2024-2025学年湖南省长沙市北雅中学九年级（下）入学数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年湖南省长沙市北雅中学九年级（下）入学数学试卷一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2025的相反数是（）A．2025 B． C．﹣2025 D．2．（3分）下列几何体中，俯视图的形状为圆的是（）A． B． C． D．3．（3分）近年来，我国持续加大对铁路行业的投资力度，《中长期铁路网规划》提出，铁路网规模达到175000千米左右，其中高速铁路3.8万公里左右（）A．1.75×105米 B．1.75×106米 C．1.75×108米 D．1.75×109米4．（3分）某校有21名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前11名参加决赛，她想知道自己能否进入决赛，只需再知道这21名同学成绩的（）A．中位数 B．众数 C．平均数 D．最高分5．（3分）下列计算中，正确的是（）A．a3•a5＝a15 B．2a+b＝2ab C．（a3b）2＝a6b2 D．（a+2）2＝a2+46．（3分）如图，a∥b，将一块直角三角板的30°角的顶点放在直线b上，则∠2的度数是（）A．76° B．104° C．106° D．114°7．（3分）正多边形的一个外角等于60°，则这个正多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．48．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A．y＝﹣3x B．y＝﹣x+4 C． D．9．（3分）某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，依题意列方程为（）A．﹣＝5 B．﹣＝5 C．﹣＝5 D．10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0），对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b＝0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，其中正确的是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：a2﹣25＝．12．（3分）若分式的值为0，则x＝．13．（3分）一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为．14．（3分）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，OD⊥AB，垂足为E，连接OA，则OE的长度为．15．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，AC⊥y轴于点C，以O为位似中心把四边形OBAC放大得到四边形OB′A′C′，则经过点A′的反比例函数表达式为．16．（3分）在“双减”政策下，我校开展了丰富多彩的兴趣小组和社团活动．活动中小民邀请小刚玩“你想我猜”的游戏，游戏规则是：第一步：请小刚在心中想一个喜欢的数字，并记住这个数字；第二步：把喜欢的数字乘以2再加上6，得到一个新的数；第三步：把新得到的数除以2，写在纸条上交给小民．小民打开纸条看到数字6，马上就猜出了小刚喜欢的数，这个数是．三、解答题（本大题共9道小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：（1+），其中x＝4．19．（6分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面AB的坡度i＝1：1.5，根据图中数据，求：（1）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）；（2）梯形ABCD的周长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：≈1.73，≈3.16，≈3.61）20．（12分）为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；C：一般；D：不达标，请你根据统计图解答下列问题：（1）此次调查的总人数为；（2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是°；（3）请将条形统计图补充完整；（4）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．21．（6分）如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F（1）求证：四边形EBFD是菱形；（2）若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积．22．（6分）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？（3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案，请说明理由．23．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，连接AP，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）求证：EF2＝4OD•OP；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求AC的长．24．（12分）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是；（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0）（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PC，BC，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在25．（12分）【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，CD＝4，连接AC．若AC＝AB；（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．

