直线与圆的最值问题专练【16类题型】（解析版）-2024-2025学年人教版高二数学上学期

直线与圆的最值问题［16类题型汇总】

求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，与圆有关的最值问题主要表现在求

几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问

题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化，今天我们一起来学习一下直线与圆相关最值问题的

所有题型！

总览1题型解读

【题型1】点到含参直线距离最值.................................................2

【题型2］过定点的弦长最短......................................................3

【题型3】通过点与圆的位置关系求参数范围.......................................5

【题型4】点圆型最值问题........................................................7

【题型5】斜率型最值问题........................................................9

【题型6】圆上的点到直线的距离为定值的个数（教材原题改编）...................12

【题型7】与基本不等式结合求最值..............................................19

【题型8】隐圆型最值问题.......................................................24

【题型9】阿氏圆...............................................................28

【题型10］与切点弦有关的最值问题.............................................35

【题型11］过定点的弦与圆心所围成的三角形面积最值............................41

【题型12］半圆与直线交点问题.................................................47

【题型13】三角换元求最值......................................................51

【题型14］圆的轨迹类问题......................................................52

【题型151点到直线距离公式为背景的最值问题...................................57

【题型16】张角最大问题........................................................64

题型汇编、知识梳理与常考题型

【题型1】点到含参直线距离最值

基础知识1

点P到含参直线/距离最大值即P点到定点A的距离

如图，直线/绕定点A旋转，易知PH4P4

A.1B.V2C.百

【解答】解：方法一：因为点（0,-1）到直线>=左（》+1）距离d=

•・•要求距离的最大值，故需左>0；

・.・公+珍2左，当且仅当k=1时等号成立,

可得抬1+生=血,

当左=1时等号成立.

V2k

方法二：由了=做%+1）可知，直线夕=后（》+1）过定点3（-1,0）,

记A（0,-l）,则点/（0,-1）到直线y=无0+1）距离|/台|=V2

/“巩固练习/

【巩固练习】已知直线/方程为（2+加）x+（l-2加力+4-3加=0,那加为时，点。（3,4）到直线/

的距离最大，最大值为

【答案】-12招

【分析】求出直线/过定点P的坐标，当0尸/时，忸。|为所求点到直线距离的最大值，再由垂直求

得切值.

[详解]直线/:（2+，"）x+0_2加）y+4-3加=0化为（x_2y-3）加=_2x_y—4,

[x-2y—3=0fx=-1

由。.4n,得…

[-2x-y-4=0[y=-2

・二直线/必过定点（-1,-2）.

当点。（3,4）到直线/的距离最大时，。尸垂直于已知的直线/,

即点0与定点P（-L-2）的连线长就是所求最大值，

此时直线尸。与直线（2+加）工+（1—2加）歹+4-3加=0垂直,

4

.,-2-43.2+m_2解得"?=一5,

-1-3

此时，点。（3,4）到直线的最大距离是J（3+1）2+（4+2）2=2713.

综上所述，"?=-1"时，点。（3,4）到直线的距离最大，最大值为2JII.

故答案为：-不2A/13.

【题型2】过定点的弦长最短

/核心•技巧/

设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径

垂垂直的弦弦长为2"-|CM「.

/“典型例题/

2.已知直线/：新-了一彳+1=0和圆C:x2+/-4y=0交于48两点，贝”/目的最小值为（）

A.2B.V2C.4D.2V2

【答案】D

【分析】求出直线/过定点（1,1）,再利用弦长公式即可得到最小值.

【详解】/:A（x-l）-y+l=O,令x=l,则丁=1,所以直线/过定点（1,1）,

当x=l,y=l得12+12一4乂1=一2<0,则（1』）在圆内，则直线/与圆必有两交点，

因为圆心（0,2）到直线/的距离d4^（1-0）2+（1-2）2=,所以=2d2—2>272.

