用二次函数解决问题（2考点4题型）-2024-2025学年苏科版九年级数学下册同步训练（含答案）

第05讲用二次函数解决问题

01学习目标

课程标准学习目标

1.熟悉用二次函数解决问题的

①掌握利用二次函数解决实际问题的基本思路和方

步骤和要点.

法.②能从实际问题中抽象出二次函数模型，并分析求

2.会建立二次函数模型解决几

解.

何、物理等领域的实际问题.

③体会二次函数在解决最值问题、运动轨迹等实际场景

3.感受二次函数解决问题的强

中的应用价值.

大功能，增强应用意识.

02思维导图

建立二次函数模型求生活中的最值问题

建立二次函数模型解决生活中的抛物线型问题

销售问题

拱桥、喷水类问题

投球类问题

几何中的动点问题

03知识清单

知识点一、建立二次函数模型求生活中的最值问题

在日常生活中，经常会遇到求最大面积或最大利润类问题，我们可以利用二次函数的图像和

性质解决此类问题，步骤如下：

i.找：找等量，分析题目中的数量关系；

2.歹!J：列出函数表达式；

试卷第1页，共10页

3.求：利用配方法把y=ax2+bx+c化为y=a(x—/?)2+人的形式或利用公式法明确确定

最值.

知识点二、建立二次函数模型解决生活中的抛物线型问题

常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛

物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角

坐标系是解决此类问题的关键,然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题.

04题型精讲

题型01销售问题

1.将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个.已知该商品单价每上涨1

元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为丁元，则下列关系

式正确的是()

A.y=(x-35)(200-5x)B.y=(x+40)(200-10%)

C.y=(x+5)(200-5x)D.y=(x+5)(200-10%)

2.某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件，经调查

发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为x元，每天

的销售利润为丁元，则y与x的函数关系式为.

3.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采

取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.

(1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？

(2)设每件商品降价x元，请写出盈利V与x的函数关系式(将函数关系式化简，不必写出自

变量x的取值范围)；

(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？

题型02拱桥、喷水类问题

4.苏州的古桥众多，形态各异，有单孔和多孔的，有半圆孔和椭圆孔的，也有长方孔的、

抛物线孔的，富有韵味，每一座古桥都诉说着苏州千百年来的古老文化.如图1是某公园的

一座抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为＞在

正常水位时，水面宽/8=16米，当水位上升3米后，则水面宽。等于()

试卷第2页，共10页

（图D（图2）

A.4米B.8米C.4夜米D.8亚米

5.如图①是我市某广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度了

（单位：米）与水平距离X（单位：米）之间的关系如图②所示，点8为该水流的最高点,

点C为该水流的落地点，且8D_L0C,垂足为。，若AD=5米，。。=2米，0C=6米，

则。/的长是米.

①

6.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个

喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m,水

柱落地处离池中心距离为6m,则水管的长度OA是m.

7.如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽/为6米，则当水

面下降米时，水面宽度为2米.

试卷第3页，共10页

题型03投球类问题

8.小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度〃（单位：米）与在空中飞行的时间/（单

位：秒）满足函数关系：h=-At2+nt,当篮球在空中的飞行时间=秒时，篮球

距离地面最高.

9.小球的飞行高度/?（单位：m）与飞行时间，（单位：s）之间的函数关系是

h=20t-5t2.有下列结论：①小球从飞出到落地需要4s；②小球的飞行高度可以是25m；

③小球飞行L5s的高度大于飞行3s的高度.其中正确的是（填序号）

10.在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞

125

行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为了=-在,由此可知该生此次实

心球训练的成绩为米.

题型04几何中的动点问题

11.如图，已知抛物线y=-x2+6x+c与一直线相交于/（-l,0）,C（2,3）两点,与y轴交于点

N.其顶点为。.

（1）抛物线及直线/C的函数关系式；

⑵设点〃时对称轴上的一点，求使MV+M4的值最小时的M的坐标；

（3）若尸是抛物线上位于直线/C上方的一个动点，求的面积的最大值.

12.如图所示，抛物线y=gx2-4x+6与x轴相交于/、8两点，与了轴相交于点C,点M

为抛物线的顶点.

