中考数学难点突破与训练：二次函数中的特殊四边形问题（含答案及解析）

专题44二次函数中的特殊四边形问题

【题型演练】

一、解答题

1.(202)海南省直辖县级单位•统考二模)如图，抛物线>=/+版+,经过2(3,0)、C(0,-3)两点，与x

轴的另一个交点为A,顶点为。.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点E为该抛物线上一动点(与点3、C不重合)，

①当点E在直线的下方运动时，求△CBE的面积的最大值；

②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P,使以C、E、P、M为顶

点的四角形为平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

7

2.(2022.陕西西安•校考模拟预测)如图，抛物线y=-f+fcv+c的对称轴为直线其图象与直线y

=/x+2交于C,。两点，其中点C在y轴上，点尸是y轴右侧的抛物线上一动点，过点尸作PEL无轴于

点、E,交C。于点足

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点尸的横坐标为尤0,当X。为何值时，以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.

3.(2022・广东佛山・西南中学校考三模)如图，抛物线y=a/+bx+c与x轴交于A,3(-1,0)两点，与>轴

2

交于点C,直线AC的解析式为,'=§尤-2.

备用图

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知上为正数，当0<x<l+4时，y的最大值和最小值分别为加，“，且加+〃=与，求上的值；

(3)点尸是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q,使得以点A,C,P,。为顶点的四边形是

菱形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

4.(2022•山东聊城•校联考一模)如图，在直角坐标系中，抛物线>=依2+或+6与x轴交于A、8两点(点

A在点8的左侧)，与y轴交于点C,顶点为点D,且08=3OA=囱OC.

(1)求抛物线的解析式及直线BC的表达式；

(2)在线段BC上找一点E(不与8、C重合)，使。E+的值最小，并求出这个最小值；

(3)连接AC,是否在抛物线上存在点P,过点尸作PELBC于点E,使以点A、C、P、E为顶点的四边形是

平行四边形？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

5.(2022•内蒙古鄂尔多斯•统考一模)如图，抛物线尸-/+6x-5与x轴交于点A和点2,与〉轴交于点C,

经过3、C两点的直线为产冗-5,

2

(2)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒

2个单位的速度向C运动.当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动.设运动时间为f秒，求f为何值

时，△尸BE的面积最大，并求出最大值.

(3)过点A作AM，3c于点过抛物线上一动点N(不与点8、C重合)作直线AM的平行线交直线于

点Q.若点A、M、N、。为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标.

6.(2022•山西吕梁・统考三模)综合与探究

29

如图，抛物线＞4与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.点M是y轴右侧抛物线上一动点，

(1)请直接写出点A,B,C的坐标及直线8C的解析式；

(2)当。E=OE时，求点。的坐标；

(3)试探究在点M运动的过程中，是否存在以点A,C,E,M,为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直

接写出M的坐标，若不存在说明理由.

7.(2022・山东济宁•校考二模)已知抛物线y=-52+6x+c与直线AC交于A、C两点，如果点人(-2,0),

C(4,3).

3

(1)求抛物线和直线AC的解析式.

(2)长度为6的线段OE在线段AC上移动，点G与点尸在上述抛物线上，且线段DG与E尸始终平行于》

轴.连接FG,求四边形QEFG的面积的最大值，并求出对应点。的坐标，判断此时四边形。EFG的形状

8.(2022・福建福州•福建省福州屏东中学校考三模)如图，抛物线丁=办2-4以+2(。<0)与>轴交于点A,

对称轴交x轴于点8,点尸是抛物线在第一象限内的一个动点，/C，AB交y轴于点C,交无轴于点。，

EFLx轴于点E,点M是抛物线的顶点，已知在点尸的运动过程中，ED的最大值是4血.

