理由如下：

•••四边形ABCD是正方形，

•/AEAF,AEMN是等边三角形,

：.AE=FE,NE=ME,ZAEF=ZNEM^60°,

：.ZAEN=60°-ZNEF=Z.FEM,

/.AAEN%AFEM(SAS),

：.NEFM=NEAN=90°,

即EFLGH；

(2)①如图，连接EG,

EF±FG,BA±AE,

：.ZEAG=ZEFG=90°,

在RtziA£G,RtAFEG中，

[EG=EG

[AE=FE"

：.RsAEG式RtAFEG(HL),

：.AG=FG-,

22

@MH+GH=2y5,理由如下，

如图所示，过点H作于点K,

:四边形ABCD是正方形，且边长为6,

"=々=90°,

又HK，AB,

...四边形印8c是矩形，

：.HK=CB=6,

•：ZDAB=90°,ZFAG=90-ZEAF=30°,

又GA=GF,

：.ZAFG=ZFAG=30°,

：.NHGK=60。，

在RtA”GK中，NGHK=30。,

：,GK=-HG,

2

GK~+HK-=HG1,

二+62=HG2,

解得：HG=4A/3,

是AD的中点，贝UAE=3,

在Rt^AEG中，ZAGE=-ZAGF=60°,

2

ZAEG=30°,

：.AG=V3,则FG=AG=A/L

'：MF=AN,

：.GN=AN—AG=MF—FG,

又MH=HG—MF—FG,

MH+GN=-MF-FG+MF-FG=^-^-43=2-^3；

SPMH+GH=2A/3,

(3)当A落在MN上时，如图所示，

23

:点A关于EN的对称点为A,

/.ZNKE=ZNAE=90。，

又：/MEN=60。，

ZENA1=60°,

：.ZNEA=30°,

即c=30。；

当A落在EM上时，如图所示,

1/点A关于EN的对称点为A,

,ZNAE=ZNAE=90°,

又：/MEN=60。，

ZAE4=60°,

即(z=60。，

综上所述，当30。<2<60。时，点A落在AEMN的内部.

【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称

的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键.

7.已知"LBC为等边三角形，点D、£分别是BC、AC上一点.

24

A

(1)如图1,BD=CE,连接AD、BE,AD交BE于点、F,在BE■的延长线上取点G,使得

FG=AF,连接AG,若”=4,求AAFG的面积；

(2)如图2,AD,应相交于点G,点尸为延长线上一点，连接8歹、CF、CG,已知

BD=CE,ZBFG=60°,ZAEB=ZBGC,探究3尸、GE、C尸之间的数量关系并说明理

由；

(3)如图3,已知筋=12,过点A作AD23C于点。，点"是直线AD上一点，以CM为边，

在CM的下方作等边ACMN,连DN,当。N取最小值时请直接写出CN的长.

【答案】(1)45

⑵BF+GE=2CF,理由见解析;

(3)3.

［分析］(1)先证明AABLRBCE得/BAD=/CBE,再证AAFG是等边三角形，过点G作

GHLAD于点H,解直角三角形求得GH=2百，即可求解；

(2)作DH〃CG交BE于H,作OT〃AC交3E于T,依次推出咨,

△ABG/WBF,ABDH%AGCD和AAEG冬ADTG,进一步得出结论；

(3)连接BN,证明ABOV丝AACN,得到/CBN=/C4M=30。，根据直角三角形

的性质，垂线段最短解答.

