一次函数压轴训练（单元复习7类压轴）解析版-2024-2025学年苏科版八年级数学上册

一次函数压轴训练（7类压轴）

01压轴总结

目录

压轴题型一两个一次函数图象共存问题..........................................................1

压轴题型二一次函数中的规律探究问题..........................................................3

压轴题型三动点问题的函数图象................................................................7

压轴题型四一次函数与三角形的综合问题.......................................................11

压轴题型五一次函数中折叠问题...............................................................19

压轴题型六一次函数一一分段函数.............................................................27

压轴题型七新定义型一次函数.................................................................32

03压轴题型

压轴题型一两个一次函数图象共存问题

例题：（23-24八年级上•江苏扬州•阶段练习）如图，一次函数>=sx+”与了=»I〃X（WN0,"W0）在同一坐标

【答案】D

【分析】本题考查了正比例函数与一次函数的图象和性质，分加、〃同正，同负，一正一负，分别判断出正

比例函数和一次函数的图象经过的象限即可得出答案.

【详解】解：①当7M">0时，"2、"同号，'="机X过一、三象限，

m,〃同正时，>=+〃经过一、二、三象限；同负时，过二、三、四象限；

②当加“<0时，加、〃异号，y=过二、四象限，

m>0,〃<0时，了="江+"经过一、三、四象限；m<0,a>0时，了=机工+〃过一、二、四象限;

结合各选项可知。正确,

故选：D.

巩固训练

1.在同一平面直角坐标系中，函数了=-"a（"2*0）与y=2x+加的图象大致是（）

，朱.长

【答案】B

【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象；

分加>0和%<0,分别根据正比例函数和一次函数的图象与系数的关系判断即可.

【详解】解：当加>0时，函数了=-蛆（加*0）过二、四象限，函数y=2x+加过一、二、三象限，选项8中

函数图象符合；

当a<0时，函数了=-mx（%w0）过一、三象限，函数y=2x+%过一、三、四象限，均不符合；

故选：B.

2.（23-24八年级上•河南焦作•期末）在同一平面直角坐标系中，函数〉=履和y=x+左（左为常数，k<0）

【答案】D

【分析】本题考查了一次函数的图象与性质；根据一次函数的图象确定两个函数经过的象限及升降，即可

作出判断.

【详解】解：；了=h和〉=x+左（左为常数，k<0）,

.•・函数〉=依过原点，且经过二、四象限，图象是下降的；一次函数〉=工+人的图象经过一，三、四，且图

象是上升的，

故4B、C不合题意，

。选项符合题意；

故选：D.

3.（2024上•广东揭阳•八年级统考期末）正比例函数了=b（左力0）和一次函数y=x-左在同一个直角坐标系

【分析】本题主要考查了正比例函数图像与一次函数图像，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题.分

左＞0和左＜0两种情况讨论：当4＞0时，分析两函数图像经过的象限；左＜0时，再分析两函数图像经过的

象限，即可获得答案.

【详解】解：分两种情况：

①当上＞0时，正比例函数〉=h的图像过原点，且过第一、三象限，

而一次函数y=x-左的图像经过第一、三、四象限，无选项符合；

②当万＜0时，正比例函数了=h的图像过原点、且过第二、四象限，

而一次函数y=x-左的图像经过第一、二、三象限，选项。符合.

故选：D.

压轴题型二一次函数中的规律探究问题

例题：（23-24八年级上•山东济南•期末）如图，在平面直角坐标系中，点4，4,4，……都在x轴上，

点g,B2,旦……都在同一条直线上，“4风，△区44，△为44，△员44，八B遇4……都是等腰直

角三角形，且44=1,则点外向的坐标是

【答案】（2的-1,2物）

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，一次函数等知识，解题的关键用列举法找到规律后再解答.先

求出直线解析式，再根据题意分别求出名，B2,B3,……的纵坐标，再代入函数表达式中，求出横坐标,

即可得到答案.

【详解】解:平面直角坐标系中的直线过点(-1,0),(0,1),

函数表达式为y=x+i.

44纥,△444，领44，△与aa，AB'B2A3……都是等腰直角三角形，且力4=1,

•••巴的纵坐标为1,

B2的纵坐标为J2+2=2=2],

员的纵坐标为V8+8=4=2"

424的纵坐标为22。23,

把B2024的纵坐标为223代入y=X+1中，

解得X=2"23_l,

二点％4的坐标是(2块3-1,2.3).