(1)求点B的坐标与。的值；

(2)当点。恰好是08的中点时，求点E的坐标；

(3)连结AM,作点E关于直线。尸的对称点P,当点尸落在线段AM上时，则点E的坐标为.(直接写

出答案)

9.(2022.山西.山西实验中学校考模拟预测)综合与探究:

已知：二次函数〉=依2+bx+c的图象的顶点为。(-1,4),与x轴交于8,A两点，与,轴交于点C(0,3),

如图:

(1)求二次函数的表达式;

4

(2)在抛物线的对称轴上有一点E,使得△ACE的周长最小，求出点E的坐标；

(3)若点N在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点尸，使得以A、B、N、尸为顶点的四边形是平行四

边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

10.(2022•甘肃平凉•校考二模)如图，抛物线＞=-/+汝+。交丫轴于点4。，2),交x轴于点3(4,0)、C两

点，点。为线段。8上的一个动点(不与0、8重合)，过点。作轴，交A3于点交抛物线于点

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接⑷V和BN,当AABN的面积最大时，求出点。的坐标及AABN的最大面积；

(3)在平面内是否存在一点尸，使得以点A,M,N,P为顶点，以A"为边的四边形是菱形？若存在，请求

出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

11.(2022・重庆大渡口•重庆市第三十七中学校校考二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+Zzx+c

与直线AB交于A,B两点,其中A(0,l),8(4,-1).

(1)求该抛物线的函数表达式;

(2)点尸，。为直线下方抛物线上任意两点，且满足点尸的横坐标为加，点。的横坐标为祖+1,过点产

和点。分别作y轴的平行线交直线A3于C点和。点，连接尸。，求四边形PQDC面积的最大值;

(3)在(2)的条件下，将抛物线y=+c沿射线平移26个单位，得到新的抛物线%,点E为点尸

的对应点，点尸为必的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点、B,E,F,G构成以防为

5

边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标.

12.(2022•山东日照•校考二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=经过点A(yO),点、M

为抛物线的顶点，点B在〉轴上，直线A3与抛物线在第一象限交于点C(2,6).

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接OC,若过点。的直线交线段AC于点尸，将三角形AOC的面积分成1:2的两部分，请求出点P的坐

标；

(3)若Q是直线AC上方抛物线上一个动点(不与点A、C重合)，当△QAC的面积等于AAOC的面积时，求

出。点的坐标；

(4)在抛物线的对称轴上有一动点”，在抛物线上是否存在一点N,使以点A、H、C、N为顶点的四边形是

平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

13.(2022.重庆璧山・统考一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=^+gx+c与x轴交于点A(-3,0),

与>轴交于点C(0,-2).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,连接AC,点。为线段AC下方抛物线上一动点，过点。作DE〃，轴交线段AC于E点，连接，

记△ADC的面积为加，△AEO的面积为邑，求W-S?的最大值及此时点。的坐标；

(3)如图2,在(2)问的条件下，将抛物线沿射线C3方向平移”个单位长度得到新抛物线，动点〃在原

2

6

抛物线的对称轴上，点N为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是平

行四边形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来.

14.（2022・辽宁鞍山・统考二模）如图，已知抛物线丫=受+云+。与工轴交于48两点,点4的坐标为（-1,0）,

点B的坐标（3,0）,与y轴交于点C,点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接C。，过点。作DH，x

轴于点”，过点A作/场，AC交。”的延长线于点E.

备用图

（1）求抛物线的解析式；

（2）在线段AE上找一点M,在线段。E上找一点N,求ACMN的周长最小值；

⑶在（2）间的条件下，将得到的ACMN沿射线AE平移得到AC'MN',记在平移过程中，在抛物线上是否

存在这样的点Q,使Q、C'、M，、N'为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出ACMN平移的距离；若

不存在，说明理由.