/u巩固练习/

【巩固练习1】过点（1,1）的直线/与圆C：/一以+/=0相交于/、2两点，贝|]|/3的最小值是.

【答案】2&

【分析】利用垂径定理很快就可以找到最小弦长的直线，再利用勾股定理进行求解即可.

【详解】因为圆C:X2-4X+/=0<^（X-2）2+/=4,圆心C（2,0）,半径火=2

所以当过点尸（1,1）的直线/垂直于PC时，弦长|/同取最小值，

\AB\=2YJR2-PC2=2V4^2=272.

【巩固练习2】（24-25高三上・江苏苏州•开学考试）已知直线/：（2左+1）》-0-1=0（其中左为常

数），圆。:/+/=8,直线/与圆。相交于4,3两点，则48长度最小值为.

【答案】26

【分析】求出直线/过的定点，求出圆。的圆心和半径，连接。尸，当直线/与。尸垂直时弦长最

小，求出48长度最小值.

【详解】由题意得直线/：（2左+l）x-0-l=0过定点尸（1,2）,

圆。：/+丁=8圆心为。（0,0）,半径为厂=2血，

连接。尸，当直线/与O尸垂直时弦长N3最小，

此时|OP|=JF+22=#）,

所以AB长度最小值为尸『=2百.

【巩固练习3】（23-24高二下•广东茂名•阶段练习）己知圆C:（x-3）2+（y-4）2=9,直线

/：(%+3江-(冽+2力+%=0.则直线/被圆。截得的弦长的最小值为()

A.2A/7B.V10C.2>/2D.V6

【答案】A

【分析】先求出直线/所过的定点尸(2,3),数形结合得到当CP时，直线/被圆C截得的弦长最小,

再由垂径定理得到最小值.

［详解］直线/:(加+3卜_(加+2)y+加=加+2y=0,

\x-y+1=0fx=2/、

令2CC，解得2,所以直线/恒过定点尸2,3,

\3x-iy=0［>=3

圆C:(x-3)2+(>>-4)2=9的圆心为C(3,4),半径为厂=3,

JL|PC|2=(2-3)2+(3-4)2=2<9,即P在圆内，

当CP，/时，圆心C到直线/的距离最大为d=|PC|=拒，

此时，直线/被圆C截得的弦长最小，最小值为2-屋=2近.

【题型3】通过点与圆的位置关系求参数范围

/核心•技巧/

在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系

已知点和圆的一般式方程。C：x2+y2+Dx+Ey+F-0(.D2+E2-4F>0),

则点M(x0,y0)与圆的位置关系：

2

①点M(Xg,%)在。。外U*xfl++Dxg+Ey0+F>0

2

②点M(XQ,为)在。C上xg+y0~+Dx0+Ey0+F—0

2

③点Af(x()J。)在OC内Ox02+y0+Dx0+Ey0+F<0

注意：做题时不要漏掉。2+后2_4尸〉0这个不等式

3.若点在圆X2+/-2即-4=0的内部，则。的取值范围是().

A.a>\B.0<a<lC.-1<a<-D.a<1

【答案】D

【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.

【详解】由题可知，半径/=J/+4,所以awR,把点(a+l,a-l)代入方程，

0')(a+l)2+(a-l)2-2a(a-l)-4<O,解得a<1,所以故a的取值范围是a<1.

/“巩固练习/

【巩固练习1】若点4(2,1)在圆一+廿-2妙-2了+5=0(加为常数)外，则实数机的取值范围为

A.(-℃,2)B.(2,+oo)C.(一肛-2)D.(-2,+oo)

【答案】C

【分析】由点A在圆外代入圆的方程可得加<2,再由圆的一般方程中。2+炉一4尸可得加<-2,

最后求交集即可.

【详解】由题意知22+仔一4加一2+5>0,

故加<2,

又由圆的一般方程切+尸=o,

可得。2+炉_4户>0,即(一2加了+(—2)2-4x5>0,

即加〈一2或加〉2,

所以实数机的范围为加<-2.

