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文档简介

2024-2025学年新疆维吾尔自治区阿克苏市高考数学试题仿真卷:数学试题试卷(6)注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,若关于的方程有且只有一个实数根,则实数的取值范围是()A. B.C. D.2.复数的实部与虚部相等,其中为虚部单位,则实数()A.3 B. C. D.3.如图所示,正方体的棱,的中点分别为,,则直线与平面所成角的正弦值为()A. B. C. D.4.若函数的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数的图像可能是()A. B. C. D.5.已知随机变量满足,,.若,则()A., B.,C., D.,6.半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示,图中网格是边长为1的正方形,粗线部分是某二十四等边体的三视图,则该几何体的体积为()A. B. C. D.7.已知,,是平面内三个单位向量,若,则的最小值()A. B. C. D.58.复数(为虚数单位),则的共轭复数在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限9.已知双曲线的一条渐近线为,圆与相切于点,若的面积为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.10.已知集合,,则A. B.C. D.11.已知函数,且的图象经过第一、二、四象限,则,,的大小关系为()A. B.C. D.12.已知实数、满足不等式组,则的最大值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F,两曲线的一个交点为P,若|FP|=5,则点F到双曲线的渐近线的距离为_____.14.有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球,从中随机取出4个,则取出球的编号互不相同的概率为_______________.15.定义,已知,,若恰好有3个零点,则实数的取值范围是________.16.若函数在区间上恰有4个不同的零点,则正数的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,侧棱底面,,,,,是棱中点.(1)已知点在棱上,且平面平面,试确定点的位置并说明理由;(2)设点是线段上的动点,当点在何处时,直线与平面所成角最大?并求最大角的正弦值.18.(12分)在平面直角坐标系中,已知抛物线C:()的焦点F在直线上,平行于x轴的两条直线,分别交抛物线C于A,B两点,交该抛物线的准线于D,E两点.(1)求抛物线C的方程;(2)若F在线段上,P是的中点,证明:.19.(12分)已知函数,.(1)若函数在上单调递减,且函数在上单调递增,求实数的值;(2)求证:(,且).20.(12分)已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)若存在两个极值点,,证明:.21.(12分)某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况,从该校上一届高三(1)班到高三(5)班随机抽取50人,得到各班抽取的人数和其中本科上线人数,并将抽取数据制成下面的条形统计图.(1)根据条形统计图,估计本届高三学生本科上线率.(2)已知该省甲市2020届高考考生人数为4万,假设以(1)中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.(i)若从甲市随机抽取10名高三学生,求恰有8名学生达到本科线的概率(结果精确到0.01);(ii)已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万,假设该市每个考生本科上线率均为,若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市,求p的取值范围.可能用到的参考数据:取,.22.(10分)如图,在四棱锥中,平面平面,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若锐二面角的余弦值为,求直线与平面所成的角.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】

利用换元法设,则等价为有且只有一个实数根,分三种情况进行讨论,结合函数的图象,求出的取值范围.【详解】解:设,则有且只有一个实数根.当时,当时,,由即,解得,结合图象可知,此时当时,得,则是唯一解,满足题意;当时,此时当时,,此时函数有无数个零点,不符合题意;当时,当时,,此时最小值为,结合图象可知,要使得关于的方程有且只有一个实数根,此时.综上所述:或.故选:A.本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法,数形结合是解决本题的关键.2.B【解析】

利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知,,所以,解得.故选:B本题考查复数的概念及复数的乘法运算,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.3.C【解析】

以D为原点,DA,DC,DD1分别为轴,建立空间直角坐标系,由向量法求出直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值.【详解】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,则,,,取平面的法向量为,设直线EF与平面AA1D1D所成角为θ,则sinθ=|,直线与平面所成角的正弦值为.故选C.本题考查了线面角的正弦值的求法,也考查数形结合思想和向量法的应用,属于中档题.4.B【解析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象,即可排除;对B满足函数定义,故符合;对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况,不符合函数的定义,从而可以否定;对D因为值域当中有的元素没有原象,故可否定.故选B.5.B【解析】

根据二项分布的性质可得:,再根据和二次函数的性质求解.【详解】因为随机变量满足,,.所以服从二项分布,由二项分布的性质可得:,因为,所以,由二次函数的性质可得:,在上单调递减,所以.故选:B本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.6.D【解析】

根据三视图作出该二十四等边体如下图所示,求出该几何体的棱长,可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的,可求出其体积.【详解】如下图所示,将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中,由三视图可知,该几何体的棱长为,它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的,该几何体的体积为,故选:D.本题考查三视图,几何体的体积,对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到,属于中档题.7.A【解析】

由于,且为单位向量,所以可令,,再设出单位向量的坐标,再将坐标代入中,利用两点间的距离的几何意义可求出结果.【详解】解:设,,,则,从而,等号可取到.故选:A此题考查的是平面向量的坐标、模的运算,利用整体代换,再结合距离公式求解,属于难题.8.C【解析】

由复数除法求出,写出共轭复数,写出共轭复数对应点坐标即得【详解】解析:,,对应点为,在第三象限.故选:C.本题考查复数的除法运算,共轭复数的概念,复数的几何意义.掌握复数除法法则是解题关键.9.D【解析】

由圆与相切可知,圆心到的距离为2,即.又,由此求出的值,利用离心率公式,求出e.【详解】由题意得,,,.故选:D.本题考查了双曲线的几何性质,直线与圆相切的性质,离心率的求法,属于中档题.10.D【解析】

