福建省福清市海口镇高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角差的余弦公式教学实录 新人教A版必修4

福建省福清市海口镇高中数学第三章三角恒等变换3.1两角差的余弦公式教学实录新人教A版必修4学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：福建省福清市海口镇高中数学第三章三角恒等变换3.1两角差的余弦公式

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2023年4月10日星期一上午第二节课

4.教学时数：1课时核心素养目标学情分析高一年级的学生正处于从初中向高中过渡的关键时期，他们在数学学习上表现出以下特点：

1.知识基础：学生在初中阶段已经学习了基本的三角函数知识，对正弦、余弦、正切等概念有初步的理解。然而，对于三角恒等变换这一高级概念，学生的掌握程度参差不齐，部分学生可能对公式的推导过程和实际应用感到困惑。

2.能力水平：学生的数学思维能力逐渐增强，但抽象思维能力仍需培养。在解决三角恒等变换问题时，学生往往依赖于记忆公式，缺乏对公式的灵活运用和推导能力。

3.素质培养：学生在高中阶段需要培养的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力在三角恒等变换的学习中尤为重要。此外，学生的合作学习能力和自主学习能力也是本课程学习的关键。

4.行为习惯：部分学生可能存在依赖老师的讲解，缺乏主动思考和探索的习惯。在课堂上，学生的参与度和积极性需要进一步提高。

5.对课程学习的影响：由于三角恒等变换是高中数学中的重要内容，对于后续学习解三角方程、三角函数图像与性质等知识有着直接的影响。因此，本课程的学习对于学生整体数学素养的提升具有重要意义。

针对以上学情分析，本节课将注重培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力，引导学生通过自主探索、合作交流等方式掌握两角差的余弦公式，提高学生的数学应用能力和解决问题的能力。同时，通过课堂互动和反馈，逐步培养学生良好的学习习惯和自主学习能力。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过讲解两角差的余弦公式的基本概念和推导过程，帮助学生建立清晰的知识框架。