故答案为：(22023-L22023)

巩固训练

1.(23-24八年级上•山东济南•期末)平面直角坐标系中，点4,A2,4,…在直线y=+b上，点

片，B2,%…在工轴上，△。/苗心月4不0名儿用…是等腰直角三角形.AOAXBX=ZB^2B2=ZB2A3B3=90°,

如果点4(1,1),那么4的纵坐标是.

【分析】过点4作轴于G，过点4作轴于G，过点4作4c3轴于设4G=〃L

4G=〃，分别求出点a的坐标为（2+〃z,加），点4的坐标为（2+2机+〃，〃），由点4（1,1）在直线y=gx+6

上得出该直线的表达式为：y=3+g由点4（2+加，加）在直线y=上，得出加=|,再由点

4（2+2;〃+〃，〃）在直线y=gx+g上，得出4〃=6+2机，代入%=|■求出”的值即可.

【详解】解：如图，过点4作轴于£,过点4作轴于02,过点4作4G，x轴于G，

•・•点4（1，1）,

0C]=4G=1,

・•・△。4与为等腰直角三角形，且/。4耳=90。，

:.0B[=20G=2,

同理可得：A2C2-BXC2-m,B'B?=2B©2=2m,?13C3=B2C3-n,

0C2-OBX+5c2=2+加，OC3=OB、+B'B?+B2c3=2+2m+n,

二点4的坐标为（2+机，"Z）,点4的坐标为（2+2加+〃，«）,

•・•点4（1,1）在直线y=（x+6上，

1=：xl+b,

4

解得：b=-9

14

•••该直线的表达式为：V+

・・•点4（2+如加）在直线＞=（x+g■上，

1r、4

:.m=—（2+m）+—,

5V75

3

解得：in.，

•・・点4（2+2加+〃，〃）在直线歹=/+：上，

n——1（2小+2m「+〃、）H—4,

整理得：4n=6+2m,

39

将=—代入4〃=6+2加得：n=—,

24

9

.・•点4的纵坐标为彳，

9

故答案为：—.

4

【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数图象上的点，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次

函数的图象，等腰直角三角形的性质，理解一次函数图象上的点满足一次函数的表达式是解决问题的关键.

2.如图，在平面直角坐标系中，直线/：y=x-i与X轴交于点4,以为一边作正方形O/4G，使得点G

在y轴正半轴上，延长C0交直线于点应，按同样方法依次作正方形Ci^^G、正方形G483c3…、正方形

CH.C",使得点4、C4、…4均在直线/上,点G、G、。3、…G在了轴正半轴上，则点鸟期的横坐标

是.

【答案】22023

【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型.根据一次函数图象上点的坐标特征结合正

方形的性质，可得出点4、4的坐标，同理可得出4、4、4、…的坐标，进而得到与、居、与、…的横坐

标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论.

【详解】解：当y=o时，有％-1=0,

解得：X=1,

点4的坐标为（，0）.

•.•四边形44为正方形,

・•・点区的坐标为(1,1).

同理，可得出：4(2,1),4(4,3),4(8,7),…,

•••当的横坐标为2,员的横坐标为4,功的横坐标为8,

纥的横坐标为2"_(〃为正整数)，

•••点为期的横坐标是22°23.

故答案为：22023.

压轴题型三动点问题的函数图象

例题：动点〃以每秒1厘米的速度沿图1的边框(边框拐角处都互相垂直)按从-C-D的路径匀速

运动，相应的的面积S(cn?)与时间f(s)的关系图象如图2,已知4D=4cm,设点，的运动时间为,

秒.

图1图2

(1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为,因变量为；

(2)BC=,a=,b=；

⑶当AHAD的面积为8cm2时，求点F的运动时间t的值.

【答案】(1)8的运动时间，△出1。的面积

(2)4,14,10

(3)4s或10s

【分析】(1)根据图象可以知道横轴表示时间，纵轴表示路程，据此可以得到答案；

(2)由题意可知，点H在3c上运动时△出1。的面积不变，在结合图象即可求得答案;

(3)分两种情况，由三角形面积可得出答案.

