正余弦定理与解三角形小题归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练_第1页
正余弦定理与解三角形小题归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练_第2页
正余弦定理与解三角形小题归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练_第3页
正余弦定理与解三角形小题归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练_第4页
正余弦定理与解三角形小题归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练_第5页
已阅读5页,还剩7页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

专题4-3正余弦定理与解三角形小题归类

目录

一、热点题型归纳

【题型一】正余弦定理..................................................................2

【题型二】求角........................................................................2

【题型三】判断三角形形状..............................................................3

【题型四】面积与最值..................................................................4

【题型五】周长与最值..................................................................5

【题型六】角的最值....................................................................5

【题型七】最值........................................................................6

【题型八】切弦互化求最值..............................................................7

【题型九】解三角形应用题..............................................................8

二、真题再现..........................................................................9

三、模拟检测..........................................................................11

正余弦定理

⑴正弦定理:看=磊=品=2R其中R为外接圆半径;

注意:正弦定理变式与性质:

①边化正弦:a—2RsinA,b—2RsinB,c=2RsinC;②正弦化边:sinA=玲,sin3=扁,sinC=^;

@a+b+c

③;

a:b*c=sin_A:sin_8:sin_C;asinA+sinB+sinC_2R_

(2)余弦定理:①/=Z?2+c2—2bccosA;@b2=C2+〃2—2C4C0SB;③<?=42+/一2〃氏0$。

庐+一次。2+〃2一/6Z2+/?2一c2

汪忌:变式:①cosA—2bc;②cosB—0;③cosC—o7

2ac2ab

(3)三角形面积:①加inC=J?csinA=%csin3=^^②S33c=/〃+8+c>r(厂是切圆的

半径)

三角形中:

①sin(A+3)=sinC,cos(A+3)=—cosC;

A~\~BCA~\~BC

②sin-2-=cos5,cos-,-=siny;

③三角形中,任何一个角的正弦值恒大于0;

④〃>b=A>5=sinA>sinB«cosA<cosB.

/热点题型归纳

【题型一】正余弦定理

【典例分析】

(2022.上海市松江一中高三阶段练习)在3ABe中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,B是A、

C的等差中项,则a+c与"的大小关系是()

A.a+c>2bB.a+c<2bC.a+c>2bD.a+c<2b

【提分秘籍】

基本规律

正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下几种:

(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);

(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;

(3)证明化简过程中边角互化;

(4)求三角形外接圆半径.

【变式演练】

L.(2022.江西•丰城九中高三开学考试(文))已知,ABC的三个内角A,B,C的对边分别为。,b,c,

且6。=5c+66cosC,贝!|cosB=()

A.1

BC.-D

8-14-1

b

2.(2023•全国•高三专题练习)在"C中,C=60,AC=3,B>90,则一的可能取值为()

a

24-57

A.B.-C.—D.-

3333

【题型二】求角

【典例分析】

(2022・山西吕梁•三模(文))在,ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,6,c,若(b+c)(b-c)=gC=f,

6

则3=()

【提分秘籍】

基本规律

1.构造正余弦定理,特别是余弦定理。

2.要主语三角形中条件,判定是锐角还是钝角。

【变式演练】

1.(2022•全国•高三专题练习)已知在_ABC中,B=30,a=\/2,b=1,则A等于(

A.45B.135C.45或135D.120

2.(2022・全国•高三专题练习)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知46s:包+9?-c?,

贝ljsin[c+m=()

A.0B.底一近c.丝D,1

442

3.(2023•全国•高三专题练习)已知ABC的内角A氏C的对边分别为a,4c,设

(sinB+sinC)2=sin2A4-(2--J2)sinBsinC,A/2sinA-2sinB=0,则sinC=()

Qa一母D

3B.日'4,4

【题型三】判断三角形形状

【典例分析】

(2023・全国•高三专题练习)在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/_/=02且

bcosC=asinB,贝!]ABC是()

A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【提分秘籍】

基本规律

利用正余弦定理判断:

边化角或者角化边,转化为边的勾股或者相等,或者求角度相等(互余)

【变式演练】

1..Q021•广东.高三阶段练习)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且/+c2=a2+/,若

sinBsinC=sin2A,则△ABC的形状是()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

a_b

2.(2023・全国•高三专题练习)在AABC中,角A、B、C的对边分别为。、b、c,

cosAcosB'

。2=/+/—",则AABC是(

A.钝角三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

3.(2023・全国•高三专题练习)已知三角形ABC,贝『'cos?A+ct^B-cos2c>1”是“三角形ABC为钝角三

角形''的()条件.