2024-2025学年湖南省长沙市北雅中学九年级（下）入学数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案AACACBACAA一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2025的相反数是（）A．2025 B． C．﹣2025 D．【解答】解：﹣2025的相反数是2025．故选：A．2．（3分）下列几何体中，俯视图的形状为圆的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、俯视图是圆；B、俯视图是正方形；C、俯视图是三角形；D、俯视图是长方形；故选：A．3．（3分）近年来，我国持续加大对铁路行业的投资力度，《中长期铁路网规划》提出，铁路网规模达到175000千米左右，其中高速铁路3.8万公里左右（）A．1.75×105米 B．1.75×106米 C．1.75×108米 D．1.75×109米【解答】解：数据“175000千米”用科学记数法表示为1.75×108米，故选：C．4．（3分）某校有21名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前11名参加决赛，她想知道自己能否进入决赛，只需再知道这21名同学成绩的（）A．中位数 B．众数 C．平均数 D．最高分【解答】解：共有21名学生参加预赛，取前11名．我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第11名的成绩是这组数据的中位数，所以小颖知道这组数据的中位数．故选：A．5．（3分）下列计算中，正确的是（）A．a3•a5＝a15 B．2a+b＝2ab C．（a3b）2＝a6b2 D．（a+2）2＝a2+4【解答】解：A．a3•a5＝a2，故A不符合题意；B．2a与b不是同类项，故B不符合题意；C．（a3b）5＝a6b2，故C符合题意；D．（a+4）2＝a2+6a+4，故D不符合题意；故选：C．6．（3分）如图，a∥b，将一块直角三角板的30°角的顶点放在直线b上，则∠2的度数是（）A．76° B．104° C．106° D．114°【解答】解：∵a∥b，∴∠2＝180°﹣∠1﹣30°，∵∠2＝46°，∴∠2＝180°﹣46°﹣30°＝104°．故选：B．7．（3分）正多边形的一个外角等于60°，则这个正多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．4【解答】解：正多边形的一个外角等于60°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷60°＝6．故选：A．8．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A．y＝﹣3x B．y＝﹣x+4 C． D．【解答】解：A、y＝﹣3x，k＝﹣3＜5，故此选项错误；B、y＝﹣x+4，k＝﹣1＜8，故此选项错误；C、y＝﹣，k＝﹣5＜4，在第四象限内y随x的增大而增大；D、y＝，k＝，当x＞0时，故此选项错误；故选：C．9．（3分）某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，依题意列方程为（）A．﹣＝5 B．﹣＝5 C．﹣＝5 D．【解答】解：设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，由题意得，﹣＝5．故选：A．10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0），对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b＝0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，其中正确的是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确；②∵对称轴x＝﹣＝2，∴2a+b＝0；故正确；③∵4a+b＝0，∴b＝﹣2a，∵当x＝﹣3时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c＝5a+c＜0，故错误；④根据图示知，当x＝1时；当m≠7时，有am2+bm+c＜a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x＜8时．故错误．故选：A．二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分）11．（3分）因式分解：a2﹣25＝（a﹣5）（a+5）．【解答】解：原式＝a2﹣57＝（a+5）（a﹣5）．故答案为：（a+5）（a﹣5）．12．（3分）若分式的值为0，则x＝﹣5．【解答】解：∵分式的值为6，∴|x|﹣5＝0且x﹣8≠0，解得：x＝﹣5．故答案为：﹣2．13．（3分）一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为15π．【解答】解：这个圆锥的底面圆的半径＝＝3，所以这个圆锥的侧面积＝×2π×6×5＝15π．故答案为：15π．14．（3分）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，OD⊥AB，垂足为E，连接OA，则OE的长度为1．【解答】解：如图，连接OB，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵OD⊥AB，∴＝，∠OEA＝90°，∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，∴∠OAE＝90°﹣60°＝30°，∴OE＝OA＝，故答案为：1．15．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，AC⊥y轴于点C，以O为位似中心把四边形OBAC放大得到四边形OB′A′C′，则经过点A′的反比例函数表达式为y＝．【解答】解：∵点A在反比例函数y＝上，∴S矩形ACOB＝4，∵以O为位似中心把四边形OBAC放大得到四边形OB′A′C′，且相似比为8：3，∴＝（）2＝，∴S矩形A′C′OB′＝9，∴过点A′的反比例函数表达式为：y＝，故答案为：y＝．16．（3分）在“双减”政策下，我校开展了丰富多彩的兴趣小组和社团活动．活动中小民邀请小刚玩“你想我猜”的游戏，游戏规则是：第一步：请小刚在心中想一个喜欢的数字，并记住这个数字；第二步：把喜欢的数字乘以2再加上6，得到一个新的数；第三步：把新得到的数除以2，写在纸条上交给小民．小民打开纸条看到数字6，马上就猜出了小刚喜欢的数，这个数是3．【解答】解：设小刚喜欢的数字为x，由题意可得：（2x+6）÷5＝6，解得x＝3，即小刚喜欢的数字为3，故答案为：3．三、解答题（本大题共9道小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分）17．（6分）计算：．【解答】解：．＝+1﹣2×＝+6﹣﹣2＝﹣2．18．（6分）先化简，再求值：（1+），其中x＝4．【解答】解：原式＝（+）＝＝；把x＝4代入中，原式＝＝．19．（6分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面AB的坡度i＝1：1.5，根据图中数据，求：（1）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）；（2）梯形ABCD的周长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：≈1.73，≈3.16，≈3.61）【解答】解：（1）∵斜面AB的坡度i＝1：1.6，AF＝DE＝6m，∴AF：BF＝1：3.5，∴6：BF＝5：1.5，∴BF＝4m，∴AB＝＝3，答：斜坡AB的长约为10.8m；（2）∵斜面CD的坡度i＝1：3，DE＝5m，∴DE：EC＝1：3，解得：EC＝18m，∴DC＝＝6，∴梯形ABCD的周长为：AB+AD+DC+BC＝10.7+18.96+5+9+3+18≈66.8（m），答：梯形ABCD的周长为66.8m．20．（12分）为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；C：一般；D：不达标，请你根据统计图解答下列问题：（1）此次调查的总人数为20；（2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是36°；（3）请将条形统计图补充完整；（4）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．