特殊平行四边形（易错必刷32题7种题型专项训练）解析版

第1章特殊平行四边形（易错必刷32题7种题型专项训

练）

・题型目录展示♦

A直角三角形斜边上的中线A正方形的性质

A菱形的性质A正方形的判定

A矩形的性质A梯子模型

A矩形的判定

—题型通关专训♦

一.直角三角形斜边上的中线（共3小题）

1.在中，ZACB=90°,。为斜边AB的中点.若AC=8,BC=6,则CD的长为（）

A.10B.6C.5D.4

【答案】C

【解答】解：VZACB=90°,AC=8,BC=6,

：TAB=VAC2+BC2=VS2+62=10,

为斜边A3的中点，

：.CD=1AB=5,

2

故选：C.

2.如图所示，在△ABC中，AB=AC,BC=6,AF±BCF,BE_LAC于E,点。是48的中点，ADEF

的周长是10,则SAABC是（）

A

A.6A/5B.6710C.7%D.18

【答案】B

【解答】解：'：AB=AC,BC=6,AF±BC,

：.BF=1.BC=3,

2

"：BE±AC,

：.ZBEC=ZBEA=90°,

：.EF=^BC=3,

2

,点。是AB的中点，

：.DF=^AB,DE=^AB,

22

「△OE尸的周长是10,

：.DF+DE+EF=W,

.-.AAB+AAB+3=IO,

22

解得：AB=7,

在RtAAFB中，AF=VAB2-BF2=^72-32=2Vl0，

/.S^ABC=—BC*AF=AX6X2VT0=6A/TO，

22

故选：B.

3.如图，在△ABC中，BC=40,BZ)_LAC于点。，CE_LAB于点E,F、G分别是BC、OE1的中点，若DE

=24,则FG的长度为16.

BFC

【答案】16.

【解答】解：连接。EEF,

'JBDLAC,CE±AB,

：.ZBDC=ZBEC=90°,

二•点尸是的中点,BC=40,

：.DF=^BC=20,EF=ABC=20,

22

：.DF=EF=20,

•.•点G是。E的中点，

：.DG=l.DE=n,FGLDE,

2

在RtADGF中,—6=加/2_口02=4202_]22=16,

故答案为：16.

二.菱形的性质（共2小题）

4.如图，边长为1的菱形ABCQ中，ZDAB=60°,连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC16,

使/。MC=60°；连接AQ,再以AC1为边作第三个菱形AQC2O2,使/。皿。=60°,…，按此规律

所作的第2023个菱形的边长为（）

A.（6）2021B.（6）2022c.（右）2023D.（右）2024

【答案】B

【解答】解：连接8。，交AC于点0,

C.

.四边形ABCD是菱形，

NAOB=90°，0B=LBD,OA—AC,DA=AB=1,

22

'：ZDAB=6Q°,

...△AOB是等边三角形，

：.BD=AB=AD=1,

：.OB=l-BD=k,

22

一。=4AB2-OB2=JF-g）2=亨,

；.4C=2A0=百，

同理可得：AC1=3,

•••第1个菱形的边长=1=（«）°,

第2个菱形的边长=“=（«）1,

第3个菱形的边长=3=（V3）2,

.•.第2023个菱形的边长=（V3）2022,

故选：B.

5.如图，点尸是菱形对角线8。上一动点，点E是线段3c上一点，且CE=4BE,连接ERCF,设的

长为x,EP+CF=y，点/从点8运动至U点。时，y随无变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是（）

A.2B.12遥C.4A/2D.等

55

【答案】B

【解答】解：如图1,连接ARAE,AE交BD于F1,

C

图1

,/在菱形ABCD中点A,点C关于BD对称,

：.AF^CF,

：.y=EF+CF=EF+AFf

当A、F、石三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长,

如图2,当％=0时，y=6,

-----------------1------►

O6x

图2

设BE=a,贝！JCE=4a,

•・y=〃+5〃=6,

••a'='1,

：.BC=5,

由图2知：BD=6,

如图3,连接AC交5。于G,连接EG,过点£作以/_14。于H,

图3

•••四边形ABCO是菱形,

J.ACLBD,BG=LBD=3,

2

由勾股定理得：CG=4,

二△ECG的面积=4SZXBCG=-1・CG・E”，

52

/.AxAX3X4=AX4XEH,

522

：.EH=H,

5

•••CH=VCE2-EH2=J42-（^）2=-^-

V□D

：.AH=AC-CH=8-

55

AE=VAH2+EH2=J管）2+（卷）2=卷泥,

即图象最低点的纵坐标是空泥.

