正余弦定理与解三角形小题归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练

专题4-3正余弦定理与解三角形小题归类

目录

一、热点题型归纳

【题型一】正余弦定理..................................................................2

【题型二】求角........................................................................2

【题型三】判断三角形形状..............................................................3

【题型四】面积与最值..................................................................4

【题型五】周长与最值..................................................................5

【题型六】角的最值....................................................................5

【题型七】最值........................................................................6

【题型八】切弦互化求最值..............................................................7

【题型九】解三角形应用题..............................................................8

二、真题再现..........................................................................9

三、模拟检测..........................................................................11

正余弦定理

⑴正弦定理：看=磊=品=2R其中R为外接圆半径；

注意：正弦定理变式与性质：

①边化正弦：a—2RsinA,b—2RsinB,c=2RsinC；②正弦化边：sinA=玲，sin3=扁，sinC=^；

@a+b+c

③；

a:b*c=sin_A:sin_8:sin_C;asinA+sinB+sinC_2R_

(2)余弦定理：①/=Z?2+c2—2bccosA；@b2=C2+〃2—2C4C0SB；③<?=42+/一2〃氏0$。

庐+一次。2+〃2一/6Z2+/?2一c2

汪忌：变式：①cosA—2bc；②cosB—0；③cosC—o7

2ac2ab

(3)三角形面积:①加inC=J?csinA=%csin3=^^②S33c=/〃+8+c>r(厂是切圆的

半径)

三角形中：

①sin(A+3)=sinC,cos(A+3)=—cosC；

A~\~BCA~\~BC

②sin-2-=cos5,cos-,-=siny；

③三角形中，任何一个角的正弦值恒大于0;

④〃>b=A>5=sinA>sinB«cosA<cosB.

/热点题型归纳

【题型一】正余弦定理

【典例分析】

（2022.上海市松江一中高三阶段练习）在3ABe中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，B是A、

C的等差中项，则a+c与"的大小关系是（）

A.a+c>2bB.a+c<2bC.a+c>2bD.a+c<2b

【提分秘籍】

基本规律

正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：

（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；

（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；

（3）证明化简过程中边角互化；

（4）求三角形外接圆半径.

【变式演练】

L.（2022.江西•丰城九中高三开学考试（文））已知,ABC的三个内角A,B,C的对边分别为。，b,c,

且6。=5c+66cosC,贝！|cosB=（）

A.1

BC.-D

8-14-1

b

2.（2023•全国•高三专题练习）在"C中，C=60,AC=3,B>90,则一的可能取值为（）

a

24-57

A.B.-C.—D.-

3333

【题型二】求角

【典例分析】

（2022・山西吕梁•三模（文））在，ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,6,c,若（b+c）（b-c）=gC=f,

6

则3=（）

【提分秘籍】

基本规律

1.构造正余弦定理，特别是余弦定理。

2.要主语三角形中条件，判定是锐角还是钝角。

【变式演练】

1.（2022•全国•高三专题练习）已知在_ABC中，B=30,a=\/2,b=1,则A等于（

A.45B.135C.45或135D.120

2.（2022・全国•高三专题练习）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知46s:包+9?-c?,

贝ljsin[c+m=（）

A.0B.底一近c.丝D,1

442

3.（2023•全国•高三专题练习）已知ABC的内角A氏C的对边分别为a,4c,设

(sinB+sinC)2=sin2A4-(2--J2)sinBsinC,A/2sinA-2sinB=0,则sinC=()

Qa一母D

3B.日'4,4

【题型三】判断三角形形状

【典例分析】

（2023・全国•高三专题练习）在ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/_/=02且

bcosC=asinB,贝!]ABC是（）

A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【提分秘籍】

基本规律

利用正余弦定理判断：

边化角或者角化边，转化为边的勾股或者相等，或者求角度相等（互余）

【变式演练】

1..Q021•广东.高三阶段练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且/+c2=a2+/，若

sinBsinC=sin2A,则△ABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

a_b

2.（2023・全国•高三专题练习）在AABC中,角A、B、C的对边分别为。、b、c,

cosAcosB'

。2=/+/—"，则AABC是（

A.钝角三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

3.（2023・全国•高三专题练习）已知三角形ABC,贝『'cos?A+ct^B-cos2c>1”是“三角形ABC为钝角三

角形''的（）条件.

