河南省确山县高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1 椭圆（2）教学实录 北师大版选修2-1

河南省确山县高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1椭圆（2）教学实录北师大版选修2-1学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析1.本节课的主要教学内容：本节课主要学习椭圆的标准方程及其性质，包括椭圆的焦点、离心率、准线等概念。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课的内容与上一章节学习过的圆的方程和性质密切相关，通过回顾圆的方程，学生可以更容易理解和掌握椭圆的标准方程及其性质。核心素养目标1.发展数学抽象思维，通过椭圆方程的学习，培养学生从具体情境中抽象出数学模型的能力。

2.培养逻辑推理能力，通过椭圆性质的分析，引导学生运用逻辑推理进行数学论证。

3.增强数学运算能力，通过实际计算椭圆的焦点、离心率等，提高学生的数学运算技能。

4.提升几何直观素养，通过图形与方程的结合，帮助学生建立空间观念和几何直观。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在本节课之前已经学习了圆的方程和性质，对二次函数、坐标轴和直角坐标系有基本的了解，具备了一定的代数运算和几何直观能力。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生对数学学科普遍持有一定的兴趣，尤其是对几何图形和方程的探究。学生的学习能力参差不齐，部分学生具有较强的逻辑思维和空间想象能力，能够快速理解和应用新知识；而部分学生可能在抽象思维和空间想象方面存在困难。学习风格上，有的学生偏好通过图形直观理解数学概念，有的则更倾向于通过文字和符号进行逻辑推理。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在学习椭圆方程及其性质时，可能遇到以下困难和挑战：一是对椭圆几何图形的理解不够深入，难以将图形与方程对应起来；二是椭圆方程的推导过程较为复杂，学生可能难以把握推导的步骤和逻辑；三是计算椭圆的焦点、离心率等参数时，学生可能因为运算错误或概念混淆而出现困难。此外，学生在应用椭圆性质解决实际问题时，可能因为缺乏实践经验而感到困惑。教学资源准备1.教材：确保每位学生都备有北师大版选修2-1教材，包含椭圆方程及其性质的相关内容。

2.辅助材料：准备与椭圆方程相关的图片、图表和视频，以帮助学生直观理解椭圆的几何特征和方程的应用。

3.实验器材：准备用于演示椭圆几何性质的教具，如椭圆模型或可调节的圆规等。

4.教室布置：设置分组讨论区，提供白板或黑板用于板书和展示，确保教室环境适合学生进行互动学习和实验操作。教学过程一、导入新课

1.老师提问：同学们，我们之前学习了圆的方程和性质，今天我们来探究椭圆的方程及其性质。

2.学生回答：是的，老师，我们学习了圆的方程和性质，包括圆的标准方程和圆的几何性质。

3.老师总结：很好，椭圆是圆的一种特殊情况，今天我们将学习椭圆的标准方程及其性质，包括椭圆的焦点、离心率、准线等概念。

二、新课讲授

1.老师讲解：首先，我们来看椭圆的标准方程。椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(a\)和\(b\)分别是椭圆的半长轴和半短轴。

2.学生跟随老师板书：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

3.老师提问：同学们，谁能告诉我，当\(a\)和\(b\)分别等于多少时，这个方程表示的是圆？

4.学生回答：当\(a=b\)时，这个方程表示的是圆。

5.老师总结：是的，当椭圆的半长轴和半短轴相等时，它就变成了圆。

6.老师讲解：接下来，我们来探讨椭圆的焦点。椭圆的两个焦点分别位于长轴上，距离中心的距离为\(c\)，其中\(c^2=a^2-b^2\)。

7.学生跟随老师板书：\(c^2=a^2-b^2\)

8.老师提问：同学们，谁能告诉我，如何根据椭圆的方程求出焦点坐标？

9.学生回答：我们可以通过解方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)来求出焦点坐标。

10.老师总结：很好，同学们能够灵活运用所学知识。

11.老师讲解：椭圆的离心率\(e\)是一个重要的参数，它表示椭圆的扁平程度。离心率的计算公式为\(e=\frac{c}{a}\)。

12.学生跟随老师板书：\(e=\frac{c}{a}\)

