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文档简介
第1章特殊平行四边形(易错必刷32题7种题型专项训
练)
・题型目录展示♦
A直角三角形斜边上的中线A正方形的性质
A菱形的性质A正方形的判定
A矩形的性质A梯子模型
A矩形的判定
—题型通关专训♦
一.直角三角形斜边上的中线(共3小题)
1.在中,ZACB=90°,。为斜边AB的中点.若AC=8,BC=6,则CD的长为()
A.10B.6C.5D.4
【答案】C
【解答】解:VZACB=90°,AC=8,BC=6,
:TAB=VAC2+BC2=VS2+62=10,
为斜边A3的中点,
:.CD=1AB=5,
2
故选:C.
2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BC=6,AF±BCF,BE_LAC于E,点。是48的中点,ADEF
的周长是10,则SAABC是()
A
A.6A/5B.6710C.7%D.18
【答案】B
【解答】解:':AB=AC,BC=6,AF±BC,
:.BF=1.BC=3,
2
":BE±AC,
:.ZBEC=ZBEA=90°,
:.EF=^BC=3,
2
,点。是AB的中点,
:.DF=^AB,DE=^AB,
22
「△OE尸的周长是10,
:.DF+DE+EF=W,
.-.AAB+AAB+3=IO,
22
解得:AB=7,
在RtAAFB中,AF=VAB2-BF2=^72-32=2Vl0,
/.S^ABC=—BC*AF=AX6X2VT0=6A/TO,
22
故选:B.
3.如图,在△ABC中,BC=40,BZ)_LAC于点。,CE_LAB于点E,F、G分别是BC、OE1的中点,若DE
=24,则FG的长度为16.
BFC
【答案】16.
【解答】解:连接。EEF,
'JBDLAC,CE±AB,
:.ZBDC=ZBEC=90°,
二•点尸是的中点,BC=40,
:.DF=^BC=20,EF=ABC=20,
22
:.DF=EF=20,
•.•点G是。E的中点,
:.DG=l.DE=n,FGLDE,
2
在RtADGF中,—6=加/2_口02=4202_]22=16,
故答案为:16.
二.菱形的性质(共2小题)
4.如图,边长为1的菱形ABCQ中,ZDAB=60°,连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC16,
使/。MC=60°;连接AQ,再以AC1为边作第三个菱形AQC2O2,使/。皿。=60°,…,按此规律
所作的第2023个菱形的边长为()
A.(6)2021B.(6)2022c.(右)2023D.(右)2024
【答案】B
【解答】解:连接8。,交AC于点0,
C.
.四边形ABCD是菱形,
NAOB=90°,0B=LBD,OA—AC,DA=AB=1,
22
':ZDAB=6Q°,
...△AOB是等边三角形,
:.BD=AB=AD=1,
:.OB=l-BD=k,
22
一。=4AB2-OB2=JF-g)2=亨,
;.4C=2A0=百,
同理可得:AC1=3,
•••第1个菱形的边长=1=(«)°,
第2个菱形的边长=“=(«)1,
第3个菱形的边长=3=(V3)2,
.•.第2023个菱形的边长=(V3)2022,
故选:B.
5.如图,点尸是菱形对角线8。上一动点,点E是线段3c上一点,且CE=4BE,连接ERCF,设的
长为x,EP+CF=y,点/从点8运动至U点。时,y随无变化的关系图象,图象最低点的纵坐标是()
A.2B.12遥C.4A/2D.等
55
【答案】B
【解答】解:如图1,连接ARAE,AE交BD于F1,
C
图1
,/在菱形ABCD中点A,点C关于BD对称,
:.AF^CF,
:.y=EF+CF=EF+AFf
当A、F、石三点在同一直线上时,y取最小值,y的最小值为线段AE的长,
如图2,当%=0时,y=6,
-----------------1------►
O6x
图2
设BE=a,贝!JCE=4a,
•・y=〃+5〃=6,
••a'='1,
:.BC=5,
由图2知:BD=6,
如图3,连接AC交5。于G,连接EG,过点£作以/_14。于H,
图3
•••四边形ABCO是菱形,
J.ACLBD,BG=LBD=3,
2
由勾股定理得:CG=4,
二△ECG的面积=4SZXBCG=-1・CG・E”,
52
/.AxAX3X4=AX4XEH,
522
:.EH=H,
5
•••CH=VCE2-EH2=J42-(^)2=-^-
V□D
:.AH=AC-CH=8-
55
AE=VAH2+EH2=J管)2+(卷)2=卷泥,
即图象最低点的纵坐标是空泥.