15.（2022•重庆.统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线>=以2_1+。（〃加）与x轴交于A、B两点（点A

⑴求抛物线的解析式;

7

(2)如图1,在直线BC的下方抛物线上有一点尸，过点P作轴交2c于点X,求PH-XZcx的最大

4

值以及此时点尸的坐标；

(3)将抛物线y沿射线C4方向平移3岳个单位长度后得到新抛物线〃，点E在新抛物线”上，点厂是原抛

物线对称轴上一点，若以点以C、E、尸为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点尸的坐标，并写出求

解其中一个尸点的过程.

16.(2022・重庆・西南大学附中校考三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2与x轴交于

A(-l,0),8两点，其对称轴x=l与x轴交于点D

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图1,点尸为第四象限内的抛物线上一动点，连接尸2,PC,CD,求四边形PBDC面积的最大值和此

时点P的坐标；

(3)将该抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线V，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点E,点、F

为抛物线y对称轴上的一点，M是原抛物线上的动点，直接写出所有使得以点A,E,F,M为顶点的四边

形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.

17.(2022.内蒙古包头.包头市第二十九中学校考三模)如图，把两个全等的R/AAOB和R/ACOO分别置于

平面直角坐标系中，使直角边。8,0。在x轴上，已知点4(2,4),抛物线>=办2+法+。经过。，。三

8

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)点G为OC上方的抛物线上一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；

(3)点P为线段0C上一个动点(不与。，C重合)，过点尸作y轴的平行线交抛物线于点是否存在点P,

使线段AM与相等？若存在，求出此时点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

18.(2022•辽宁鞍山•模拟预测)如图1,平面直角坐标系xOy中，抛物线y=加+bx+c+(a<0)与x轴分则

点A和点3(1,0),与y轴交于点C,对称轴为直线x=-l,且。4=OC,尸为抛物线上一动点.

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图2,连接AC,当点尸在直线AC上方时，求四边形B4BC面积的最大值，并求出此时尸点的坐标；

(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当尸，M运动时，在坐标轴上是否存在点N,使四边形尸MCN为矩形?

若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由.

19.(2022.黑龙江齐齐哈尔.统考三模)综合与探究

已知：如图，二次函数y=/+6x+c的图象的顶点为£>(T,4),与x轴交于2,A两点，与y轴交于点C(0,3),

点£为抛物线对称轴上的一个动点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)当小小的周长最小时，点E的坐标为；

(3)当点E在x轴上方且=时，试判断CE与3D的位置关系，并说明理由；

(4)若点N是y轴上的一点，坐标平面内是否存在P,使以B、N、P为顶点的四边形为矩形？若存在,

9

请直接写出满足条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

20.(2022・广西河池•统考二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线>=履+3分别交x轴、>轴于A,B

两点，经过42两点的抛物线y=-/+6x+c与x轴的正半轴相交于点C(l,0).

(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；

(2)若P为线段上一点，ZAPO=ZACB,求AP的长；

(3)在(2)的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点M使得以A,P,M,N为顶点的四

边形为平行四边形？若存在，写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

10

专题44二次函数中的特殊四边形问题

【题型演练】

一、解答题

1.（2022•海南省直辖县级单位•统考二模）如图，抛物线产炉+Zu+c经过B（3,0）、C（0,-3）

两点，与x轴的另一个交点为A,顶点为。.

Bx

D\

备用图

（1）求该抛物线的解析式；

⑵点E为该抛物线上一动点（与点3、C不重合），

①当点E在直线BC的下方运动时，求△CBE的面积的最大值；

②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P,使以C、

£、P、M为顶点的四角形为平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点尸的坐标；若

不存在，请说明理由.