试卷第4页，共10页

(1)则点C的坐标为_；顶点〃的坐标为_；

(2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN,求△8CN面积的最大值及此

时点N的坐标；

(3)若直线x=〃？分别交直线和抛物线于点£尸，点。为平面内任意一点，当点

E、8、P、。构成的四边形为菱形时，请直接写出点？的坐标.

24

13.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数了=-§/+§工+2的图象与x轴交于/,B

两点(点/在点2的左侧).与了轴交于点C,连接BC.

(1)求/、B、C三点的坐标；

⑵若点尸是x轴上一点，当ABCP为等腰三角形时，求点尸的坐标；

(3)点。是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点。使N0CB=/4BC?若存在，请求

出点0的坐标；若不存在，请说明理由.

05强化训练

14.2022年北京某零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元.销售期间发现,

当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每降价1元，每天销量增加20

个.现商家决定降价销售，每个降价x元(0<x<4).设每天销售量为y个，每天销售纪

念品获得的利润w元，则下列等式正确的是()

A.y=20%-300B.y=-20x+300

C.w=(20x+300)(4-x)D.w=(-20x+l180)(40-%)

15.如图，在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超

过1m,则花圃中的阴影部分的面积有()

试卷第5页，共10页

A.最小值247B.最小值266C.最大值247D.最大值266

16.苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的

立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1,两栋建筑第八层由一条长60加的连桥连接,

在该抛物线两侧距连桥150仅处各有一窗户，两窗户的水平距离为30加，如图2,则此抛物

线顶点O到连桥N3距离为（）

图1图2

A.180mB.200mC.220mD.240m

i3

17.如图，抛物线y=与直线＞=x-2交于/、5两点（点/在点2的左侧），动

点尸从/点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点尸，最后运动到

点A若使点尸运动的总路径最短，则点尸运动的总路径的长为（）

试卷第6页，共10页

V29

A.

-I-

V29

"I-

18.如图，一次函数了=-2x+3的图像与八y轴分别相交于4c两点，二次函数>=/+云+。

的图象过点C且与一次函数在第二象限交于另一点8,若/C:C8=1:2,那么，这个二次

19.已知某品牌汽车在进行刹车测试时发现，该品牌某款汽车刹车后行驶的距离S（单位:

米）与行驶时间t（单位：秒）满足下面的函数关系：s=nt-4t\t>o）.那么测试实验

中该汽车从开始刹车到完全停止，共行驶了米.

20.如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，

使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处

21.如图，物体从点/抛出，物体的高度〉（单位：m）与飞行时间f（单位：s）近似满足

函数关系式丁=-["-3）2+5.在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时

间，则/的取值范围是.

试卷第7页，共10页

档m

/Li、、、、

4'''、'、、

O

22.如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示.升降杆a垂直于地面，喷射

的水柱呈抛物线，喷头8能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的

水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米.将喷头禺券商4米，喷射水柱的形状保持

不变，此时喷射的水柱落地点与0的距离为米.

23.道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1）,图2是一个长为2米,

宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，

颜色的分界处（点E,点尸）以及点A,点8落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分

（斯）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是.

24.某电商平台试销一种文艺用品，已知该用品进价为8元/件，规定试销期间销售单价不

低于进价.试销发现：当销售单价定为10元时，每天可以销售300件；销售单价每提高1

元，日销量将会减少15件.设该文艺用品的销售单价为x（单位：元）（x>10）,日销量为

了（单位：件），日销售利润为卬（单位：元）.

⑴当定价为15元时，每天可以销售件；

（2）求了与x的函数关系式；

（3）求销售单价x为何值时，日销售利润w最大，并求出最大利润w.

25.如图，用长为22m的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为14m）,围成中间隔有一

道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1m

试卷第8页，共10页

的两扇小门.

墙14m

A\1^

lmIm

(1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为m.

(2)若此时花圃的面积刚好为45n?,求此时花圃的长与宽.

(3)在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到60m2.请说明理由.猜想一下,

这个花圃面积最大可以做到多少？

26.一次足球训练中，小强从球门正前方Hm的点。处起脚射门，足球射向球门的运行路

线是一条抛物线.当足球飞行的水平距离为61n时，足球达到最高点，此时足球离地面

3m.已知球门高N8为2.44m,现以小强起脚处点。为原点建立如图所示平面直角坐标系.