【详解】(1)解：由图象可知，自变量为：，的运动时间，因变量为：△"4。的面积，

故答案为：”的运动时间，△///£＞的面积；

(2)•,•动点X按从4-8-C-O的路径匀速运动，

由题意可知，点〃在8c上运动时的面积不变,

AB=5,BC-9—5=4,则C£>=5,

；.q=9+5=14,b==；x4x5=10,

故答案为：4,14,10；

(3)当7/在3c上时，△H/。的面积为：；/〃/B=gx4x5=10cm2,

当的面积为8cm2时，可分两种情况：

当〃在48上时，S^HAD=~^AD'=8cm2,贝(]/H=4cm,

・•・£=4+1=4s,

2

当H在C£＞上时，S^HAD=^ADDH=Scm,则。H=4cm,

综上，当的面积为8cm2时，求点尸的运动时间/为4s或10s.

【点睛】本题考查了动点问题的图象，三角形的面积，坐标与图形的关系等知识，解决问题的关键是深刻

理解动点的图象所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程，从图象中获取相关的信息进行计算.

巩固训练

1.如图1,ZB=ZC=90°,AB=2CD,点尸以每秒1c加的速度从3点出发，沿3—C-D路线运动，到。

停止.如图2,反映的是△月8尸的面积S(cm?)与点p运动时间x(秒)两个变量之间的关系.

图1图2

(1)指出C。的长度，并求加的值；

(2)当点尸在线段BC上运动时，直接写出因变量S与自变量x的数量关系.

【答案】⑴co=2cm,加=12

(2)S=2x(0<x<6)

【分析】(1)根据图2可得：点尸在2c上运动了6秒，在CD上运动了2秒，进而求出2C=6,0=2,

再根据/H=SMBC求解即可;

(2)根据三角形的面积公式解答即可.

【详解】（1）根据图2可得：点尸在3C上运动了6秒，在。上运动了2秒,

•・•点P以每秒1cm的速度从B点出发的，

.-.BC=6,CD=2,

：.AB=2CD=4,

=S./BC=；x4x6=12；

CD=2cm,m=12；

（2）当点尸在线段3c上运动时，即当0<xW6时，S=-x-AB=-xx4=2x.

22

【点睛】本题考查了利用图象和关系式表示变量之间的关系，正确理解题意是关键.

2.如图1,四边形/BCD是一个长方形，一动点尸在长方形45CD边上运动，设点尸运动的路程为xcm,

△“尸。的面积为Sen?,S与x的关系图象如图2所示.

图1图2

⑴动点尸从点/出发，沿路线Cf。运动到点。停止，已知点P在48边上运动时的速度为

lcm/s,在8c边上运动时的速度为2cm/s,在CD边上运动时的速度为3cm/s.根据图2可知，CD=

cm；

（2）在（1）的条件下，求出点尸由点/运动到点。的总时间；

（3）如图3,在长方形/BCD的对角线/C上取一点"，使得点M到边相的距离=到边8c的距

离MF=pB,若动点尸从点/出发，以4cm/s的速度沿路线4-3fC运动.同时，动点0从点C出发，

以2cm/s的速度沿路线Cf/运动（尸，。中一点先到达终点时，另一点停止运动）.连接尸M,QM,

PQ,设运动时间为fs,AMP。的面积为用cm?,当点P,。不在同一边上运动时，求出少与/的关系式.

【答案】（1）10

-4t2+llt|o<f<|

⑶少=<

-4/+357-64（3<f<4）

【分析】(1)根据图象可知点尸从点A出发，到终点。的路程为26cm,点C的路程为16cm,即可求得答

案；

(2)由题意可知48=10cm,3C=6cm,利用时间=路程+速度即可求解；

(3)分三种情况：当Owg时，当g<Y3时，当3<区4时，分别进行讨论即可

【详解】(1)解：由图象可知，点P从点A出发，到终点。的路程为26cm,点C的路程为16cm,

CD=26-16=10cm,

故答案为：10；

(2)•・•四边形是长方形，

/.AB=CD=1Ocm,

/.BC=16=10=6cm,

则点P由点A运动到点。的总时间为F+9+¥=?s；

(3)由(2)可知48=10cm,BC=6cm,

则Affi=L8C=3cm,MF=-AB=5cm,

22

若走完全程，点户运动的总时间为，4s,点。运动的总时间为号=8s,

点、P在AB上运动的时间为日Js,点。在3c上运动的时间为q=3s,

当owg时，此时点尸在4B上，点。在2C上，

则/尸=4%,8尸=10-书，CQ=2t,BQ=6-2t,

・•.AMPQ的面积为w=S△袒c-S丛APM_S^CQM_S^BPQ

=1x6xl0-1x3-4?-1x5-2?-1(10-4?)(6-2/)

=-4/2+lk

当时，此时点P在BC上，点0在BC上，不符合题意,

当3<fW4时，此时点P在2c上，点。在48上,

则3尸=4%-10,CP=16—4,,BQ=2t—6,AQ=16—2t,

•••AMPQ的面积为w=SAABC-S^AQM-s&CPM.S^BPQ

=1x6xl0-1x3-（16-2?）-1x5-（16-4z）-1（4^-10）（2z-6）

=—4t~+35f—64,

-4t2+llt0<Z<|

综上，少=

一4”+35—64（3<r<4）

【点睛】本题主要考查了动点问题的图象，在解题时要能根据图象求出N8,BC,CD,并表示出相应线

段的长度是解决问题的关键.