【答案】（l）y=x2-2x-3

【分析】（1）将8、C两点分别代入解析式求解即可得；

（2）①过点E作了轴的平行线交于点N,将点B、C的坐标代入一次函数确定函数解

析式，然后设点E（x,d-2x-3）,则点N（x,x-3）,得出NE=3+3x,结合图象确定面积

的函数表达式即可得出结果；

②分三种情况进行讨论分析：a.当四边形CEPM为平行四边形时，则CE//PM,CE=PM-

b.当四边形CEMP为平行四边形时，则CE〃MP,CE=MP；c.当四边形CPEM为平行

四边形时，则C尸〃EM,CP=EM,利用平行四边形的性质及点坐标之间的性质求解即可.

f9+3Z?+c=0

【详解】（1）将8、C两点分别代入解析式可得：_,

解得:

.••函数的表达式为：y=--2x-3；

(2)①过点E作y轴的平行线交BC于点N,

设直线BC的解析式为y=kx+b,

3k+b=G

将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：

b=—3

解得,[[…k=\，

函数表达式为：y=x-3,

设点可尤,/-2尤-3),则点N(无，尤一3),

贝！JNE=(x-3-Y+2x+3)=_+3x,

SACBE=SAENC+SAENB=I.NER=|(-x2+3x)=-1^x-|^|+y

3

,•*ci——VO,且0VxV3,

2

327

・•・当广彳时，ACBE面积有最大值，最大值为k，

2o

此时点E的坐标为(；3，15

24

12

则CE〃尸M,CE=PM,

xc+xp=xE+xM,

3

gpO+x=-+l

5_7

x1所以尸2，-4

b.当四边形CEMP为平行四边形时,

则CE〃MP,CE=MP,

^C+XM=XE+XP，

3

BP0+l=-+x

17

X=-”斤以

244,4

c.当四边形CPEM为平行四边形时,

则C尸〃EM,CP=EM,

XC+XE=XP+XM，

3

gpO+-=x+l

户；1所以「小一15

2~4

5_7_7£15

所以，符合题意的点尸有

2，-4-1-42，-T

【点睛】题目主要考查二次函数与四边形、三角形的综合问题，包括待定系数法确定函数解

析式，三角形面积问题，平行四边形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关

键.

7

2.(2022.陕西西安•校考模拟预测)如图，抛物线y=-<+云+。的对称轴为直线x=],

其图象与直线>=3尤+2交于C,O两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上

一动点，过点尸作轴于点E,交CD于点、F.

(1)求抛物线的解析式;

13

⑵若点尸的横坐标为X0,当我为何值时，以O,C,P,尸为顶点的四边形是平行四边形?

请说明理由.

7

【答案】(1)丁=一/+y+2

⑵尤片]或2或尹炳

【分析】(1)根据对称轴和C点坐标即可确定抛物线解析式；

(2)因为0C和PE都垂直于无轴，所以只要尸尸=OC就能确定以O,C,P,尸为顶点的四

边形是平行四边形，求出此时w的值即可.

7

【详解】(1)解：•・•抛物线》=-/+法+c的对称轴为直线x=(,

••对称轴X---=彳=:，

2a24

:.b=L,

2

又直线y=gx+2与y轴交于C,

：.C(0,2),

点在抛物线上，

・'c=2,

7

即抛物线的解析式为y=-x2+-x+2；

(2)解：•.•点P的横坐标为回，且在抛物线上，

•,.p[xo，T+g%0+2],

・"在直线尸齐+2上，

:・F(xo,gxo+2),

\9PF//CO,

・,•当。时，以O,C,P,尸为顶点的四边形是平行四边形，

①当OV%oV3时，

P/二1片+(入0+21_(5冗0+2]=.%；+3%0,

■:OC=2,

・，・—x；+3X0—2,

解得xo/=l，X02=2,

即当历=1或2时，以。，C,P,厂为顶点的四边形是平行四边形，

14

,/OC=2,

••%o-3%o=2,

解得X03=3+厉,X04=3一厉（舍去），

22

即当月=也叵时，以O,C,P,尸为顶点的四边形是平行四边形，

2

综上当仞=1或2或2匚叵时，以。，C,P,尸为顶点的四边形是平行四边形.

2

【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数及平行四边形的性质等知识点，难点在第二小

题中要分情况考虑P点在尸点上和下两种情况.

