中考数学几何专项冲刺复习：几何变换之旋转巩固练习（提优）含答案及解析

几何变换之旋转巩固练习

1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形力a'(顶点是网格线的交点).

(1)先将△/6C竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△44G,点4B、。对应点分别是

4、Bi、C\,请国出4456；

(2)将△46C绕反点顺时针旋转90°,得△4SG,点4、4对应点分别是4、C,请画出△48G；

(3)连接。2,直接写出。1?的长.

2.如图，ZABC=9Q°,尸为射线8c上任意一点(点户与点6不重合)，将△力帆绕点/逆时针旋转60°得

到△439,延长庞交郎于点凡连接BE、DP.求证：

(1)△/庞和△/如都是等边三角形；

(2)EF=BF.

3.已知：如图，在△/4中，//%=90°,AC=BC,直线/经过点4BDLI干点、D,连接切.

(1)证明4C,B,〃四个点在同一个圆上并画出圆(提示：取中点。)；

(2)求证：AADC=^°

(3)以点C为旋转中心，把△〃必逆时针方向旋转90°,画出旋转后的图形.

4.如图，过等边△极?的顶点6在N/6C内部作射线阴ZABP=a(0°<a<60°且aW30°)，点/

关于射线班的对称点为点〃直线切交第于点笈连接物，AE.

(1)依据题意，补全图形；

(2)在a(0°<a<60°且a#30°)变化的过程中，//回的大小是否发生变化？如果发生变化，请

直接写出变化的范围；如果不发生变化，请求出//项的大小；

(3)连接47交即于点石用等式表示线段BF,〃之间的数量关系，并给予证明.

5.如图1,ZACB=90°,AC=BC,ADLCE,BEICE,垂足分别为〃E,AD=8cm,DE=5cm.

(1)求应'的长；

(2)其它条件不变的前提下，将位所在直线旋转到△/回的外部(如图2),请你猜想4?,DE,庞三者之

间的数量关系，直接写出结论，不需证明.

(3)如图3,将(1)中的条件改为：在△/6C中，AC=BC,D,C,£三点在同一条直线上，并且有/这

=ZADC=ZBCA=a,其中a为任意钝角，那么(2)中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成

立，请说明理由.

图1图2图3

6.人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：

如图1,在△48C中,如果AQ/C,那么我们可以将△力比折叠，使边力。落在4?上，点。落在相上的〃

点，折线交回于点£,则/。=//吠

,:NADE>/B(想一想为什么)，

J.ZOAB.

(1)请证明上文中的//应>/8；

(2)如图2,在△板中，如果能否证明

同学小雅提供了一种方法：将折叠，使点刀落在点。上，折线交力8于点尸，交BC于点、G,再运用三

角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明；

(3)如图3,在△放中，ZC=2ZB,按照图1的方式进行折叠，得到折痕过点£作/。的平行线交

AB于点M,若/购=110°,求/瓦¥的度数.

7.如图，△/以是等边三角形，AC=2,点。关于四对称的点为「'，点户是直线6上的一个动点.

(1)若点P是线段6上任意一点(不与点，'，点方重合)

①如图1,作/用£=60°交比'于点£,"与/£相等吗？请证明你的结论;

②如图2,连接/R作//加=60°交射线8C于点〃如与以相等吗？请证明你的结论.

(2)若点P在线段夕6的延长线上.

①连接4R作//加=60°交射线正于点A依题意补全图3；

②直接写出线段劭、AB,即之间的数量关系.

8.如图1,〃为等边△力园外一点，ZADB=120°,连接施，并延长施至点£,使庞=/〃连接切，CE.

(1)求证：/CAD=/CBE；

(2)求证：△侬为等边三角形；

(3)在图1的基础上作〃点关于/C,欧的对称点弘N,连接以CN,MN,过。点作"TW于点片如图

2.求证：CD=2CF.

图2

9.如图1,△/比和△娇都是等腰直角三角形，ZA=90°,/£=90°,△颂的顶点。恰好落在△/6C

的斜边8c中点，把△颇绕点。旋转，始终保持线段庞、如分别与线段/反4c交于以N,连接批

在这个变化过程中，小明通过观察、度量，发现了一些特殊的数量关系.