5

故选：B.

三.矩形的性质（共8小题）

6.下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）

A.对角线相等B.对角线互相平分

C.对角线互相垂直D.对边相等且平行

【答案】C

【解答】解：A.因为矩形的对角线相等，所以A选项不符合题意;

B.因为矩形和菱形的对角线都互相平分，所以B选项不符合题意;

C.因为菱形对角线互相垂直，所以C选项符合题意；

D.因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意.

故选：C.

7.定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.如图，在平

面直角坐标系xOy中，矩形。4BC的边。4=3,0C=4,点M（2,0）,在边A2存在点P,使得△口”

为“智慧三角形”，则点尸的坐标为（）

2

C.（3,A）或（3,1）D.（3,A）或（3,1）或（3,3）

22

【答案】D

【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，NCPM=90°或NCMP=90°,

CP1=BP1+BC1=(4-a)2+9,

在RtZXMBA中，由勾股定理得：

MP2=M^+AP2=1+/,

在RtZxMPC中，由勾股定理得：

CM1=MP^CP2=1+a2+(4-a)2+9=2a2-Sa+26,

又•?CM2=OM2+OC2=4+16=20,

/.2a2-8a+26=20,

/.(〃-3)(tz-1)=0,

解得：a=3或a=l,

：.P(3,3)或(3,1)；

②若NCMP=90°,在RtZiBCP中，由勾股定理得：

CP2^BP2+BC2^(4-a)2+9,

在RtZ\MB4中，由勾股定理得：

MP2=MA2+AP2=l+a2,

\'Cl\fi=OM2+OC2=2Q,

在RtAJWCP中，由勾股定理得：

CM1+MP1=CP1,

；.20+1+/=(4-a)2+9,

解得：°=工

2

：.P(3,A).

2

综上，P(3,A)或(3,1)或(3,3).

2

故选：D.

8.如图，矩形A8CD的对角线AC,BD交于点、O,AB=6,BC=8,过点。作OEJ_AC,交AD于点E,过

点E作EFLBD,垂足为F,则OE+EF的值为()

5555

【答案】c

【解答】解：：AB=6,BC=8,

矩形的面积为

ABCD48,AC=^AB2+BC2=IO,

：.AO=DO=^AC=5,

2

:对角线AC,BD交于点、O,

...△A。。的面积为12,

'：EO.LAO,EFLDO,

SMOD=SMOE+S^DOE,即12=AAOX£O+ADOXEF,

22

.,.12=-lx5XEO+1.X5XEF,

22

A5(EO+EF)=24,

；.EO+EF=建，

5

故选：C.

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABC。是矩形，且3(8,4),动点E从点A出发，以每秒1

个单位的速度沿线段AB向点B运动，同时动点F从点8出发，以同样每秒1个单位的速度沿折线BC

-C。向点。运动，当E,尸有一点到达终点时，点、E,尸同时停止运动.设点E,厂运动时间为f秒，

在运动过程中，如果AE=3CR那么t=3或6秒.

0Cx

【答案】3或6.

【解答】解：当尸在5C边上，如图:

___一_、

IF

由题意得：AE=t,BF=t,CF=4-t,

9

：AE=3CFf

.,./=3(4-t),

/.t=3.

当尸在OC上时，如图:

VAE=3CF,

.\t=3(L4),

/.t=6,

♦・,当E,尸有一点到达终点时，点E,尸同时停止运动，

・・・00<8,

At=6符合题意.

故答案为：3或6

10.如图，0为坐标原点，四边形048。为矩形，A(20,0),C(0,8),。为04的中点，点P在边6。

上运动，当尸。=0。时，点P的坐标为(4,8)或(16,8)_.

