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文档简介
专题4-3正余弦定理与解三角形小题归类
目录
一、热点题型归纳
【题型一】正余弦定理..................................................................2
【题型二】求角........................................................................2
【题型三】判断三角形形状..............................................................3
【题型四】面积与最值..................................................................4
【题型五】周长与最值..................................................................5
【题型六】角的最值....................................................................5
【题型七】最值........................................................................6
【题型八】切弦互化求最值..............................................................7
【题型九】解三角形应用题..............................................................8
二、真题再现..........................................................................9
三、模拟检测..........................................................................11
正余弦定理
⑴正弦定理:看=磊=品=2R其中R为外接圆半径;
注意:正弦定理变式与性质:
①边化正弦:a—2RsinA,b—2RsinB,c=2RsinC;②正弦化边:sinA=玲,sin3=扁,sinC=^;
@a+b+c
③;
a:b*c=sin_A:sin_8:sin_C;asinA+sinB+sinC_2R_
(2)余弦定理:①/=Z?2+c2—2bccosA;@b2=C2+〃2—2C4C0SB;③<?=42+/一2〃氏0$。
庐+一次。2+〃2一/6Z2+/?2一c2
汪忌:变式:①cosA—2bc;②cosB—0;③cosC—o7
2ac2ab
(3)三角形面积:①加inC=J?csinA=%csin3=^^②S33c=/〃+8+c>r(厂是切圆的
半径)
三角形中:
①sin(A+3)=sinC,cos(A+3)=—cosC;
A~\~BCA~\~BC
②sin-2-=cos5,cos-,-=siny;
③三角形中,任何一个角的正弦值恒大于0;
④〃>b=A>5=sinA>sinB«cosA<cosB.
/热点题型归纳
【题型一】正余弦定理
【典例分析】
(2022.上海市松江一中高三阶段练习)在3ABe中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,B是A、
C的等差中项,则a+c与"的大小关系是()
A.a+c>2bB.a+c<2bC.a+c>2bD.a+c<2b
【提分秘籍】
基本规律
正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下几种:
(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);
(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;
(3)证明化简过程中边角互化;
(4)求三角形外接圆半径.
【变式演练】
L.(2022.江西•丰城九中高三开学考试(文))已知,ABC的三个内角A,B,C的对边分别为。,b,c,
且6。=5c+66cosC,贝!|cosB=()
A.1
BC.-D
8-14-1
b
2.(2023•全国•高三专题练习)在"C中,C=60,AC=3,B>90,则一的可能取值为()
a
24-57
A.B.-C.—D.-
3333
【题型二】求角
【典例分析】
(2022・山西吕梁•三模(文))在,ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,6,c,若(b+c)(b-c)=gC=f,
6
则3=()
【提分秘籍】
基本规律
1.构造正余弦定理,特别是余弦定理。
2.要主语三角形中条件,判定是锐角还是钝角。
【变式演练】
1.(2022•全国•高三专题练习)已知在_ABC中,B=30,a=\/2,b=1,则A等于(
A.45B.135C.45或135D.120
2.(2022・全国•高三专题练习)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知46s:包+9?-c?,
贝ljsin[c+m=()
A.0B.底一近c.丝D,1
442
3.(2023•全国•高三专题练习)已知ABC的内角A氏C的对边分别为a,4c,设
(sinB+sinC)2=sin2A4-(2--J2)sinBsinC,A/2sinA-2sinB=0,则sinC=()
Qa一母D
3B.日'4,4
【题型三】判断三角形形状
【典例分析】
(2023・全国•高三专题练习)在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/_/=02且
bcosC=asinB,贝!]ABC是()
A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形
【提分秘籍】
基本规律
利用正余弦定理判断:
边化角或者角化边,转化为边的勾股或者相等,或者求角度相等(互余)
【变式演练】
1..Q021•广东.高三阶段练习)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且/+c2=a2+/,若
sinBsinC=sin2A,则△ABC的形状是()
A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形
a_b
2.(2023・全国•高三专题练习)在AABC中,角A、B、C的对边分别为。、b、c,
cosAcosB'
。2=/+/—",则AABC是(
A.钝角三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
3.(2023・全国•高三专题练习)已知三角形ABC,贝『'cos?A+ct^B-cos2c>1”是“三角形ABC为钝角三
角形''的()条件.