5
故选:B.
三.矩形的性质(共8小题)
6.下列结论中,菱形具有而矩形不一定具有的性质是()
A.对角线相等B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直D.对边相等且平行
【答案】C
【解答】解:A.因为矩形的对角线相等,所以A选项不符合题意;
B.因为矩形和菱形的对角线都互相平分,所以B选项不符合题意;
C.因为菱形对角线互相垂直,所以C选项符合题意;
D.因为矩形和菱形的对边都相等且平行,不符合题意.
故选:C.
7.定义:如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么称三角形为“智慧三角形”.如图,在平
面直角坐标系xOy中,矩形。4BC的边。4=3,0C=4,点M(2,0),在边A2存在点P,使得△口”
为“智慧三角形”,则点尸的坐标为()
2
C.(3,A)或(3,1)D.(3,A)或(3,1)或(3,3)
22
【答案】D
【解答】解:由题意可知,“智慧三角形”是直角三角形,NCPM=90°或NCMP=90°,
CP1=BP1+BC1=(4-a)2+9,
在RtZXMBA中,由勾股定理得:
MP2=M^+AP2=1+/,
在RtZxMPC中,由勾股定理得:
CM1=MP^CP2=1+a2+(4-a)2+9=2a2-Sa+26,
又•?CM2=OM2+OC2=4+16=20,
/.2a2-8a+26=20,
/.(〃-3)(tz-1)=0,
解得:a=3或a=l,
:.P(3,3)或(3,1);
②若NCMP=90°,在RtZiBCP中,由勾股定理得:
CP2^BP2+BC2^(4-a)2+9,
在RtZ\MB4中,由勾股定理得:
MP2=MA2+AP2=l+a2,
\'Cl\fi=OM2+OC2=2Q,
在RtAJWCP中,由勾股定理得:
CM1+MP1=CP1,
;.20+1+/=(4-a)2+9,
解得:°=工
2
:.P(3,A).
2
综上,P(3,A)或(3,1)或(3,3).
2
故选:D.
8.如图,矩形A8CD的对角线AC,BD交于点、O,AB=6,BC=8,过点。作OEJ_AC,交AD于点E,过
点E作EFLBD,垂足为F,则OE+EF的值为()
5555
【答案】c
【解答】解::AB=6,BC=8,
矩形的面积为
ABCD48,AC=^AB2+BC2=IO,
:.AO=DO=^AC=5,
2
:对角线AC,BD交于点、O,
...△A。。的面积为12,
':EO.LAO,EFLDO,
SMOD=SMOE+S^DOE,即12=AAOX£O+ADOXEF,
22
.,.12=-lx5XEO+1.X5XEF,
22
A5(EO+EF)=24,
;.EO+EF=建,
5
故选:C.
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABC。是矩形,且3(8,4),动点E从点A出发,以每秒1
个单位的速度沿线段AB向点B运动,同时动点F从点8出发,以同样每秒1个单位的速度沿折线BC
-C。向点。运动,当E,尸有一点到达终点时,点、E,尸同时停止运动.设点E,厂运动时间为f秒,
在运动过程中,如果AE=3CR那么t=3或6秒.
0Cx
【答案】3或6.
