中考数学复习重难点强化训练：概率（知识串讲+9大考点）（原卷版）

专题02概率

Qr考点类型

考点1：事件的分类

考点2：可能性大小

模块六统计与概率

02讲概率

'-知识一遍过

（一）事件的分类

（1）必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.

（2）不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.

（3）不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.

（二）概率的概念及其公式

（1）概率的概念及公式

①概率及公式：定义：表示一个事件发生的可能性大小的数.公式：尸（4）='（〃表示试验中事件/出现的

n

次数，〃表示所有等可能出现的结果的次数）.

②用频率可以估计概率：在大量重复试验中，如果事件/发生的频率丝会稳定在某个常数附近，那么事件

n

力发生的概率尸（/）='.

③事件的类型及其概率

事件类型概率

确定性事件（必然、不可能）1或。

必然事件1

不可能事件0

随机事件（不确定事件）0<P<l

（2）随机事件的概率计算：①列举法；②列表法；③树状图

烤点一遍过

考点1:事件的分类

典例1:（2024上•四川宜宾•九年级统考期末）下列事件中，是必然事件的是（）

A.掷一枚硬币一次，反面向上

B.任意三条线段可以组成一个三角形

C.一个不透明的袋子中有三个红球两个黑球，摸出一个白球

D.三角形的内角和为180。

【变式1］（2024上•四川绵阳•九年级统考期末）下列选项中是随机事件的是（）

A.水从高处往低处流动B.任意画一个三角形，其内角和是180。

C.煮熟的种子发芽D.周末逛公园遇到同学

【变式2］（2023上•河南周口•九年级统考阶段练习）下列事件是必然事件的是（）

A.抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上

B.两个无理数相加，结果仍是无理数

C.任意打开九年级上册数学教科书，正好是97页

D.两个负数相乘，结果必为正数

【变式3］（2022上•湖北武汉•九年级湖北省水果湖第二中学校考期中）有两个事件，事件4某射击运动员

射击一次，命中靶心；事件2：掷一枚硬币，正面朝上，则（）

A.事件A和事件B都是随机事件B.事件A是随机事件，事件2是必然事件

C.事件A和事件B都是必然事件D.事件A是必然事件，事件8是随机事件

考点2:可能性大小

典例2：（2023上•浙江杭州•九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）下列事件中，发生可能性最大的是（）

A.购买1张彩票，中奖B.画一个三角形，其内角和是180。

C.随意翻到一本书的某页，页码是奇数D.射击运动员射击一次，命中靶心

【变式1］（2024上•河北沧州•九年级统考期末）一枚质地均匀的正方体骰子，各面上分别刻有1到6的点

数，任意掷该骰子一次，下列情况出现的可能性最大的是（）

A.面朝上的点数是2B.面朝上的点数是偶数

C.面朝上的点数小于2D.面朝上的点数大于2

【变式2］（2023上•湖北武汉•九年级武汉市粮道街中学校考阶段练习）事件①：任意画一个多边形，其外

角和为360。；事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯；则下列说法正确的是（）

A.事件①和②都是随机事件

B.事件①是随机事件，事件②是必然事件

C.事件①和②都是必然事件

D.事件①是必然事件，事件②是随机事件

【变式3］（2023•江西南昌•一模）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别.从袋中随机地取

出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（）.

A.2B.3C.4D.5

考点3:等可能事件

典例3：（2023・湖南长沙,统考中考真题）在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十

张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面

朝下）.他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机

地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依

次是：甲：11；乙：4；丙：16；T：7；戊：17。根据以上信息，下列判断正确的是（）

A.戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9

B.丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7

C.丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4

D.甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和

【变式1］（2023上•内蒙古赤峰•七年级统考阶段练习）彤彤抛五次硬币，3次正面朝上，2次反面朝上，她

抛第6次时，下面说法正确的是哪一个？（）

A.一定正面朝上B.一定反面朝上

C.不可能正面朝上D.有可能正面朝上也有可能反面朝上

【变式2］（2023上•陕西•九年级校考开学考试）下列说法正确的是（）

A.做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是|

B.某彩票的中奖概率是5%,那么如果买100张彩票一定会有5张中奖

C.射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是楙

D.小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正

面朝上的概率是二分之一

【变式3］（2023下・浙江杭州•九年级期中）浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细

阅读后认真解答.笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门

都打开，松鼠要先经过第一道门（A,B,或C）,再经过第二道门（。或E）才能出去，问松鼠走出笼子的

路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（）

A.12B.6C.5D.2

考点4:概率的理解

典例4：（2024上•云南玉溪•九年级统考期末）在多次重复抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“正

面向上"发生的频率为/,每次试验该事件的概率为P.下列说法错误的是（）

A.P的值为0.5

B.随着试验次数的增加，下的值可能发生变化

C.当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定

D.试验次数越多，/的值越大

【变式1］（2024上•湖南长沙•九年级统考期末）某个事件发生的概率是0.5,这意味着（）

A.在一次试验中没有发生，下次肯定发生

B.在一次事件中已经发生，下次肯定不发生

C.在两次重复试验中该事件必有一次发生

D.每次试验中事件发生的可能性是50%

【变式2］（2023上•全国•九年级专题练习）一个事件发生的概率不可能是（）

31

A.5B.1C.-D.0

【变式3］（2023上•福建宁德•九年级福鼎市第一中学校考期中）为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面