A.充分而不必要B.必要而不充分
C.充要D.既不充分也不必要
【题型四】面积与最值
【典例分析】
(2021•江苏•高三课时练习)在锐角三角形48C中,若有sinB+cosB=2,且满足关系式
cosBcosCsinAsinB
----1----=-------则AABC的面积的最大值为()
bc3sinC
A.6B.273C.3A/3D.4石
【提分秘籍】
基本规律
多使用均值不等式来放缩求最值范围
【变式演练】
1.(2020・全国•高三课时练习)在AABC中,内角A,B,C的对边分别为“,b,。,6=2&且AABC面
积为5=3面一/_2),则AABC面积S的最大值为()
12
A.2-V3B.4—2gC.8—46D.16—80
2.(2023・全国•高三专题练习)在AABC中,内角A,B,。的对边分别为〃,b,c,若片+廿二姐。,则
△A3C的面积为J时,上的最大值是()
2
A.2B.小C.4D.2百
3.(2023・全国•高三专题练习)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若
«c=8,sinB+2sinCcosA=0,则JABC面积的最大值为()
A.1B.3C.2D.4
【题型五】周长与最值
【典例分析】
(2022.全国•高三专题练习)在AABC中,角A,3,C所对的边分别为a,dc,若sinA+cos[A+£j=f,
b+c=4,则AABC周长的取值范围是()
A.[6,8)B.[6,8]C.[4,6)D.[4,6]
【提分秘籍】
基本规律
注意条件合理的分析转化
1.角与对边型:正弦定理
2.对称边,可以余弦定理+均值不等式
【变式演练】
1.在AABC中,角A,3,C所对的边分别为a,b,c,若sin4+cos(2+》=争b+c=4,则AABC周长的
取值范围是''
A.[6,8)B.[6,8]C.[4,6)D.(4,6]
2.(2022•贵州遵义•高三开学考试(文))在A48C中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若
6sin空C=asin21
2,«=V2,则△48C周长的最大值为.
sinAA/3COSB5/2
3.(2022・全国•高三专题练习)在三角形A8。中,角48c所对的边分别为a,6,c,若ab2,
则该三角形周长的最大值为.
【题型六】角的最值
【典例分析】
(2022・全国•高三专题练习(理)(文))已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2csinC
=((2+Z?)(sinB-sinA),则当角C取得最大值时,B=()
【提分秘籍】
基本规律
注意角度范围与三角形条件之间的限制关系
【变式演练】
1.(2022.安徽淮南.一模(文))在一A5c中,内角A,B,C的对边分别为b,c,若函数
“到=93+6无2+(/+©2+0“(?卜无极值点,则角3的最大值是()
2.(2022•全国•江西师大附中模拟预测(文))在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若
267sinA+csinC=Z?sinB,则角A的最大值为()
3.已知锐角△ABC中,角AB、C对应的边分别为a、b、c,AABC的面积S=a2+b2-c2),^
24(be—a)=btanB,则c的最小值是
B.在「2A/3
A.6D
43-T
【题型七】最值
【典例分析】
jrnc
在,ABC中,角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知8=J且=1,则」^^+上下的最小
6ca+cac+a"
值为()
A.工B.2C.-D.4
24
【提分秘籍】
基本规律
求最值时,涉及到角度范围的限制
1.钝角或者锐角三角形限制
2.其他条件限制(如已知某角)
【变式演练】
1“锐角△ABC中,角A、C所对的边分别为a、b、c,若2sinA(acosC+ccosA)=V5a,贝耳的取值范围
是()
A.(|,2)B.谭,竽)C.(1,2)D.(今1)
2.在锐角AABC中,A=2B,则整的取值范围是
A.(-1,3)B.(1,3)
C.(V2,V3)D.(1,2)
3.442C中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设A42C的面积为S,若厂一。--”=型,则2的
S3a
取值范围为
A.(0,+oo)B.(1,+oo)C.(0,⑹D.(百+s)
【题型八】切弦互化求最值
【典例分析】
一ABC中,角A,B,C1的对边长分别为a,b,c,右acosB-bcosA=gc,则tan(4—')的
最大值为()
4o
A.-B.1C.-D.73
34
【提分秘籍】
基本规律
解三角形题。对含有正切函数求最值范围,属于较难题型,一般从以下几方面分析:
1.切化弦
2.在三角形中,有tanA+tan3+tanC=tanAtanBtanC
【变式演练】
1.在AABC中,若一二十—二二」~r,贝UcosA的取值范围为
tanBtanCtanA
A・同B.加C.fol]"I)
n.2tan?ltanfi,,“
2.在ABC中,。力,。分别是角4瓦。的对边,若+。2=2014c2,则------------的值为sl
人」tanC(tanA+tanB严
A.2013B.1C.0D.2014
3.在AABC中,角A、B、C所对的边分别为〃、b、c,若AABC为锐角三角形,且满足廿一〃=碇,
则工—总的取值范围是
tanAtanB
1—\
A.k-C.律词
rB.0,何D.(1,+8)
【题型九】解三角形应用题
【典例分析】
(2022・江苏•高三课时练习)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练,已知
点A到墙面的距离为A3,某目标点尸沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由
点A观察点P的仰角。的大小,若A3=15c肛AC=25cm,ZBCM=30。,贝!|tan。的最大值是().