13.老师提问：同学们，谁能告诉我，离心率\(e\)的取值范围是多少？

14.学生回答：离心率\(e\)的取值范围是\(0<e<1\)。

15.老师总结：是的，离心率\(e\)的取值范围在\(0\)和\(1\)之间。

16.老师讲解：椭圆的准线是与椭圆相切且垂直于长轴的直线。准线的方程为\(x=\pm\frac{a^2}{c}\)。

17.学生跟随老师板书：\(x=\pm\frac{a^2}{c}\)

18.老师提问：同学们，谁能告诉我，如何根据椭圆的方程求出准线方程？

19.学生回答：我们可以通过解方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)来求出准线方程。

20.老师总结：很好，同学们能够运用所学知识解决问题。

三、课堂练习

1.老师布置练习题：请同学们根据椭圆的标准方程，求出以下椭圆的焦点坐标、离心率和准线方程。

-椭圆方程：\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)

-椭圆方程：\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\)

2.学生独立完成练习题，老师巡视指导。

四、课堂讨论

1.老师提问：同学们，刚才我们学习了椭圆的标准方程及其性质，谁能分享一下自己对本节课内容的理解？

2.学生讨论，分享自己的学习心得。

3.老师总结：同学们的讨论非常积极，大家能够很好地理解和掌握椭圆的标准方程及其性质。

五、课堂小结

1.老师总结：今天我们学习了椭圆的标准方程及其性质，包括椭圆的焦点、离心率、准线等概念。通过本节课的学习，我们掌握了椭圆方程的推导过程，以及如何根据椭圆方程求出焦点坐标、离心率和准线方程。

2.学生回顾本节课的重点内容，巩固所学知识。

六、布置作业

1.老师布置作业：请同学们完成课后练习题，并预习下一节课的内容。

2.学生领取作业，准备课后学习。

七、课堂评价

1.老师评价：本节课同学们的学习态度认真，积极参与课堂讨论，对椭圆的标准方程及其性质有了较为深入的理解。希望同学们能够继续努力，不断提高自己的数学能力。

八、课后反思

1.老师反思：本节课通过讲解、练习和讨论的方式，帮助学生掌握了椭圆的标准方程及其性质。在教学过程中，我注意到了以下几点：

-注重学生对基本概念的理解，避免单纯记忆公式。

-鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的表达能力和思维能力。

-结合实际案例，帮助学生将所学知识应用于实际问题中。

-及时关注学生的学习情况，给予必要的指导和帮助。

九、教学反思

1.老师反思：通过本节课的教学，我发现以下问题：

-部分学生对椭圆的几何性质理解不够深入，需要加强直观教学。

-部分学生在计算过程中容易出错，需要加强计算能力的培养。

-部分学生对椭圆的应用问题感到困惑，需要提供更多的实践案例。

2.老师改进措施：

-在今后的教学中，我将结合图形和实物，帮助学生更好地理解椭圆的几何性质。

-加强对学生的计算训练，提高学生的计算能力。

-提供更多实际案例，帮助学生将所学知识应用于实际问题中。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握情况：

-学生能够熟练地写出椭圆的标准方程，并了解其结构特征，包括半长轴和半短轴的定义。

-学生掌握了椭圆焦点、离心率、准线等关键概念，能够根据椭圆方程计算这些参数。

-学生能够应用椭圆方程解决实际问题，如计算特定椭圆上的点到焦点的距离。

2.技能提升情况：

-学生在解决椭圆方程相关问题时，计算能力得到显著提升，包括代数运算和根式运算。

-学生通过学习椭圆的性质，提高了逻辑推理能力，能够进行更复杂的数学论证。

-学生在处理几何问题时，空间想象能力得到加强，能够更好地理解和应用几何图形。

3.学习兴趣和态度：

-学生对椭圆这一几何图形产生了浓厚的兴趣，愿意主动探究其性质和方程。

-学生在学习过程中展现出积极的学习态度，愿意参与课堂讨论和实践活动。

-学生在遇到困难时，能够保持耐心和毅力，不断尝试解决问题。

4.课后应用能力：

-学生能够将椭圆的知识应用于日常生活和实际问题中，如分析卫星轨道、设计光学系统等。

-学生在解决实际问题过程中，能够灵活运用椭圆方程和相关性质，展示出较强的实用能力。

-学生在参与课后项目中，能够独立思考，提出合理的解决方案，体现了良好的自主学习能力。

5.团队合作能力：

-在小组讨论和合作学习的过程中，学生学会了倾听他人的意见，尊重不同观点。

-学生在讨论和辩论中，锻炼了自己的表达能力和沟通技巧。

-学生通过团队合作，共同完成复杂的任务，增强了团队协作和解决问题的能力。

6.学习反思能力：

-学生在学习结束后，能够对自己的学习过程进行反思，总结经验教训。

-学生能够识别自己的不足，并提出改进措施，不断提高自己的学习效率。

-学生在学习过程中，形成了良好的学习习惯，如定期复习、主动预习等。典型例题讲解1.例题：已知椭圆的方程为\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，求椭圆的焦点坐标。