【解答】解：（1）调查的总人数为：3÷15%＝20（人），故答案为：20；（2）360°×（1﹣50%﹣25%﹣15%）＝36°，答：扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是36°；故答案为：36；（3）C等级的人数有：20×25%＝3（人），C等级的女生人数有：5﹣2＝8（人），D等级的男生人数有：20﹣（1+2+8+4+5+6）＝1（人），补全统计图如下：（4）由题意画树形图如下：从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）＝＝．21．（6分）如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F（1）求证：四边形EBFD是菱形；（2）若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，∵AE＝CF，∴AO+AE＝CO+CF，即EO＝FO，∵BO＝DO，EO＝FO，∴四边形EBFD是菱形；（2）解：∵四边形EBFD是菱形，BD＝10，∴菱形EBFD的面积＝BD•EF＝．22．（6分）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？（3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案，请说明理由．【解答】解：（1）设购进1个甲型头盔需要x元，购进1个乙型头盔需要y元．根据题意，得，解得，；答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元；（2）设购进乙型头盔m个，则购进甲型头盔（200﹣m）个，根据题意，得：65m+30（200﹣m）≤10200，解得：m≤120，∴m的最大值为120；答：最多可购进乙型头盔120个；（3）能，根据题意，得：（58﹣30）（200﹣m）+（98﹣65）m≥6190；解得：m≥118；∴118≤m≤120；∵m为整数，∴m可取118，119或120，81或80；因此能实现利润不少于6190元的目标，该商场有三种采购方案：①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个；②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个；③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个．23．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，连接AP，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）求证：EF2＝4OD•OP；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求AC的长．【解答】解：（1）连接OB∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°∵OA＝OB，BA⊥PO于D∴AD＝BD，∠POA＝∠POB又∵PO＝PO∴△PAO≌△PBO（SAS）∴∠PAO＝∠PBO＝90°∴直线PA为⊙O的切线．（2）证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°∴∠OAD+∠AOD＝90°，∠OPA+∠AOP＝90°∴∠OAD＝∠OPA∴△OAD∽△OPA∴＝∴OA2＝OD•OP又∵EF＝2OA∴EF6＝4OD•OP；（3）∵OA＝OC，AD＝BD∴OD＝BC＝3设AD＝x∵tan∠F＝∴FD＝2x，OA＝OF＝2x﹣2在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2＝x2+37解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）∴AD＝4，OA＝7x﹣3＝5∵AC是⊙O的直径∴AC＝8OA＝10．∴AC的长为10．24．（12分）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是0或2或﹣；（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0）（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PC，BC，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在【解答】解：（1）①当a﹣2＝0时，即a＝6时，y关于x的函数解析式为y＝3x+，此时y＝3x+与x轴的交点坐标为（﹣，与y轴的交点坐标为（6，）；②当a﹣5≠0时，y关于x的函数为二次函数，∵二次函数图象抛物线与坐标轴有两个交点，∴抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点与y轴一个交点两种情况．当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时，由题意得b＝0，此时a＝62+x．当y＝0时，﹣4x2+x＝0，解得x5＝0，x2＝．∴其图象与x轴的交点坐标为（0，6）（．当抛物线与x轴有一个交点与y轴有一个交点时，由题意得，y＝（a﹣8）x2+（a+1）x+b所对应的一元二次方程（a﹣5）x2+（a+1）x+b＝3有两个相等实数根．∴Δ＝（a+1）2﹣5（a﹣2）×a＝0，解得a＝﹣，此时y＝﹣x3+x﹣，当x＝0时，y＝﹣，∴与y轴的交点坐标为（7，﹣），当y＝0时，﹣x2+x﹣，解得x8＝x2＝，∴与x轴的交点坐标为（，3），综上所述，若y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+6）x+b的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为2，0，﹣，故答案为：2或4或﹣；（2）①如图，设直线l与BC交于点F，根据题意得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x8+2x+8，当x＝2时，y＝8，∴C（0，2），∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+7，点P为抛物线顶点，∴P（1，9），∵B（4，0），8），∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，∴F（1，2），∴PF＝9﹣6＝5，∴△PBC的面积＝OB•PF＝；②S1﹣S2存在最大值，理由：如图，设直线x＝m交x轴于H，由①得，OB＝8，AB＝6，AH＝2+m，﹣m8+2m+8），∴PH＝﹣m5+2m+8，∵OD∥PH，∴△AOD∽△AHP，∴，∴，∴OD＝8﹣5m，∵S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AOD﹣S△OBC＝＝﹣5m2+8m＝﹣4（m﹣）3+，∵﹣3＜2，0＜m＜4，∴当m＝时，S1﹣S7存在最大值，最大值为．25．（12分）【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，CD＝4，连接AC．若AC＝A