(1)于是他把△呼旋转到特殊位置，验证自己的猜想.如图2,当仞V〃比时，

①通过计算/砌9和/儿跖的度数，得出/砌9/7W(填＞,＜或=)；

②设欧=2近，通过计算/弘翊超的长度，其中NC=，进而得出/欣爪超之间的数量关系是

(2)在特殊位置验证猜想还不够，还需要在一般位置进行证明.

请你对(1)中猜想的线段/从MN、血之间的数量关系进行证明.

10.在等边△/回中，点。在欧边上，点〃在4C的延长线上且勿=①.

(1)如图1,若点。为以中点，求证：N6W的度数.

(2)如图2,若点。为正上任意一点，求证：AD=2B8OC.

(3)如图3,若点。为以上任意一点，点〃关于直线宽的对称点为点R连接OP,请判断△人庐的

形状，并说明理由.

11.在中，AB=AC,OB=OC,ZA=90°,ZMON=a,分别交直线必47于点儿N.

A/

N

A/

BOBBO

图1图2图3

(1)如图1,当a=90°时，求证:AM=CN-,

(2)如图2,当a=45°时，求证:BM=ANvMN-,

(3)当a=45°时，旋转/肌加至图3位置，请你直接写出线段儆MN、4V之间的数量关系.

12.如图，在平面直角坐标系中，有ZACB=90°,/物C=30°,点/、6均在x轴上，边47与

＞轴交于点连接初，且初是/欣的角平分线，若点8的坐标为(百，0).

(1)如图1,求点。的横坐标;

(2)如图2,将改△4%绕点/逆时针旋转一个角度a(0°WaW180°)得到Rt△力月C,直线4c交直

线切于点R直线交y轴于点。，是否存在点只Q,使△/园为等腰三角形？若存在，直接写出N/匐

的度数；若不存在，请说明理由.

图2

13.如图1,将绕点/逆时针旋转90°得到△加火，将比1绕点C顺时针旋转90°得CG,DG交ECT0

点•

(1)求证：DO=-OG\

(2)如图2,若乙亚*=135°,AC=V2,求加的长；

(3)如图3,若N/6C=90°,BOAB.且器=”时，直接写出黑的值.

AC5BC

几何变换之旋转巩固练习

1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形力a'(顶点是网格线的交点).

(1)先将△/6C竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△44G,点4B、。对应点分别是

4、Bi、C\,请国出4456；

(2)将△46C绕反点顺时针旋转90°,得△4SG,点4、4对应点分别是4、C,请画出△48G；

(3)连接02,直接写出力?的长—闻

(2)将点4、G分别绕反点顺时针旋转90得到对应点，再与点A首尾顺次连接即可;

(3)利用勾股定理求解即可.

【解答】解：(1)如图所示，△4AG即为所求.

(3)CAi=V22+52=V29,

故答案为：V29.

【点评】本题主要考查作图-平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、旋转变换的定义和性质，

并据此得到变换后的对应点.

2.如图，//比'=90°,尸为射线员7上任意一点(点户与点6不重合)，将△/第绕点/逆时针旋转60°得

到△4S9,延长应交第于点凡连接庞、DP.求证：

(1)△/跳'和△/1划都是等边三角形;

(2)EF=BF.

【分析】(1)根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可.

(2)想办法证明/庞广=/座户，可得结论.

【解答】证明：(1)由旋转可知，△的匡△序6,ZBAE=ZPAD=6Q°,

：.AB=AE,AP=AD,

：.丛ABE和MAPD是等边三角形.

(2);△A宏是等边三角形，

ZABE=ZAFB=60°,

■:XDAE^XPAB,

：.ZABP=ZAED=90°,

：.ZABP=ZAEF=90°,

J.Z.ABP-/ABE=/AEF-ZAEB,

：.ABEF=AEBF,

：.BF=EF.

【点评】本题考查旋转变换，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题.

3.已知：如图，在中，ZACB=9Q°,AC=BC,直线/经过点4BD11千点、D,连接微

(1)证明4C,B,〃四个点在同一个圆上并画出圆(提示：取胆中点0)；

(2)求证：NADC=45°

(3)以点C为旋转中心，把△。厉逆时针方向旋转90°,画出旋转后的图形.

【分析】（1）取46的中点。，连接％,0D,只要证明以=如=勿=%即可;

（2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可证得结论；

（3）利用旋转的性质得出得出对应点位置进而得出答案.