【巩固练习2】若点(0』)在圆/+/-2以-2y+a+l=0外，则实数。的取值范围为

【答案】a>\

【分析】根据圆心到点(0,1)的距离大于半径即可列不等式求解.

【详解】圆的标准方程为(x-a)2+(y-l)2=a2-a,

由于点(0,1)在圆外，

.(0—47)+(1—1)>a—-a

所以,k解得。>1

a—a>0

【巩固练习3】过点P。』)可以向圆/+7+2%一4了+斤-2=0引两条切线，则左的范围________.

【答案】(2,7)

【分析】根据方程表示圆和点P在圆外可得不等式，由此可解得上的范围.

【详解】由x2+j/+2x-4y+%-2=0表示圆可得：4+16—4(左一2)>0,解得：后<7；

•.♦过尸可作圆的两条切线，...P在圆外，...f+F+z-4+后一2>0,解得：A>2；

综上所述：上的范围为(2,7).

【题型4】点圆型最值问题

/核心•技巧/

圆C上的动点P到直线/距离的最大值等于点C到直线/距离的最大值加上半径，最小值等于点C

到直线距离的最小值减去半径

/“典型例题/

4,若实数无/满足/+产=1,则J(x-1)2+"一I)?的最大值是.

【答案】V2+1/1+72

【分析】利用两点间距离几何意义求解最值.

【详解】设点尸(尤/),由实数满足/+y2=l可得：

点尸在以原点为圆心，以1为半径的圆上，

设点/(1,1),则7(x-l)2+(y-l)2的几何意义为动点尸到定点/(1,1)的距离|北|,

由a+i2=2>i,则点A在圆/+j?=i夕卜,

结合图形可知，|4?，腔=1°闻+1=亚+1

7（X-1）2+（J-1）2的最大值是V2+1.

故答案为：V2+1.

/“巩固练习/

【巩固练习1】若点尸（X/）在圆，+/一47+1=0上，则（X-1）2+/的最小值为.

【答案】8-2V15

［分析］利用（X-1）2+/表示点（xJ）与点（1,0）的距离的平方，求出圆心（0,2）与点（1,0）的距离为右,

可求得最小距离，继而可求得所求.

【详解】因为/+/一47+1=0,化为/+（了_2）2=3,

圆心为（0,2）,半径为也,

又（x-+V表示点（x,y）与点（1,0）的距离的平方,

圆心（0,2）与点（1,0）的距离为下,

所以点（XJ）与点（1,0）的距离的最小值为石-g,

故（x-iy+V的最小值为（括一括）2=8-2，记

【巩固练习2］若点P（x/）是圆。:/+/_8》+6了+16=0上一点，则f+/的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可.

【详解】圆。：一+/-8工+6夕+16=0可化为（工一4）2+（>+3）2=9.

f+炉表示点尸（x,y）到点。（0,0）的距离的平方,

因为|CO|=^42+(-3)2=5,

所以f+y2的最小值为(5-3)2=4.

【巩固练习3】已知圆C:(x—3)2+3-4)2=l,点与8(0,1),P为圆C上动点,

当|P/『+1『取最大值时点P坐标是

【解答】解：设尸(xj),则例2=/+3+])2+/+3-1)2=2(/+/)+2,

yjx2+y2的几何意义是尸(无,y)到原点的距离，

由已知，圆心C(3,4),半径为1,C到。的距离|。。|=5,

yjx2+y2的最大值是5+1=6,

."的最大值为2x6?+2=74,

4

由直线＞=]%与圆C:(x—3)2+0—4)2=1,可得(5%-12)(5X-18)=0,

12万18

x=——或x=——

55

当IPN『+IP8『取最大值时点P坐标是(y,y)

【题型5】斜率型最值问题

//心•技巧/..........................................

