直角三角形（含5种解题技巧）-2025年中考数学一轮复习（原卷版）

第四章三角形

第19讲直角三角形

（思维导图+4考点+4命题点18种题型（含5种解题技巧））

01考情透视•目标导航关的规律探究问题

02知识导图•思维引航•►题型05勾股定理与网格问题

03考点突破•考法探究•►题型06勾股定理与折叠问题

考点一直角三角形＞题型07勾股定理与无理数

考点二勾股定理•►题型08利用勾股定理证明线段平方关系

考点三勾股定理逆定理•►题型09勾股定理的证明方法

考点四勾股定理的实际应用＞题型10赵爽弦图

04题型精研•考向洞悉＞题型11利用勾股定理构造图形解决实际问题

命题点一直角三角形的性质与判定命题点三勾股定理逆定理

•►题型01由直角三角形的性质求解•►题型01在网格中判定直角三角形

•►题型02根据已知条件判定直角三角形＞题型02利用勾股定理逆定理求解

命题点二勾股定理命题点四勾股定理的实际应用

•►题型01利用勾股定理求解•►题型01用勾股定理解决实际生活问题

＞题型02判断勾股数问题＞题型02用勾股定理逆定理解决实际生活问题

•►题型03以直角三角形三边为边长的图形面积•►题型03求最短路径问题

•►题型04与直角三角形三边为边长的图形面积有

考情透视•目标导航

中考考点考查频率新课标要求

直角三角形★★★理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理；

勾股定理★★

探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际

问题.

勾股定理逆定理★★

【考情分析】该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三

角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是

考察的重点.出题类型可以是选择，填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作

为问题的几何背景进行拓展延伸.结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角

形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向.

知识导图•思维弓I航

直角三角形

两直角边的平方和=斜边的平方

知相关概念

222直角边：a,b

识公式a^-b=c

斜边：

捺c

理两锐角互余

斜边的中线等于斜边的一半

30°角所对的边等于斜边的一半

两直角边的平方和等于斜边的平方

直角三角形的性质与判定

f角是直角

两个内角互余

判定三角形

一边上的中线等于这条边的一半

勾股定理a2+b2=c2

iE^a,b,c

勾股数定义

222

学满足a+6=c

法

指2

逆定理内容a\b'=c三角形是直角三角形

导

要明确该三角形是直角三角形

解题技巧

考点突破•考法探究I

Ax

考点一直角三角形

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

性质：

性质直角三角形两个锐角互直角三角形斜边上的中线等于斜边在直角三角形中，30。角所对的

余.的一半.直角边等于斜边的一半.

2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a?+b2=c2,那么这个三角形是直角三角

形.

面积公式：S^ab=lcm（其中：c为斜边上的高，m为斜边长）

针对训练

1.（2024•海南・中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（0<%<90）,另一个锐角为y度，则y与x

的函数关系式为（）

A.y=180+xB.y=180—xC.y=90+%D.y=90—x

2.（2024.青海・中考真题）如图，在ABC中，。是AC的中点，乙BDC=60°,AC=6,贝加。的长是（）

B.6C.V3D.3V3

3.（2023•浙江衢州•中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角N。的大小,

需将△。转化为与它相等的角，则图中与乙。相等的角是（）

A.乙BEAB.乙DEBC.Z.ECAD./.ADO

4.（2023・贵州・中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”

中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120。，腰长为12m,则

底边上的高是（）

A

A.4mB.6mC.10mD.12m

5.（2023・湖南・中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuan）,一宣有半谓之橘（zhii）……”

意思是：”……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做橘……即：1宣=］矩，1榴=或宣（其中，1

矩=90。），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若N4=l

矩，Z-B=1楣，则=度.

考点二勾股定理

文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.

变式：a2=c2-b2,b2=c2-a2,

c=Va2+b2,a=Vc2—b2,b=Vc2—b2.

【易错点】

1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定

理时，必须明了所考察的对象是直角三角形；

2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解

时必须进行分类讨论，以免漏解.

3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+/）2=。2时，斜边只能是C.若b为斜边，则关

系式是a2+c2=F；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2.

勾股定理的验证

方法一：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以。—a）为边长的小正方形和一个以C为边长

的大正方形.即4S4+S正方形EFGH=S正方形ABCD，所以4x[ab+（b-a/=c?,化简可证.

方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4x|ab+c2=2ab+c2

大正方形面积为S=（a+b）2=a2+2ab+b2,所以a?+b2=c2

方法三：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形.