【解答】解:当尸在5C边上,如图:
___一_、
IF
由题意得:AE=t,BF=t,CF=4-t,
9
:AE=3CFf
.,./=3(4-t),
/.t=3.
当尸在OC上时,如图:
VAE=3CF,
.\t=3(L4),
/.t=6,
♦・,当E,尸有一点到达终点时,点E,尸同时停止运动,
・・・00<8,
At=6符合题意.
故答案为:3或6
10.如图,0为坐标原点,四边形048。为矩形,A(20,0),C(0,8),。为04的中点,点P在边6。
上运动,当尸。=0。时,点P的坐标为(4,8)或(16,8)_.
1
D
【答案】(4,8)或(16,8).
【解答】解:如图,作OHL8C于",
一
DA^x
•.,。为04的中点,A(20,0),
:.OD=10,
•:DP=DO,
;.£>P=10,
当点尸在反左边时,
22
在RtzXDX尸中,由勾股定理得,VDP-DH=V102-82=6,
当点尸在//右边时,HP=PH=6,
;.CP=4,CP'=16,
:.P(4,8)或(16,8),
故答案为:(4,8)或(16,8).
11.如图,矩形4BCZ)中,BC=6,AB=3,R在CD边上,且CR=1,P为上一动点,E、E分别是AP、
RP的中点,当尸从B向C移动时,线段斯的长度为_
【答案】见试题解答内容
【解答】解:如图,连接AR
•..四边形ABC。是矩形,
:.ZD=90°,
;BC=6,A2=3,CR=1,
:.AD=6,DR=2,
:.AR=y]^+22=2y[ld,
':AE=EP,PF=FR,
.•.EF=AA/?=AX2A/1Q=>/TQ,
22
故答案为:Vio.
12.已知,如图,在长方形ABC。中,AB=4,AD=6.延长3c到点E,使CE=3,连接。E.
(1)动点尸从点8出发,以每秒1个单位的速度沿2C-CD-D4向终点A运动,设点尸运动的时间为
/秒,求当,为何值时,△A8P和△£>(?£全等?
(2)若动点P从点2出发,以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动,连接。尸.设点尸运动的
时间为/秒,是否存在3使△PDE为等腰三角形?若存在,请求出f的值;否则,说明理由.
【答案】(1)当f为3或13时,△ABP和△£>(7£1全等;
(2)t=3或4或29时,汨为等腰三角形.
6
【解答】解:(1)若AABP与4DCE全等,
:.BP^CE^AP^CE,
当BP=CE=3时,贝卜=3+1=3,
当AP=CE=3时,则-(6+6+4-3)+1=13,
当/为3或13时,ZXABP和△OCE全等;
(2):四边形ABCZ)是矩形,
:.AB=CD=4,AD=BC=6,CDLBC,
在RtZkDCE中,CE=3,
•■-D£=VDC2-H:E2=5,
若为等腰三角形,
当尸£>=£>£;时,
■:PD=DE,DCLBE,
:・PC=CE=3,
•:BP=BC-CP=3,
・"3+1=3,
当PE=DE=5时,
•;BP=BE-PE,
:.BP=9-5=4,
.,.^=44-1=4,
当尸D=PE时,
;・PE=PC+CE=3+PC,
:・PD=3+PC,
在RtZ^PDC中,DP1=CD1+PC1.
:.(3+PC)2=16+PC2,
:.PC=L,
6
•:BP=BC-PC,
・・・5尸=组
6
・t=29j=29
66
综上所述:当t=3或4或丝时,△2£)£为等腰三角形.
6
13.已知:如图,。为坐标原点,四边形。42c为矩形,B(5,2),点。是中点,点尸在8C上以每
秒2个单位的速度由C向8运动,设动点P的运动时间为/秒.
(1)f为何值时,四边形PODB是平行四边形?
(2)在直线CB上是否存在一点Q,使得0、D、°、P四点为顶点的四边形是菱形?若存在,求t的值,
并求出。点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】⑴t=1.25.