(1)求抛物线的函数表达式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球；

(2)若防守队员小明正在抛物线对称轴的右侧加强防守，小明跳起后头部达到的最大高度为

2.25m,小明想要头球防守住此次射门，则小明需要站在球门前，至多离球门多远的地方

才可能头球防守住这次射门？

27.已知，如图，抛物线>=办2一2冰+以°>0)与了轴交于点C,与x轴交于2两点,

(2)若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值;

试卷第9页，共10页

⑶若抛物线上有一点M，使乙1QW=45。，求朋■点坐标.

,a

28.平面直角坐标系中，抛物线＞=a(x-l)+5与无轴交于48(4,0),与夕轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式，并直接写出点4C的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使ABCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的

坐标，请说明理由；

(3)如图，点M■是直线3c上的一个动点，连接4W,是否存在点M使4W+OM最小，若

存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

试卷第10页，共10页

1.c

【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解“单价没上涨1元，其销售量就减少5

元”的含义.

根据获得的利润=销售量x每个利润，设这种商品的售价上涨尤元时，获得的利润为了元；

即每个利润为(40-35+x)元，销售量为：(200-5同个，结合获得的利润为了元，可得了与

x的函数关系式，化简即可.

【详解】•••上涨前每件商品的利润为(40-35)元，能卖出200个，上涨x元后利润为

(40-35+x)元,能卖出(200-5x)个，根据题意得：

j=(40-35+x)(200-5x)

即：y=(x+5)(200-5x)

故选：C

2.y=-5x2+175x-1250

【分析】本题考查了由实际问题抽象出二次函数，根据总利润=单件利润x销售量，即可得

出答案.

【详解】解：由题意得：

^=(X-10)[50-5(X-15)]=(X-10)(125-5X)=125X-5X2-1250+50X=-5X2+175X-1250,

故、=_5/+175》-1250,

故答案为：J；=-5X2+175%-1250.

3.⑴当天可获利1692元

(2)y=-2X2+70X+1500

⑶每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元

【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意；

(1)由题意可知每天的销售量为36件，利润为47元，然后问题可求解；

(2)由题意易得商场每天销售的件数为(30+2x)件，然后根据利润=单个利润x销售量可进

行求解；

(3)根据(2)及题意可进行求解.

答案第1页，共27页

【详解】(1)解：由题意得：(50-3)x(30+2x3)=1692(元)；

答：当天可获利1692元.

(2)解：由题意得：

y=(50-x)(30+2x)=—2x~+70x+1500,

・'.盈利y与x的函数关系式y=-2x~+70x+1500；

(3)解：由(2)即题意得：

-2x12*4+70%+1500=2000,

解得：%=10,无2=25,

••,为了尽快减少库存，

・•・x=25,

答:每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元.

4.B

【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，确定水位上升后的水面高度的是解题

关键.根据题意，正常水位时，水面宽48=16米，可求出当x=8时可有y=-4,再根据水

位上升3米后可知了=-1,将其代入二次函数解析式并求出x的值，即可获得答案.

【详解】解：根据题意，AB=16,

二当x=8时，可有y=---x82=-4,

16

当水位上升3米后，可有夕=-4+3=-1,

将>=T代入>=，

16

1°

可得-「一二/，解得再=-4,=4,

16

.。=4-(-4)=8米.

故选：B.

5,”

4

【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题关键是利用待定系数法求出抛物线

解析式.

本题根据最高点8点的坐标，设出抛物线的顶点式解析式后代入C点坐标，求出解析式，

最后令x=0即可求出OA.

答案第2页，共27页

【详解】解：设该抛物线的解析式为y=a(x-2『+5,

•••C(6,0)在该抛物线上，

•••(6-2)\+5=0

5

CL=---,

16

5

•1•y=-—(^-27)-+5,

5o15

当尤=0时，J=--x(O-2)+5=—,

164

・•・。/的长是?

4

故答案为：--.

4

,15

6.——

4

【分析】设抛物线解析式为y=a(x-h)2+k,将(2,5)与(6,0)代入解析式，求得a的

值，再令x=0,求得y的值，即可得出答案.

【详解】解：设抛物线解析式为y=a(x-h)2+k,

由题意可知抛物线的顶点为(2,5),与x轴的一个交点为(6,0),

*'-0=a(6-2)2+5,解得：a=—二,

16

••・抛物线解析式为：y=~(x-2)2+5

16

5115

当x=0时，y=-—(0-2)2+5=—

164

.•・水管的长度OA是二m.

