结构动力学复习 新

结构动力学与稳定复习

1.1结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？

答：主要区别表现在：（1）在动力分析中要计入惯性力，静力分析中无惯性力；

（2）在动力分析中，结构的内力、位移等是时间的函数，静力分析中则是不随时

间变化的量；（3）动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法一般与荷载

类型无关。

L2什么是动力自由度，确定体系动力自由度的目的是什么？

答：确定体系在振动过程中任一时刻体系全部质量位置或变形形态所需要的独立

参数的个数，称为体系的动力自由度（质点处的基本位移未知量）。

确定动力自由度的目的是：（1）根据自由度的数目确定所需建立的方程个数（运

动方程数=自由度数），自由度不同所用的分析方法也不同：（2）因为结构的

动力响应（动力内力和动位移）与结构的动力特性有密切关系，而动力特性乂与

质量的可能位置有关。

1.3结构动力自由度与体系几何分析中的自由度有何区别？

答：二者的区别是：几何组成分析中的自由度是确定刚体系位置所需独立参数的

数目，分析的目的是要确定体系能否发生刚体运动。结构动力分析自由度是确定

结构上各质量位置所需的独立参数数目，分析的目的是要确定结构振动形状。

1.4结构的动力特性一般指什么？

答：结构的动力特性是指：频率（周期）、振型和阻尼。动力特性是结构固有的,

这是因为它们是由体系的基本参数（质量、刚度）所确定的、表征结构动力响应

特性的量。动力特性不同，在振动中的响应特点亦不同。

L5什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么

是等效粘滞阻尼？

答：振动过程的能量耗散称为阻尼。

产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力

等等。当然，也包括结构中安装的各种阻尼器、耗能器。

阻尼力是根据所假设的阻尼理论作用于质量上用于代替能量耗散的一种假

想力。粘滞阻尼理论假定阻尼力与质量的速度成比例。

粘滞阻尼理论的优点是便于求解，但其缺点是与往往实际不符，为扬长避短，

按能量等效原则将实际的阻尼耗能换算成粘滞阻尼理论的相关参数，这种阻尼

假设称为等效粘滞阻尼。

1.6采用集中质量法、广义位移法（坐标法）和有限元法都可使无限

自由度体系简化为有限自由度体系，它们采用的手法有何不同？

答：集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置

上，认为其他地方没有质量。质量集中后，结构升件仍具有可变形性质，称为

“无重杆”。

广义坐标法：在数学中常采用级数展开法求解微分方程，在结构动力分析中，

也可采用相同的方法求解，这就是广义坐标法的理论依据。所假设的形状曲线

数目代表在这个理想化形式中所考虑的自由度个数。考虑了质点间均匀分布质

量的影响（形状函数），一般来说，对于一个给定自由度数目的动力分析，用

理想化的形状函数法比用集中质量法更为精确。

有限元法：有限元法可以看成是广义坐标法的一种特殊的应用。一般的广义坐

标中，广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，并且在广义坐标

中，形状函数是针对整个结构定义的。而有限元法则采用具有明确物理意义的

参数作为广义坐标，且形函数是定义在分片区域的。在有限元分析中，形函数

被称为插值函数。

综上所述，有限元法综合了集中质量法和广义坐标法的特点：（1）与广义坐标法

相似，有限元法采用了形函数的概念。但不同于广义坐标法在整体结构上插值

（即定义形函数），而是采用了分片的插值，因此形函数的表达式（形状）可以

相对简单。

（2）与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有

直接、直观的优点，这与集中质量法相同。

2.1建立运动微分方程有哪几种基本方法？各种方法的适用条件

是什么？

答：常用的有3种：直接动力平衡法、虚功原理、变分法（哈密顿原理）。