因为,,所以,,故选D.11.C【解析】

根据题意,得,,则为减函数,从而得出函数的单调性,可比较和,而,比较,即可比较.【详解】因为,且的图象经过第一、二、四象限,所以,,所以函数为减函数,函数在上单调递减,在上单调递增,又因为,所以,又,,则|,即,所以.故选:C.本题考查利用函数的单调性比较大小,还考查化简能力和转化思想.12.A【解析】

画出不等式组所表示的平面区域,结合图形确定目标函数的最优解,代入即可求解,得到答案.【详解】画出不等式组所表示平面区域,如图所示,由目标函数,化为直线,当直线过点A时,此时直线在y轴上的截距最大,目标函数取得最大值,又由,解得,所以目标函数的最大值为,故选A.本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

设点为,由抛物线定义知,,求出点P坐标代入双曲线方程得到的关系式,求出双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】由题意得F(2,0),因为点P在抛物线y2=8x上,|FP|=5,设点为,由抛物线定义知,,解得,不妨取P(3,2),代入双曲线-=1,得-=1,又因为a2+b2=4,解得a=1,b=,因为双曲线的渐近线方程为,所以双曲线的渐近线为y=±x,由点到直线的距离公式可得,点F到双曲线的渐近线的距离.故答案为:本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质;考查运算求解能力和知识迁移能力;灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.14.【解析】试题分析:从编号分别为1,1,3,4,5的5个红球和5个黑球,从中随机取出4个,有种不同的结果,由于是随机取出的,所以每个结果出现的可能性是相等的;设事件为“取出球的编号互不相同”,则事件包含了个基本事件,所以.考点:1.计数原理;1.古典概型.15.【解析】

根据题意,分类讨论求解,当时,根据指数函数的图象和性质无零点,不合题意;当时,令,得,令,得或,再分当,两种情况讨论求解.【详解】由题意得:当时,在轴上方,且为增函数,无零点,至多有两个零点,不合题意;当时,令,得,令,得或,如图所示:当时,即时,要有3个零点,则,解得;当时,即时,要有3个零点,则,令,,所以在是减函数,又,要使,则须,所以.综上:实数的取值范围是.故答案为:本题主要考查二次函数,指数函数的图象和分段函数的零点问题,还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力,利用导数判断函数单调性,属于中档题.16.;【解析】

求出函数的零点,让正数零点从小到大排列,第三个正数零点落在区间上,第四个零点在区间外即可.【详解】由,得,,,,∵,∴,解得.故答案为:.本题考查函数的零点,根据正弦函数性质求出函数零点,然后题意,把正数零点从小到大排列,由于0已经是一个零点,因此只有前3个零点在区间上.由此可得的不等关系,从而得出结论,本题解法属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)为中点,理由见解析;(2)当点在线段靠近的三等分点时,直线与平面所成角最大,最大角的正弦值.【解析】

(1)为中点,可利用中位线与平行四边形性质证明,,从而证明平面平面;(2)以A为原点,分别以,,所在直线为、、轴建立空间直角坐标系,利用向量法求出当点在线段靠近的三等分点时,直线与平面所成角最大,并可求出最大角的正弦值.【详解】(1)为中点,证明如下:分别为中点,又平面平面平面又,且四边形为平行四边形,同理,平面,又平面平面(2)以A为原点,分别以,,所在直线为、、轴建立空间直角坐标系则,设直线与平面所成角为,则取平面的法向量为则令,则所以当时,等号成立即当点在线段靠近的三等分点时,直线与平面所成角最大,最大角的正弦值.本题主要考查了平面与平面的平行,直线与平面所成角的求解,考查了学生的直观想象与运算求解能力.18.(1);(2)见解析【解析】

(1)根据抛物线的焦点在直线上,可求得的值,从而求得抛物线的方程;(2)法一:设直线,的方程分别为和且,,,可得,,,的坐标,进而可得直线的方程,根据在直线上,可得,再分别求得,,即可得证;法二:设,,则,根据直线的斜率不为0,设出直线的方程为,联立直线和抛物线的方程,结合韦达定理,分别求出,,化简,即可得证.【详解】(1)抛物线C的焦点坐标为,且该点在直线上,所以,解得,故所求抛物线C的方程为(2)法一:由点F在线段上,可设直线,的方程分别为和且,,,则,,,.∴直线的方程为,即.又点在线段上,∴.∵P是的中点,∴∴,.由于,不重合,所以法二:设,,则当直线的斜率为0时,不符合题意,故可设直线的方程为联立直线和抛物线的方程,得又,为该方程两根,所以,,,.,由于,不重合,所以本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线的定义,考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题.19.(1)1;(2)见解析【解析】

(1)分别求得与的导函数,由导函数与单调性关系即可求得的值;(2)由(1)可知当时,,当时,,因而,构造,由对数运算及不等式放缩可证明,从而不等式可证明.【详解】(1)∵函数在上单调递减,∴,即在上恒成立,∴,又∵函数在上单调递增,∴,即在上恒成立,,∴综上可知,.(2)证明:由(1)知,当时,函数在上为减函数,在上为增函数,而,∴当时,,当时,.∴∴即,∴.本题考查了导数与函数单调性关系,放缩法在证明不等式中的应用,属于难题.20.(1)见解析;(2)见解析【解析】

(1)求得的导函数,对分成两种情况,讨论的单调性.(2)由(1)判断出的取值范围,根据韦达定理求得的关系式,利用差比较法,计算,通过构造函数,利用导数证得,由此证得,进而证得不等式成立.【详解】(1).当时,,此时在上单调递减;当时,由解得或,∵是增函数,∴此时在和单调递减,在单调递增.(2)由(1)知.,,,不妨设,∴,,令,∴,∴在上是减函数,,∴,即.本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论

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