A.充分而不必要B.必要而不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【题型四】面积与最值

【典例分析】

（2021•江苏•高三课时练习）在锐角三角形48C中，若有sinB+cosB=2,且满足关系式

cosBcosCsinAsinB

----1----=-------则AABC的面积的最大值为（)

bc3sinC

A.6B.273C.3A/3D.4石

【提分秘籍】

基本规律

多使用均值不等式来放缩求最值范围

【变式演练】

1.（2020・全国•高三课时练习）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为“，b,。，6=2&且AABC面

积为5=3面一/_2）,则AABC面积S的最大值为（）

12

A.2-V3B.4—2gC.8—46D.16—80

2.（2023・全国•高三专题练习）在AABC中，内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,若片+廿二姐。，则

△A3C的面积为J时，上的最大值是（）

2

A.2B.小C.4D.2百

3.（2023・全国•高三专题练习）在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若

«c=8,sinB+2sinCcosA=0,则JABC面积的最大值为（）

A.1B.3C.2D.4

【题型五】周长与最值

【典例分析】

（2022.全国•高三专题练习）在AABC中，角A,3,C所对的边分别为a,dc,若sinA+cos[A+£j=f,

b+c=4,则AABC周长的取值范围是（）

A.[6,8）B.[6,8]C.[4,6）D.[4,6]

【提分秘籍】

基本规律

注意条件合理的分析转化

1.角与对边型：正弦定理

2.对称边，可以余弦定理+均值不等式

【变式演练】

1.在AABC中，角A,3,C所对的边分别为a,b,c,若sin4+cos（2+》=争b+c=4,则AABC周长的

取值范围是''

A.[6,8）B.[6,8]C.[4,6）D.（4,6]

2.（2022•贵州遵义•高三开学考试（文））在A48C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若

6sin空C=asin21

2,«=V2,则△48C周长的最大值为.

sinAA/3COSB5/2

3.（2022・全国•高三专题练习）在三角形A8。中，角48c所对的边分别为a,6,c,若ab2,

则该三角形周长的最大值为.

【题型六】角的最值

【典例分析】

（2022・全国•高三专题练习（理）（文））已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2csinC

=（（2+Z?）（sinB-sinA）,则当角C取得最大值时，B=（）

【提分秘籍】

基本规律

注意角度范围与三角形条件之间的限制关系

【变式演练】

1.（2022.安徽淮南.一模（文））在一A5c中，内角A,B,C的对边分别为b,c,若函数

“到=93+6无2+（/+©2+0“（?卜无极值点，则角3的最大值是（）

2.（2022•全国•江西师大附中模拟预测（文））在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若

267sinA+csinC=Z?sinB,则角A的最大值为（）

3.已知锐角△ABC中，角AB、C对应的边分别为a、b、c,AABC的面积S=a2+b2-c2),^

24(be—a)=btanB,则c的最小值是

B.在「2A/3

A.6D

43-T

【题型七】最值

【典例分析】

jrnc

在，ABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知8=J且=1，则」^^+上下的最小

6ca+cac+a"

值为（）

A.工B.2C.-D.4

24

【提分秘籍】

基本规律

求最值时，涉及到角度范围的限制

1.钝角或者锐角三角形限制

2.其他条件限制（如已知某角）

【变式演练】

1“锐角△ABC中，角A、C所对的边分别为a、b、c,若2sinA（acosC+ccosA）=V5a,贝耳的取值范围

是（）

A.（|,2）B.谭，竽）C.（1,2）D.（今1）

2.在锐角AABC中，A=2B,则整的取值范围是

A.（-1,3）B.（1,3）

C.（V2,V3）D.（1,2）

3.442C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设A42C的面积为S,若厂一。--”=型,则2的

S3a

取值范围为

A.（0,+oo）B.（1,+oo）C.（0,⑹D.（百+s）

【题型八】切弦互化求最值

【典例分析】

一ABC中，角A,B,C1的对边长分别为a,b,c，右acosB-bcosA=gc，则tan（4—'）的

最大值为（）

4o

A.-B.1C.-D.73

34

【提分秘籍】

基本规律

解三角形题。对含有正切函数求最值范围，属于较难题型，一般从以下几方面分析:

1.切化弦

2.在三角形中，有tanA+tan3+tanC=tanAtanBtanC

【变式演练】

1.在AABC中，若一二十—二二」~r，贝UcosA的取值范围为

tanBtanCtanA

A・同B.加C.fol]"I）

n.2tan?ltanfi,,“

2.在ABC中，。力,。分别是角4瓦。的对边,若+。2=2014c2,则------------的值为sl

人」tanC(tanA+tanB严

A.2013B.1C.0D.2014

3.在AABC中，角A、B、C所对的边分别为〃、b、c,若AABC为锐角三角形，且满足廿一〃=碇,

则工—总的取值范围是

tanAtanB

1—\

A.k-C.律词

rB.0,何D.(1,+8)

【题型九】解三角形应用题

【典例分析】

（2022・江苏•高三课时练习）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知

点A到墙面的距离为A3,某目标点尸沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P,需计算由

点A观察点P的仰角。的大小，若A3=15c肛AC=25cm,ZBCM=30。，贝!|tan。的最大值是（）.