直接动力平衡法是:在达朗贝尔原理和所设阻尼理论下，通过静力分析来建立

体系运动方程的方法，也就是静力法的扩展，适用于比较简单的结构。

虚功原理的优点是：虚功为标量，可以按代数方式相加。而作用于结构上的力

是矢量，它只能按矢量叠加。因此，对于不便于列平衡方程的复杂体系，虚功

方法较平衡法方便。

哈密顿原理的优点：不明显使用惯性力和弹性力，而分别采用对动能和势能的

变分代替。

因而对这两项来讲，仅涉及标量处理“即能量。而在虚功原理中，尽管虚功本身

是标量，但用J来计算虚功的力和虚位移则都是矢量。

2.2直接动力平衡法中常用的有哪些具体方法？它们所建立的方

程各代表什么条件？

答：常用方法有两种：刚度法和柔度法。

刚度法方程代表的是体系在满足变形协调条件下所应满足的动平衡条件；而柔度

法方程则代表体系在满足动平衡条件下所应满足的变形协调条件。

2.3刚度法与柔度法所建立的体系运动方程间有何联系？各在

什么情况下使用方便？

答：刚度法与柔度法建立的运动方程在所反映的各量值之间的关系上是完全一

致的。由于刚度矩阵与柔度矩阵互逆，刚度法建立的运动方程可转化为柔度法建

立的方程。

一般说来，对于单自由度体系，求［6］和求［k］的难易程度是相同的，因为它们

互为倒数，都可以用同一方法求得，不同的是一个已知力求位移，一个已知位

移求力。

对于多自由度体系，若是静定结构，一般情况下求柔度系数容易些，但对于超

静定结构就要根据具体情况而定。若仅从建立运司方程来看，当刚度系数容易求

时用刚度法，柔度系数容易求时用柔度法。

2.4计重力与不计重力所得到的运动方程是一样的吗？

答：如果计与不计重力时都相对于无位移的位置来建立运动方程，则两者是不一

样的。但如果计重力时相对静力平衡位置来建立运动方程，不计重力仍相对于无

位移位置来建立，则两者是一样的。

3.1为什么说结构的自振频率是结构的重要动力特征，它与哪些量

有关，怎样修改它？

答：动荷载（或初位移、初速度）确定后，结构的动力响应由结构的自振频率控

制。从计算公式看，自振频率和质量与刚度有关。质量与刚度确定后自振频率就

确定了，不随外部作用而改变，是体系固有的属性。

为了减小动力响应一般要调整结构的周期（自振频率），只能通过改变体系的质

量、刚度来达到。总的来说增加质量将使自振频率降低，而增加刚度将使自振频

率增加。

3.2自由振动的振幅与哪些量有关？

答：振幅是体系动力响应的幅值，动力响应由外部作用和体系的动力特性确定。

对于自由振动，引起振动的外部作用是初位移和到速度。因此，振幅应该与初位

移、初速度以及体系的质量和刚度的大小与分布（也即频率等特性）有关。当计

及体系阻尼时，则还与阻尼有关。

3.3阻尼对频率、振幅有何影响？

答：按粘滞阻尼假定分析出的体系自振频率计阻尼与不计阻尼是不一样的，二者

之间的关系为:计阻尼的自振频率此小于不计阻尼频率。计阻尼时的自振周期会

长于不计阻尼的周期。由于相差不大，通常不考虑阻尼对自振频率的影响。

阻尼对振幅的影响在频率比不同时大小不同，当频率比在1附近（接近共振）时

影响大，远离1时影响小。为了简化计算在频率比远离1时可不计阻尼影响。

3.4什么叫动力系数，动力系数大小与哪些因素有关？单自由度体

系位移动力系数与内力动力系数是否一样？

答：动力系数是指最大动位移与最大静位移的比值，其与体系的自振频率和

荷载频率有关。

当单自由度体系中的荷载作用在质量处才有位移动力系数与内力动力系数一样

的结果。

3.5什么叫临界阻尼？什么叫阻尼比？怎样量测体系振动过

程中的阻尼比？若要避开共振应采取何种措施？

答：当阻尼增大到体系在自由反应中不再引起振动，这时的阻尼称为临界阻尼。

阻尼比是表示体系中阻尼大小的一个量，它为体系中实际阻尼系数与临界阻尼

系数之比。若阻尼比为0.05,则意味着体系阻尼是临界阻尼的5%。

方法：根据公式即测出第k次振幅和第k+n次振幅即可测出阻尼比。（振幅法）

措施：1.可改变自振频率，如改变质量、刚度等。2.改变荷载的频率。

3.可改变阻尼的大小，使之避开共振。

3.6增加体系的刚度一定能减小受迫振动的振幅吗？

答：增加体系的刚度不一定能减小受迫振动的振幅。对于简谐荷载作用下的振幅