形如M=上二白的最值问题，可转化为点(X，JO与定点(。，6)的动直线斜率的最值问题

x-a

/“典型例题/

5,已知实数无，>满足方程(》-2)2+r=3,求上的最大值和最小值

X

【解答】解：(1)圆(X-2>+/=3,圆心(2,0),半径为

令上=左，即乙-y=0,上的最值，就是圆心到直线的距离等于半径时的左的值,

XX

I。7I

二/,2=6'解得4=±6,，上的最大值为最小值为一百.

yj\+k-X

6.（24-25高二上•江西上饶•开学考试）已知两点/（T2）,S（2,l）,过点尸（0,-1）的直线/与线段

AB（含端点）有交点，则直线/的斜率的取值范围为（）

A.（-00,-1]U[1,+（»）B.[-1,1]C.^-co,-|ju[l,+ao）D.-pl

【答案】A

【分析】求出直线上4、PB的斜率后可求直线/的斜率的范围.

-1-2,,-1-1,

【详解】二-1,而kpR---------=1,

0+3---------------PB0-2

故直线/的取值范围为（-叱-1]口（1,+功

7,若点P在曲线C：x2+『-2x-6y+l=0上运动，则」二的最大值为_______.

x+3

74

【答案】y

【分析】先根据已知求出圆心，半径，再把分式转化为斜率，最后化简为直线结合直线和圆的位置

关系应用点到直线距离求解即可.

【详解】曲线C方程化为（*-1『+5-3）2=9,是以（1,3）为圆心，3为半径的圆，

告表示点尸（X/）与点（一3,0）连线的斜率，不妨设*=左即直线/：kx-y+3k=0,

又尸在圆上运动，故直线与圆。有公共点，则।/.工,

24v?4

化简得7人2—24左00解得0W左W一,故二一的最大值为

7x+37

/“巩固练习/

【巩固练习1】（22-23高二上•安徽马鞍山•阶段练习）已知直线斜率为左，且YMkM叵,那么倾

3

斜角。的取值范围是（）

八兀7i2K)八兀2兀

A•卜％卜匕B.卜，/。心，无

八兀[「2兀)「八兀]「兀2兀

C.0,-u—,7iD.o,-u

_Oj|_3)|_3J|_23

【答案】C

【分析】根据斜率和倾斜角的关系，结合图象可得答案.

【详解】k=tana在[0,兀)上的图象如图所示，

由图可知，当发4立时,

3

【巩固练习2】如果实数X,y满足(—y+r=2,则予的范围是()

A.(-1,1)B.[-1,1]C.(-oo,-l)<J(l,+oo)D.(-oo,-l]U[l,+<»)

【答案】B

【分析】设十=左，求予的范围救等价于求同时经过原点和圆上的点(xj)的直线中斜率的范围，结

合图象，易得取值范围.

【详解】解：设上=斤，则了=履表示经过原点的直线，上为直线的斜率.

X

如果实数X,V满足(X-2)2+J?=2和｝=左，即直线歹=船同时经过原点和圆上的点(XJ).

X

其中圆心C(2,0),半径尸=J^

从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为E

则直线的斜率就是其倾斜角/EOC的正切值，易得|。。|=2,|C£|=r=后,

(Av

可由勾股定理求得\OE\=y]0C2-CE2=V2于是可得到k=tanZEOC=——=1为二的最大值;

OEx

同理，上的最小值为-1.

则上的范围是

X

【巩固练习3】已知两点/(3,0),8(0,4),动点P(x,y)在线段N3上运动，则匕!■的范围是，

x-2

(x+1)2+y2的范围是.

【答案】f-co,-1-u[l,+oo)

【分析】根据43坐标画出线段AB,可知』出的几何意义为(X,y)与C(2,-1)连线斜率，(X+1)2+/

x-2

的几何意义为(X/)与。(-1,0)距离的平方，即可由斜率公式及距离公式求解.