1

D

【答案】(4,8)或(16,8).

【解答】解：如图，作OHL8C于"，

一

DA^x

•.,。为04的中点，A(20,0),

：.OD=10,

•:DP=DO,

；.£>P=10,

当点尸在反左边时，

22

在RtzXDX尸中，由勾股定理得，VDP-DH=V102-82=6,

当点尸在//右边时，HP=PH=6,

；.CP=4,CP'=16,

：.P(4,8)或(16,8),

故答案为：(4,8)或(16,8).

11.如图，矩形4BCZ)中，BC=6,AB=3,R在CD边上，且CR=1,P为上一动点，E、E分别是AP、

RP的中点，当尸从B向C移动时，线段斯的长度为_

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图，连接AR

•..四边形ABC。是矩形，

：.ZD=90°,

；BC=6,A2=3,CR=1,

：.AD=6,DR=2,

：.AR=y]^+22=2y[ld，

'：AE=EP,PF=FR,

.•.EF=AA/?=AX2A/1Q=>/TQ,

22

故答案为：Vio.

12.已知，如图，在长方形ABC。中，AB=4,AD=6.延长3c到点E,使CE=3,连接。E.

（1）动点尸从点8出发，以每秒1个单位的速度沿2C-CD-D4向终点A运动，设点尸运动的时间为

/秒，求当，为何值时，△A8P和△£＞（?£全等？

（2）若动点P从点2出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接。尸.设点尸运动的

时间为/秒，是否存在3使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出f的值；否则，说明理由.

【答案】（1）当f为3或13时，△ABP和△£＞（7£1全等;

（2）t=3或4或29时，汨为等腰三角形.

6

【解答】解：（1）若AABP与4DCE全等,

：.BP^CE^AP^CE,

当BP=CE=3时，贝卜=3+1=3,

当AP=CE=3时，则-（6+6+4-3）+1=13,

当/为3或13时，ZXABP和△OCE全等；

（2）:四边形ABCZ）是矩形，

：.AB=CD=4,AD=BC=6,CDLBC,

在RtZkDCE中，CE=3,

•■-D£=VDC2-H:E2=5,

若为等腰三角形，

当尸£>=£>£；时,

■:PD=DE,DCLBE,

:・PC=CE=3,

•：BP=BC-CP=3,

・"3+1=3,

当PE=DE=5时，

•；BP=BE-PE,

：.BP=9-5=4,

.,.^=44-1=4,

当尸D=PE时，

；・PE=PC+CE=3+PC,

：・PD=3+PC,

在RtZ^PDC中，DP1=CD1+PC1.

：.(3+PC)2=16+PC2,

：.PC=L,

6

•：BP=BC-PC,

・・・5尸=组

6

・t=29j=29

66

综上所述：当t=3或4或丝时，△2£)£为等腰三角形.

6

13.已知：如图，。为坐标原点，四边形。42c为矩形，B(5,2),点。是中点，点尸在8C上以每

秒2个单位的速度由C向8运动，设动点P的运动时间为/秒.

(1)f为何值时，四边形PODB是平行四边形？

(2)在直线CB上是否存在一点Q,使得0、D、°、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，

并求出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴t=1.25.

(2)(4,2)或(1.5,2)或(-1.5,2).

【解答】解：(1).••四边形QWC为矩形，B(5,2),

：.BC=OA=5,AB=OC=2,

•.•点。时。4的中点，

.*.0。=_1。4=2.5,

2

由运动知，PC=2t,

：.BP=BC-PC=5-2t,

•：四边形PODB是平行四边形，

：.PB=OD=2.5,

・・・5-2/=2.5,

1.25；

・・,四边形0。。尸为菱形，

：.OD=OP=PQ=2.5,

在RtZXO尸。中，由勾股定理得：尸。=1.5,

：.2t=1.5；

.•・/=0.75,

：.Q(4,2)；

②当。点在P的左边且在BC线段上时，如图,

：.Q(1.5,2),

③当Q点在P的左边且在的延长线上时，如图,

：.Q(-1.5,2)；

综上，。点坐标为(4,2)或(1.5,2)或(-1.5,2).