2.讨论法：组织学生分组讨论公式的应用，鼓励学生提出问题并分享解题思路，培养学生的合作能力和批判性思维。

3.实践法：设计实际例题，让学生动手计算，加深对公式的理解和应用。

教学手段：

1.多媒体辅助教学：利用PPT展示公式推导步骤和典型例题，提高课堂视觉效果。

2.网络资源整合：引入在线数学工具和软件，让学生通过互动式学习加深对公式的理解。

3.课堂练习反馈：利用电子设备收集学生练习情况，实时反馈教学效果，调整教学策略。教学流程1.导入新课（用时5分钟）

-教师首先回顾上节课学习的正弦和余弦函数的基本性质，引导学生思考如何运用这些性质来解决更复杂的三角问题。

-展示一个实际问题，如测量两棵树之间的距离，已知从地面到一棵树的仰角和另一棵树的俯角，要求计算两棵树之间的水平距离。

-提问学生如何利用已知的三角函数知识来解决这个问题，激发学生对新知识的学习兴趣。

2.新课讲授（用时15分钟）

-教师讲解两角差的余弦公式的基本形式和推导过程，通过几何图形和公式变换帮助学生理解公式的来源。

-举例说明公式的应用，如计算两个角度之差的余弦值，以及如何使用公式简化三角函数的表达式。

-通过动画或动态图形展示公式的几何意义，帮助学生直观理解两角差的余弦公式。

3.实践活动（用时10分钟）

-分发练习题，让学生独立完成，题目包括直接使用公式计算和推导公式。

-学生在练习过程中，教师巡视指导，解答学生提出的问题。

-选择几组学生的答案进行展示和讨论，让学生学会如何检查自己的计算过程。

4.学生小组讨论（用时10分钟）

-学生分组讨论以下三个问题：

1.如何判断何时使用两角差的余弦公式？

-例如：讨论在什么情况下，使用两角差的余弦公式比直接计算更简便。

2.公式在解决实际问题中的应用实例。

-例如：讨论如何用公式解决测量问题，如计算两车之间的相对速度。

3.公式与其他三角恒等式的关系。

-例如：讨论两角差的余弦公式与和差化积公式的联系。

5.总结回顾（用时5分钟）

-教师引导学生回顾本节课所学内容，强调两角差的余弦公式的重要性。

-提出一些思考题，如公式的逆过程是什么，如何运用公式进行三角函数的周期性分析。

-学生分享讨论中的心得体会，教师进行总结和补充。知识点梳理1.两角差的余弦公式

-公式形式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

-推导过程：通过构建直角三角形，利用三角函数的定义和角度的关系进行推导。

-应用：用于计算两个角度之差的余弦值，简化三角函数的表达式，解决实际问题。

2.两角差的正弦公式

-公式形式：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

-推导过程：与余弦公式类似，通过构建直角三角形，利用三角函数的定义和角度的关系进行推导。

-应用：用于计算两个角度之差的正弦值，简化三角函数的表达式，解决实际问题。

3.两角差的正切公式

-公式形式：tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

-推导过程：与正弦和余弦公式类似，通过构建直角三角形，利用三角函数的定义和角度的关系进行推导。

-应用：用于计算两个角度之差的正切值，简化三角函数的表达式，解决实际问题。

4.两角差的余割公式

-公式形式：sec(α-β)=1/cos(α-β)

-推导过程：基于余弦公式，利用余弦的倒数性质进行推导。

-应用：用于计算两个角度之差的余割值，简化三角函数的表达式，解决实际问题。

5.两角差的正割公式

-公式形式：csc(α-β)=1/sin(α-β)

-推导过程：基于正弦公式，利用正弦的倒数性质进行推导。

-应用：用于计算两个角度之差的正割值，简化三角函数的表达式，解决实际问题。

6.两角差的余切公式

-公式形式：cot(α-β)=1/tan(α-β)

-推导过程：基于正切公式，利用正切的倒数性质进行推导。

-应用：用于计算两个角度之差的余切值，简化三角函数的表达式，解决实际问题。

7.公式的应用

-简化三角函数表达式：通过应用两角差的公式，可以将复杂的三角函数表达式简化为更简单的形式。

-解三角方程：在解三角方程时，可以运用两角差的公式将方程转化为更易解的形式。

-解决实际问题：在几何、物理等领域，两角差的公式可以用于解决涉及角度差的实际问题。

8.公式的证明

-几何证明：通过构建直角三角形，利用三角函数的定义和角度的关系进行证明。

-代数证明：通过三角函数的和差化积公式和恒等式进行证明。

9.注意事项

-正确记忆公式：两角差的公式需要正确记忆，避免混淆。

-公式的适用范围：了解公式的适用范围，避免错误使用。

-计算精度：在计算过程中注意精度，避免因四舍五入导致结果不准确。教学反思与改进这节课下来，我对两角差的余弦公式这一部分的教学进行了一些反思。首先，我想说的是，课堂的整体氛围还是不错的，学生们对新的知识表现出了较高的兴趣，这也是让我感到欣慰的地方。但是，在教学过程中，我也发现了一些问题，需要我在今后的教学中加以改进。

首先，我觉得在导入新课的时候，我可以更加注重学生的已有知识基础。我发现，有些学生在对两角差的余弦公式进行推导和理解时，还是有些吃力的。这可能是因为他们在初中阶段对三角函数的理解不够深入，或者是记忆不够牢固。所以，我打算在今后的教学中，花更多的时间帮助学生巩固和复习相关的三角函数知识，比如正弦、余弦、正切的定义和性质，这样可以为学习两角差的公式打下更坚实的基础。

其次，我发现有些学生在实践活动中的参与度不高。虽然我设计了不同的练习题，但似乎没有激发起所有学生的积极性。有的学生只是简单地完成作业，没有深入思考和探索。我认为，可能是因为练习题的设计不够多样化，或者是难度过大，让学生感到无从下手。因此，我计划在未来的教学中，根据学生的不同水平和兴趣，设计更多样化、更具挑战性的练习题，同时也会尝试引入一些与生活实际相关的例子，让学生感受到数学的实用性和趣味性。