4

故答案为：—.

4

【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题

的关键.

7.2

【分析】如图所示，建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，根据题意，令》=止即可

得到答案.

【详解】解：如图所示，建立如下平面直角坐标系：

答案第3页，共27页

设抛物线的解析式为>="2,

将(3,-3)代入解析式〉=得到-3=9a,解得a=-；，

12

••'=一§''

根据题意，当X=时，J；=-1X(V15)2=-5,

此时,水面下降5-3=2(米)，

故答案为：2.

【点睛】本题考查二次函数解决实际问题，读懂题意，建立平面直角坐标系求出抛物线解析

式是解决问题的关键.

8.3

2

【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，篮球距离地面最高，则此时篮球处于二次函

数为=-4»+12f的顶点处，把解析式化为顶点式即可得到答案.

【详解】解：.••〃=一4/+12/=-4(〃-3。=一4［一|1+9,-4<0,

・・・当时，力有最大值，即此时篮球距离地面最高，

・•・当篮球在空中的飞行时间为:秒时，篮球距离地面最高，

,3

故答案为：—.

9.①③

【分析】本题考查了二次函数的应用，令〃=0求出时间作差即可判断①，求出二次函数的

顶点即可得到最高高度即可判断②，将L5s,3s代入比较即可得到答案；

【详解】解：当〃=0时，

20/-5?=0>解得：4=0,(=4,

4一。=4,故①正确，

答案第4页，共27页

当1=/0=2时〃最高,

2x(-5)

Amax=20x2-5x2?=20,

故②错误，

当1=1.5时，

A=20X1,5-5X1.52=18.75,

当f=3时，

h=20x3-5x32=15，

18.75>15,故③正确，

故答案为：①③.

10.10

【分析】根据铅球落地时，高度y=o,把实际问题可理解为当y=o时，求X的值即可.

175

【详解】解：当y=0时，y=-^x2+jx+j=0,

解得，x=-2（舍去），x=10.

故答案为10.

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题

意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键.

11.⑴抛物线为y=-V+2x+3,直线NC为>=X+1

⑵Af点坐标为。,2）

（3）面积的最大值为2一7

O

【分析】（1）把点/（TO）及。（2,3）代入了=-/+云+0,利用待定系数法求解解析式即可;

（2）先求解N点坐标为（0,3）,作N点关于直线x=l的对称点N',则N'（2,3）,如图，此时

N,,C重合，当点A,点N，，点〃■点三点共线时，AW+M4的值最小，此时

/（-1,0）,尸（2,3）,再利用一次函数的性质与抛物线的对称轴求解即可；

（3）过点尸作尸。，工轴交/C于点。，交x轴于点“；过点C作CG/x轴于点G,由

=S^PQ+SAcpg=^PQAG,再结合二次函数的性质求解即可.

/、/、（―1—b+c=0

【详解】（1）解：由抛物线y=*+6x+c过点/（TO）及C（2,3）得，

—4+2/7+C=3

答案第5页，共27页

\b=2

解得2，

[c=3

故抛物线为y=--+2x+3

又设直线为＞=履+〃过点，(TO)及C(2,3)得:

一左+〃=0k=\

,解得

2左+〃=3n=l

故直线/C为＞=x+l;

(2)y=~x^+2x+3,

当x=0时，歹=3,

••.N点坐标为(0,3),作N点关于直线x=l的对称点N',则N'(2,3),如图,

此时N',C重合，

由对称知识得MN=7WN',^\MN+MA=MN'+MA,当点A,点N',点M点三点共线时,

跖V+M4的值最小,此时N(-l,0),N'(2,3)

设过NN'的直线为y=x+l,

2,

••・抛物线的对称轴为直线x=-西f=1,当％=1时，y=2,

则初点坐标为(1,2)；

(3)如图，过点P作轴交/C于点0,交x轴于点a；过点C作CG/x轴于点G,

答案第6页，共27页

设0(x,x+l),则尸(x,--+2x+3)

PQ=(-%2+2.x+3)-(%+1)=-x-+x+2

又.•'S"PC=S^APQ+S^CPQ=(PQ*4G=g(—x2+x+2)x3=——+g，

127

••・当'时，面积的最大值为

2o

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，轴对称的

性质，熟练的构建与面积相关的二次函数是解本题的关键.