【解答】（1）证明：取"的中点。，连接勿，0C.

：.OA=OB=OD=OC,

：.A,B,C,〃四个点在同一个圆上；

(2)证明：在△力四中，ZACB=90°,AC=BC,

：.AABC=^°,

：.ZADC=ZABC=45°；

【点评】本题考查了作图-旋转变换，点和圆的位置关系，三角形斜边直线的性质，等腰三角形的性质，

圆周角定理，（3）正确得出对应点位置是解题关键.

4.如图，过等边△49C的顶点夕在/49C内部作射线朋ZABP=a（00<a<60°且aW30°），点/

关于射线征的对称点为点〃直线必交居于点£,连接被AE.

BCB

备用图

(1)依据题意，补全图形；

(2)在a(0°<a<60°且a#30°)变化的过程中，//旗的大小是否发生变化？如果发生变化，请

直接写出变化的范围；如果不发生变化，请求出//旗的大小；

(3)连接47交加于点户，用等式表示线段BF,四之间的数量关系，并给予证明.

【分析】(D根据题意补全图形，即可得出结论；

(2)先判断出//册=/戚=a,BD=BA,在判断出AB=AC=BC,ZABC=ZACB=60°,进而得出BD=

BC,ZCBD=60°+2a,/BDC=/BCD=60°+a,即可得出结论；

(3)先判断出△川昭是等边三角形，得出AE=AM=EM,N切460°,在判断出/掰〃=进而判断

出△/酬丝(外S),得出倒右阳再判断出/"F=90°,得出NE46=30°,：.EF=^AE,即可得出结

论.

【解答】解：(1)补全图形如图1所示，

(2)NZ旗不发生变化，ZAEB=60°；

•・•点A关于射线炉的对称点为点D,

：.ZABP=ZDBP=a,BQBA,

•・•△/欧是等边三角形,

：.AB=AC=BC,ZABC=ZACB=G0°,

：.BD=BC,ZCBD=6Q0+2a,

：.ZBDC=ZBCD=60°+a,

■:/BDC=/BE*/DBE=/BEC+a=6仁+a,

:・/BEC=60°,

：.ZAEB=ZBEC=60°,

・・・//旗不发生变化，/AEB=60°；

(3)如图2,线段BF,CF之间的数量关系为：BF=CE+^AE,

证明：如图2,在座上取一点必使9=/£,连接Z必

•・3旗=60°,

・・・△⑷^是等边三角形，

：.AE=AM=EM,N创上60°,

*：ZBA^ZCAM=ZCAM^ZCAE=60°,

:・NBAM=/CAE,

*：AB=AC,

△ABB△ACE(S4S),

：.BM=CE,

•・•点A关于射线"的对称点为点D,

：.AE=DE=EM,ZAFE=90°,

'：ZAEB=60°,

：.ZEAF=30°,

：.EF=*

BF=BE-EF=CE+AE=CE+.

即BF=CE吾AE.

【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，轴对

称的性质，构造出全等三角形是解本题的关键.

5.如图1,ZACB=90°,AC=BC,ADICE,BELCE,垂足分别为〃E,AD=Scm,DE=5cm.

（1）求庞的长；

（2）其它条件不变的前提下，将磔所在直线旋转到△/笈的外部（如图2）,请你猜想/〃，DE,应'三者之

间的数量关系，直接写出结论，不需证明.

（3）如图3,将（1）中的条件改为：在中，AC=BC,D,C,£三点在同一条直线上，并且有/皈

=ZADC=ZBCA=a,其中a为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成

立，请说明理由.

图1图2图3

【分析】（1）先利用同角的余角相等判断出/项进而判断出△侬丝△/%,得出BE=DC,CE=

AD=8cm,即可得出结论；

（2）同（1）的方法得出庞=%,CE=AD,进而得出结论.

（3）同（1）的方法，即可得出结论.

【解答】解：（1）'：BEVCE,ADYCE,

：.ZE=ZADC=90°,

：.4EBC+/BCE=0Q°.

,：ZBCE+AACD=^°,

：.ZEBC=ZDCA.

在①和中，

(ZE=ZADC

\^EBC=ADCA'

(BC=AC

:.MCE哙XADC(AAS),

:,BE=DC,CE—AD—Scm.