S梯形--（a+b）-（a+b）,S梯形=2S&ADE+^AABE=2x5ab+5c?，化间得证a?+b?=c?

图一图二图三

针对训练

1.（2024・青海・中考真题）（1）解一元二次方程：x2-4x+3=0；

（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长.

2.（2023・辽宁大连•中考真题）如图，在数轴上，OB=1,过。作直线/1OB于点。，在直线/上截取。4=2,

且4在OC上方.连接A8,以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C,则C点的横坐标为

3.（2023・湖南郴州•中考真题）在AABC中，NC=90。，AC=6,BC=8,贝！MB边上的中线CD=.

4.（2023•江苏镇江•中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一^k五步.问勾中容圆，径几何？”

译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步.问这个直角三角形内切圆

的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长.用

直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个

直角三角形内切圆的直径.根据以上方法，求得该直径等于步.（注：“步”为长度单位）

股15片、弦

勾8

5.（2024.江苏南通・中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是

由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为如

n（m>n）.若小正方形面积为5,（m+n）2=21,则大正方形面积为（）

A.12B.13C.14D.15

考点三勾股定理逆定理

L勾股数

勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系a?+=©2的3个正整数a,

b,C称为勾股数.

勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数；

2）两个较小数的平方和等于最大数的平方.

常见的勾股数：1）3,4,5；2）6,8,10；3）5,12,13等.

2.勾股定理的逆定理

内容：如果三角形三边长a,b,c满足42+炉=。2,那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.

【补充说明】

1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法；

2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平

方和02+》2与较长边的平方c2作比较，①若a2+b2=c2时，以口，匕，。为三边的三角形是直角三角形；

②若a2+b2<c2时，以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形；

③若42+炉>02时，以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形

针对训练

1.（2024•江苏扬州•三模）下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）

A.3,4,5B.9,15,17C.25,7,24D.8,6,10

2.（2024•江苏南京•三模）下列各组数中是勾股数的为（）

A.V3,V4,V5B.1,1,V2C.7,8,9D.13,84,85

3.（21-22八年级下•湖北省直辖县级单位•阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1,则Z48。的度数为

4.（2023・吉林白城•模拟预测）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点.以

格点为顶点.

图①图②

（1）在图①中，画一个边长为鱼的线段；

（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长分别是鱼、2夜、V10.

2

5.（2024.广东•模拟预测）若|a—川+（c—或）=0,则以a,b,c为边长的三角形的形状

是.

考点四勾股定理的实际应用

1.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：

1）从实际问题中抽象出几何图形；

2）确定与问题相关的直角三角形；

3）找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；

4）求得符合题意的结果.

2.利用勾股定理解决实际问题的常见类型

1）直接利用勾股定理列方程解决实际问题；

2）利用勾股定理解决几何体表面最短距离问题；

3）利用勾股定理和方程思想解决与“翻折”相关的问题；

4）利用勾股定理解决有关几何图形的面积问题.

针对训练

1.（2024.四川巴中.中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深

几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即4C=5,DC=1,BD=BA,贝UBC=（）

A.8B.10C.12D.13

2.（2021•江苏宿迁•中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一

尺，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇4B

生长在它的中央,高出水面部分为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为尺.

3.（2024・上海宝山•一模）在马拉松比赛过程中，嘉琪和李明之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备

联系.嘉琪运动到A点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口2向C运动后，就

失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为2m/s,李明的跑步速度为4m/s,乙4BC=90。，BC足够长，多少秒后

他们再次取得联系？（）

Bu---------------------C

A.150sB.60sC.100sD.不会再取得联系

4.（2023•陕西西安•二模）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm,

在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点2处,

则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是cm.

题型精研•考向洞悉

命题点一直角三角形的性质与判定

-题型01由直角三角形的性质求解

1.（2024•江苏徐州•中考真题）如图，28是。。的直径，点C在4B的延长线上，CD与。。相切于点。，若“=

20°,贝此CAD='

2.（2024.内蒙古呼伦贝尔・中考真题）如图，在AABC中，ZC=90°,ZB=30°,以点4为圆心，适当长为半

径画弧分别交于点M和点N,再分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P,连

接4P并延长交BC于点D.若△4CD的面积为8,则△力8。的面积是（）

C.12D.24

3.（2023・湖南郴州•中考真题）在AABC中，3c=90°,AC=6,BC=8,贝边上的中线CD=

4.（2023・海南・中考真题）如图，在平面直角坐标系中,点A在y轴上，点8的坐标为（6,0）,将AAB。绕着

点8顺时针旋转60。，得到ADBC,则点C的坐标是（）

A.(3V3,3)B.(3,3V3)C.(6,3)D.(3,6)