3.（2022・广东佛山・西南中学校考三模）如图，抛物线y=ar2+Zu+c与x轴交于A,B（-LO）

2

两点，与》轴交于点C,直线AC的解析式为y'=］尤-2.

15

备用图

(1)求抛物线的解析式；

⑵已知左为正数，当o<xwi+左时，y的最大值和最小值分别为加，n,且，〃+"=，，求人

的值；

(3)点尸是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q,使得以点A,C,P,。为顶

点的四边形是菱形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

74

【答案】(2尹丁-2

(2)左=4

(3)存在，。(1，3)或(1.一3)或(L-；)或(1,-2+2后或(1,-2-2道)

【分析】(1)求出点A和点C坐标，从点A和点8坐标将抛物线的解析式设为交点式，将点

C坐标代入，进一步求得结果；

(2)先根据二次函数的性质求出”的值，进而求得加的值，进而求得点k的值；

(3)只需满足三角形AC。为等腰三角形即可.设点。的坐标，进而表示出4Q,CQ及AC,

进而根据AQ=CQ,A。=AC及C。=AC分情况讨论求解即可.

【详解】(1)解：当尤=0时，y'=-2,

点C(0,—2),

2

当V=。时，-x-2=0,:.x=3,

点A(3,0),

/.设y=a(x+D,(x-3),

将点ao,-2)代入得，

-3tz——2,

2

a=一,

3

224

y=­x+1,x—3=—x2—x—2；

333

16

4

（2）解：抛物线的对称轴为直线：X=-」y=l,

2'-

3

•・•左>0,

」.上+1>1,

当Ovx〈l+左时，

2Q

•••当％=1时，最小值九=w（l+l）x（l—3）=,

16

•：m+n=—,

3

:.m=8,

24

当机=8时，—x2——X—2=8,

.•.玉=5,x?=一3（舍去），

1+%=5,

.•.左二4；

（3）解：设点。（1,。），

•・・A（3,0）,C（0,-2）,

/.AQ1=（3-1）2+=Q2+4,

AC2=32+22=13,

CQ2=l+（〃+2）2=〃2+4Q+5,

当AQ=AC时，〃+4=i3,

/.a=±3,

.•01,3）,e2（l,-3）,

当AQ=CQ时，a2+4a+5=a2+4,

1

1.a=—,

4

。3（1,一二），

4

当AC=C。时，/+44+5=13,

/.a--2±2\/3，

「01,-2+2aQQ,-2-2百，

综上所述：。（1，3）或（1.-3）或（L-：）或0,-2+2石）或（L-2-2百）.

【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，菱形的性质、等腰三角形的判定和性质，两点

间坐标距离公式等知识，解决问题的关键是正确分类，准确计算.

4.（2022•山东聊城•校联考一模）如图，在直角坐标系中，抛物线y=a?+fcv+若与无轴交

17

于A、8两点(点A在点3的左侧)，与y轴交于点C,顶点为点D,且OB=3OA=0OC.

(1)求抛物线的解析式及直线BC的表达式；

(2)在线段BC上找一点E(不与8、C重合)，使。E+g/JE的值最小，并求出这个最小值;

(3)连接AC,是否在抛物线上存在点P,过点尸作PEL3C于点E,使以点A、C、P、E为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=--X2+^^-X+A/3,y=-—X+A/3

333

⑵拽

3

(3)存在，点P的坐标为|4,-

【分析】(1)先求出抛物线与y轴交于点C(0,若)，可得OC=白，从而得到=3,=1,

进而得到B(3,0),A(-1,0),再利用待定系数法解答，即可求解；

(2)过点E作ENLx轴于点M先求出抛物线顶点。坐标为，殍)再由

tanZCBO=—=^,可得NC2O=30。，从而得到硒进而得到当。，E,N三

OB32

点共线且垂直于无轴时，+值最小.即可求解；

(3)过点P作尸ELBC于点E,根据勾股定理逆定理可证得NACB=90。，从而得到当尸E

=AC=2时，以点A、C、P、E为顶点的四边形是平行四边形.然后过点尸作Pb/y轴交

PE=2=46

BC于点尸,交x轴于点G,可得NPEE=60。，从而得到西旃一二万一亍，然后设

V

P卜一号/+孚,+声］则尸卜_岑,+6)再分两种情况讨论，即可求解.