*.*DC=CE-DE,DE=5cm,

.\DC=8-5=3(cm),

:・BE=3cm；

(2)AABE=DE,

证明：*：BEVCE,ADLCE,

：.ZE=ZADC=90°,

:./EBC+/BCES,

*：/BCE+/ACD=9G°,

:・/EBC=/DCA.

在班和△49。中，

(ZE=ZADC

\^EBC=ADCA^

(BC=AC

:.MCE哙XADC(A4S),

：.BE=DC,CE=AD,

:・DE=CE+DE=AIABE;

(3)、(2)中的猜想还成立，

证明：VZBCE+ZACB+ZACD=180°,ZDAaZACB+ZACD=180°,/ADC=/BCA,

：.ZBCE=ACAD,

在△侬和中，

(ZBCE=NCAD

jABEC=Z.CDA，

[CB=CA

:.XCEB空XADC(AAS),

：.BE=CD,EC=AD,

：.DE=EaCD=AD^BE.

【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，三角形内角和

定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

6.人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：

如图L在△板中，如果">“；那么我们可以将△/欧折叠，使边ZC落在/夕上，点。落在加上的〃

点，折线交%于点瓦则N4NZ公

9：ZADE>ZB(想一想为什么)，

C.AOZB.

(1)请证明上文中的/4Q/8

(2)如图2,在△ASC中,如果乙43/8能否证明">力。

同学小雅提供了一种方法：将△/回折叠，使点6落在点C上，折线交力6于点广，交加于点G,再运用三

角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明；

(3)如图3,在△欣中，ZC=2Zft按照图1的方式进行折叠，得到折痕/£,过点£作/「的平行线交

AB于点M,若/的=110°,求NZW的度数.

【分析】(1)利用三角形的外角的性质，即可得出结论；

(2)先由折叠得出加=5再利用三角形外角的性质，即可得出结论；

(3)先判断出/8=/的，再判断出/例£=/陶，进而求出/班伤=70°,即可得出结论.

【解答】(1)证明：龙=/6+/小，

：.ZADE>ZB；

(2)证明：由折叠知，BF=CF,

在中，AF^FOAC,

：.AFvBF>AC,

：.AB>AC；

(3)由折叠知，ZMAE=ZEAC,ZADE=ZC,

■:匕C=24B,

：.ZADE=2AB,

"：AADE=AB+ABED,

：.ZB=ABED,

'：ME//AC,

：.ZMEA=ZEAC,

■:NMAE=NEAC,

：.ZMAE=ZMEA,

•.•/的=110°,

/班/掰£=180°-Z5E4=180°-110°=70°,

:/BE杀/MEA=/孙/BAM=B,

：.ZDEM=ZBEA-JBEA/MEA）=110°-70°=40°.

【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，等

边对等角，判断出/例£=/侬是解本题的关键.

7.如图，是等边三角形，AC=2,点。关于四对称的点为「'，点户是直线夕6上的一动点.

（1）若点尸是线段C'6上任意一点（不与点C',点6重合）

①如图1,作/用£=60°交%于点£,/9与/£相等吗？请证明你的结论；

②如图2,连接相，作/加4=60°交射线8c于点〃物与以相等吗？请证明你的结论.

（2）若点户在线段6的延长线上.

①连接/R作//S60°交射线正于点A依题意补全图3；

②直接写出线段劭、AB、第之间的数量关系.

【分析】（1）①由“AS4”可证△必的△&，，可得/片/£；

②由“AS4”可证△阳江△形N,可得尸2=必；

（2）①根据要求画出图形即可解决问题；

②结论：BD=BPrAB.如图3中，在劭上取一点£,使得BE=PB.由“弘S”可证/力，可得

=DE,可得结论.

【解答】解：⑴①AP=AE,

理由如下：•••△/优是等边三角形，

：.ZABC=60°=ZBAC,AB=AC,

•.•点C与点。关于"对称，

：.ZCBA=ZCBA=60°,

'：APAE=ZBAC=^°,

：.ZPAB=ZEAC,

:ZA席XEAC(ASA),

：.AP=AE；

②PD=PA,

理由如下：如图2中，作N出力=60°交A3于点、E,

图2

・・•△48。是等边三角形，

：.ZABC=60°,

•・•点C与点C关于四对称，

：.ZCBA=ZCBA=60°=4BPE,

:・/PEB=600.