压轴题型四一次函数与三角形的综合问题

444

例题：（23-24八年级下•北京西城•开学考试）如图，直线＞=-§x+4与了轴交于点/,与直线了=1尤+］交

一44

于点2,且直线y=］彳+］与x轴交于点C,求AA8C的面积.

【答案】"8C的面积为4

【分析】此题考查一次函数与坐标轴的交点坐标的求法，两个一次函数交点的坐标的求法，理解方程及方

程组与一次函数的关系是解题的关键.先根据函数解析式分别求出点/、B、C、。的坐标，再根据ZU3C

的面积的面积-△BCD的面积求出答案.

44

【详解】解：令y=-§x+4中y=0,得-§x+4=0,

解得：x=3,

.•必3,0),

4

令y=-§x+4中x=0,得y=4,

・・.4(0,4),

4

y=——x+443

x二一

解方程组J4"2,

y=­x+—尸2

55

*2,

过点5作轴，贝lj3H=2,

4444

令y中》=o，得。=丁+1，解得:x=-l,

.-.C(-1,O),

・・.CD=4,,

•*,S&ABC=S&ACD_SABCD

=-CDAO--CDBH

22

一一

=­1x4x4—1x4x2

22

=4.

巩固训练

I.（23-24八年级上•贵州贵阳•期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数必=x+2的图象与x轴，y轴

分别交于点A,8,%=-；x+b的图象与x轴，V轴分别交于点且两个函数图象相交于点C（机,5）.

⑴填空：b=;

(2)求ANCD的面积；

(3)在线段4D上是否存在一点M,使得的面积与四边形的⑺C的面积比为4:21?若存在，诸求出

点”的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴6=6

(2)A/CD的面积为50

(3)存在点且M(6,0)

【分析】(1)本题考查了一次函数的性质，解题的关键是将C(m,5)代入一次函数.％=x+2与%=-;x+b；

(2)本题考查了一次函数的性质、三角形的面积，解题的关键是掌握一次函数的性质，求出点/、2、D

的坐标；

(3)本题考查了一次函数的性质，解题的关键是求出

【详解】(1)解：(加,5)是一次函数必=x+2与%=-}+6的图象的交点，

:.m+2=5,解得加=3,

.gx3+b=5,解得6=6；

(2)一次函数必=x+2中，当必=0时，x=-2；当尤=0时，乂=2,

.'.^(-2,0),5(0,2),

一次函数%=-；x+b中，当必=0时，x=18,

.­.0(18,0),

AD=18-(-2)=20,

ANCD的面积为:x20x5=50；

(3),「△JW的面积与四边形的面积比为4:21,S^ACD=50,

•••5(0,2),

设贝！|4Af=x+2,

SAABM=1x2x(M7+2),

.,.；*2x("?+2)=8,

解得：祇=6,

•・・存在点M,且M（6,0）.

2.（23-24八年级上•浙江绍兴•期末）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数＞=2x-l的图象分别与x

轴，y轴交于点/,3,点C的坐标是（3,0）.

（1）求直线3c的函数表达式；

（2）若直线4B上有一点P,且邑咏=2S，”c，求点P的坐标；

（3）直线3c上方是否存在一点使得M、8、C三点构成的三角形与“3C全等？若存在，请直接写出点M

的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=$T

⑵尸（一1厂3）或尸（1,1）

（3）点呢,0）或初（2,；）

【分析】本题主要考查待定系数法求解析式、两点之间的距离和全等三角形的性质，

（1）先求出点8的坐标，然后用待定系数法即可求出直线3c的函数表达式.