【详解】根据题意画出线段AB如下图所示：

直线AB的方程为4x+3y—12=0,

上出的几何意义为(X/)与C(2,-l)连线斜率，kAC=\,kBC=-l-,

x-22

所以■坦/_8,_*u[l,+oo)；

x-2I2

(x+1)2+y2的几何意义为(XJ)与。(-1,0)距离的平方,

1-4-12116

由点到距离公式可知少尸=^^^二WDA=4,DB=J(-l)2+42=V17,

V42+325

所以+~25~^，

故答案为：1—8，-2D[L+8)

【题型6】圆上的点到直线的距离为定值的个数(教材原题改编)

/核心•技巧/

教材原题改编：选择性必修第一册第99页

@拓广探索

；13.已知阴/+,=4,直线/：6为何值时，回上恰有三个点到直线/的距离都等于1?

圆心C到直线1的距离为d,圆C上的动点P到直线的距离为d',则

(1)直线与圆有公共点时，此时dWr

①当d,d+r(dWr)时，点P个数为0

②当d=d+r(dWr)时，点P个数为1

③当r—d<GT<r+d(dWr)时，点P个数为2

④当d=r—d(dWr)时，点P个数为3

⑤当0<d'<r-d(dsr)时，点P个数为4

(2)当直线与圆无公共点时，止匕时4r

①当d，<d—r(d>r)时，点P个数为0

②当d'=d—r(d>r)时，点P个数为1

③当d—r<dyd+r(d>r)时，点P个数为2

/“典型例题/

8.己知点尸在圆(x-4)2+(尸5)2=16上，点/(4,0),5(0,2).求点尸到直线48距离的最大值；

【答案】2g+4

【分析】首先求出直线的方程，再根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径

的和求解即可.

【详解】因为/(4,0),8(0,2),

所以38=a2=-工，所以直线的方程为丁=-lx+2,即x+2y-4=0,

4—022

圆(x-4)2+(y-5)2=16的圆心为(4,5),半径r=4,

圆心(4,5)至I直线AB的距离为d=J—r—=2,5>4,

故圆与直线研相离，所以圆上的点P到直线NS距离的最大值为20+4.

9.(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知圆/+y=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=。的

距离为1,则实数C的取值可能是()

A.14B.-13C.12D.-10

【答案】CD

【分析】分析可知直线12x-5y+c=0平行且与该直线间距离为1的直线的方程为12x-5y+c+13=0、

l2x-5y+c-13=0,由题意可知，直线12x-5y+c+13=0、12x-5y+c-13=0与圆/=4均相

交，可得出关于c的不等式组，解出c的取值范围，即可得出合适的选项.

【详解】设与直线12x-5y+c=0平行且与该直线间距离为1的直线的方程为12x-5y+加=0,

\m-c\

则J12?(5)2=1'解得加=c+13或加=c-13,

所以，直线12%—5>+。+13=0、12x-5y+c-13=0均与圆一+「=4相交,

心<2

13

而圆心为原点。,圆的半径长为2,所以,解得-13<c<13

5<2

13

10.若圆(x-3>+(y-5)2=r\r>0)上有且仅有两个点到直线4x-3v-2=0的距离为5,贝心的取值

范围是.

【答案】4<r<6

,、fr-l<5

【分析】求出圆心尸(3,5)到直线4》-3歹=2的距离等于1,由厂+]>5，能求出半径厂的取值范围.

I123x521

【详解】•・•圆心尸(3,5)到直线4工—3歹=2的距离等于11=1,

圆(x-3)2+(>-5)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线4%-3歹-2=。的距离为5,

[r-1<5

由圆的几何性质可得।.

[r+l>5

解得4<r<6,

半径厂的取值范围是4<6,故答案为4<r<6.

11.已知圆CX2+/=4,直线/：x+y+加=0,若圆。上有且仅有两个不同的点到直线/的距离

为1,则加的取值范围是.

【答案】(-30,-0)U(0,3码

【分析】首先结合已知条件，求出当圆C上有1个和3个不同的点到直线/的距离为1时，圆心到

直线/的距离，进而得到圆C上有且仅有两个不同的点到直线/的距离为1时，圆心到直线/的距离

的范围，然后结合点到直线的距离公式求解即可.