(1)

解：：抛物线与y轴交于点c(o,6),

oc=G

18

OB=3OA=^/3OC,

**.OB=3,OA—1,

：.B(3,0),A(-1,0),

把B(3,0),A(-1,0)代入y=^2+bx+6得:

0=9a+36+出

0=4—b+

_V3

a=------

3

解得

,26，

b=-----

3

二抛物线的解析式为y=一金+拽x+百；

33

(2)

解：如图，过点£作无轴于点N.

4A/3

H---------，

3

；•抛物线顶点。坐标为1，

在RdBOC中，tanZCBO=—=^,

OB3

：.ZCBO=30°,

：ENJ_尤轴,

EN’BE,

2

/.DE+-BE=DE+EN,

2

根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当D,E,N三点共线且垂直于x轴时，DE+BE

值最小.

/•DE+-BE=DE+EN=DN=—

23

(3)

解：存在，理由如下:

19

如图：过点尸作尸EJ_BC于点E,

VA(-1,0),B(3,0),C(0,V3),

・・・A3=4,AC=2fBC=2日

:.AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=90°,

■:PELBC

：./PEC=90。,

：・PE〃AC,

・••当PE=AC=2时，以点A、C、尸、石为顶点的四边形是平行四边形.

过点尸作尸尸7y轴交3c于点R交x轴于点G,

工ZBFG=NOCB=60。，

,/ZBFG=ZPFE,

：.ZPFE=60°,

在RtbPFE中，

版PE2473

卜-_____=___=___

-sin60°-73-3，

~2

设直线BC的解析式为y^mx+n,

将8(3,0),C值,6)代入得：

3m+n=0

[君

,1TI--------

解得，,3,

n=V3

直线3c的解析式为y=-gx+若，

设尸『与。+当t+拒,贝1]尸+

当0<f<3时，

20

尸产=［一心产+拽走/+若］=速

［33乂3J3

整理得，产—31+4=0,

・・.△=9—4x4<0,

.•.此方程无实根.

当r<0或A3时，

尸F=［_也/产+9,+若］=迪

3333

整理得，产一3r—4=0,

解得：=T(舍去)，芍=4

145g、

点P的坐标为

7

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，平行四边的判定和性质，熟练

掌握二次函数的图象和性质，平行四边的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关

键.

5.(2022•内蒙古鄂尔多斯•统考一模)如图，抛物线产-炉+6厂5与x轴交于点A和点8,与

y轴交于点C,经过2、C两点的直线为y=x-5,

(2)点尸从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在

线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动.当其中一个点到达终点时，另一点也停止运

动.设运动时间为f秒，求f为何值时，APBE的面积最大，并求出最大值.

⑶过点A作于点M,过抛物线上一动点N(不与点8、C重合)作直线AM的平行

线交直线3c于点Q.若点A、M、N、。为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标.

【答案】⑴(1,0),(5,0),(0,-5)

(2)当?=2时，S4BEP最大为2垃;

(3)点N的横坐标为：4或5+历或互画.

22

【分析】(1)分别令尸0和x=0进行求解即可;

21

(2)作轴于。，表示出ED,从而表示出SABEP,利用二次函数求最值;

(3)过4作AE//y轴交直线BC于E点，过N作NF//y轴交直线BC于点F,则NF=AE=4,

设N(加，-苏+67"-5),则尸(加，MJ-5),从而有NP斗源+5%|=4,解方程即可求出N的横坐

标.