12.(1)(0,6)；(4,-2)

(2)最大值是B■，点N的坐标为卜,-11

⑶(272,10-8吟或(-272,10+8/)或(4,-2)或(2,0)

【分析】(1)令乂=0可得点C的坐标，将抛物线的解析式配方后可得点M的坐标；

(2)如图1,连接ON,设点N的坐标为，,1^-4a+6),根据国BCN=S、BOC+S^OBN~'、CON

计算后配方即可解答；

(3)先根据待定系数法可求得直线8c的解析式为y=-x+6,设司私-加+6),则

P^m,^m2-4m+6^,分三种情况：①如图2,当尸E=8E时，^m2-3m=V2|m-6|；②

当尸E为对角线时，点P与£的中点在x轴上；③如图3,当PE=P5时，分别列方程可解答

即可求解.

【详解】(1)解：当x=0时，y=6,

・•.C(0,6)；

・•・顶点初的坐标为(4,-2)；

故答案为：(0,6)；(4,-2)；

(2)解：如图1,连接ON,

答案第7页，共27页

y

图i

设点N的坐标为-4a+6

令歹=0时，贝lj；/—4x+6=0,

解得玉=2,=6,

・•・5(6,0),

OB=6,

由(1)知：OC=6,

S&BCN­S^BOC+S&OBN.S&CON

11r1/1度

=—x6x6H—x6x—a2+44。一o----x6。

2212)2

3

=18——/+712。-18—3。

2

3

=——a9+9。

2

3(“27

=一¥"3)+丁

•1---<0,

2

27

.,・当。=3时，SABCN有最大值是彳，

此时点N的坐标为13,-1

(3)解：设直线3C的解析式为歹=履+6,把5(6,0)、C(0,6)代入得,

(6k+b=0

[b=6'

\k=-\

解得八A,

・•・直线BC的解析式为y=-x+6,

答案第8页，共27页

设£（加,-加+6）,则尸4优+6,

2J

PE=—m2—4m+6+m-6|=|—m2—3m8E=西加-6|,

21'2

分三种情况:

①如图2,当尸E=2£时，1•机2-3加=夜同一6|,

.•.gw?2-3m=收（加一6）或g/w。-3m=-6（m-6）,

解得班=6（不合，舍去），m2=272,m3=-2V2,

・••点P的坐标为（2夜,10—8后）或（一2后,10+8后）;

②当尸E为对角线时，

■.-PE1OB,四边形PBE。是菱形，

•••尸£的中点在x轴上，

12,

・•・-m+6+—m-4m+6=0,

2

解得加।=4,m2=6（不合，舍去），

.•.尸（4,-2）；

③如图3,当PE=PB时，贝！I尸石2=尸32,

m2-4m+6+zw-6j=（加一6）?机？-4机+6

|m2-4m+6

2（m-6）=0,

解得班=6（不合，舍去），加2=2,

.•.尸（2,0）；

综上，点尸的坐标为（272,10-8匈或（-272,10+8匈或（4,-2）或（2,0）.

答案第9页，共27页

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积,

菱形的性质等知识，本题综合性较强，掌握二次函数的图象和性质并运用分类讨论思想解答

是解题的关键.

13.(1)^(-1,0),5(3,0),C(0,2)

(2)(3-V13,0)或(3+V13,0)或(-3,0)或(/)

(3)小(2,2)、或/2自8，一28司6、

74

【分析】(1)当y=0时,即0=-/2+gx+2,解方程可得图象与X轴交于点/(一1,0),8(3,0),

当x=0时，＞=2,从而得图象与丁轴交于点C(0,2)；

(2)先利用勾股定理求出8C=jn,再分当BC=AP=g,当尸C=8C时，当PC=PB

时，三种情况讨论求解即可；

(3)分点。在8c上方时和点P在8C下方两种情况讨论求解即可.

24

【详解】(1)解：当y=o时，即0=—§/+§X+2,

解得：再=-1,x2=3.