（2）先求出A点坐标，再结合S#BC=2S“BC，利用几何关系分别求得点P的纵坐标，即可求得点P;

（3）分情况：当AABC”AMBC,则点M即为点N；当AABCAMCB,求得过点/与直线3C平行的直

线/的表达式，设点根据全等得性质和两点之间的距离即可求得°,进一步求得点

【详解】（1）解：一次函数＞=2x-l的图象与＞轴交于点8,

・••当x=0时，》=T,

.­.S(o,-1),

又C(3,o)

设直线的函数表达式为：y=kx-\,

把C(3,0)代入>=依-1,

解得：k=；,

•••直线3C的函数表达式为：y=1x-l.

(2)一次函数y=2x-l的图象与x轴交于点4

.,.当y=o时，x=；,

设42上有一点尸(X,2x-1)使得国PBC-2,4ABe'

如图，

SAPAC=3S“BC，得解得力=-3,则点P(T-3)；

S、RAC=S^ABC，得gzC，%，解得力=1，则点月(11)；

综上所述，点尸(-1,-3)或尸(1,1).

(3)①当AABCRxMBC,则点”即为点/,此时点A/g,。］

②当"BC、MCB,

设过点/与直线8c平行的直线l-.y=^x+b,

代入心，。［，

解得l'y=\x~\，

36

■：MC=AB,AB2=^,MC2=(a-3)2+Qa-1^|,

7

・•・4=2,%=J(舍去)，

则点/01),

故点或〃卜,，.

4

3.(23-24八年级上广东梅州•期中)如图：直线＞=履+3与无轴、V轴分别交于A、8两点，OA=-OB,

(1)求直线的解析式；

(2)作直线。C,当点C运动到什么位置时，的面积被直线OC分成1:2的两部分；

(3)过点C的另一直线CD与y轴相交于。点，是否存在点C使△BCD与。05全等？若存在，求出点。的

坐标；若不存在，说明理由.

3

【答案】⑴直线的解析式为y=-^x+3；

(2)当点C运动到||，1］或的位置时，的面积被直线0C分成1：2的两部分

(3)存在，点C的坐标为(n)或［-［■，笥］或(-4,6).

【分析】(1)由〉=丘+3得0=3,根据O4=go8,得工(4,0),利用待定系数法即得直线的解析式为

(2)可得A4OB的面积=%瘀=g0408=6,当=1：2时，=2,可得gx4x%=2,外=1,

即得当%oc：Suoc=1：2时，同理可得c1]"；

(3)在RtAAOB中，。4=4,OB=3,AB=^OA2+OB2=5，分两种情况①若A4OB必DCB,②若

%时，分别求解即可.

【详解】(1)解：在歹=履+3中，令x=0得y=3,

•■.5(0,3),08=3,

4

\'OA=-OB,

3

/.CM=4,

44,0),

把/(4,0)代入歹=履+3得：

3

0=4左+3,解得k=—■-,

4

3

・・・直线AB的解析式为y=-,+3；

4

(2)解：・；OB=3,04=4,

的面积=S“="OB=；x4x3=6,

介=1,

在y=_：x+3中令了=1,得尤=|，

.-.CIT

当%。c：%g=l：2时，如图:

2

止匕时SAAOC=~SAAOB=4，

二.万CM,我=4,即5x4xJ。=4,

Pc=2,

34

在V=一7+3中令尸2,得1=

综上所述，当点C运动至4|，1)或($2］的位置时，008的面积被直线0C分成1：

2的两部分;

(3)解：存在点C,使ABCD与40B全等,

在RtzX/03中，。4=4,05=3,

AB=^OA2+OB2=5，

①若AAOB当ADCB,过C作CO_L/8交V轴于。，过C作CH_LQ4于H,如图:

BD=AB=5,BC=OB=3,

.-.7)(0,-2),AC=AB-BC=2,

+,则0//=(AH=4-t,CH=~t+3,

而际+"=/。2,

2

(4-02+[-1/+3

I=4,

19OQ

解得"葭或f=m,

当f=g时，止匕时CD=4,符合题意，

当时，c[g，-：，此时CD=4后WON,不符合题意，舍去,

同理可知，AAOBmAD'C'B时，

BD'=AB=5,BC'=OB=3,C'D'=OA=4,

.\ACr=8,

同理可得°(卜《12，石24、》

②若小以丝△C05时，如图：

：.BD=OB=3,ZCDB=ZAOB=90°,

・•・。(0,6),

3

在y=_：x+3中，令y=6得工二—4,

4

AC(-4,6),

止匕时CD=O/=4,BC=AB=5,符合题意，

综上所述，点C的坐标为或卜或(一4,6).

【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题.