5.（2024.海南・中考真题）如图，菱形A8CD的边长为2,^ABC=120°,边AB在数轴上，将AC绕点A顺时

针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3,则点A表示的数是（)

C.0D.3-2V3

＞题型02根据已知条件判定直角三角形

1.（2022・湖南株洲•中考真题）如图所示，在菱形力BCD中，对角线4C与BD相交于点0,过点C作CEIIBD交4B

的延长线于点E,下列结论不一定正确的是（）

A.OB=-CEB.△ACE是直角三角形

2

C.BC=-AED.BE=CE

2

2.（2024•福建南平・一模）如图1,点D是AABC的边力B上一点.AD=AC,ACAB=a,。。是△BCD的外

接圆，点E在。上（不与点C,点。重合），且4。石。=90。一戊.

（1）求证：AABC是直角三角形；

（2）如图2,若CE是。。的直径，且CE=2,折线4DF是由折线ACE绕点川顺时针旋转a得到.

①当a=30。时，求ACDE的面积；

②求证：点C,D,F三点共线.

3.（2024•山东济南•模拟预测）如图1,抛物线L：y=F（久-27+爪与％轴交于点A,B,与y轴交于点C,

（2）点。是直线8c下方抛物线L上一动点，当△BCD的面积最大时，求点。的坐标；

（3）如图2,在（2）条件下，将抛物线乙向右平移1个单位长度后得到抛物线设抛物线M与抛物线L的

交点为E,AF1BC,垂足为「证明ADEF是直角三角形.

命题点二勾股定理

＞题型01利用勾股定理求解

1.（2024・山东济宁・中考真题）如图，边长为2的正六边形力BCDEF内接于。0,则它的内切圆半径为（）

A.1B.2C.V2D.V3

2.（2024.辽宁・中考真题）如图，在平面直角坐标系%Oy中，菱形AOBC的顶点/在无轴负半轴上，顶点8在直

线y=上，若点8的横坐标是8,为点。的坐标为（）

C.(-3,6)D.(-4,6)

3.（2024.广东广州.中考真题）如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72。的扇形，若扇形的半径1是5,

2A/6

C.2A/6TTD.——IT

3

4.（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，在菱形4BCD中，AABC=60°,AB=6,AC是一条对角线，E是4c上

一点，过点E作EF12B,垂足为尸，连接DE.若则DE的长为

5.（2024•黑龙江绥化•中考真题）如图，四边形力BCD是菱形，CD=5,BD=8,4E1BC于点E,贝!ME的

长是（）

A

A.yB.6C.yD.12

>题型02判断勾股数问题

方法技巧

1）确定是三个正整数a,b,c；

2）确定最大的数c；

3）计算较小的两个数的平方+02是否等于c2.

1.（2023•江苏南通・中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾

股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a,6,c,其中a,b均小于c,a=|m2-|,c=|m2+|,

小是大于1的奇数，则6=（用含血的式子表示）.

2.（2023・四川泸州・中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a,b,c的

计算公式：a=|（m2—n2）,b=mn,c=|（m2+n2）,其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾

股数中，不熊由该勾股数计算公式直接得出的是（）

A.3,4,5B.5,12,13C.6,8,10D.7,24,25

3.（2024•河北秦皇岛•一模）我们把满足a2+b2=c2的三个正整数4,3c称为“勾股数”.若a,b,c（a<

b<c）是一组勾股数，〃为正整数.

（1）当b=n+7,c=n+8时，请用含w的代数式表示a?,并直接写出〃取何值时，。为满足题意的最小整

数；

=6+1时，用含〃的代数式表示再完成下列勾股数表.

4.（2024・浙江•模拟预测）在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所

谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数：

abc

3=1+24=2x1x25=2xlx2+l

5=2+312=2x2x313=2x2x3+1

7=3+424=2x3x425=2x3x4+1

9=4+540=2x4x541=2x4x5+1

⑴当a=11时，b=,c=.

（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）.

（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.