【详解】当圆。上有且仅有两个点到直线/的距离等于1时，如下图所示.

由于圆C的半径为2,

故当圆C上有1个不同的点到直线/的距离为1时，圆心到直线的距离d=2+1=3,

当当圆C上有3个不同的点到直线/的距离为1时，圆心到直线的距离d=2-1=1,

从而圆C上有且仅有两个不同的点到直线/的距离为1时，

则圆心C到直线/的距离"满足解得l<d<3,

因为圆心（0,0）到直线/：x+y+加=0的距离d=~^2'

m

所以1<\\<3,解得-372<m<-V2或正<加<3夜，

41

故加的取值范围是卜3隹-0）U（板,30）.

12.（24-25高二上・江苏徐州•开学考试）已知圆C：（x+l）2+（y-l）2=4,若直线歹=履+5上总存在

点P,使得过点P的圆C的两条切线夹角为60。，则实数k的取值范围是

Q

【答案】k>0^k<--.

【分析】根据切线夹角分析出|PC|=4,由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得.

【详解】圆C:（尤+1）2+（>-1）2=4,则圆心为半径r=2,

设两切点为42,则归/|=|尸却，因为NAPB=60。，在Rt△尸NC中ZAPC=|NAPB=30。，|/C|=r=2,

所以|/C|=4,

因此只要直线/上存在点P,使得|PC|=4即可满足题意.

圆心C（-l,l）,所以圆心到直线的距离>「—24,解得人20或左4一一.

yjk2+l15

/“巩固练习/

【巩固练习1】（2024・广东珠海•一模）已知点/（TO）,川0,3）,点尸是圆（了一3）2+/=1上任意一

点，贝LP48面积的最小值为（）

A.6B.—C.-D.6--

222

【答案】D

【分析】求出直线48的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点P到直线48距离的最小

值即可求得最小值.

【详解】两点N（T,O）,8（0,3）,则|/即=J（-l>+32=9,直线48方程为y=3x+3,

圆（x-3『+y2=i的圆心C（3,O）,半径厂=1,

点C到直线48：3工-了+3=0的距离d=,==—

^+（-厅5

因此点尸到直线4B距离的最小值为=M。-1

5

所以AP/3面积的最小值是:xJTUx（号。-1）=6-平

【巩固练习2】已知点P为圆/+/=1上一点，记“为点尸至|j直线x一冲一2=0的距离.当机变化时,

d的最大值为.

【答案】3

【分析】根据直线方程，求得该直线的定点，利用点到过定点直线以及点到圆上点距离的性质，可

得答案.

【详解】由直线方程9-2=0,则该直线过定点（2,0）,

易知圆/+/=1上任意定点到该直线的最大距离就是该点到（2,0）的距离，

由圆的方程/+/=],则其圆心为（0,0）,半径为1,

点（2,0）到圆/+/=]上点的最大距离为2+1=3.

【巩固练习3】在圆（x-2『+/=4上有且仅有两个点到直线3x+4y+。=0的距离为1,则。的取值

范围为•

【答案】（-21,-11川（-1,9）

【分析】由圆的方程确定圆心和半径，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离"=与@;根据

已知可确定5<d<r+1,由此构造方程求得。的取值范围.

【详解】由圆的方程知其圆心为(2,0),半径-2,

设圆心到直线3x+4y+。=0的距离为d,则d.

•••圆上有且仅有两个点到直线3x+4y+a=0的距离为1,则鼻<d<r+l,

即解得：-21<a<-ll或一1<。<9,

a的取值范围为(-21,-11)U(—1,9),

【巩固练习4】若圆(x-l)2+(y+l)2=7?2上有且仅有两个点到直线4x+3y=ll的距离等于1,则半径

R的取值范围是

【答案】1<R<3

【分析】根据题意分析出直线与圆的位置关系，再求半径的范围.