压轴题型五一次函数中折叠问题

例题：以长方形CM2C的OC边所在直线为X轴，。/边所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示，已

知。/=8,OC=1Q,将长方形O/8C沿直线ND折叠，点5恰好落在龙轴上的点E处.

(1)求点E的坐标；

(2)求直线ND的解析式；

(3/轴上是否存在一点p,使得△尸ND的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴E(6,0)；

(2)y=_；x+8；

(3)存在,尸［R°).

【分析】(1)利用勾股定理求OE的长可得E的坐标；

(2)先根据折叠设未知数，利用勾股定理列方程可求的长，得。的坐标，利用待定系数法求直线/D

的解析式；

(3)根据轴对称的最短路径，作A关于点。的对称点H(O,-8),连接交x轴于P,此时启力。的周长

最小,利用待定系数法求直线4D的解析式，令歹=0代入可得户的坐标.

【详解】(1)由折叠得：AB=AE=\Q,

■■ZAOC=90°,CM=8,

由勾股定理得：OE=6

.•.E(6,0)；

(2)EC=OC-OE=10-6=4,

设DB=x,贝ljDE=BD=x,DC=8-x,

RSEDC中，由勾股定理得：DE2=DC2+EC2,

・・・x2=(8-x)2+42,

解得：x=5,

.*.Z)C=8-5=3,

v2)(10,3),

设直线40的解析式为：y=kx+b,

将4(0,8),0(10,3)代入解析式，得：

「10左+6=3k=-~

,。，解得：2,

伍=81=8

・•・直线的解析式为：y=-1x+8；

(3)存在，作A关于点。的对称点4(0,-8),

连接HO交无轴于P,此时APND的周长最小,

10左+〃=3k7,=—11

人。，解得：10,

4=-8

二直线的解析式为：>='无一8；

on

当k0时，x

.-.P"4

【点睛】此题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、轴对称日最短路线问题、利用待定系数法求直线的解析

式，熟练掌握折叠的性质是关键.

巩固训练

4

1.(23-24八年级上•广东深圳•期末)如图，已知直线y=+8与无轴，V轴分别交于点A和点B,M为

线段03上一点，若将ANBM沿折叠，点8恰好落在X轴上的点长处.

(1)求A,8两点的坐标.

(2)求直线的函数表达式.

【答案】⑴2(6,0),5(0,8)

(2)直线AM的解析式为y=~x+3.

【分析】(1)本题考查一次函数与坐标轴的交点，根据x轴上的点y=0,V轴上的点x=0,代入求解即可.

(2)本题根据勾股定理得出的长，设0M=。，利用折叠的性质，推出5似=B'M=8-。，AB=AB',

又0夕=49-04,在区以。河长中通过勾股定理求得。，给出”的坐标，再利用待定系数法即可求得直线4"

的解析式.

【详解】⑴解：当x=0时，有＞=-｝。+8,解得了=8,即8(0,8),

当尸0时，有-白+8=0,解得x=6,即4(6,0).

(2)解：设(W=a,则3M=8-。，

将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点9处.

:.BM=B'M=8-a,AB=AB',

,/OA-6,OB=8,

AB'=AB=y]OA2+OB2=10，

:.OB'=AB'-OA=4,

.,.在RtA(W5,中，a2+16=(8-«)2,解得a=3,

设直线AM的解析式为y=kx+3,

将(6,0)代入解析式，有6k+3=0,解得左=-；，

•••直线AM的解析式为y=-1x+3.

【点睛】此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股

定理等知识，解答本题的关键是求出。拉的长度.

2.(23-24八年级上•江苏宿迁•阶段练习)如图，在直角坐标系中，长方形纸片/BCD的边N3〃C。，点2

坐标为(18,6),若把图形按如图所示折叠，使8、。两点重合，折痕为防.

(2)求E尸的函数表达式;

⑶求折痕所的长.

【答案】(1)见解析

(2)j；=-3x+30

(3)2A/T0

【分析】(1)根据平行线的性质和折叠的性质求出=得到OE=O尸即可；

(2)在Rtz\O/E中，利用勾股定理求出NE,进而得到OE,可得点£、尸的坐标，然后利用待定系数法求

E尸的函数解析式即可；

(3)利用两点间距离公式求解即可.