•••△力切是等边三角形，

：.PB=PE,AEP=120°=/PBD.

■:/BPA/DPE=60°,/APE+/DPE=6G°,

・・・ABPD=/APE,

在XPBD和XPEA中，

(/BPD=ZAPE

\PB=PE，

(dBD=Z.PEA

・・・△必屋△陶(ASA),

:・PD=PA；

(2)①解：补全图形，如图3所示：

图3

②解：结论：BD=BRAB,

理由：如图3中，在物上取一点反使得BE=PB.

•:/EBP=60°,BE=BP,

，△我是等边三角形，

:"BPE=NAPD=6Q°,

：.AAPB=AEPD,

"：PB=PE,PA=PD,

:.△BPAg^EPD{SAS'),

：.AB=DE,

：.BD=BE+ED=BP^AB.

【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

8.如图1,0为等边△ABC外一点,ZW=120°,连接DB,并延长加至点反馍BE=AD,连接中，CE.

(1)求证：Z.CAD=4CBE；

(2)求证：△。应为等边三角形；

(3)在图1的基础上作，点关于/C,正的对称点弘N,连接四CN,MN,过C点作"历V于点色如图

2.求证：CD=2CF.

M

图2

【分析】(1)利用等角的补角相等，证明即可.

(2)证明△窃噂△鹿(弘S),推出CD=CE,AACD=ZECB,推出N4%=60°,可得结论△〃"

是等边三角形.

(3)由，点关于4G宛1的对称点弘N,推出5=6¥=制ZDCA=ZACM,ZDCB=ZBCN,由//⑦四

=ZACB=60°,推出/幽衿2//3120°,即可解决问题.

【解答】(1)证明：：△板是等边三角形，

：.ZACB=60Q,

ZADB=120

：.ZACB+ZADB=180°,

・・・N6WN曲=180°,

•・・N6WN鹿=180°,

：.ZCAD=ZCBE.

(2)证明：・・・△/比是等边三角形,

：.AC=BC,ZACB=60°,

,：ZCAD=ZCBB,AD=BE,

.,.△az星△鹿｛SAS'),

：.CD^CE,/ACD=/ECB,

:・/DCE=/ACB=6S,

•••△〃"是等边三角形.

(3)证明：如图2中，

图2

・・,〃点关于ZG叱的对称点必N,

：.CD=CM=CN,NDCA=/ACM,/DCB=NBCN,

VZACIhZDCB=ZACB=60°,

:・/MCN=2/ACB=\2G°,

YCM=CN,

:・/CMN=/CNM=3a°,

CFL.MN,

・・・N6KQ90°,

:,CM=2CF

'：CM=CD,

：.CD=2CF.

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三

角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

9.如图1,△46。和△〃即都是等腰直角三角形，ZJ=90°,/£=90°,△〃跖的顶点，恰好落在△/笈

的斜边8c中点，把△应F绕点，旋转，始终保持线段"1分别与线段48、4c交于"、N,连接腕

在这个变化过程中，小明通过观察、度量，发现了一些特殊的数量关系.

（1）于是他把△颂旋转到特殊位置，验证自己的猜想.如图2,当好〃笈时，

①通过计算/砌9和/彻0的度数，得出/砌9=N7WC填＞,＜或=）；

②设6c=2近，通过计算/〃MN,超的长度，其中般上进而得出/KMN、般'之间的数量关系是

AgMN=CN.

（2）在特殊位置验证猜想还不够，还需要在一般位置进行证明.

请你对（1）中猜想的线段力欣MN、血之间的数量关系进行证明.

【分析】（1）①由“&1S”可证△阳屋7得4BMD=4DNC,由外角的性质和平行线的性质可证/

BMD=ACND=ABDM=ACMN-,

②由等腰三角形的性质可求创口砥加=阳再求出川-2-&，MN=®AM=2a.-2,即可得结论；

（2）在GV上截取弘连接/〃，DH,由“弘S”可证△力腋运△沏可得MD=DH,AADM=ACDH,再

由uSASn可证△朋伯ZX/m个得MN=HN,可得结论.