【详解】圆心到直线的距离为2,又圆(x-1)2+(jH-l)2=笈上有且仅有两个点到直线4x+3y=ll

4-3-11

的距离等于1,满足1<1,

V42+32

即：|R-2|V1,解得1VRV3.

故半径尺的取值范围是1VRV3(画图)

y

-5-4

故答案为：1<R<3

【巩固练习5］设圆C：(》-1)2+(/+1)2=/6>0)上有且仅有两个点到直线》7+2=0的距离等

于血，则圆半径厂的取值范围是.

【答案】（口,3亚）

【分析】

计算圆心到直线的距离为2亚，根据条件得到-川〈夜，解得答案.

【详解】

圆（龙一+5+1『=/的圆心坐标为（1,-1）,半径为r,

圆心（1,-1）到直线x-y+2=0的距离”=归［上3=2收，

J2

因为圆上恰有相异两点到直线x-y+2=0的距离等于④，

所以|4-厂|〈夜，

即|2夜-川＜0,所以后＜”3夜.

【巩固练习6】已知直线/：y=x+b,圆。：/+/=4,圆。上恰有4个点到直线/的距离为1,则

b的取值范围为.

【答案】卜虚，后）

【分析】根据题意可得圆心到直线/的距离小于1,再利用点到直线距离即可求出6的取值范围.

【详解】圆。上恰有4个点到直线/的距离为1,则圆心到直线/的距离小于1,

则"=即一也＜6＜血，

VI+1

所以6的取值范围为（-V2,V2）.

【题型7】与基本不等式结合求最值

核心•技巧

基本不等式：如果。＞0,6＞0,那么JabW—,当且仅当a=b时，等号成立.（仅限和与积）

常用不等式：若a，beR,则"”+6）当且仅当a=b时取等号；（从左至右为积,

42

和，平方和）

13.若。，b为正实数，直线2%+（2。-3»+2=0与直线版+2歹-1=0互相垂直，则ab的最大值为

【解答】解：由直线2x+（2〃一3）y+2=。与直线bx+2>-1=0互相垂直,

所以2b+2（2〃-3）=0,

即2Q+b=3；

又。、6为正实数，所以2°+磋2血益，

即2ab1今2）2=：,当且仅当°=5=9时取“=”；

9

所以的最大值为一.

8

14.设直线/的方程为（a+l）x+y+2-a=0（xeR）,若/与x轴正半轴的交点为/,与了轴负半轴的

交点为3,求儿4。8（。为坐标原点）面积的最小值.

【解答】解：•.•/与x轴正半轴的交点为/,与〉轴负半轴的交点为5,

n—2

力的横坐标箱>。B的2人坐标。—2<0,求得Q<—1.

求AAOB(O为坐标原点)面积的为:•-~1•(2-a)=[-3+(。+1)]2

2a+1—2a—2-2-(a+1)

9+(a+l)2-6(a+l)9fl+1c、c」一.3+3=6

+二r+3沱当且仅当a+1=-3时，取等

-2(a+1)--2(a+1)-2(o+1)-2

号，故人4。8（。为坐标原点）面积的最小值为6.

15.（23-24高二上•贵州铜仁•期中）已知圆x2-4x+/-2y=5关于直线2办+y+6-3=0（°,b为

大于0的数）对称，则:的最小值为____，此时直线方程为____.

ab

9

【答案］12x+3j-7=0

【分析】空1:由题意得直线2ax+y+6-3=0过圆心，从而得到4a+6=2,利用基本不等式“1”的

妙用求解最小值；空2:由空1结果代入回直线方程即可.

【详解】圆x2-4x+/-2y=5,整理得（x-2）2+（y-l）2=10,则其圆心为（2,1）,

由题意得：直线2ax+了+6-3=0过圆心（2,1）,

所以4a+b=2,又〃>0,b>0,

1?