＞题型03以直角三角形三边为边长的图形面积

方法技巧

1.（2024•黑龙江大庆•中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40。和50。，其三边上分别有一个正

方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40。和50。的直角三角形，再分别以所得到的直

角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形.图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，

人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2,则10次操作后图形中折存•正方形的面

积和为

图①图②图③

2.（2023•江苏连云港•中考真题）如图，矩形4BCD内接于O0,分另lj以48、BC、CD、4。为直径向外作半

A.丁兀一2。B,-n-20C.2。兀D.20

3.（2024・广东中山•模拟预测）在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）.已知斜放置的三个正方形

的面积分别1、4、9,正放置的四个正方形的面积依次为S「S2，S3，S4,则Si+S2+S3+S4的值是.

4.（2024.广西梧州.二模）图1是第七届国际数学教育大会（/CME-7）的会徽，会徽的主题图案是由图2

中七个直角三角形演化而成的，其中。A1=4遇2=人243=43人4=4445=45人6=人6&7=47人8=L贝1J

组成会徽的七个直角三角形的面积的平方和为.

5.（2024・江苏宿迁•二模）小明在一块画有Rt△4BC的纸片上（其中NABC=90。，BC<AB）进行了如下操

作：第一步分别以48、8C为边向外画正方形ABFG和正方形BCDE；第二步过点4、B分别作2C的垂线和AC

的平行线，将纸片力BFG一分成②、③、④、⑤四块，如图1；第三步将图1中的正方形纸片BCDE、△力BC纸

片及纸片②、③、④、⑤剪下,重新拼接成图2.若需=，则器的值

图2

6.(2020•江西・中考真题)某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形

三边向外侧作多边形，它们的面积Si，S2,S3之间的关系问题''进行了以下探究:

(1)如图2,在Rt△ABC中，BC为斜边，分另IJ以为斜边向外侧作Rt△4BD,RtAACE,RtABCF,

若41=42=43,则面积S「S2,S3之间的关系式为_；

推广验证

(2)如图3,在RtZk/lBC中，8c为斜边，分另IJ以4B,2C,BC为边向外侧作任意△力8D,^ACE,ABCF,

满足N1=N2=N3,ND=NE=NF,则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若

不成立，请说明理由；

拓展应用

(3)如图4,在五边形ABCDE中，NA=NE=NC=105°,/.ABC=90°,AB=2遮，DE=2,点P在ZE上，

乙ABP=30。，PE=V2,求五边形ABCDE的面积.

.题型04与直角三角形三边为边长的图形面积有关的规律探究问题

1.(2020•辽宁丹东・中考真题)如图，在矩形。4中，。4=3,441=2,连接O4,以。&为边，作矩形

。&4B1使442=|。&，连接。42交于点C;以。42为边，作矩形。42482,使424=|。42,连接。力3

交&&于点G；以。&为边，作矩形。444B3，使力344=|。人3，连接。心交A3B2于点。2；…按照这个规律

进行下去，贝UZIC2019C202042022的面积为

2.（2024.四川内江.二模）如图，正方形力BCD的边长为2,其面积标记为£,以CD为斜边作等腰直角三角

形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则

S2024的值为.

3.（23-24九年级下•山东聊城•阶段练习）如图（1）,已知小正方形48CD的面积为1,把它的各边延长一倍

得到新正方形力iBiGA；把正方形4/1的劣边长按原法延长一倍得到正方形2c2。2（如图（2））…；以

此下去，则正方形42024B2024c2024。2024的面积为.

图⑴图⑵

4.（2023•山东青岛•二模）【问题背景】

如图1,△ABC是一张等腰直角三角形纸板，ZC=90°,AC=BC=2.取"、BC、4B中点进行第1次剪取,

记所得正方形面积为£,如图2,在余下的AADE和ABDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形,

称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为52（如图2）.

【问题探究】

（］）$2=

（2）如图3,再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次

剪取，并记这四个正方形面积和为S3继续操作下去…，则第10次剪取时，Si。=；第九次剪取时，Sn=

【拓展延伸】

在第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为

＞题型05勾股定理与网格问题

・LEt-F工一正方形网格中的每一个角都是直角，在正方形网格中的长度计算都可以归结为求任意

两个点之间的距离，一般情况下都是运用勾股定理来进行计算，关键是确定每一条边所在的直角三角形.

1.（2023•吉林长春•中考真题）图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每

个小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作

△4BC,点C在格点上.

⑴在图①中，△48C的面积为支

（2）在图②中，△4BC的面积为5

（3）在图③中，△力8c是面积为?的钝角三角形.

2.（2023•吉林・中考真题）图①、图②、图③均是5X5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段

48的端点均在格点上.在图①、图②、图③中以4B为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直

角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上.