(2)(4,2)或(1.5,2)或(-1.5,2).
【解答】解:(1).••四边形QWC为矩形,B(5,2),
:.BC=OA=5,AB=OC=2,
•.•点。时。4的中点,
.*.0。=_1。4=2.5,
2
由运动知,PC=2t,
:.BP=BC-PC=5-2t,
•:四边形PODB是平行四边形,
:.PB=OD=2.5,
・・・5-2/=2.5,
1.25;
・・,四边形0。。尸为菱形,
:.OD=OP=PQ=2.5,
在RtZXO尸。中,由勾股定理得:尸。=1.5,
:.2t=1.5;
.•・/=0.75,
:.Q(4,2);
②当。点在P的左边且在BC线段上时,如图,
:.Q(1.5,2),
③当Q点在P的左边且在的延长线上时,如图,
:.Q(-1.5,2);
综上,。点坐标为(4,2)或(1.5,2)或(-1.5,2).
14.如图,在矩形ABCD中,过对角线8。的中点。作8。的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:4D0E沿ABOF;
(2)若AB=6,AD=8,连接BE,DF,求四边形化的周长.
【答案】(1)答案见解答;
(2)25.
【解答】(1)证明::四边形488是矩形,
:.AD//BC,
:.NEDO=NFBO,
为2。的中点,
:.OB=OD,
又「EFIBD,
:.ZEOD=ZFOB=90°,
在△OOE和△BOB中,
,ZED0=ZFB0
<DO=BO>
ZE0D=ZF0B=90o
:.ADOE咨ABOF(ASA);
(2)解:•.•由(1)可得,ED//BF,ED=BF,
四边形BFDE是平行四边形,
":EF±BD,
...四边形BFDE是菱形,
根据AB=6,AD—8,设AE=x,nJ#BE—ED—8-x,
在RtZkABE中,根据勾股定理可得:BE1=AB2+AE1,
即(8-x)2=X2+62,
解得:xJ,
4
44
四边形BFDE的周长=空义4=25-
4
四.矩形的判定(共3小题)
15.如图,在四边形A8C。中,AC与2。相交于点。,AD//BC,AC=BD,那么下列条件中不能判定四边
形4BCD是矩形的是()
C./DAB=NABCD./DAB=/DCB
【答案】B
【解答】解:A.当AD=BC,AO〃BC时,四边形ABC。是平行四边形,再依据AC=BD,可得四边形
4BCD是矩形;
B.当AB=CD,AO〃BC时,四边形ABC。不一定是平行四边形,也可能是等腰梯形;
C.^iZDAB=ZABC,A£)〃BC时,ZDAB=ZCBA=90°,再根据AC=B。,可得△ABD也△A4C,进
而得到AO=BC,即可得到四边形ABC。是矩形;
D.当AO〃BC时,ZABC+ZBCD=180°,即可得出四边形A3CO是平行四边形,再
依据AC=BD,可得四边形A8CO是矩形;
故选:B.
18.如图,线段。E与AB分别为△ABC的中位线与中线.
(1)求证:AP与。E互相平分;
(2)当线段4月与18c满足怎样的数量关系时,四边形AOEE为矩形?请说明理由.
【解答】(1)证明::点。是的中点,
Z.AD=AAB,
2
•.•点E是AC的中点,点下是8c的中点,
.•.EP是△ABC的中位线,
C.EF//AB,EF=lAB,
2
;.EF=AD,
:.四边形ADFE是平行四边形,
/与£>£互相平分;
(2)解:当时,四边形ADFE为矩形,
2
理由:•.•线段。E为aABC的中位线,
.,.£)£=AfiC,
2
VAF=ABC,
2
:.AF=DE,
由(1)得:四边形AQFE是平行四边形,
四边形ADFE为矩形.