(1)解：令-f+Gx-SR,解得x=l或k5,'.A(1,0),B(5,0),令户0,则y=-5,C

(0,-5),故答案为：(1,0),(5,0),(0,-5)；

0),C(0,-5),：.OB=OC=5,：.ZOBC=45°,：.ED=sin45°x2t=y/2t,：.S^BEP=^xBPxED=

2垃

；x(4T)x0七一也理+2&r,当/=-2x(_，l]=2时，SABEP最大为2垃..•.当/=2时,

S4BEP最大为2母；

(3)解：过4作48〃y轴交直线BC于E点，过N作NF〃y轴交直线BC于点孔

则/(/",m-5),.'.NF=\-m2+5m\=4,.,./-5〃任4=0或加勿公=。，(舍)，m2=4,或

根产小亘，机产匕反，.•.点N的横坐标为：4或小亘或土回.

2222

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、利用二次函数求最

值、以及平行四边形的判定与性质等知识，将AM=NQ转化为NF=AE是解题的关键.

6.(2022・山西吕梁・统考三模)综合与探究

29

如图，抛物线＞=-§/+耳尤+4与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.点M是y轴右侧

22

(1)请直接写出点A,B,C的坐标及直线BC的解析式；

(2)当DE=OE时，求点。的坐标；

(3)试探究在点M运动的过程中，是否存在以点A,C,E,M,为顶点的四边形是平行四边

形？若存在，直接写出M的坐标，若不存在说明理由.

2

【答案】⑴4一3,0),2(6,0),C(0,4),y=--x+4

2412

(2)点。

(3)存在，点M的坐标为(3,4)或(3+y人)

79

【分析】(1)令抛物线y=0,得-g/+§x+4=o,进行计算即可得点A,点B的坐标，令

抛物线卡0,得>=4,即可得点C的坐标，令直线BC的解析式为>将点8的坐标

和点C的坐标代入即可得；

(2)过点。作OF，x轴，垂足为尸，根据平行线的性质得Z.CAB=NDEB,根据小，x轴，

可得ZCOA=NDFE,即可得根据相似三角形的性质得冬=乌=弃，

AOCOCA

在直角AAOC中，根据勾股定理得，AC=5,则竽=与=华，设点。横坐标为3则

2

DF=1+4,即可得出EP,DE,根据。E=OE,OE+EF=OF,求解出f即可；

3

(3)分情况讨论，过点C作CE〃了轴交抛物线于点作旌〃AC,则四边形AEMC为

2?

平行四边形，此时点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，即当y=4时，-§尤2+§X+4=4,进

行计算求出满足要求的解；当且ME=AC时，四边形AEMC为平行四边形，此时

2?

M的横坐标为-4,即产一4时，-§无2+gx+4=-4,计算求出满足要求的解即可.

【详解】(1)解：令抛物线尸0,得-(无2+：龙+4=0,

23

-2x2+6x+36=0

X2-3X-18=0

(%+3)(x—6)=0

解得，西=一3,9=6,

・・・4-3,0),5(6,0),

令抛物线广0,得y=4,

・・・C(0,4),

令直线8C的解析式为>=丘+"将点3(6,0)和点C(0,4)代入得,

J6左+b=0

t0=4

\k=--

解得，3,

Z?=4

2

・・・直线3c的解析式为：y=-y+4；

:.ZCAB=ZDEB,

・・•。尸_Lx轴，

・•・ZCOA=ZDFE

:.ADEFs^CAO，

,EFDFDE

''~\o~~cd~~cx"

在直角AAOC中，根据勾股定理得，AC=y1AO2+CO2=5^

.EFDFDE

••==,

345

2

设点。横坐标为『，则］f+4,

24

VDE=OE,OE+EF=OF,

(3)解：①过点C作CE〃彳轴交抛物线于点M,作ME〃AC,

整理得f-3x=0

x(x-3)=0

解得，占=。(舍)，％=3,

”(3,4)；

②如图所示，当AffiWAC且ME=AC时,

四边形AEMC为平行四边形，此时M的纵坐标为-4,

22

•e•V--4时，—x2—x+4=—4,

93

整理得了2_3%-36=0

解得，%=3+39,3-3717(不合题意，舍去),

122

25

•••点M的坐标为J+歹,0）；

综上，M的坐标为（3,4）或（>3亚

2

【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的

性质，解题的关键在于对知识的熟练掌握.