14.如图，在矩形ABCD中，过对角线8。的中点。作8。的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.

(1)求证：4D0E沿ABOF；

(2)若AB=6,AD=8,连接BE,DF,求四边形化的周长.

【答案】(1)答案见解答；

(2)25.

【解答】(1)证明：：四边形488是矩形,

：.AD//BC,

:.NEDO=NFBO,

为2。的中点,

：.OB=OD,

又「EFIBD,

：.ZEOD=ZFOB=90°,

在△OOE和△BOB中，

，ZED0=ZFB0

<DO=BO>

ZE0D=ZF0B=90o

:.ADOE咨ABOF(ASA)；

(2)解：•.•由(1)可得，ED//BF,ED=BF,

四边形BFDE是平行四边形,

"：EF±BD,

...四边形BFDE是菱形,

根据AB=6,AD—8,设AE=x,nJ#BE—ED—8-x,

在RtZkABE中，根据勾股定理可得：BE1=AB2+AE1,

即(8-x)2=X2+62,

解得：xJ，

4

44

四边形BFDE的周长=空义4=25-

4

四.矩形的判定（共3小题）

15.如图，在四边形A8C。中，AC与2。相交于点。，AD//BC,AC=BD,那么下列条件中不能判定四边

形4BCD是矩形的是（）

C./DAB=NABCD./DAB=/DCB

【答案】B

【解答】解：A.当AD=BC,AO〃BC时，四边形ABC。是平行四边形，再依据AC=BD,可得四边形

4BCD是矩形;

B.当AB=CD,AO〃BC时，四边形ABC。不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形；

C.^iZDAB=ZABC,A£）〃BC时，ZDAB=ZCBA=90°,再根据AC=B。，可得△ABD也△A4C,进

而得到AO=BC,即可得到四边形ABC。是矩形；

D.当AO〃BC时，ZABC+ZBCD=180°,即可得出四边形A3CO是平行四边形，再

依据AC=BD,可得四边形A8CO是矩形；

故选：B.

18.如图，线段。E与AB分别为△ABC的中位线与中线.

（1）求证：AP与。E互相平分；

（2）当线段4月与18c满足怎样的数量关系时，四边形AOEE为矩形？请说明理由.

【解答】（1）证明：：点。是的中点，

Z.AD=AAB,

2

•.•点E是AC的中点，点下是8c的中点，

.•.EP是△ABC的中位线，

C.EF//AB,EF=lAB,

2

；.EF=AD,

：.四边形ADFE是平行四边形，

/与£>£互相平分；

（2）解:当时，四边形ADFE为矩形,

2

理由：•.•线段。E为aABC的中位线，

.,.£）£=AfiC,

2

VAF=ABC,

2

：.AF=DE,

由（1）得：四边形AQFE是平行四边形,

四边形ADFE为矩形.

16.如图，在回A8CD中，AC±AD,^ZECA=ZACD,CE交45于点。，交D4的延长线于点E,连接

BE.

（1）求证：四边形AC8E是矩形;

【答案】（1）证明见解答；

（2）2。

【解答】（1）证明：•.•四边形ABC。是平行四边形,

J.AD//BC,AD=BC,

"：AC±AD,

：.ZEAC=ZDAC^90°,

'：ZECA=ZACD,

：.ZAEC=ZADC,

:.CE=CD,

：.AE=AD=BC,

'JAE//BC,

四边形ACBE是平行四边形，

VZEAC=90°,

.,.四边形AC2E是矩形；

（2）解：如图，过点。作。F_LZ）E于尸，

由（1）知：四边形ACBE是矩形,

，对角线AB和CE相等且互相平分，AO=1AB=2,

2

：.OA^OC,

'：ZACD=ZACO=60°,

AAOC是等边三边形，

：.ZOAC=60°,

VZEAC=90°,

/.ZMO=90°-60°=30°,

RtZkAFO中，0尸=140=1,AF=旧,

2

RtAA£B中，AE=V42-22=2^)

DF=AF+AD=y[3+2,\[3=3y[3,

:・OD=VDF2+OF2=Vl2+(373)2=2。

五.正方形的性质(共11小题)

17.如图，在正方形ABCD中，E为对角线8。上一点，连接AE、CE,ZBCE=10°,则/EAO为（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

【答案】C

【解答】解：：四边形ABC。是正方形，

ZADE=ZCDE=Z£BC=45°,AD=CD,

,:DE=DE,

:.△AEDQXCED(SAS),

ZEAD=ZECD,

又,；NBCE=70°,

方法1：AZEAD=ZBAD-ZBCE=20°.