【详解】(1)证明：•••48〃。。，

NBEF=ZOFE,

由折叠得：NBEF=NOEF,

：.ZOEF=ZOFE,

：.OE=OF,即S所为等腰三角形；

(2)解：••,8(18,6),

：.OC=AB=\?>,OA=BC=6,

由折叠得：0E=BE=18-AE,

在RtZXO/E中，OA2+AE2=OE2,即62+/片2=。8-

解得：AE=8,

.•・£(8,6),OE=n-AE=\Q,

OF—OE=10,

••1(10,0),

设直线E尸的函数表达式为y=h+6（左NO）,

/、/、[Sk+b=6

代入£（8,6）、尸（1。,。）得：].+6=。,

解得:1（k=0-3，

••・直线EF的函数表达式为片-3x+30；

（3）•；E（8,6）,尸（10,0）,

•••EF=^（8-10）2+62=2M.

【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，待定系数法的应用，坐

标与图形性质，熟练掌握折叠的性质，求出点E、下的坐标是解题的关键.

3.（23-24八年级上•广东佛山•期中）已知：有一张RtZX/OB纸片，。4=4,08=8.如图，将其放在平面

直角坐标系中，点C在线段03上，点。在线段4B上，将△BCD沿CD折叠得到AECO（点8与点E重

（1）求直线的表达式；

（2）如图1,当点E恰好落在点（0,2）时，求OC的长；

（3）当点。固定在点（2,加）时，OE交x轴于点尸，设点C为（%0）,当AMC为直角三角形时，求“满足的条

件.

【答案】⑴)=-gx+4；

(2)0C的长为，；

(3)〃=匕至或35或5或T.

22

【分析】(1)利用待定系数法即可求解；

(2)设OC=x,由由折叠的性质得CE=CZ?=8-x,在RSOCE中，利用勾股定理列式计算即可求解；

(3)分四种情况讨论，当点C在线段。8上，ZECF=90°；当点C在线段05上，2EFC=90°；当点C

在2。延长线上，NEC尸=90。；当点C在20延长线上，NEFC=90。；利用勾股定理求解即可.

【详解】(1)解：•・•。/=4,08=8,

.•.2(0,4),8(8,0),

设直线48的表达式为了=履+4,贝|0=8k+4,

解得一；，

••・直线AB的表达式为y=+4；

(2)解：设0C=x,

,・,点£恰好落在点(0,2),

■.OE=2,由折叠的性质得C£=CB=8-x,

在RtAOCE中，CE2=OE2+OC2,即(8-x1=2?+x?,

解得x=?，

4

■■■OC的长为：；

4

(3)解：,点。固定在点(2,加)，则〃z=-gx2+4=3,

.­.£>(2,3),

作DGL02于点G,

:.DG=3,OG=2,BD=F+(8-2)2=3忖

当点C在线段03上，NEC尸=90。即C£_LO3时,

由折叠的性质得/DCE=Z£>C5=1（360°-90°）=135°,

ZDCE=ZDCB=^（360°-90°）=135°,

NDCG=135°-Z.ECF=45°,

XDCG是等腰直角三角形，

:.CG=DG=3,贝I|OC=5,

・•・〃=5；

当点C在线段。5上，N£^尸C=90。即CE_LO8时，

由折叠的性质得。£=。8=3后，CE=CB=8-n,

.•代=3石-3,CF=n-2,

在RtZXCE/中，CE2=EF2+FC2,即(8-4=9石-3『+(〃-2)2,

解得

2

当点。在50延长线上，NEC产二90。即C£_LO5时，

同理证得ADCG是等腰直角三角形,

CG=DG=3,贝!JOC=3-2=1,

•••〃=一］;

当点C在30延长线上，NE尸C=90。即CELO8时,

由折叠的性质得。£=。8=3括，CE=CB=8-n,

••・£尸=3指+3,CF=2-n,

在RtZXCE尸中，CE?=EF?+FC?,即(8—〃了=(36+3『+(2—〃丁

解得n=--;

2

综上，〃=匕豆!或匕±5或5或T.

22

【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，考查了勾股定理，二次根式的混合运算，坐标与图形，折叠的

性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.

压轴题型六一次函数一一分段函数

例题：在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程.小

fx-l(x<3)

红对函数歹=»的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：

[2(x>3)

(1)请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：

X-10123456

-2-10222

y

（2）根据函数图象，以下判断该函数

性质的说法，正确的有.

①函数图象关于y轴对称；

②此函数无最小值；

③当x<3时，夕随x的增大而增大；当xN3时，y的值不变.

x-l(x<3)

（3）若直线y=与函数>=的图象只有一个交点，则6=

2(x23)

【答案】（1）见解析；（2）②③；（3）y

【分析】（1）根据所给的函数解析式填表，然后描点连线即可得到答案；

（2）根据函数图像进行逐一判断即可；

（3）根据函数图像可知，只有当直线y=+b经过点（3,2）时，才满足题意，由此求解即可.