再次，我在学生小组讨论环节发现，有些学生虽然能回答出问题，但答案缺乏深度和逻辑性。这可能是因为他们缺乏独立思考和表达的能力。为了改善这一点，我打算在今后的教学中，更加注重培养学生的批判性思维和表达技巧。比如，可以让学生在讨论前先独立思考，然后鼓励他们在小组内进行充分的交流，最后选取代表进行全班分享，这样可以提高学生的参与度和表达效果。

最后，我觉得在教学过程中，我应该更加关注学生的学习效果。虽然我在课堂上进行了提问和互动，但似乎还不足以全面了解学生对知识的掌握情况。因此，我计划在今后的教学中，增加一些形式多样的评估方式，比如课堂小测验、课后作业、小组展示等，以便更准确地把握学生的学习进度和难点。课后作业1.计算题

-题目：已知cos(α-β)=0.8，sinα=0.6，求sinβ的值。

-解答：由cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，得0.8=0.6cosβ+0.8sinβsinβ。

解得sinβ=0.4。

2.应用题

-题目：在直角三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，求∠C的正切值。

-解答：∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-45°=105°。

tanC=tan(105°)=tan(60°+45°)=(tan60°+tan45°)/(1-tan60°tan45°)=(√3+1)/(1-√3)。

3.推导题

-题目：已知cos(α-β)=1/2，sinα=1/2，求cosβ的值。

-解答：由cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，得1/2=1/2cosβ+1/2sinβsinβ。

解得cosβ=1/2。

4.综合题

-题目：在△ABC中，∠A=60°，∠B=30°，AB=5cm，求BC的长度。

-解答：由∠A=60°，∠B=30°，得∠C=180°-60°-30°=90°。

在直角三角形ABC中，sinA=BC/AB，得BC=AB*sinA=5cm*(√3/2)=5√3/2cm。

5.创新题

-题目：已知cos(α-β)=1/3，且α和β都是锐角，求α和β的度数。

-解答：由cos(α-β)=1/3，且α和β都是锐角，可以推断出α-β的取值范围在(0°,90°)之间。

在这个范围内，cos(α-β)=1/3对应的α-β的值可以通过查表或计算得出，这里假设α-β≈70.53°。

因为α和β都是锐角，我们可以通过试错法或利用反三角函数求解α和β的具体值。例如，假设α=40°，则β=α-70.53°≈69.47°；

假设α=70°，则β=α-70.53°≈69.47°。因此，α和β的度数大约为40°和69.47°。课堂小结，当堂检测课堂小结：

今天我们学习了三角恒等变换中的两角差的余弦公式。首先，我们回顾了三角函数的基本性质，包括正弦、余弦和正切的定义和性质。接着，我们通过构建直角三角形，利用三角函数的定义和角度的关系推导出了两角差的余弦公式。

在课堂讲解过程中，我们通过几何图形和公式变换，帮助学生理解了公式的来源，并通过具体的例子展示了公式的应用。学生们在实践活动中积极参与，通过独立完成练习题，加深了对公式的理解和应用。

在小组讨论环节，学生们分享了他们在讨论中的心得体会，我们讨论了如何判断何时使用两角差的余弦公式，以及公式在解决实际问题中的应用实例。这些讨论让学生们更加深入地理解了公式的实际意义。

现在，让我们来做一个简单的课堂小结：

1.两角差的余弦公式的基本形式和推导过程。

2.公式的应用，包括计算两个角度之差的余弦值，以及如何使用公式简化三角函数的表达式。

3.公式在解决实际问题中的应用，如测量问题、解三角方程等。

当堂检测：

为了检测学生对本节课内容的掌握情况，我们将进行以下几道题目的检测：

1.已知cos(α-β)=0.6