3.（2024•广东•模拟预测）如图，在6X7的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,四边形力BCD的顶

点均在网格的格点上.

⑴求sin。的值.

（2）操作与计算：用尺规作图法过点C作CE1AD,垂足为E,并直接写出CE的长.（保留作图痕迹，不要求

写出作法）

.题型06勾股定理与折叠问题

F.解决“翻折”问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或角与已知

线段、角归结到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或通过勾股定理

列方程使问题得以解决.

1.（2024•江苏常州•中考真题）如图，在RtAABC中，乙4cB=90。，AC=6,BC=4,。是边力C的中点，

E是边BC上一点，连接BD、DE.将ACDE沿DE翻折，点C落在BD上的点尸处，则CE=.

2.（2023・湖南娄底•中考真题）如图，点E在矩形4BCD的边CD上，将△4DE沿4E折叠，点。恰好落在边BC

上的点P处，若BC=10.sinzXFB=支贝ijDE=

3.（2023•江苏扬州•中考真题）如图，已知正方形48CD的边长为1,点E、P分别在边AD、BC上，将正方

形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点次处，如果四边形2BFE与四边形EFCD的面积比为3：5,那么

线段尸C的长为

4.（2024・四川广元・中考真题）已知丫=百久与）/=：0＞0）的图象交于点4（2,爪），点8为y轴上一点，将

A（MB沿。4翻折，使点B恰好落在y="%＞。）上点C处，则2点坐标为.

＞题型07勾股定理与无理数

1.（2024・四川南充・中考真题）如图，已知线段4B,按以下步骤作图：①过点8作BC14B,使BC=}4B,

连接4C；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点Z）；③以点A为圆心，以4。长为半径画弧，交4B

于点E.若4E=mAB,则m的值为（）

A--rB•丁c-b-1D-b-2

2.（2024.贵州贵阳.一模）如图，BA=BC,在数轴上点A表示的数为a,则a的值最接近的整数是

3.（2024•山西大同•模拟预测）为了比较遮+1与VIU的大小，小亮先画了一条数轴，然后在原点。处作了

一条垂线段。4，且04=1,点8表示的数是2,点C表示的数为3,连接AB,AC,由4B+BOAC推出

V5+1>V10,这里小亮用到的数学思想是（）

A.统计思想B.数形结合C.模型思想D.分类讨论

4.（2024南宁三中模拟）利用勾股定理，可以作出长为鱼、百、有、…的线段，如图:在RtA48C中,N8=90°,

AB=2,BC=1,贝!MC的长等于.在按同样的方法，可以在数轴上画出表示鱼、V3,右、…的点.

（1）在数轴上作出表示-a的点M（尺规作图，保留痕迹）.

（2）在数轴上作出表示旧的点N（尺规作图，保留痕迹）.

>题型08利用勾股定理证明线段平方关系

1.（2021.山东枣庄•中考真题）如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

（1）概念理解：如图2,在四边形4BCD中，AB=AD,CB=CD,问四边形力BCD是垂美四边形吗？请说

明理由；

（2）性质探究：如图1,垂美四边形ABCD的对角线AC,BD交于点0.猜想：AB2+CD2^AD2+BC2W

么关系？并证明你的猜想.

（3）解决问题：如图3,分别以RtA4CB的直角边4C和斜边4B为边向外作正方形4CFG和正方形48DE,

连结CE,BG,GE.已知力C=4,AB=5,求GE的长.

2.（2024.山西朔州•二模）阅读与思考

下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.

构图法在初中数学解题中的应用构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量

关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现

数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用，

例：如图1,已知P为等边三角形ABC内一点，AAPB=113°,^APC=123°.

图1求以4P,BP,CP为边的三角形中各个内角的度数.

解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以4P,BP,CP为边的三角形，问题难以解决.

于是考虑通过构图法构造长度为力P,BP,CP的三角形来解决问题.

解：将A/IPC绕点A顺时针旋转60。得AAQB,则AAQB三AaPC.

BQ=CP,AQ=AP,Z1=ZCXP.

由旋转可知NQAP=60。，A4PQ是等边三角形.【依据】

•••QP=AP,Z3=Z4=60°.

AQBP就是以4P,BP,CP为边的三角形.

•••UPB=113°,Z5=乙APB-Z4=53°.

•••AAQB=^APC=123°.Z6=AAQB—N3=63°.

“BP=180°-45-N6=64°.