16.如图,在回A8CD中,AC±AD,^ZECA=ZACD,CE交45于点。,交D4的延长线于点E,连接
BE.
(1)求证:四边形AC8E是矩形;
【答案】(1)证明见解答;
(2)2。
【解答】(1)证明:•.•四边形ABC。是平行四边形,
J.AD//BC,AD=BC,
":AC±AD,
:.ZEAC=ZDAC^90°,
':ZECA=ZACD,
:.ZAEC=ZADC,
:.CE=CD,
:.AE=AD=BC,
'JAE//BC,
四边形ACBE是平行四边形,
VZEAC=90°,
.,.四边形AC2E是矩形;
(2)解:如图,过点。作。F_LZ)E于尸,
由(1)知:四边形ACBE是矩形,
,对角线AB和CE相等且互相平分,AO=1AB=2,
2
:.OA^OC,
':ZACD=ZACO=60°,
AAOC是等边三边形,
:.ZOAC=60°,
VZEAC=90°,
/.ZMO=90°-60°=30°,
RtZkAFO中,0尸=140=1,AF=旧,
2
RtAA£B中,AE=V42-22=2^)
DF=AF+AD=y[3+2,\[3=3y[3,
:・OD=VDF2+OF2=Vl2+(373)2=2。
五.正方形的性质(共11小题)
17.如图,在正方形ABCD中,E为对角线8。上一点,连接AE、CE,ZBCE=10°,则/EAO为()
A.10°B.15°C.20°D.30°
【答案】C
【解答】解::四边形ABC。是正方形,
ZADE=ZCDE=Z£BC=45°,AD=CD,
,:DE=DE,
:.△AEDQXCED(SAS),
ZEAD=ZECD,
又,;NBCE=70°,
方法1:AZEAD=ZBAD-ZBCE=20°.
方法2::./BEC=65°,
ZBEC=ZCDE+ZECD,
即65°=45°+ZECD,
:.ZECD=20°,
AZEAD=20°.
故选:C.
18.如图,以边长为4的正方形ABCD的中心。为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于
E、F两点,则线段EF的最小值为()
A.2B.4C.V2D.2A/2
【答案】D
【解答】解:如图,连接EF
.四边形ABCD为正方形,
:.ZEAO=ZFDO=45°,AO=DO;
':ZEOF^90°,NAOD=90°,
ZAOE=NDOF;
在△AOE与△no尸中,
,ZEA0=ZFD0
<AO=DO,
ZA0E=ZD0F
/.AAOE^ADOF(ASA),
:.OE=OF(设为人);
•*.△EOF是等腰直角三角形,
由勾股定理得:
£/2=0f2+。产=2)2;
:.EF=y[2OE=42^
':正方形ABCD的边长是4,
:.OA=2近,O到AB的距离等于2(O至UAB的垂线段的长度),
由题意可得:2W入W2&,
:.2版WEFWA.
所以线段所的最小值为2近.
故选:D.
19.如图,在边长为3的正方形ABCO中,NCDE=3Q°,DELCF,则的长是()
c.MD.2
【答案】C
【解答】解:•••四边形ABC。是正方形,
:./FBC=/DCE=9Q°,CD=BC=3,
Rt/XDCE中,NCDE=30°,
;.CE=LDE,
2
设CE=x,则。E=2r,
根据勾股定理得:DC2+CE2=DE2,
即32+?=(2x)2,
解得:x—±A/3(负值舍去),
:.CE=y/3,
■:DE2CF,
:.ZDOC=90°,
Z.ZDCO=60°,
/.ZBCF=90°-60°=30°=ZCDE,
':ZDCE=ZCBF,CD=BC,
:./\DCE^/\CBF(ASA),
:.BF=CE=M.
故选:C.
20.将〃个边长都为1c机的正方形按如图所示的方法摆放,点4,A2,…,4分别是正方形对角线的交点,
则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为()
A.—cm1B.ncm2C.—cm2D.(A)ncn?