二图象与x轴交于点/(TO),5(3,0),

当x=0时，J=2,

・•・图象与y轴交于点。(0,2)；

(2)解：”(3,0),C(0,2),

•••BC=^(3-0)2+(0-2)2=V13,

当BC=BP=5,则点尸的坐标为(3-疝0)或(3+而,0)；

当尸C=8C时，•••0C_L3尸，

答案第10页，共27页

OP=OB=3,

二点P的坐标为（-3,0）；

当尸C=P3时，设点P的坐标为（小，0）,

■■PC2=PB2,

（m-0）-+（0-2）"=（m-3）2,

解得加=|>

6

二点尸的坐标为曰0J；

综上所述，点P的坐标为（3-而■,（））或（3+瓜））或（-3,0）除,0

（3）解：当点。在8C上方时，

CQ//AB,即CQ〃x轴，

••・点。与点C关于抛物线的对称轴对称，

74

•••抛物线解析式为了=-§/+三+2,

4

••・抛物线的对称轴为直线x=-一三X=1；

2xbJ

vC（0,2）,

・•・0（2,2）；

当点。在8C下方时，设C。交x轴于点K（加,0）,

答案第11页，共27页

则0K=加,KB=3—m.

・・・ZQCB=NABC,

：.CK=BK=3-m.

在Rt^COK中，0C2+3OK2=CK2,

.•・22+m2=(3—加『，

解得：m=yf

设直线CK的解析式为y=kx+d,

-k+d=O

<6,

(7=2

12

解得：k=--.d=2,

12

・•・直线CK的解析式为y=-+2,

12c

y=-----x+2

5

联立，得

24c

y=—x24—x+2

33

28

%,=0T

解得:…(舍去)，

286

y=----

225

28286

综上所述，点的坐标为（）或

02,2一石

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何

综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

答案第12页，共27页

14.C

【分析】设每天销售量为了个，每个降价无元(0<x<4),商家每天销售纪念品获得的利

润w元，根据题意列出函数关系式即可求解.

【详解】解：设每天销售量为了个，每个降价x元(0<x<4),商家每天销售纪念品获得

的利润坟元，

根据题意得V=300+20x,

则w=(44-40-x)(20x+300)=(4-x)(20x+300),

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键.

15.A

【分析】设小径的宽为xm,阴影部分的面积为加2,根据面积可以列出y与x之间的函数

关系式，再根据二次函数的性质及x的取值范围即可解答.

【详解】解：设小径的宽为XW阴影部分的面积为冲2

由题意得，y=(20-x)(14-x)=x2-34x+280=(x-17)2-9(0<x<1)

a=1>0

二•J有最小值，对称轴为直线x=17,在对称轴的左侧，>随x的增大而减小

0<x<1

...当x=l时，y有最小值，最小值为：7=(1-17)2-9=247

故选：A

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用及性质，利用二次函数的性质是解题的关键.

16.B

【分析】以所在的直线为X轴，以线段43的垂直平分线所在的直线为了轴建立平面直

角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，则可知顶点。的坐标，从而可得此抛物线顶

端。到连桥43距离.

【详解】解：以所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为了轴建立平

面直角坐标系：

答案第13页，共27页

4-30,0),3(30,0),D(15,150),

设抛物线的解析式为y=a(x+30)Q-30),将(15,150)代入，得:

150=a(15+30)(15-30),

解得：a=J2,

.-.y=-|(x+30)(x-30)

=--x2+200,

9

抛物线顶点O的坐标为(0,200),

•••此抛物线顶点。到连桥AB距离为200m.

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题

的关键.

17.A

【分析】首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物

线的对称轴x=J的对称点A，，作点B关于x轴的对称点B，，连接AB，，则直线AB，与直线

x=?的交点是E,与x轴的交点是F,而且易得AB即是所求的长度.

4

【详解】解：如图

答案第14页，共27页

1o

••・抛物线y=x2・；与直线y=x-2交于A、B两点，

2N

13_c

•2»x-x~~~x_2,

22

解得：x=l或x=；,

当x=l时，y=x-2=-l,

当x=：时，y=x-2=-|，

二点A的坐标为（:，得），点B的坐标为（1,-1）,

2乙

,11

•••抛物线对称轴方程为：X=-2=7

--------4

2x1

作点A关于抛物线的对称轴x=y的对称点N,作点B关于x轴的对称点B',

连接AB，，

则直线AB，与对称轴（直线x=J）的交点是E,与x轴的交点是F,

4

.•.BF=B'F,AE=A'E,

•••点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A,E+EF+FB,=A,Bf,

延长BBQAA，相交于C,

.•.A,C=-+-+（1--）=1,BC=1毋工，

44222

:.AB.[A'C+B'C=建~.