(当且仅当。=—,b=-

33

时，取

27

此时直线方程为§工+歹一1=0,即2x+3y—7=0.

9

故答案为：—;2x+3歹一7=0.

16,（2024•安徽•模拟预测）已知尸（一2凡0）,。（8帅）（4>0,6>0）,动圆（x-+（y-6了=/（尸>o）

经过原点，且圆心在直线x+2歹=2上.当直线。。的斜率取最大值时，r=（)

AV2R2V2「拒n2g

3333

【答案】B

【分析】运用两点间斜率公式，结合基本不等式可解.

【详解】由题意可得，a1+b2=r2,a+2b=2,直线的斜率为女尸0=—^―.

2a+b

2a+b1212(a+2b)=15+亍2b2a

因为——I———+—>15+2

abab1ba

、门，、2b2a-72,令力、、、小、ab,2

当且仅当—=—,即。=b=一时，等于成五，所以-----<—,

ab32a+b9

即当直线P。的斜率取最大值时，a=b=~,所以/="+廿=号，故『=逑.

393

17,（23-24高二上•陕西西安・期中）已知圆。的半径为2,过圆O外一点尸作圆O的两条切线，切

点为A,B,那么用.丽的最小值为（）

A.-16+472B,-12+4V2C.-12+872D.-16+8V2

【答案】C

【分析】设|尸。卜d,根据长度表示出cos/gB,然后根据向量的数量积计算公式求解方.丽，结

合基本不等式求解出巨鼠丽的最小值.

设\PO\=d,则仍闻=\PB\=J屋-4,

2

因为sin乙4尸。二一

8

所以cos/力必=1—21-

所以强.而二(22_4)(1_=6/2+||-12>2732-12=872-12,

3?

当且仅当屋=/，即/=4行＞4时，等号成立,

故莎・丽的最小值为80-12

/“巩固练习/

【巩固练习1】过点4(1,1)的动直线4和过点5(4,5)的动直线4交于点P(点尸异于/、B),且

…,贝力2图4尸团的最大值是()

525

A.—B.5C.一D.

22T

【解答】解：因为则尸/，尸3,

所以|P2『+|尸8『=|，团2=25,

则|尸/H%|।尸，『？'『=g,

当且仅当|P4|=|尸3|=-^—时取等号，

25

所以IPZHP5I的最大值为

【巩固练习2】过点尸(3,4)的直线/,求/与xj正半轴相交，交点分别是/、民当A4O2面积最小时

的直线方程.

【答案】4x+3广24=0.

【解析】设出截距式方程为二+营=1（。>0,6>0）,代入点的坐标，用基本不等式求得用的最小值,

ab

从而得直线方程.

Yp34

【详解】设直线/方程为一+?=1（。>01>0）,・・,直线过点尸（3,4）,J—+不=1,

abab

34[v）34

1=-+->2J—,当且仅当一=不，即〃=6,b=8时等号成立，・・・功248,

ab\abab

.•.△/OB面积最小值为24,此时直线方程为±+2=1,即4x+3y-24=0

268

【巩固练习3】（23-24高二上•江苏无锡•期中）若圆/+/+2X-4了+1=0被直线

2"-勿+2=0（。>0,6>0）平分，则：的最小值为（）

ab

11

A.-B.9C.4D.-

49

【答案】C

【分析】由题意得圆心（T,2）在直线2办-勿+2=0（a>0,b>0）上，即得a+b=l,再利用基本不等

式力”的妙用即可求解.

【详解】由圆/+/+2x—4y+l=0被直线2"一力+2=0（〃>0,6>0）平分，

得圆心（一1,2）在直线2"一切+2=0（。>0,6>0）上，则一2〃―26+2=0,即a+b=l,

而〃>0,6>0,则工+工=（1+，）（〃+6）=2+@+222/2.@+2=4,

ababab\ab

当且仅当2=即0=6=’时取等号，所以工+工的最小值为4.

ab