除与荷载有关以外，还与动力放大系数有关。动力放大系数与频率比有关，频率

比小于1时动力放大系数是增函数，这时增加刚度会使自振频率增加，从而使频

率比减小，动力放大系数减小，振幅会相应减小；频率比大于1时动力放大系数

是减函数，这时增加刚度会使自振频率增加，从而使频率比减小，动力放大系

数增大，振幅会相应增大。

可见，减小体系的动位移不能一味增加刚度，要区分体系是在共振前区工作还

是在共振后区工作。

3.7突加荷载与矩形脉冲荷载有何差别。

答：这两种荷载的主要区别是在结构上停留的时间长短。与结构的周期相比，停

留较长的为突加荷载，较短的是矩形脉冲荷载。矩形脉冲荷载属于冲击荷载，在

它的作用下，结构的最大动力响应出现较早，分析时应考虑非稳态响应。此外，

由于最大响应出现时结构阻尼还未起多大作用，故在分析最大响应时可不计阻

尼影响。而突加荷载则不然。

3.8杜哈迈积分中的变量与有何差别？

答：杜哈迈积分是变上限积分，积分上限是原函数的自变量；是积分变量。

是动力响应发生时刻，是瞬时冲量作用的时刻。

3.9什么是稳态响应？通过杜哈迈积分确定的简谐荷载的动力响

应是稳态响应吗？

答：稳态响应是指：由于阻尼影响，动力响应中按自振频率振动的分量消失后，

剩下的按动荷载频率振动的部分。

通过杜哈迈积分确定的简谐荷载动力响应是非稳态响应，积分中并没有略去荷

载所激起的按结构自振频率变化的伴随自由振动部分。

4.1什么是振型，它与哪些量有关？

答：振型是多自由度体系所固有的属性，是体系上所有质量按相同频率作自由振

动时的振动形状。

它仅与体系的质量和刚度的大小、分布有关，与外界激励无关。

4.2对称体系的振型都是对称的吗？

答：像静力问题对称结构既可产生对称变形，也能产生反对称变形一样，究竟受

外界作用产生什么变形要取决于外界作用。对称体系的振型既有对称的，也有反

对称的。

4.3满足对质量矩阵、刚度矩阵正交的向量组一定是振型吗？

答：体系的某一振型是按其对应频率振动时各质点的固定振动形式，是各质点

间振动位移的比例关系，具体的振动位移值是不确定的。

由于满足对质量矩阵、刚度矩阵正交的向量并不一定满足振型方程，所以

并不一定是振型。

但是，满足对质量矩阵、刚度矩阵正交，且满足振型方程的向量组一定是振型。

4.4振型正交性的物理意义是什么？振型正交性有何应用？

答：物理意义：第k主振型的惯性力与第i主振型的位移做的功和第i主振型的惯

性力与第k主振型的静位移做的功相等，即功的互等定理。

作用：1.判断主振型的形状特点。2.利用正交关系来确定位移展开公式中的系

数。

4.5柔度法与刚度法所建立的自由振动微分方程是相通的吗？

答：由柔度法建立的自由振动微分方程为；而月刚度法建立的方程为。因为

和，故与互为逆矩阵，即，或，从而证明了柔度法与刚度法所建

立的H由振动微分方程是相通的。

4.6求自振频率与主振型和坐标选取有关吗？

答：结构的自振频率和主振型是结构的固有性质，它们只与结构的形状、约束情

况、质量分布、截面尺寸和选用的材料有关，与计算时所选的坐标无关。

4.7求自振频率与主振型能否利用对称性？

答：利用对称性计算频率和主振型时，通常取半结构计算。

4.8频率相等的两个主振型互相正交吗？

答：若两个振型对应的频率彼此相等，则与此频率对应的振型有无穷多个，它们

并不一定彼此正交，但总可以选出两个主振型（其中一个是任选的）使它们彼此

正交。

4.9什么叫做广义坐标？什么叫做振型分解法？

答：广义坐标：能决定体系几何位置的彼此独立的量，称为该体系的广义坐标。

广义坐标的物理意义就是任意振动位移曲线按主振型分解各振型所占的比例。

振型分解法就是任意振动位移曲线可由各主振型按广义坐标比值叠加而成。振型

分解法是解决一般动荷载作用下的强迫振动问题的方法。

5.1多自由度体系与无限自由度体系的运动微分方程有什么不同？

答：常微分方程与偏常微分方程的区别。在无限自由度体系中，由于位置坐标和

时间变量都是连续的独立变量，故所得的是偏常微分方程。

5.2讨论无限自由度体系的振动的主要目的是什么？如何应用到

实际工程中去？

答：为了估算有限自由度结果的精度，需要做无限自由度体系的振动分析。特别

是对结构振动的概念分析和对计算结果的分析是非常有用的。