（仰角。为直线"与平面ABC所成的角）

c5石

510-¥

【变式演练】

1.（2022・全国•高三课时练习）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心。后转向东北方。7,

为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路力，并在上分别设置两个出口4,2,若

A3部分为直线段，且要求市中心。与A8的距离为20千米，则AB的最短距离为（）

A.20（夜-1）千米B.40（虎-1）千米

C.20（V2+l）D.40（忘+1）

2.在一座尖塔的正南方地面某点A,测得塔顶的仰角为22。30"又在此尖塔正东方地面某点8,测得塔

顶的仰角为67。30',且A,B两点距离为540m,在线段A3上的点C处测得塔顶的仰角为最大，则C点

到塔底。的距离为（）

A.90mB.100mC.110mD.270m

3..某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形A3CD的周长为4米，沿AC折叠使B到夕

位置，AB'交DC于P,研究发现，当A4DP的面积最大时最节能，则最节能时A3CZ）的面积为

A.3-2V2B.273C.2(V2-1)D.2

真题再现

1.(2020•山东•高考真题)在.ABC中，内角A,B,C的对边分别是。，b,c,a2+b2=c2+absmC,

万

且asin3cosc+csinBcosA=——b,贝iJtanA等于()

2

或;

A.3B-TC.3或—D.-3

3

2.（2021•全国•高考真题（文））在ABC中，已知6=120。，AC=M，AB=2,则BC=()

A.1B.V2C.V5D.3

3.（2020・全国•高考真题（文））在4ABC中,cosC=1,AC=4,BC=3,则tanB二()

A.J5B.2J5C.4J5D.875

4.（2014・江西・高考真题（文））在一ABC中，内角A,B,。所对的边分别是。，b,c.若3〃=啰，则

2sin2B-sin2A

的值为（)

sin2A

7

A.BC.1D.-

9-12

9

5.（2020・全国•高考真题（理））在△A8C中，cosC=-,AC=4,BC=3,贝！JcosB=()

11

A.9-B.-3C.ID.I

23

6.（2019・全国考真题（文））△ABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,已知“sinA一加in8=4csinC,

1b

cosA=——,贝!!一二

4c

A.6B.5C.4D.3

7.•湖南•高考真题（文））在△ABC中，AC=A/7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于

A/3R34新八A^+A/39

Ar6+

2224

8.（2018・全国•高考真题（理））ABC的内角A，3,C的对边分别为〃，b,。，若ABC的面积为

则。=

4

9.（2022•浙江•高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方

法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是

S=«’其中小6,c是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边

a=6,b=&=2,则该三角形的面积S=.

10.（2022•全国•高考真题（理））已知，ABC中，点。在边8c上，NAD8=120。,AQ=2,CD=23。.当

会AT取得最小值时，BD=.

rr

11.（2022・上海•高考真题）在AABC中，ZA=y,AB=2,AC=3,则AABC的外接圆半径为

12.（2021・全国•高考真题（理））记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为百，8=60。,

a2+c2=3ac,则b—.

13.（2020・江苏・高考真题）在AA8C中，AB=4,AC=3,NB4c=90。,。在边BC上，延长A。到P,使得

AP=9,^PA=mPB+（--m）PC（机为常数），则C。的长度是.

14.（2020•全国・高考真题（理））如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=4。=y/3,ABLAC,

AB±AD,/C4E=30°,则cos/FC8=.

15.（2019•全国•高考真题（文））ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知6sinA+acosB=0,则

B=.

JT

16.（2019•全国•高考真题（理））_ABC的内角A3,C的对边分别为a,6,c.若6=6,a=2c,8=§,贝I]ABC

的面积为.

出定模拟检测

1.（2022•江西•模拟预测（文））在“8。中，角A、8、C所对的边分别为“、b、c,且满足1+cosA=3sinA,

3

b

sinA=6cosBsinC,则一的值为（）

c

A.l+>/6B.1+2应C.1+3夜D.1+3出

2.（2021.黑龙江绥化•高三阶段练习（文））已知锐角ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,

且_a+b_

—.则角C的大小为（）

cosA+cosBcosC

5万n

A.—D.

12-f6

3.（2023・全国•高三专题练习）,ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c2+b2cos2A=2bccosA,

则ABC为（）

A.等腰非等边三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

4.（2022•安徽・蒙城第一中学高三阶段练习（文