A.充分而不必要B.必要而不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【题型四】面积与最值

【典例分析】

(2021•江苏•高三课时练习)在锐角三角形48C中,若有sinB+cosB=2,且满足关系式

cosBcosCsinAsinB

----1----=-------则AABC的面积的最大值为()

bc3sinC

A.6B.273C.3A/3D.4石

【提分秘籍】

基本规律

多使用均值不等式来放缩求最值范围

【变式演练】

1.(2020・全国•高三课时练习)在AABC中,内角A,B,C的对边分别为“,b,。,6=2&且AABC面

积为5=3面一/_2),则AABC面积S的最大值为()

12

A.2-V3B.4—2gC.8—46D.16—80

2.(2023・全国•高三专题练习)在AABC中,内角A,B,。的对边分别为〃,b,c,若片+廿二姐。,则

△A3C的面积为J时,上的最大值是()

2

A.2B.小C.4D.2百

3.(2023・全国•高三专题练习)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若

«c=8,sinB+2sinCcosA=0,则JABC面积的最大值为()

A.1B.3C.2D.4

【题型五】周长与最值

【典例分析】

(2022.全国•高三专题练习)在AABC中,角A,3,C所对的边分别为a,dc,若sinA+cos[A+£j=f,

b+c=4,则AABC周长的取值范围是()

A.[6,8)B.[6,8]C.[4,6)D.[4,6]

【提分秘籍】

基本规律

注意条件合理的分析转化

1.角与对边型:正弦定理

2.对称边,可以余弦定理+均值不等式

【变式演练】

1.在AABC中,角A,3,C所对的边分别为a,b,c,若sin4+cos(2+》=争b+c=4,则AABC周长的

取值范围是''

A.[6,8)B.[6,8]C.[4,6)D.(4,6]

2.(2022•贵州遵义•高三开学考试(文))在A48C中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若

6sin空C=asin21

2,«=V2,则△48C周长的最大值为.

sinAA/3COSB5/2

3.(2022・全国•高三专题练习)在三角形A8。中,角48c所对的边分别为a,6,c,若ab2,

则该三角形周长的最大值为.

【题型六】角的最值

【典例分析】

(2022・全国•高三专题练习(理)(文))已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2csinC

=((2+Z?)(sinB-sinA),则当角C取得最大值时,B=()

【提分秘籍】

基本规律

注意角度范围与三角形条件之间的限制关系

【变式演练】

1.(2022.安徽淮南.一模(文))在一A5c中,内角A,B,C的对边分别为b,c,若函数

“到=93+6无2+(/+©2+0“(?卜无极值点,则角3的最大值是()

2.(2022•全国•江西师大附中模拟预测(文))在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若

267sinA+csinC=Z?sinB,则角A的最大值为()

3.已知锐角△ABC中,角AB、C对应的边分别为a、b、c,AABC的面积S=a2+b2-c2),^

24(be—a)=btanB,则c的最小值是

B.在「2A/3

A.6D

43-T

【题型七】最值

【典例分析】

jrnc

在,ABC中,角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知8=J且=1,则」^^+上下的最小

6ca+cac+a"

值为()

A.工B.2C.-D.4

24

【提分秘籍】

基本规律

求最值时,涉及到角度范围的限制

1.钝角或者锐角三角形限制

2.其他条件限制(如已知某角)

【变式演练】

1“锐角△ABC中,角A、C所对的边分别为a、b、c,若2sinA(acosC+ccosA)=V5a,贝耳的取值范围

是()

A.(|,2)B.谭,竽)C.(1,2)D.(今1)

2.在锐角AABC中,A=2B,则整的取值范围是

A.(-1,3)B.(1,3)

C.(V2,V3)D.(1,2)

3.442C中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设A42C的面积为S,若厂一。--”=型,则2的

S3a

取值范围为

A.(0,+oo)B.(1,+oo)C.(0,⑹D.(百+s)

【题型八】切弦互化求最值

【典例分析】

一ABC中,角A,B,C1的对边长分别为a,b,c,右acosB-bcosA=gc,则tan(4—')的

最大值为()

4o

A.-B.1C.-D.73

34

【提分秘籍】

基本规律

解三角形题。对含有正切函数求最值范围,属于较难题型,一般从以下几方面分析:

1.切化弦

2.在三角形中,有tanA+tan3+tanC=tanAtanBtanC

【变式演练】

1.在AABC中,若一二十—二二」~r,贝UcosA的取值范围为

tanBtanCtanA

A・同B.加C.fol]"I)

n.2tan?ltanfi,,“

2.在ABC中,。力,。分别是角4瓦。的对边,若+。2=2014c2,则------------的值为sl

人」tanC(tanA+tanB严

A.2013B.1C.0D.2014

3.在AABC中,角A、B、C所对的边分别为〃、b、c,若AABC为锐角三角形,且满足廿一〃=碇,

则工—总的取值范围是

tanAtanB

1—\

A.k-C.律词

rB.0,何D.(1,+8)

【题型九】解三角形应用题

【典例分析】

(2022・江苏•高三课时练习)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练,已知

点A到墙面的距离为A3,某目标点尸沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由

点A观察点P的仰角。的大小,若A3=15c肛AC=25cm,ZBCM=30。,贝!|tan。的最大值是().