在实际工程中，例如市简支梁在列车不同车速变叱的振动分析等。

5.3考虑转动惯量和剪切变形的影响时梁的频率如何变化？它们

对低阶频率的影响大还是对高阶频率影响大？

答：在实际问题中，当与1相比很小时，剪切与转动惯量的影响相比，剪切变

形影响大。

考虑转动惯量影响时，所得的频率要降低一些，并且对于高频来说，其影响就

越大。

6.1瑞利法的基本思想和特点？

答：瑞利法是根据能量守恒定律建立起来的，故又称为能量法。利用瑞利法求固

有频率，必须知道振型函数，而精确的振型函数事先往往是不知道的，所以必

须先假设一个振型函数来进行计算，由此所得的计算结果就具有一定的近似性，

因此，瑞利法是一种近似方法。

6.2用能量法求固有频率，必须首先知道什么？

答：必须首先知道振型函数。

7.1对于杆系结构用有限元法计算频率和振型时，需要哪些基本数

据（参照单元刚度矩阵和质量矩阵）？

答：除静力计算相同的数据外，还需要输入集中质量（或密度）。

7.2在一致质量法中，判断计算出的频率与精确解的依据是什么？

答：一般说来，用一致质量矩阵算得的频率是结陶真实频率的上限；而用集中质

量矩阵算得的频率是结构真实频率的下限。

7.3在结构动力有限元法分析中，与一致质量法相比，集中质量法

的主要优点是什么？

答：集中质量矩阵为对角阵，占用内存较少，计算简单和省时。所以工程上常采

用集中质量法计算结构的频率和振型。

简述振型分解法是如何将耦联的运动方程解耦的？

答：

简述第一类失稳和第二类失稳有何异同？

答：1）笫一类稳定问题，具有平衡分枝点的稳定问题。

属于这类稳定问题的有：轴压杆的弯曲屈曲、轴压杆和压弯杆件的弯扭屈

曲、在腹板平面内受荷的梁的侧扭屈曲以及在板平面内受轴压荷载和剪切

荷载的薄板的弯曲屈曲等。

在临界荷载以前，属稳定平衡；在临界荷载以后，进入不平衡状态。

2）第二类稳定问题，无平衡分枝的稳定问题。

1.属于这类稳定问题的有：压弯杆件在弯矩作用平面内的稳定。

2.上升段是稳定的，下降段是不稳定的，转折点即不稳定平衡的临界状

态，用极限荷载表示。

结构稳定问题有哪些类型？判别平衡状态是否稳定的准则有哪

些？在稳定分析中怎样利用这些准则来求临界荷载？

答：类型：第一类稳定问题、第二类稳定问题、跌越失稳。

三个基本准则：静力准则、能量准则、动力准则，

求临界荷载方法：静力平衡法、能量方法、动力方法。

必须采用结构产生变形后的计算图形来建立平衡方程和其总势能表达式。

3.结构稳定问题与结构强度问题有何区别？

4.答：1）强度问题，是指结构或单个构件在稳定平衡状态下由荷载所引起的最

大应力（或内力）是否超过建筑材料的极限强度，因此是一个应力问题。

5.2）稳定问题，主要是要找出外荷载与结构内部抵抗力间的不稳定平衡状态，

即变形开始急剧增长的状态，从而设法避免进入该状态，因此，它是一个变

形问题。

6.3）强度问题可以采用一阶或二阶分析结构内力，而稳定问题必然是二阶分析,

其外荷载与变形间呈非线性关系，叠加原理不能应用。

7.初弯曲、初偏心以及残余应力对压杆稳定承载力有何影响？

8.答：1）初始缺陷（几何缺陷、荷载缺陷）将降低柱的承载能力，缺陷越大，荷

载降低得越多。受荷初期，挠度增长较慢，当时，挠度显著增加。欧且荷

载是实际压杆承载力的一个上限。

9.2）初弯曲和初偏心两个缺陷对柱子稳定性产生的影响相似，可以用其中一个

缺陷来模拟两个缺陷都存在的实际压杆。

10.3）残余应力降低比例极限，使柱子提前出线弹塑性屈曲，并降低了临界

荷载或临界应力。

1）理想轴压杆小挠度理论和大挠度理论有哪些不同？根据你的

理解，理想轴压杆大挠度理论最适合用于哪个阶段的轴压杆

的力学行为？

2）答：从关系曲线分析不同点：

3）大挠度理论，在时，与小挠度理论的差别是能得到相应于屈曲后强度

的曲线；

4）小挠度理论的分枝荷载代表了由稳定平衡到不稳定平衡的分枝点，而大

挠度理论的分枝荷载则是由直线稳定平衡状态到曲线稳定平衡状态的分

枝点。

大挠度理论，荷载较临界荷载略有增加，就将导致较大的绕度，在挠度很小

的范围内，小挠度理论代替大挠度理论完全可行。

在弹性工作阶段，一般都可采用小挠度理论。

AB段？B-C?