方法2：:./BEC=65°,

ZBEC=ZCDE+ZECD,

即65°=45°+ZECD,

：.ZECD=20°,

AZEAD=20°.

故选：C.

18.如图，以边长为4的正方形ABCD的中心。为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于

E、F两点，则线段EF的最小值为（）

A.2B.4C.V2D.2A/2

【答案】D

【解答】解：如图，连接EF

.四边形ABCD为正方形，

：.ZEAO=ZFDO=45°,AO=DO；

'：ZEOF^90°,NAOD=90°,

ZAOE=NDOF；

在△AOE与△no尸中，

，ZEA0=ZFD0

<AO=DO，

ZA0E=ZD0F

/.AAOE^ADOF(ASA),

：.OE=OF(设为人);

•*.△EOF是等腰直角三角形，

由勾股定理得:

£/2=0f2+。产=2）2；

：.EF=y[2OE=42^

'：正方形ABCD的边长是4,

：.OA=2近,O到AB的距离等于2（O至UAB的垂线段的长度），

由题意可得：2W入W2&,

：.2版WEFWA.

所以线段所的最小值为2近.

故选：D.

19.如图，在边长为3的正方形ABCO中，NCDE=3Q°，DELCF,则的长是（）

c.MD.2

【答案】C

【解答】解：•••四边形ABC。是正方形,

:./FBC=/DCE=9Q°,CD=BC=3,

Rt/XDCE中，NCDE=30°,

;.CE=LDE,

2

设CE=x,则。E=2r,

根据勾股定理得：DC2+CE2=DE2,

即32+?=(2x)2,

解得：x—±A/3(负值舍去)，

：.CE=y/3,

■:DE2CF,

：.ZDOC=90°,

Z.ZDCO=60°,

/.ZBCF=90°-60°=30°=ZCDE,

'：ZDCE=ZCBF,CD=BC,

：./\DCE^/\CBF（ASA）,

:.BF=CE=M.

故选：C.

20.将〃个边长都为1c机的正方形按如图所示的方法摆放，点4,A2,…，4分别是正方形对角线的交点,

则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）

A.—cm1B.ncm2C.—cm2D.（A）ncn?

4444

【答案】B

【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的工，即是工，

44

5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为工X4,

4

〃个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为［■><（«-1）=JT12.

44cmm

故选：B.

21.如图，在正方形ABCZ）中，E为对角线AC上一点，连接。E,过点E作EFLOE,交BC延长线于点

F,以DE,EF为邻边作矩形QEFG,连接CG.在下列结论中：

®DE=EF-,

②ADAE咨ADCG；

®AC±CG；

④CE=CF.

其中正确的结论序号是①②③.

G

//

Sl-------

【答案】①②③.

【解答】解：过E作于M点，过E作ENLC。于N点，如图所示:

•.,四边形A3CD是正方形，

ZBCD=90°,NECN=45°,

：.ZEMC=ZENC=ZBCD=90°,

:.NE=NC,

：.四边形EMCN为正方形,

•..四边形DEPG是矩形，

：.EM=EN,ZDEN+ZNEF=ZMEF+ZNEF^900,

4DEN=ZMEF,

又/DNE=NFME=9S,

在△OEN和△FEM中，

,ZDNE=ZFME

"EN=EM，

ZDEN=ZFEM

，丛DEN丝丛FEM(ASA),

：.ED=EF,故①正确；

矩形OEPG为正方形；

：.DE=DG,ZEDC+ZCDG=90°,

.四边形ABCD是正方形，

'：AD=DC,ZADE+ZEDC=90°,

ZADE=ZCDG,

在和△CDG中，

'AD=CD

-ZADE=ZCDG>

DE=DG

.♦.△AOEq△COG(SAS),故②正确;

：.AE=CG,ZDAE=ZDCG=45°,

：.ZACG=90°,

：.AC±CG,故③正确；

当DELAC时，点C与点厂重合,

；.CE不一定等于C凡故④错误，

综上所述：①②③.