【详解】解：（1）列表如下：

X-10123456

-2-1012222

y

函数图像如下图所示:

X

（2）根据函数图像可知，这个函数图像不关于y轴对称，故①错误;

观察函数图像可知，此函数没有最小值，故②正确；

观察图像可知当x<3时，歹随x的增大而增大；当定3时，y的值不变，故③正确;

故答案为：②③；

1X-1(X<3)

(3),・,直线y=嗟%+b与函数歹只有一个交点，

2[2(%>3)

・•・根据函数图像可知，只有当直线y=+b经过点(3,2)时，才满足题意,

.*.2——x3+Z?,

2

【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的图像与性质.

巩固训练

1.我们学习了正比例函数、一次函数的图象与性质后，进一步研究函数y=|x|的图象与性质.

-[x(x>0)

ci)我们知道y=M=\；、,请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象；

[-x(x<0)

(2)通过观察图象，写出该函数的一条性质：―；

(3)利用学过的平移知识，说说函数y=|x-4|+l是怎样由函数夕=恸平移得来的？并利用(1)中给出的

平面直角坐标系画出函数y=|x-4|+1图象.

【答案】(1)见解析；(2)当尤>0时，y随x的增大而增大；(答案不唯一)(3)由函数>=网向右平移4

个单位，再向上平移1个单位得来的，见解析.

【分析】(1)通过列表、描点、画图，在平面直角坐标系中画出函数了=Ix|的图象：

(2)根据图象得出结论：

(3)根据平移的性质即可求得.

【详解】解：⑴列表：

X-3-2-10123

y3210123

描点、连线画出函数的图象如图:

(2)由图象可知，当x>0时，V随x的增大而增大(答案不唯一)，

故答案为当x>0时，了随尤的增大而增大(答案不唯一)；

(3)函数>=心-4|+1是由函数y=|x|向右平移4个单位，再向上平移1个单位得来的，

利用(1)中给出的平面直角坐标系画出函数>=|x-4|+l图象如图所示.

【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，坐标与图形变换-平移，能根据图象得出正确信息是解此题的

关键.

2.有这样一个问题：探究函数y=|x+l|的图象与性质.下面是小明的探究过程，请补充完整:

(1)函数y=|x+l|的自变量x的取值范围是；

(2)下表是x与y的几组对应值.

X-5-4-3-2-10123

y432m01234

m的值为；

(3)在如图网格中，建立平面直角坐标系》帆，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象;

(4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质.

【答案】(1)任意实数

(2)1

(3)见解析

(4)见解析

【分析】(1)根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围;

(2)根据函数解析式可以得到优的值；

(3)根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；

(4)根据函数图象可以写出该函数的性质.

(1)

解：在函数y=|x+l|中，自变量x的取值范围是x为任意实数,

故答案为：任意实数；

(2)

解：当x=-2时，m=|-2+l|=l,

故答案为：1;

(3)

解：描点、连线，画出函数的图象如图:

(4)

解：由函数图象可知，

①函数有最小值为0；

②当x>-l时，夕随x的增大而增大；

③图象关于过点(-1,0)且垂直于x轴的直线对称.(任写两条即可)

【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象,

利用数形结合的思想解答.

压轴题型七新定义型一次函数

例题：定义：在平面直角坐标系xQy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于"(">0)的点，叫做该函数

图象的“〃阶和点例如，(2,1)为一次函数y=x-l的“3阶和点”.

⑴若点(-2,2)是v关于x的正比例函数k加x的，，〃阶和点，，，则加=,n=；

(2)若y关于x的一次函数J=履-2的图象经过一次函数y=x+l图象的“7阶和点”，求k的值.

【答案】4

⑵2或；

【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是

新定义型：

(1)利用待定系数法和“阶和点''的都有即点即可；

(2)利用分类讨论的方法和“7阶和点”的定义求得“7阶和点”，再利用待定系数法解答即可；

【详解】(1)解：把点(一2,2)代入了=鹏，得：

2=—2m,解得：m=-l；

•.•点(-2,2)是y关于x的正比例函数的“"阶和点”，

•••点到两坐标轴的距离之和等于2+2=4,

.•.点(-2,2)是y关于x的正比例函数了=M的“4阶和点”，

即〃=4.

故答案为：-