向上的概率，小明做了大量重复试验.经过统计得到凸面向上的次数为450次，凸面向下的次数为550次，

由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为（）

A.0.45B.0.50C.0.55D.0.75

考点5:列举法求概率

典例5：（2023,广东肇庆,统考三模）暑假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同

一排A,B,C,D,E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对

与自己车票相符座位的坐法有（）

A.40B.45C.50D.55

【变式1］（2023上•安徽阜阳•九年级统考期末）有数字4,5,6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个

三位数，摆出的三位数是2的倍数的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

6432

【变式2］（2023上•安徽芜湖•九年级校考阶段练习）小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，

分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是（）

,1„1-1-2

A.—B.—C.—D.—

6423

【变式3］（2023上•安徽淮南•九年级校联考阶段练习）草莓种植户将今天的草莓按大小分拣成A、B、C三

类，随机分放在同一直线上的三个摊点出售（三个摊点不能兼顾），甲到第一个摊点观察后不买，再到第二

个摊点观察，若第二个摊点草莓比第一个摊点大，就直接购买；若比第一个摊点小，就到第三个摊点购买，

按这种方式，甲买到的草莓是A类的概率为（）

A1C2-1-1

A.—B.—C.—D.—

2936

考点6：列表法、树状图法求概率

典例6：（2024上•浙江宁波・九年级统考期末）"迎新春山地马拉松”赛事需要学生志愿者.某中学准备派出3

名男生和2名女生加入志愿者团队，其中有男生小明和女生小慧.

⑴若要从这5人中随机选取一人作为联络员，则选到男生的概率是多少？

（2）若要从男生与女生中各随机选取一人回学校作经验分享，则恰好选到小明和小慧的概率是多少？试用画

树状图或列表法分析与表示.

【变式1］（2024上•江苏盐城•九年级统考期末）随着2022年12月29日"射盐高速”的通车，加快我县融入

长三角、接轨大上海的步伐，我县居民出行更加便捷.元旦假期李叔叔驾车出去游玩，途经海都南路射阳

收费站和盐城东收费站，海都南路射阳收费站有人工通道A、混合通道8和ETC通道C三条通道；盐城东收

费站有人工通道。、混合通道E、混合通道尸和ETC通道G四条通道.（不考虑其他因素）.

⑴途经海都南路射阳收费站时，李叔叔所选通道是"ETC通道C"的概率为；

（2）用列表或画树状图的方法，求李叔叔途经海都南路射阳收费站和盐城东收费站都选ETC通道的概率.

【变式2］（2024上•云南保山•九年级统考期末）某校计划举办"学习二十大”演讲比赛，确定了"5G时代"、"北

斗卫星"、"高铁速度"、"绿色低碳"四个主题，将其制成四张背面看上去无差别的卡片（如图所示），并把卡

片背面朝上洗匀.

⑴若小丽随机抽取一张卡片，则她选中的主题是"绿色低碳"的概率是;

（2）若小英从卡片中随机抽取一张卡片确定主题后，将卡片放回洗匀，小亮再随机从中抽取一张卡片确定主

题，请用列表或画树状图的方法求出他们恰好抽取不同主题的概率.（用对应的字母表示）

【变式3］（2024上•山东青岛,九年级统考期末）杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的

机器人，组合名为"江南忆"，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州"，它融合了杭州的历史人文、

自然生态和创新基因.现有三张不透明的卡片，其正面图案分别为杭州亚运会吉祥物"宸宸"、"琮琮"、"莲

莲”图案（卡片依次记为A,B,C）,卡片除正面图案不同外，其余均相同.现将这三张卡片背面向上洗匀，

从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图（或列表）的方法，

求两次抽出的卡片上的图案都是"宸宸"的概率.

考点7：用频率估计概率

典例7：（2023下•河北秦皇岛•九年级统考期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，

小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断

重复上述过程.如图所示为"摸到白球"的频率折线统计图.

⑴请估计：当w足够大时，摸到白球的频率将会接近（结果精确到0.1）,假如小李摸一次球，小

李摸到白球的概率为;

（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；

⑶在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在|,需要往盒子里再放入多少个白球？

【变式1］（2023上,山东烟台•九年级统考期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜

色的球共4只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不

断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：

摸球的次数n1001502005008001000

摸到白球的次数相73117152370604751

摸到白球的频率”0.7550.751

n0.730.780.760.74

⑴请估计：当〃很大时，摸到白球的频率将会接近—；随机摸出一个球，摸到白球的概率是—，摸到

黑球的概率是—；

（2）试估算，口袋中黑球的个数—，白球的个数—；

⑶从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求

两次摸到的球的颜色正好相同的概率.