7.（2022•山东济宁•校考二模）已知抛物线>=-5尤2+法+<:与直线4<7交于人、C两点，如

4

果点4（—2,0）,C（4,3）.

（1）求抛物线和直线AC的解析式.

（2）长度为正的线段。E在线段AC上移动，点G与点歹在上述抛物线上，且线段DG与所

始终平行于y轴.连接FG,求四边形OEFG的面积的最大值，并求出对应点。的坐标，判

断此时四边形DEFG的形状.

【答案】⑴y=-；V+x+3,y=~x+l；

⑵S四边形DEFG最大为4,0（0,1）,四边形DEFG为平行四边形.

【分析】（1）将A、C两点坐标代入二次函数求解即可，设直线AC解析式为>=近+匕将

A、C两点坐标代入求解即可；

（2）延长FE交x轴于点作。设直线AC交>轴于点“，设。（利m+1],

确定出E点坐标，表示出四边形。灰G的面积，利用二次函数的性质，求解即可.

【详解】（1）解：将A（-2,0）,。4,3）代入二次函数〉=-；/+云+。可得

——x4-2/?+c=0

4b=l

<解得

c=3

——xl6+4/?+c=3

I4

BPy=-；龙2+工+3

设直线AC解析式为、=区+乙将A（-2,0）,C（4,3）代入可得

26

~~2k+1=0k=-

软+~,解得2

t=\

即y=；x+i；

(2)解：延长EE交x轴于点V,作DNLEM,设直线AC交》轴于点H,如下图:

设£）（机，＜m+1],贝I]G（相，一;m2+^+3]，

由题意可得：DN〃x轴，ZAOH=ZDNE=90°9"（0,1）,OA=2fOH=\,DG//EF

：.ZHAO=ZHDN,AH=JOA+OH2=小

AH=DE,

・・・△AO"/△LWE（AAS）,

ADN=AO=2,OH=NE=\,

二.E+2,；根+2]，F^m+2,--^-（m+2）12+m+2+3^,即尸+2,—；根？+4）

1.（1\11

DG=—m2+m+3——m+1=—m2+—m+2,

4（2142

1（1、11

EF=——m9+4-—m+2=——m9——m+2

41^2J42

线段DE在线段AC上移动，则一2＜相＜利+2＜4,解得一2＜机＜2,

由题意可得：S忸边形DEFG=g（DG+EF）xDN=DG+EF

11c121C

=——m2——m+2——m+—m+2

4242

12

=——m+44

2

由此可得，根=0时，S四边形"EFG最大，为4,此时。（0,1）

此时OG=EF=2,

又,：DG〃EF,

...四边形DEFG为平行四边形.

综上，$四边形DEFG最大为4，£»（0,1）,四边形DEFG为平行四边形.

27

【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的

性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题的关键熟练掌握相关基本性质.

8.(2022・福建福州•福建省福州屏东中学校考三模)如图，抛物线>=依2-4办+2(。<0)与>

轴交于点A,对称轴交无轴于点8,点P是抛物线在第一象限内的一个动点，"LAB交y

轴于点C,交X轴于点。，EF_L无轴于点E,点M是抛物线的顶点，已知在点尸的运动过

程中，ED的最大值是4夜.

⑴求点8的坐标与。的值;

(2)当点。恰好是的中点时，求点E的坐标;

⑶连结AM,作点E关于直线D尸的对称点P,当点尸落在线段AM上时，则点