故答案为：①②③.

22.如图，E、P分别是正方形ABCD的边C。、上的点，S.CE^DF,AE、8尸相交于点0,下列结论：

①AE=BF；®AE1BF；③SAAOB=S四边形DEOF；④AO=OE；@ZAFB+ZA£C=180°,其中正确的有①

②③⑤（填写序号）.

【答案】①②③⑤.

【解答】解：在正方形ABCD中，ZBAF=ZD=90°,AB=AD=CD,

VCE=DF,

：.AD-DF=CD-CE,

即AF=DE,

在△ABF和△ZME中,

'AB=AD

，ZBAF=ZD=90°，

AF=DE

/.AABF^ADAE(SAS),

：.ZAFB=ZDEA,AE=BF,故①正确；

NABF=NDAE,

：.ZAFB+ZAEC=Z£>E4+ZAEC=180°,故⑤正确；

"：ZDAE+ZBAO=90a,

AZABF+ZBAO^90°,

在△AB。中，ZAOB=180°-(ZABF+ZBAO)=180°-90°=90°,

：.AE±BF,故②正确；

假设4O=OE,

'：AE±BF(己证)，

：.AB=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)，

\•在RtABCE中，BE>BC,

：.AB>BC,这与正方形的边长相矛盾，

所以，假设不成立，AO^OE,故④错误；

LABF咨LDAE,

•.SAABF=SADAE,

•­SAABF-SAAOF=S&DAE-S/^AOFt

即SAAOB=S四边形DEOF,故③正确；

综上所述，正确的有①②③⑤.

故答案为：①②③⑤.

23.如图，E、尸分别是正方形ABC。的边C。、8c上的点，且CE=BRAP、BE相交于点G,下列结论

中正确的是①②④.

®AF=BE；

®AF.LBE；

③AG=GE；

④S/\ABG=S四边形CEGF.

【答案】①②④.

【解答】解：：四边形ABC。是正方形，

：.AB=BC^CD^AD,ZABC=ZBCD^90°,

在AAB尸与ABCE中，

'AB=BC

<ZABC=ZBCD>

BF=CE

:.AABF咨ABCE(SAS).

；.AF=BE,故①正确；

'：ZBAF+ZBFA=90°,

ZBAF=ZEBC,

：.ZEBC+ZBFA=90°,

：.ZBGF^90°,

：.AF.LBE,故②正确；

•••GF与BG的数量关系不清楚，

无法得AG与GE的数量关系，故③错误；

AABF咨/\BCE,

:.SAABF=SABCE,

•*.S^ABF-SABGF=SABCE-SABGF,

即SAABG=S四边彩CEGF,故④正确；

故答案为：①②④.

24.如图，七个正方形拼成一个长方形图案，若中间小正方形的面积为1,则图中最大正方形的面积等于

25.

【解答】解：如图,

由中间小正方形的面积为1,则小正方形的边长为1,

设次小正方形A的边长为则正方形2的边长为a+1,

正方形C的边长为a+2,最大正方形D的边长为a+3,

由长方形的性质可知，a+3+a+2=a+a+a+a+1,解得a=2,

.•.大正方形。的边长为5,

最大正方形的面积为25.

故答案为：25.

25.如图，在正方形ABC。中，AB=4cm,点E是的中点，动点厂从点A出发，以2c/n/s的速度沿A8

向终点8运动，设点尸的运动时间为S当△CEF为等腰三角形时，t的值是1或2或工.

【答案】1或2或1.