【解答】解：（1）①•••△欣和都是等腰直角三角形，ZJ=90°,N£=90°,

:./B=/C=/EDF=45°,AB=AC,BC=^2AB,

'：MN//BC,

：.AAMN=AB=^＞°=4ANM=4C,ADMN=ZBDM,

：.AM=AN,

：.BM=CN,

丁点〃是用中点,

：.BD=CD,

在△砌9和△6W中，

BM=CN

Z-B=Z.C,

BD=CD

:•丛BMD沼ACND(倒S),

:・/BMD=/DNC,

,?/MDB=/C+/DNC=/MDN/BDM,

:・/BDM=/CND,

：.ZBMD=ZCND=ZBDM=ZCM/V,

故答案为：—；

②YBC=2®BC=42AB,

：.AB=AC=2,

ABMD=ZCND=/BDM,

：

.BD=BM=-2BC=y[2,

：.NC=V2,

:.AM=2-戊,

,:AM=AN,ZA=90°,

：.MN=近AM=2a一2,

:.A屿MN=2-a+2V2-2=V2=NC,

故答案为：V2；Al^MN=Na

(2)如图1,在GV上截取以U/弘连接49,DH,

勿是等腰直角三角形，点，是8c中点,

：.AD=CD,ZBAD=ZACD=45°,ADVBC,

又,：AM=CH,

:.△AMI^XCHD(S45),

：.MD=DH,AADM=ACDH,

,：4AD岭4ADN=4MDN=43°,

：.AADN^ACDH=^°,

：./HDN=45°=4MDN,

在△MV和△做V中，

DN=DN

乙MDN=4HDN,

DM=DH

:.△MDN^XHDN(SAS),

：.MN=HN,

：.NC=CH^NH=AM^MN.

【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，外角的性质

等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

10.在等边△/以中，点。在比边上，点〃在力。的延长线上且为=如.

(1)如图1,若点。为灰中点，求证：勿的度数.

(2)如图2,若点。为欧上任意一点，求证：AD=2B8OC.

(3)如图3,若点。为正上任意一点，点〃关于直线统的对称点为点R连接HROP,请判断△力帆的

形状，并说明理由.

【分析】(1)由等边三角形的性质得出/0行30°,求出//勿的度数即可得出答案；

(2)如图1,过。作庞〃羽，OE交AD于E,证明△核为等边三角形，根据A4s证明哙△〃%,得出

CD=EA,则可得出答案；

(3)如图2,连接尸GPD,延长利交加于凡证明△Offi四△〃¥；得出NPOF=NDOF,OP=OD,则△/8

为等腰三角形，过。作庞〃阳OE交AD于E,证得建'=60°,则结论得证.

【解答】解：(1)欧为等边三角形，

.•./物。=60°,

•：0为BC中点,

：

.ZCAO=-2^BAC=30°,

^AOLBC,ZAOC=90°,

•：OA=OD,

•••△4勿中，ZD=ZCAO=30°,

：.ZAOD=180°-ZD-ZCAO=120°,

：.ZCOD=ZAOD-ZAOC=30°；

(2)如图1,过。作施〃然，OE交AD于E,

OE//AB

：.ZEOC=ZABC=60°ZCEO=ZCAB=60°,

・・・△建为等边三角形，

AOE=OC=CEAAEO=180°-ZCEO=120°ZDCO=180°-ZACB=120°,

又•:OA=OD,

：.AEAO=ACDO,

在△水应和中，

(ZAOE=/DOC

]Z.EAO=Z.CDO，

VOA=OD

:•△AO蜂MDOC(AAS),

：.CD=EA,

•:EA=AC-CE,BO=BC-CO,

:・EA=BO,

：.BO=CD,

又YAD=A*CD,AB=BQ

：.AD=AB+BO=B&BO=B(XC(ABO=2B(ACO；

(3)△48为等边三角形.

证明：如图2,连接AC,PD,延长%交处于E

A

,:P、，关于0c对称，

：.PF=DF,NPF0=/DF0=gQ°,

在△〃，％与△〃叶中，

（PF=DF

jzPFO=Z.DF0,

（0F=OF

，△4a△淅（SiS）,

：.AP0F=ADOF,0P=0D,

△祖庐为等腰三角形，

过。作OE//AB,0E交于E,

由（2）得△A0E^AD0C/A0E=/D0C,

：.AA0E=AP0F,

：.AA0E+AP0E=NP0F+NP0E,

即//0三/颁'=60°,

2X48是等边三角形.