以4P,BP,CP为边的三角形中，三个内角的度数分别为64。，63°,53°.

构造图形的关键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表达出来，使问题变

简单.

任务：

(1)上面小论文中的“依据”是

(2)如图2,已知点尸是等边三角形2BC的边BC上的一点，若〃PC=102。，则在以线段2P,BP,CP为边的

三角形中，最小内角的度数为'

(3)如图3,在四边形ABCD中，ZXDC=30°,^ABC=60°,AB=BC.求证：BD2=AD2+CD2.

图3

3.(2023•湖北武汉•模拟预测)如图，A/ICB和AECD都是等腰直角二角形，CA=CB,CE=CD,A/ICB的

顶点力在4ECD的斜边DE上.

(1)判断NACD与ABCE间的数量关系，并说明理由；

(2)直接写出线段4。、AE.AC间满足的数量关系.

4.(2023•陕西咸阳•一模)在RtzkABC中，AACB=90°,。是4B的中点，作NPOQ=90。.分别交AC,BC于

点P,Q,连接PQ

C

CoDCz

131图2图3

(1)【尝试探究】如图1,若4C=BC,求证ap2+BQ2=PQ2；

(2)【深入研究】如图2,试探索(1)中的结论在一般情况下是否仍然成立;

(3)【解决问题】如图3,若4C=6,BC=8,点C,P,0,Q在同一个圆上，求APCQ面积的最大值.

＞题型09勾股定理的证明方法

1.(2023・北京大兴•一模)下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完成证

2.(2024•山西吕梁.模拟预测)阅读与思考：请阅读下列材料，完成相应任务.

从勾股定理的“无字证明”谈起

在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用一些几何图形验证勾股定理.如图1是古印度的一种证明方

法：过正方形2DEC的中心。，作两条互相垂直的直线，将正方形分成4份，所分成的四部分和一小正方形

恰好能拼成一个大正方形.这种方法，不用运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，这种根据

图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.

意大利著名画家达・芬奇用如图2所示的方法证明了勾股定理，其中图甲的空白部分是由两个正方形和两个

直角三角形组成，图丙的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成.设图甲中空白部分的面积为S],图

丙中空白部分的面积为52.

任务：

(1)下面是小亮利用图2验证勾股定理的过程，请你帮他补充完整.

解:根据题意，得S]==a2+b2+ab

22

S7z—c+2x-2ab=c+ab.

S1=$2，

,即.

(2)我国是最早了解勾股定理的国家之一.东汉末年数学家刘徽在为《九章算术》作注中依据割补术而创造

了勾股定理的无字证明“青朱出入图如图3,若CB=6,CG=8,贝U/N的长度为.

(3)在初中的数学学习中，我们已经接触了很多代数恒等式.一些代数恒等式也可以通过“无字证明”来解

释.可以借助图4直观地解释的代数恒等式为.借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有

可操作性，从而帮助我们解决问题，在此过程中体现的数学思想是.

A.分类讨论思想B.公理化思想C.数形结合思想D.从特殊到一般的思想

(4)借助图5可以直观解释的式子为.(填序号)

①(a+3)2=a2+9；②(a+3)2—a2+6a+9；

③(a+3)24a2+%④(a—3)2=a2—6a+9.

(5)实际上，初中数学还有一些代数恒等式(除上述涉及的)也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出

一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式.

>题型10赵爽弦图

方法技巧

内弦图模型外弦图模型

条件在正方形内部，有四个全等的直角三角形.

结论1）四边形ABMN为正方形1）四边形CMHG为正方形

12222

2)S正方形DEFG=(a+b)=c+2ab2)S正方形CMHG=(a-b)=c-2ab

3)a2+b2=c23)a2+b2=c2

1.（2024•湖北武汉•中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是

由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形2BCD.直线MP交正方形2BCD的两

边于点E,F,记正方形力BCD的面积为S],正方形MNPQ的面积为52.若BE=kAE（k>1）,则用含k的式

子表示，的值是.

2.（2023•湖北鄂州•中考真题）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第

一次大聚会.这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦

图如图，用四个全等的直角三角形（RtAAHB三RtABECmRt△CFDmRtADGA）拼成“赵爽弦图”,

得到正方形力BCD与正方形EFG”，连接2C和EG,4C与DF、EG、分别相交于点P、O、Q,若BE:EQ=3:2,

则黑的值是_________

OE

3.（2023•湖北黄冈・中考真题）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽

弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中4F=a,DF=b,连接