4

【解答】解：根据题意得，；四边形ABC。是正方形,

：.AB=AD=CD=BC=4,ZB=ZD=90°,

是A£>的中点，

：.AE=DE=2,

在Rt^CDE中，C£=^/CD2+DE2=^42+22=275-

①当CE=C/时，即CF=2炳,

在RtABCF中，BF=4.F2_Bc2=yj2\[S)-4=2，

：.AF^AB-BF=2,

.'"=2+2=1；

②当CE=EF时，即E尸=2,

在RtAA£F中，AF=<^gp22=yj2\[5)-2=%

.1=4+2=2；

③当E/=CT时，设AF=x,贝!]BF=4-x,

在RtZ^BC尸中，CF2=BC2+BF2,

在RtZkAE尸中，EF2=AE2+AF2,

即4?+(4-x)2=22+X2,

解得x=Z,

2

即AF=±,

2

；,=工+2=1.

24

故答案为：1或2或工.

4

26.如图1,在正方形A8CZ)中，ZAEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点反

(1)若点E是BC边上的中点，求证：AE=EF；

(2)如图2,若点E是8c的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，那么结论"AE=E尸’

是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)如图3,若点E是BC边上的任意点一，在A8边上是否存在点M,使得四边形。是平行四边

形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.

F

【答案】见试题解答内容

【解答】（1）证明：取的中点H,连接即；如图1所示

图1

•.,四边形A3CD是正方形，AE1EF；

：.Z1+ZAEB=9O°,Z2+ZAEB=90°

.\Z1=Z2,

•：BH=BE,NBHE=45°,且/尸CG=45°,

/.ZAHE=ZECF=135°,AH=CE,

在△A”E和△EC尸中，

rZl=Z2

•AH=CE，

ZAHE=ZECF

/.AAHE^/\ECF(ASA),

：.AE^EF；

(2)解：AE=EF成立,

理由如下：如图2,延长班到使AM=CE,

图2

ZAEF=90°,

：.ZFEG+ZAEB=9Q°.

,/ZBAE+ZAEB=90°,

:./BAE=NFEG,

：.ZMAE=ZCEF.

"：AB=BC,

：.AB+AM^BC+CE,

即BM=BE.

/.ZM=45°,

:.NM=NFCE.

在△AME与中，

，ZMAE=ZCEF

<AKE，

ZM=ZFCE

：./\AME^/\ECFCASA),

：.AE=EF.

(3)存在,

理由如下：如图3,作。于AB交于点则有：DM//EF,连接ME、DF,

图3

在与△8AE中，

，ZADM=ZBAE

-AD=AB，

ZDAM=ZABE

AAADM^ABAE(ASA),

：.DM=AE,

由(2)AE=EF,

：.DM=EF,

四边形0M所为平行四边形.

27.正方形A8CD的对角线AC、3。相交于。，直角三角板EFG的直角顶点E在线段AC上，EF、EG与

BC、CD边相交于M、N.

(1)如图1,若E点与。点重合，求证：EM=EN；

(2)如图2,若E点不与。点重合：

①还等于EN吗？说明理由；

②试找出MC、CN、EC三者之间的等量关系，并说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)在正方形ABC。中，0A=OB=OC=OD,且N0BC=/0CD,ZBOC=90°,

VZFOG=90°,

：.ZBOM^ZBOC-ZMOC^900-ZMOC,NC0N=4F0G-/MOC=90°-ZMOC,

：.ZBOM=ACON,

在△OBM和△OCN中，

'NBOM=NCON

"OB=OC，

ZOBM=ZOCN

:.AOBM咨AOCN(ASA),

：.EM=EN；

(2)

过E作EH_LBC,EG'LCD,

由正方形ABCD可知，AC平分NBC。,

：.EH=EG

:NHEG=360°-ZEHC-ZEG'C-ZHCG'=90°,

/.ZMEH=ZNEG',而NEHM=/EG'N=90°,

:.AEMH%AENG',

:.EM=EN；

(3)由LEMH咨AENG'可知，MH=NG',而EG'=HC,

:.MC+NC=MH+HC+NC=NG'+EG+NC=EG'+CG'=2CG',

,:CG'=亚改，

2

：.MC+NC^yf2EC.

答：⑴EM=EN,(2)EM=EN,(3)MC+NC=®EC.

六.正方形的判定(共3小