【点评】本题是三几何变换综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角的判定与

性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出辅助线.

11.在母△4%中，AB=AC,0B=0C,ZA=90°,AM0N=a,分别交直线也、/C于点从N.

(1)如图1,当a=90°时，求证：AM=CN-,

(2)如图2,当a=45°时，求证：BM=WMN；

(3)当a=45°时，旋转/例加至图3位置，请你直接写出线段儆MN、4V之间的数量关系.

【分析】(1)如图1,连接的，由等腰直角三角形可得a；OA=OB=OC,ZABO=AACO=ZBAO=ZCAO

=45°,由“力弘”可证，△/叱△CW可得如上勰

(2)如图2,在图上截取8G连接GO,A0,由“必S”可证△加缁人4酸可得0G=0N,ZBOG=Z

AON,由“必S”可证△酸星△_/«,可得酸=掘则用仁6G+34^硼

(3)如图3,过点。作比_1_四连接/。，由可证△初四△四0,可得m=(次GO=ON,由“%S”

可证△胱陷△例%1,可得仞仁酸贝I］例—四网

【解答】证明：(1)如图1,连接0A,

'：AB=AC,ZBAC=90°,OB=OC,

J.AOLBC,OA=OB=OC,AABO=AACO=ZBAO=ZCAO=45°,

：.ZMON=ZAOC=90°,

：.ZA0M=ZCON,且46-面，ZBAO=ZACO=45°,

；.△/如丝△CW(力弘)

：.AM=CN-,

(2)证明：如图2,在刷上截取8G=力4连接第A0,

"：AB=AC,ZBAC=9Q°,0B=0C,

：.AO\,BC,OA=OB=OC,AABO=ZACO=ZBAO=ZCAO=45°,

'：BG=AN,NABO=/NAO=45°,AO=BO,

:.△BGMXAON(SAS),

：.OG=ON,NBOG=/AON,

■:/MON=45°=2A0帖/A0N,

：.ZAO^ZBOG=45°,

VZAOB=90°,

：.ZMOG=ZMON=45°,

*：MO=MO,GO=NO,

:•丛GMS丛NMO(弘S),

：.GM=MN,

：.BM=BG+GM=AN^MN；

(3)MN=AN^BM,

理由如下：如图3,过点。作。入酸连接4。,

：.AOLBC,OA=OB=OC,ZABO=AACO=ZBAO=ZCAO=45°,

:./GBO=/NAO=\33°,

9：MOLGO,

:./N0G=9D°=/AOB,

：.ZBOG=ZAON,且4"80,ZNAO=ZGBO,

:•丛NAg：XGBO(ASA),

：.AN=GB,GO=ON,

•:MO=MO,/M0N=/G0M=45°,GO=NO,

:•丛MO哙丛MOG(弘S),

:,MN=MG,

*：MG=MB+BG,

:・MN=AN^BM.

图2

【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅

助线构造全等三角形是本题的关键.

12.如图，在平面直角坐标系中，有及ZACB=90°,ZBAC=30°,点/、6均在无轴上，边47与

＞轴交于点〃连接初，且物是的角平分线，若点8的坐标为（百，0）.

(1)如图1,求点。的横坐标;

(2)如图2,将R/ZXW绕点/逆时针旋转一个角度a（0。Wa^180°）得到RtAAEC,直线AC交直

线即于点R直线交y轴于点。，是否存在点只Q,使△/园为等腰三角形？若存在，直接写出N/园

的度数；若不存在，请说明理由.

图2

【分析】（1）如图1中，过点。作见必于〃.首先证明的=应，想办法求出例如即可解决问题.

（2）分三种情形：当/々阳时，当为=国时，当/々附时，根据等腰三角形的性质分别求解即可.

【解答】解：（1）如图1中，过点。作CH1AB于H.

ZABC=90°,ZCAB=30°,

：.ZABC=90°-30°=60°，

'：BD平分/ABC,

：.ZABD=-ZABC=30°，

2

：.ZDAB=ZDBA=30°,

：.DA=DB,

9：DOLAB,

：.OA=OB,

9：B(V3,0),

OA=OB=V3,

:・AB=2®

:・BC=/B=遮,

•・,CHLAB,

:・/CHB=9G0,

：.BH=-BC=—,