7.刚度法和柔度法所建立的体系运动方程间有何联系？各在什么情

况下使用方便？

答：从位移协调的角度建立振动方程的方法为柔度法。从力系平衡的角度建立

的振动方程的方法为刚度法。这两种方法在本质上是一致的，有着相同的前提条

件。在便于求出刚度系数的体系中用刚度法方便。同理，在便于求出柔度系数的

体系中用柔度法方便。在超静定结构中，一般用刚度法方便，静定结构中用柔度

法方便。

8.应用能量法求频率时,所设的位移函数应满足什么条件？其计算的

第一频率与精确解相比是偏高还是偏低？什么情况下用能量法可得

到精确解？

答：所设位移函数要满足位移边界条件，同时要尽可能与真实情况相符。第一

频率与精确解相比偏高。如果所假设的位移形状系数与主振型的刚好一致，则可

以得到精确解。

1）9.结构稳定计算方法中能量方法是精确方法吗？为什么能

量方法得出的结果往往是近似的？

2）答：是精确方法。

10.变形连续体是由无数个介质点所组成，基于能量方法的近似解法用有限个

自由度的体系来代替。

11.预先假定的位移函数与真是的位移函数存在一定的误差，带来计算的近似

性。

压弯杆件稳定分析有哪些准则，各适用于哪些情形？

答：1）边缘纤维屈服准则，只考了杆件在弹性阶段工作。适用于：同时承

受轴压力和横向均布荷载的压弯杆件，跨度中点承受•集中荷载作用的压弯杆

件，受端弯矩作用的压弯杆件，两端偏心受压的压弯杆件。

2）极限荷载准则，包括雅若克近似解法（适用于矩形截面的杆件，且未考

虑残余应力的影响）、数值积分法（适用于初始边界条件已知的）。

3）相关公式，是半理论半经验公式，

11.根据你的理解，压弯构件的稳定极限承载力问题与构件的静力强

度问题有哪些区别？

答：1、压弯构件的稳定极限承载力，在理论上讲，就是根据其荷载-位移曲线所

得的极限荷载，而此曲线的形状又与构件截面形状、弯曲方向及荷载类型等因

素有关，因此很难求出一个适用于各种情况下的极限荷载的表达式。

2、压弯构件的稳定极限承载力与构件的加载过程有关，不像静力强度问题只取

决于所受的轴压力和弯矩的大小而与加载过程无关。

3.要建立一些基本假定，因此，对压弯构件稳定极限承载力的试验研究极为重

要。

1、12.影响梁整体稳定承载力有哪些因素？屈曲前变形以及截

面塑性发展对梁整体稳定有哪些影响？

2、答：（一）影响因素：

3、截面形状和尺寸，即截面尺寸比值；

4、荷载的类型及其在截面上的作用点位置；

5、支承条件和相邻杆件约束的影响；

6、初始缺陷的影响。

（二）1.考虑屈曲前变形，可以提高一些梁的临界弯矩，有利于梁整体稳定。

2.由于塑性区材料的切线模量远较弹性区的弹性模量小，降低了截面的各种刚

度，从而使侧扭屈曲的临界弯矩比弹性侧扭屈曲时有较大的降低。因此，降低的

梁的临界荷载，不利于梁的整体稳定。

1、13.梁侧扭屈曲时弹性应变能包含哪些内容？

2、答：包括三个部分：

3、由于侧向弯曲和翘曲而产生的线性纵向应变引起的应变能；

4、由于纯扭转产生的剪应变引起的应变能；

非线性纵向应变引起的应变能。包括，由弯矩因侧扭而产生转动引起的，和纵向

纤维应力偏斜而引起的扭转应变能。

14.给出一个结构，试说明结构中哪些构件可能发生失稳，如何提高

这些构的稳定承载力。

答：

1）轴心受压构件失稳，如桁架、网架中的杆件，工业产房及高层钢结构的支撑,

支杵等。失稳类型有：弯曲失稳，扭转失稳，弯扪失稳。方法：同样截面积