解答：根据椭圆方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，我们可以得出\(a^2=9\)和\(b^2=4\)。由于\(a^2>b^2\)，这是一个横轴椭圆。焦距\(c\)可以通过\(c^2=a^2-b^2\)计算得出，即\(c^2=9-4=5\)，所以\(c=\sqrt{5}\)。因此，焦点坐标为\((\pm\sqrt{5},0)\)。

2.例题：椭圆的方程为\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)，求椭圆的离心率。

解答：由椭圆方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，我们得到\(a^2=25\)和\(b^2=16\)。因为\(a^2>b^2\)，这是一个横轴椭圆。焦距\(c\)的计算公式为\(c^2=a^2-b^2\)，所以\(c^2=25-16=9\)，即\(c=3\)。离心率\(e\)的计算公式为\(e=\frac{c}{a}\)，因此\(e=\frac{3}{5}\)。

3.例题：椭圆的方程为\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)，求椭圆的准线方程。

解答：由椭圆方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，我们得到\(a^2=4\)和\(b^2=9\)。因为\(b^2>a^2\)，这是一个纵轴椭圆。焦距\(c\)的计算公式为\(c^2=b^2-a^2\)，所以\(c^2=9-4=5\)，即\(c=\sqrt{5}\)。准线方程为\(x=\pm\frac{a^2}{c}\)，因此准线方程为\(x=\pm\frac{4}{\sqrt{5}}\)。

4.例题：已知椭圆的一个焦点为\((0,-\sqrt{3})\)，离心率为\(\frac{1}{2}\)，求椭圆的标准方程。

解答：由离心率\(e=\frac{c}{a}\)和已知离心率\(\frac{1}{2}\)，我们可以得出\(c=\frac{a}{2}\)。因为焦点在\(y\)轴上，所以椭圆是纵轴椭圆，其标准方程为\(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)。焦距\(c\)的值为\(\sqrt{3}\)，所以\(a^2=c^2+b^2\)，即\(a^2=3+b^2\)。又因为\(c=\frac{a}{2}\)，所以\(a^2=4c^2\)，代入得\(4c^2=3+b^2\)。解得\(a^2=4\)和\(b^2=1\)。因此，椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1\)。

5.例题：椭圆的一个端点为\((3,0)\)，离心率为\(\frac{1}{3}\)，求椭圆的标准方程。

解答：由离心率\(e=\frac{c}{a}\)和已知离心率\(\frac{1}{3}\)，我们可以得出\(c=\frac{a}{3}\)。因为椭圆的一个端点为\((3,0)\)，所以\(a=3\)。焦距\(c\)的值为\(a\cdote=3\cdot\frac{1}{3}=1\)。由于椭圆的另一个端点在\(x\)轴上，椭圆是横轴椭圆，其标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)。焦距\(c\)的计算公式为\(c^2=a^2-b^2\)，所以\(b^2=a^2-c^2=9-1=8\)。因此，椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\)。作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本第三章圆锥曲线与方程3.1椭圆（2）的课后习题，包括所有选择题和非选择题。

2.选择两个椭圆方程，分别求出它们的焦点坐标、离心率和准线方程。

3.设计一个实际问题，如卫星轨道、光学系统等，应用椭圆的知识进行解答。

4.比较圆和椭圆的性质，分析它们之间的异同点，并举例说明。

作业反馈：

1.对学生的作业进行及时批改，确保每位学生都能收到反馈。

2.重点关注学生在求焦点坐标、离心率和准线方程时的计算错误，指出具体错误并进行纠正。

3.对于设计实际问题的作业，评价学生是否能够正确运用椭圆的知识，是否能够将所学知识应用于实际问题中。

4.对比学生的比较分析，评价学生是否能够准确地识别圆和椭圆的性质差异，是否能够进行有效的逻辑推理。

5.针对学生的作业