2

•••点P运动的总路径的长为叵.

2

故选A.

【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的综合应用.注意找到点P运动的最短路径是解此

题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用.

18.A

答案第15页，共27页

a

【分析】先求出点C(0,3),点吗0),然后得到y=/+6x+3,设点B为(x,V+8+3),

再根据坐标关系求出x和6,就解决问题了.

【详解】解：由图像y=-2x+3知：

点C(0,3),点峙0)

即c=3,

二歹=+bx+3,可设B(X,%2+bx+3),

过点B作BOLx轴于点D,则轴，如图：

-.AC=1:3fAO:OD=1:2

・•・OC:DB=1:3,

3

•・・OC=3,04=一,

2

；.BD=9,OD=3,

•・・点B在第二象限，

x=-3x=-3

,解得:

x2+bx+3=9b=l

..「6+3=（心+%

二顶点坐标是

故选：A.

【点睛】此题主要考查函数图象与坐标关系，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握所学

的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题.

19.9

【分析】此题利用配方法求二次函数最值的方法求解即可;

答案第16页，共27页

【详解】•••5=12/—4/=一41一+9,

.•.汽车刹车后直到停下来前进了9m.

故答案是9.

【点睛】本题主要考查了二次函数最值应用，准确化简计算是解题的关键.

91

20.—##2—##2.25

44

【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立平面直角坐标系，设二次函数顶点式,

求出二次函数解析式，再求出抛物线与y轴交点坐标即可.

【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，

设抛物线的解析式为y=a(x-iy+3,

将(3,0)代入，得a(3-iy+3=0,

3

解得。=一:，

4

・•・抛物线的解析式为：y=-1(%-1)+3,

9

令x=0,得尸:，

4

9

故答案为：—.

4

21.0<£(6且，。3

【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，当f=o时，得。/=gm,再当y=g时，解

得片0或/=6,进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键.

【详解】解：由图得：

当?=0时，y=一(,_3)2+5=_：(0-3)2+5=_g+5=当，

即CM=gm.

答案第17页，共27页

当y时，一（«_3）2+5=£,

解得：，=0或£=6,

・•・当0"W6且办3时，物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，

故答案为：0VW6且《。3.

22.6

【分析】以直线”作为V轴，以地面为X轴，由题意可得，抛物线的顶点为经过点

（0,2）,设抛物线解析式为y=a（x-l）2+t,将（0,2）代入求出完整解析式，再表示出将喷头

再调高4米后的抛物线解析式，将V=。代入求解即可.

【详解】解：以直线以作为丁轴，以地面为x轴，

由题意可得，抛物线的顶点为“,经过点（0,2）,

09

••・设抛物线解析式为y=a（x-1）2+不

a

将（0,2）代入可得：a+-=2,

解得：

4

1,o

••・抛物线解析式为了=

•••将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，

1,919?5

••・调高后的抛物线角军析式为y=—1一+二+4,即了=_（x_lp+二,

4444

将>=0代入得，一：（无一1）一+3=0,

44

整理得：（x-l）?=25,

x=±5+1,

解得：占=6,x2=-4（舍去），

二将喷头再调高4米后，喷射的水柱落地点与O的距离为6米，

故答案为：6.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意、正确求出抛物线的解析式是解题的关键.

23.0.4

【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB中点为原点，建立坐标系xOy,通过已

知线段长度求出A（l,0）,B（-1,O）,由二次函数的性质确定丫=a*2—a,利用PQ=EF建立

答案第18页，共27页

等式，求出二次函数中的参数a,即可得出EF的值.

【详解】

解：如图，令P下方的点为H,以AB中点为原点，建立坐标系xOy,则A(l,0),

B(-1,O),

设抛物线的方程为y=ax2+bx+c

二抛物线的对称轴为x=0,则-乡=0,即b=0.

2a

•••y=ax2+c.

将A(l,0)代入得a+c=0,则c=—a.

•••y=ax2—a.

••・OH=2X』X；=0.2,则点H的坐标为(-0.2,0)