下尽量合理地增大它的惯性矩，正确采用压杆的计算长度，和支撑对杆件位

移的约束程度，约束越大，承载力越大。

2）压弯杆件失稳，如刚架中的柱子、斜梁以及传递水平力的横梁，空腹桁架中

的杆件等。失稳类型有：弯曲平面内（外）杆件整体失稳、板件失稳，格构

式构件中的单肢失稳，主要是弯扭失稳。方法：加支撑，截面选取等

梁的侧扭屈曲，避免使用窄而高的截面较宽而矮的截面，设计结构时避免使梁

处于纯弯状态，尽可能加强边界支撑约束条件，改善材料的初始缺陷等。

薄板屈曲，压杆失稳类似。

部分习题

1.已知结构的自振周期，阻尼比，质量在的初始条件下开始振动，则至少经过14

个周期后振幅可以衰减到以下。

2.多自由度框架结构顶部刚度和质量突然.小时，自由振动中

顶部位移很大的现象称鞭梢效应。

3.图示梁受简谐荷载作用，，，,，梁长，支座的弹簧刚度。试求（1）无阻尼时梁

中点总位移幅值；（2）阻尼比梁的最大动弯矩。

解：1）梁中点的柔度系数为

1

S-15-15广

48EZ2k48E/4攵192E/

ei力/192E/1192x9xl06

固有频率=J—=J----丁、5x300x4；=134.16-

Vm3V5〃43

动力系数〃=—丁=-----5——7=1.55

\（0）u34.16；

梁中点总位移幅值为

-----------(300X10+1.55X20X103)=6.3"打7

=b(mg+/3P)=192x9x1()6

2）动力系数为

1

P=一,=1.545

J(l-/)2+(2金)2

80、

+2x().05x

134.16,

梁的最大动弯矩为M/max=祟=1&平0X4=30.9AWm

4.卜图所示剪切型刚架的质量已集中在横梁上，，横梁抗弯刚度为无穷大，各柱的线愀.度为

o求结构的固有频率和主振型，并画出振型图。

EI=OO

hi2hi.

ABCD

/7777/7777/7777/7777

解：质量矩阵

=2X12X^X106+2X12X-^-X106=6.3X107A^/W

22

柱的侧移刚度4444

I。

=2xl2x—X106=1.8X107^/W

42

k[+k、-k、76.3—1.8

刚度矩阵[K]='22=107Nhn

—k2k2—1.81.8

([K]-(O2[M])[A}={0}

-630-2.56y2-180

-18()18()-14/|AJ-IO,

(630-2.5ty2)(180-1.46y2)-180x180=0

3.5〃-1332/+81000=()

=8.72%//s,g=17.45%//s

振型为：

W.={12.44}，碌={1-0.73}丁

振型图表示为：

第二振型

5.用瑞利法求图示变截面悬臂梁的第一阶固有频率。已知悬臂梁为单位宽度,截面高度，

杨氏模量和密度分别为，

解：截面惯性矩，单位长度质量，

取第一振型试函数，满足左端位移边界条件，

£E/(x)(y”(x必=E(*。嗒序卜=嘿^

£m(幻(y(x)/N=£4co{1-2j仆号、

因此基频近似值为

4EIRJ

，9/2厄

(v~=_z^£__=-2-E-h--0=0.471%—

2pha29夕Vp

习题H.3用静力法计算习题11.3图所示体系的临界荷载。

)?片

讨丁匕T

34PIJ

米

4〜jg〜I

J_I

备余x小

(a)(b)(c)