(仰角。为直线"与平面ABC所成的角)

c5石

510-¥

【变式演练】

1.(2022・全国•高三课时练习)如图,某城市有一条公路从正西方通过市中心。后转向东北方。7,

为了缓解城市交通压力,现准备修建一条绕城高速公路力,并在上分别设置两个出口4,2,若

A3部分为直线段,且要求市中心。与A8的距离为20千米,则AB的最短距离为()

A.20(夜-1)千米B.40(虎-1)千米

C.20(V2+l)D.40(忘+1)

2.在一座尖塔的正南方地面某点A,测得塔顶的仰角为22。30"又在此尖塔正东方地面某点8,测得塔

顶的仰角为67。30',且A,B两点距离为540m,在线段A3上的点C处测得塔顶的仰角为最大,则C点

到塔底。的距离为()

A.90mB.100mC.110mD.270m

3..某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,如图所示,长方形A3CD的周长为4米,沿AC折叠使B到夕

位置,AB'交DC于P,研究发现,当A4DP的面积最大时最节能,则最节能时A3CZ)的面积为

A.3-2V2B.273C.2(V2-1)D.2

真题再现

1.(2020•山东•高考真题)在.ABC中,内角A,B,C的对边分别是。,b,c,a2+b2=c2+absmC,

且asin3cosc+csinBcosA=——b,贝iJtanA等于()

2

或;

A.3B-TC.3或—D.-3

3

2.(2021•全国•高考真题(文))在ABC中,已知6=120。,AC=M,AB=2,则BC=()

A.1B.V2C.V5D.3

3.(2020・全国•高考真题(文))在4ABC中,cosC=1,AC=4,BC=3,则tanB二()

A.J5B.2J5C.4J5D.875

4.(2014・江西・高考真题(文))在一ABC中,内角A,B,。所对的边分别是。,b,c.若3〃=啰,则

2sin2B-sin2A

的值为()

sin2A

7

A.BC.1D.-

9-12

9

5.(2020・全国•高考真题(理))在△A8C中,cosC=-,AC=4,BC=3,贝!JcosB=()

11

A.9-B.-3C.ID.I

23

6.(2019・全国考真题(文))△ABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,已知“sinA一加in8=4csinC,

1b

cosA=——,贝!!一二

4c

A.6B.5C.4D.3

7.•湖南•高考真题(文))在△ABC中,AC=A/7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于

A/3R34新八A^+A/39

Ar6+

2224

8.(2018・全国•高考真题(理))ABC的内角A,3,C的对边分别为〃,b,。,若ABC的面积为

则。=

4

9.(2022•浙江•高考真题)我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方

法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式,就是

S=«’其中小6,c是三角形的三边,S是三角形的面积.设某三角形的三边

a=6,b=&=2,则该三角形的面积S=.

10.(2022•全国•高考真题(理))已知,ABC中,点。在边8c上,NAD8=120。,AQ=2,CD=23。.当

会AT取得最小值时,BD=.

rr

11.(2022・上海•高考真题)在AABC中,ZA=y,AB=2,AC=3,则AABC的外接圆半径为

12.(2021・全国•高考真题(理))记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为百,8=60。,

a2+c2=3ac,则b—.

13.(2020・江苏・高考真题)在AA8C中,AB=4,AC=3,NB4c=90。,。在边BC上,延长A。到P,使得

AP=9,^PA=mPB+(--m)PC(机为常数),则C。的长度是.

14.(2020•全国・高考真题(理))如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=4。=y/3,ABLAC,

AB±AD,/C4E=30°,则cos/FC8=.

15.(2019•全国•高考真题(文))ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知6sinA+acosB=0,则

B=.

JT

16.(2019•全国•高考真题(理))_ABC的内角A3,C的对边分别为a,6,c.若6=6,a=2c,8=§,贝I]ABC

的面积为.

出定模拟检测

1.(2022•江西•模拟预测(文))在“8。中,角A、8、C所对的边分别为“、b、c,且满足1+cosA=3sinA,

3

b

sinA=6cosBsinC,则一的值为()

c

A.l+>/6B.1+2应C.1+3夜D.1+3出

2.(2021.黑龙江绥化•高三阶段练习(文))已知锐角ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,

且_a+b_

—.则角C的大小为()

cosA+cosBcosC

5万n

A.—D.

12-f6

3.(2023・全国•高三专题练习),ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c2+b2cos2A=2bccosA,

则ABC为()

A.等腰非等边三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

4.(2022•安徽・蒙城第一中学高三阶段练习(文

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论