【详解】(1)解：•••"sc为等边三角形，

:.AB=BC,/ABD=/BCE=60。,

•/BD=CE,

：.AAB的ABCE,

:.NBAD=NCBE,

：.ZAFG=/BAD+/ABF=NCBE+/ABF=60°,

,?FG=AF=4,

，AAFG是等边三角形，

如下图，过点G作Ga_LAD于点〃，则

sinZAFG=sin60°,

FG4

GH=273,

25

图1

(2)解：BF+GE=2CF,理由如下：如图4,

A

作DH〃CG交BE千H,作DT〃AC交BE于T,

：.^THD=NEGC,NDTH=NCEG,NBDH=NGCD,

VZAEB=ZBGC,NAEB+NCEG=NBGE+NCGE=180。,

：・NCGE=NCEG,

：・^THD=NDTH,CE=CG=BD,

・・・DH=DT,

•:△ABC是等边三角形，

：.AB=AC=BC,ZABC=ZACB=ZBAC=60°,

,:BD=CE,

；.AE=CE,

在和△C4D中，

AB=AC

<ZBAC=ZACB

AE=CD

：.△ABE^CW(SAS),

/.ZCAD=ZABE,AD=BE,

9：NCAD+NBAD=NBAC=60。,

：.ZABE+ZBAD=6G0,

・•・ZBGF=ZABE+ZBAD=60°,

26

•・•NBFG=60。，

•••△GM是等边三角形，

：.BF=BG,NGBF=60。,

:・NABC=NGBF,

：,/ABC—NEBC=NGBF—NEBC即:NABG=NCBF,

・・・△ABG^ACBF(SAS),

・•・AG=CF,

9：ZBGF=NACB=60°,

・•・ZEGD+ZBGF=180°,

・••在四边形EG。。中，NCEG+/CDG=180。，

VZBHD+ZDHT=180°,NDHT=NCGE=NCEG,

:・NBHD=NCDG,

在△6。“和△GCD中，

ZBHD=ZCDG

<ZBDH=ZGCD,

BD=CG

：.△BZ)H^AGCD(AAS),

：.DH=CD,

：.DT=DH=CD=AE,

,/DT//AC,

：.ZEAG=ZTDG,/AEG=NDTG

：.AAEG均DTG(ASA),

：.AG=DG,

：.AD=2AG,

：.BE=AD=2AG=2CF,

：.BG+GE=2CF,

:・BF+GE=2CF；

(3)解：如下图，连接5N,

•••△ABC是等边三角形，AD1BC,

27

BD=-AC=6,ZCAD=-ZCAB=3Q°,

22

VAABC,ACMN是等边三角形，

ZACB=ZMCN=60°,CA=CB,CM=CN,

在ABCN和AACM中，

BC=AC

<NBCN=ZACM,

CN=CM

：.△fiCZV^AACM（SAS）

/CBN=ZCAM=30°,

当DNJL3N时，DN最小,最小值为:BD=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查等边三角形性质，直角三角形性质，解直角三角形，全等三角形判定和性

质，等腰三角形的判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形.

8.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点2、C在x轴上，ZABO=30°,AB=2,

OB=OC.

⑵如图2,若点。在第一象限且满足4）=AC,ZZMC=90°,线段3D交y轴于点G,求线

段8G的长；

（3）如图3,在（2）的条件下，若在第四象限有一点E,满足=请探究BE、

CE、AE之间的数量关系.

【答案】⑴A（0』），B卜亚昨C（73,0）

Q）屈

⑶BE+CE=6AE,理由见详解

【分析】（1）根据ZA8O=30。，AB=2,在RtAABO中，有：AO=1AB=1,进而有

BO=\lAB2-AO2=V22-I2=V3，问题随之得解；

28

(2)求出AC=涔1?C万=2，即AB=AC，可得NASD=NADB,接着求出NR4G=120。，

证明△BAOgZ\C4O,即有440=60。=/。!。，可得/<24£>=180。-44。一/。4。=30。,

得出/BA£>=44G+NG4£>=150。，进而有NAB£)=NAD3=15。，可得

ZGBO=ZABD+ZABO=45°,即有NG8O=/3GO=45。，问题随之得解；

(3)由(2)可知：NAZ汨=15。，可得N3£>C=NAZ)3+NA£>C=60。，进而有

ZBEC=ZBDC=60°,延长£B至尸，使班'=CE,连接AF,过A点作川0，防于M点，

根据Na4B=NOAC=60。，即有ZBAC=120。，进一步有NBAC+NBEC=180。，即可证明

ZABF=ZACE,接着证明VW/VACE(SAS),问题随之得解.

【详解】(1)VZABO=30°,AB=2,

...在Rt^ABO中，有：A0=1AB=1,

,,BO=VAB2—AO2=V22—I2=A/3，

•/OB=OC,

OB=OC=y/3,

AA(0,l),叫-后0),C(60)；

(2),?<9C=V3,AO=\,

.,.在RbACO中，AC=yjAO2+OC2=2>即AB=AC,

AD=AC,

***AD=2，

***AD=2=AB,

ZABD;ZADB,

VZABO=30°,Z