【变式2］（2022上•全国•九年级专题练习）在不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓

球（除颜外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色

后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是实验的部分数据：

摸球次数8018060010001500

摸到白球次数2146149251371

摸到白球的概率0.26250.2560.24830.2510.247

⑴请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是—（精确到0.01）,黄球有一个;

（2）如果从上述口袋中，同时摸出2个球，求结果是一红一黄的概率.

【变式3］（2024上•湖北武汉•九年级统考期末）学校为增加节日气氛，在新年来临之际举行一次抽奖活动;

如图是一个可以自由转动、质地均匀的转盘，每位学生都有一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落

在哪一个区域就获得相应的奖品.下表是活动进行中的一组统计数据：

转动转盘的次数n1001502005008001000

落在"铅笔"的次数小74113149374602751

落在"铅笔"的频率二0.7400.7530.7450.7480.7530.751

n

⑴直接写出转动该转盘一次，获得铅笔的概率（结果保留小数点后两位），并直接写出饮料所在扇形的圆周

角的度数（结果精确到1。）；

⑵小明同学设计了一个摸球试验，在口袋中放一个白球和若干个红球，从中随机摸出一球，如果是白球，

就获得饮料，如果是红球，就获得铅笔.并且这个试验中获得铅笔的概率跟学校抽奖活动的结果是一样的.

①直接写出红球的个数；

②直接写出两次摸球都获得饮料的概率.

考点8：概率的应用

典例8:(2022下•七年级单元测试)小军与小玲共同发明了一种"字母棋"，进行比胜负的游戏。他们用四个

字母做成10枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子8有2枚，棋子C有3枚，棋子。有4枚."字母棋"的游

戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜

棋子8、棋子C,棋子8胜棋子C、棋子£>,棋子C胜棋子。，棋子。胜棋子A；③相同棋子不分胜负.

⑴若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少?

(2)已知小玲先摸到了棋子C,小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少?

⑶当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大?

【变式1](2022上•山西长治•九年级统考阶段练习)综合与实践

【问题再现】

⑴课本中有这样一道概率题：如图1,这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在

蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答.

【类比设计】

(2)在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘.请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转

动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为《，二等奖：指针落在白色区域的概率为|,一等奖：指针落在黄

色区域的概率为3

6

【拓展运用】

⑶在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1

次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券

的平均数.

【变式2]（2022•福建泉州,统考二模）某著名景区计划在西峰修建安装至多4条索道接送游客，过去10年

景区游客统计资料显示，景区每年游客客流量X都在160万人以上.过去10年的游客客流量的统计情况绘

制成如下频数分布直方图（数据包括左端点，不含右端点，假设每年游客客流量不相互影响）.

以过去10年的游客客流量的统计情况为参考依据.

（1）求该景区今年游客客流量不低于240万人的概率；

（2）若该景区希望安装的索道尽可能运行，但每年索道最多可运行条数受游客客流量X的限制，并有如下表关

系:

年游客客流量（单位：万人）160<X<200200<%<240240<X<280280<%<320

索道最多可运行条数1234

若某条索道运行，则该条索道年利润为6000万元；若某条索道未运行，则该条索道年亏损2000万元，从

平均获利的角度看，帮景区作出决策，应选择安装2条还是3条索道获利较多？请说明理由.

【变式3］（2022上•贵州黔东南,九年级统考期末）如图，两个转盘A、8都被分成3个全等的扇形，每个扇

形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘A、B,两个转盘停止后观察两个指针所指的数字（若

指针指在扇形的分界线上时，视为指向分界线左边的扇形）.

⑴用列表法（或树状图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果.

（2）小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中"和为7"的频数和频率如下表：

转动转盘总次数10203050100150180240330450

"和为7"出现的频数27101634505980110150

"和为7”出现的频率0.20.350.330.320.340.330.330330.330.33

请你根据上表数据，估计"和为7”的概率是多少？

⑶根据（1）（2）,若0＜尤＜y,试求出x和y的值.

考点9：概率与统计的综合

典例9：（2024上,福建厦门,九年级统考期末）某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使

用，第二至四层停车.每层的层高为6m,横向排列30个车位，每个车位宽为3m,各车位有相应号码，如：

201表示二层第1个车位.第二至四层每层各有一个升降台，分别在211,316,421,为便于升降台垂直升

降，升降台正下方各层对应的车位都留空.每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，

如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）；

①转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前；

②转运板进311,托起车，载车出3H；

③转运板载车滑行至316前；

④转运板进316,放车，空载出316,停在316前；

⑤升降台垂直送车至一层，系统完成取车.

停车位停车位升降台留空停车位

301311316321330

不

转运板滑行区•板，转运板滑行

区

如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为lm/s,载车时的滑

行速度是升降台升降速度的2倍.

（1）若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运

板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度；

（说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计）

（2）在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车

位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率.

【变式1]（2022•福建泉州•校考模拟预测）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车

投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一

年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：

交强险浮动因素和浮动费率比率表

浮动因素浮动比率

上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%

上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%

上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%

上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故