(仰角。为直线"与平面ABC所成的角)
c5石
510-¥
【变式演练】
1.(2022・全国•高三课时练习)如图,某城市有一条公路从正西方通过市中心。后转向东北方。7,
为了缓解城市交通压力,现准备修建一条绕城高速公路力,并在上分别设置两个出口4,2,若
A3部分为直线段,且要求市中心。与A8的距离为20千米,则AB的最短距离为()
A.20(夜-1)千米B.40(虎-1)千米
C.20(V2+l)D.40(忘+1)
2.在一座尖塔的正南方地面某点A,测得塔顶的仰角为22。30"又在此尖塔正东方地面某点8,测得塔
顶的仰角为67。30',且A,B两点距离为540m,在线段A3上的点C处测得塔顶的仰角为最大,则C点
到塔底。的距离为()
A.90mB.100mC.110mD.270m
3..某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,如图所示,长方形A3CD的周长为4米,沿AC折叠使B到夕
位置,AB'交DC于P,研究发现,当A4DP的面积最大时最节能,则最节能时A3CZ)的面积为
A.3-2V2B.273C.2(V2-1)D.2
真题再现
1.(2020•山东•高考真题)在.ABC中,内角A,B,C的对边分别是。,b,c,a2+b2=c2+absmC,
万
且asin3cosc+csinBcosA=——b,贝iJtanA等于()
2
或;
A.3B-TC.3或—D.-3
3
2.(2021•全国•高考真题(文))在ABC中,已知6=120。,AC=M,AB=2,则BC=()
A.1B.V2C.V5D.3
3.(2020・全国•高考真题(文))在4ABC中,cosC=1,AC=4,BC=3,则tanB二()
A.J5B.2J5C.4J5D.875
4.(2014・江西・高考真题(文))在一ABC中,内角A,B,。所对的边分别是。,b,c.若3〃=啰,则
2sin2B-sin2A
的值为()
sin2A
7
A.BC.1D.-
9-12
9
5.(2020・全国•高考真题(理))在△A8C中,cosC=-,AC=4,BC=3,贝!JcosB=()
11
A.9-B.-3C.ID.I
23
6.(2019・全国考真题(文))△ABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,已知“sinA一加in8=4csinC,
1b
cosA=——,贝!!一二
4c
A.6B.5C.4D.3
7.•湖南•高考真题(文))在△ABC中,AC=A/7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于
A/3R34新八A^+A/39
Ar6+
2224
8.(2018・全国•高考真题(理))ABC的内角A,3,C的对边分别为〃,b,。,若ABC的面积为
则。=
4
9.(2022•浙江•高考真题)我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方
法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式,就是
S=«’其中小6,c是三角形的三边,S是三角形的面积.设某三角形的三边
a=6,b=&=2,则该三角形的面积S=.
10.(2022•全国•高考真题(理))已知,ABC中,点。在边8c上,NAD8=120。,AQ=2,CD=23。.当
会AT取得最小值时,BD=.
rr
11.(2022・上海•高考真题)在AABC中,ZA=y,AB=2,AC=3,则AABC的外接圆半径为
12.(2021・全国•高考真题(理))记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为百,8=60。,
a2+c2=3ac,则b—.
13.(2020・江苏・高考真题)在AA8C中,AB=4,AC=3,NB4c=90。,。在边BC上,延长A。到P,使得
AP=9,^PA=mPB+(--m)PC(机为常数),则C。的长度是.
14.(2020•全国・高考真题(理))如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=4。=y/3,ABLAC,
AB±AD,/C4E=30°,则cos/FC8=.
15.(2019•全国•高考真题(文))ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知6sinA+acosB=0,则
B=.
JT
16.(2019•全国•高考真题(理))_ABC的内角A3,C的对边分别为a,6,c.若6=6,a=2c,8=§,贝I]ABC
的面积为.
出定模拟检测
1.(2022•江西•模拟预测(文))在“8。中,角A、8、C所对的边分别为“、b、c,且满足1+cosA=3sinA,
3
b
sinA=6cosBsinC,则一的值为()
c
A.l+>/6B.1+2应C.1+3夜D.1+3出
2.(2021.黑龙江绥化•高三阶段练习(文))已知锐角ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,
且_a+b_
—.则角C的大小为()
cosA+cosBcosC
5万n
A.—D.
12-f6
3.(2023・全国•高三专题练习),ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c2+b2cos2A=2bccosA,
则ABC为()
A.等腰非等边三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等边三角形
4.(2022•安徽・蒙城第一中学高三阶段练习(文
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