习题11.3图

【解】(1)给出失稳形式，如习题解11.3(a)图所示。

由工知八二0得

(34-0))，=0

习题解11.3图

(2)给出失稳形式，如习题解11.3(b)图所示。

由工加A=0得

(以一2耳))，=0

・.・%=；ki

(3)给出失稳形式，如习题解11.3(c)图所示。

先求得支反力：

由ZM,A=O得

(5、

-kl-F?y=0

、6/

.,・%=初

6

习题11.4用静力法计算习题11.4图所示体系的临界荷载。左为弹性较的抗转动愀.度系

数(发生单位相对转角所需的力矩)。

I

-**

各_L

习题IL4图

【解】给出失稳形式，如习题解IL4图所示。

分析AC,由得

心x2)-30

习题11.5用静力法计算习题11.5图所示体系的临界荷载。

(a)(b)

习题IIS图

【解】(1)原体系可简化为习题解11.5(a)图所示。弹性支承刚度系数为

~r

S

n

3

%._L

<h)

习强解11.5图

3EJ6E1

x2=

产

可求得

「"3EI

F=-kl=^-

PcPrtr2/2

(2)原体系可简化为习题解11.3(b)图所示。弹性支承刚度系数为

,4E/

k=----

可求得

「k4EI

%r=7=F-

hlh

习题11.6用能量法重做习题11.3(c)o

1111?225

【解】变形能U=-x-ky^x-y+-x-lcyx-y=—ky2

22*2233,72

荷载势能，其中

，弓,呜-9啰'Q

总势能Ep=U+Up

由也=0及yw()得生2一“_6=0

dy7212/P

o

习题11.7用静力法求习题11.7图所示各结构的稳定方程。

习题11.7图

【解】(1)失稳曲线如习题解11.7(1)图所示。微分方程为

n

EIy=-M=-(Fvy+^Fv6x)

或yH+o(2y=-\^a20x

其中。2=%

EI

该微分方程的通解为

y=Acosar+Bsinax--Gx

-2

代入边界条件：

所得齐次方程中、由不全为零的条件(即系数行列式等于零)整理后得

tana/+a/=0

习题解11.7(1)图

(2)失稳曲线如习题解11.7(2)图所示。微分方程为

n

Ely=-M=-(F?y-kO)

或y"+q2y=

EI

k

通解为y-Acosax+8sinax+r9),

与

代入边界条件：

由不全为零的条件，整理后得

tana/+—a/=0

4

习题解11.7(2)图

(3)原结构可等效为习题解11.7(3)(a)图所示具有弹性支承的压杆，失稳曲线如习

题解11.7(3)(b)图所示。微分方程为

习题解11.7(3)图

n

Ely=-M=-{F?y-k8x)

)，"+〃竺。2=空

或

EIEI

通解为尸Acosax+8sinax+A

,=

由边界条件x=0,y=0;x=lyy=d\x=l,y0

得稳定方程为

tanal=al-EI=al-—(al)3

kP12

(4)原结构可等效为习题解11.7(4)(a)图所示具有弹性支承的压杆，失稳曲线

如习题解11.7(4)(b)图所示。微分方程为

B

习题解11.7(4)图

Ely"=—M=—Fpy

yn+a2y=0,a2=g

该方程的通解为y=Acosar+Bsinca

由边界条件x=l,y=d\x=l,y=0

得稳定方程为

o/tan。/=4

(5)原结构可等效为习题解11.7(5)(a)图所示具有弹性支承的压杆，弹性支承的刚

度系数可由子结构ACD求出。

习题解11.7(5)图

分析ACD,如习题解11.7(5)(b)图所示。在A点加单位力偶并作图,图乘得柔度

系数为

4/

oc=-----

3EI

则弹性支承的刚度系数为

k,1=—=-3E-I

34/

该题的稳定方程为

atranai=——=—

EI4

习题11.8用能量法计算习题11.8图所示结构的临界荷载，已知弹簧刚度系数,设失稳曲

线为。

习题11.8图

【解】根据所假设的失稳曲线，可求得应变能及荷载势能如下

由d(0+Up)=o及J#。

dS

49

『下EI

习题11.9求习题11.9图所示结构的临界荷载。已知各杆长为，EI=常数。

习题11.9图

【解】(I)对称失稳

71-EI

4C两称二

I2

(2)反对称失稳

用

El

EIEIEU

T

(a)(b)

习题解11.9图

取半结构分析，如习题解11.9(a)图所示，可等效为习题解11.9(b)图进行分析。其中，弹

性支承的刚度系数，可先由习题解IL9(c)图所示弯矩图自乘求得柔度系数后，取倒数

而得，为

EI23El23EI

故