4444
【答案】B
【解答】解:由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的工,即是工,
44
5个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为工X4,
4
〃个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为[■><(«-1)=JT12.
44cmm
故选:B.
21.如图,在正方形ABCZ)中,E为对角线AC上一点,连接。E,过点E作EFLOE,交BC延长线于点
F,以DE,EF为邻边作矩形QEFG,连接CG.在下列结论中:
®DE=EF-,
②ADAE咨ADCG;
®AC±CG;
④CE=CF.
其中正确的结论序号是①②③.
G
//
Sl-------
【答案】①②③.
【解答】解:过E作于M点,过E作ENLC。于N点,如图所示:
•.,四边形A3CD是正方形,
ZBCD=90°,NECN=45°,
:.ZEMC=ZENC=ZBCD=90°,
:.NE=NC,
:.四边形EMCN为正方形,
•..四边形DEPG是矩形,
:.EM=EN,ZDEN+ZNEF=ZMEF+ZNEF^900,
4DEN=ZMEF,
又/DNE=NFME=9S,
在△OEN和△FEM中,
,ZDNE=ZFME
"EN=EM,
ZDEN=ZFEM
,丛DEN丝丛FEM(ASA),
:.ED=EF,故①正确;
矩形OEPG为正方形;
:.DE=DG,ZEDC+ZCDG=90°,
.四边形ABCD是正方形,
':AD=DC,ZADE+ZEDC=90°,
ZADE=ZCDG,
在和△CDG中,
'AD=CD
-ZADE=ZCDG>
DE=DG
.♦.△AOEq△COG(SAS),故②正确;
:.AE=CG,ZDAE=ZDCG=45°,
:.ZACG=90°,
:.AC±CG,故③正确;
当DELAC时,点C与点厂重合,
;.CE不一定等于C凡故④错误,
综上所述:①②③.
故答案为:①②③.
22.如图,E、P分别是正方形ABCD的边C。、上的点,S.CE^DF,AE、8尸相交于点0,下列结论:
①AE=BF;®AE1BF;③SAAOB=S四边形DEOF;④AO=OE;@ZAFB+ZA£C=180°,其中正确的有①
②③⑤(填写序号).
【答案】①②③⑤.
【解答】解:在正方形ABCD中,ZBAF=ZD=90°,AB=AD=CD,
VCE=DF,
:.AD-DF=CD-CE,
即AF=DE,
在△ABF和△ZME中,
'AB=AD
,ZBAF=ZD=90°,
AF=DE
/.AABF^ADAE(SAS),
:.ZAFB=ZDEA,AE=BF,故①正确;
NABF=NDAE,
:.ZAFB+ZAEC=Z£>E4+ZAEC=180°,故⑤正确;
":ZDAE+ZBAO=90a,
AZABF+ZBAO^90°,
在△AB。中,ZAOB=180°-(ZABF+ZBAO)=180°-90°=90°,
:.AE±BF,故②正确;
假设4O=OE,
':AE±BF(己证),
:.AB=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等),
\•在RtABCE中,BE>BC,
:.AB>BC,这与正方形的边长相矛盾,
所以,假设不成立,AO^OE,故④错误;
LABF咨LDAE,
•.SAABF=SADAE,
•SAABF-SAAOF=S&DAE-S/^AOFt
即SAAOB=S四边形DEOF,故③正确;
综上所述,正确的有①②③⑤.
故答案为:①②③⑤.
23.如图,E、尸分别是正方形ABC。的边C。、8c上的点,且CE=BRAP、BE相交于点G,下列结论
中正确的是①②④.
®AF=BE;
®AF.LBE;
③AG=GE;
④S/\ABG=S四边形CEGF.
【答案】①②④.
【解答】解::四边形ABC。是正方形,
:.AB=BC^CD^AD,ZABC=ZBCD^90°,
在AAB尸与ABCE中,
'AB=BC
<ZABC=ZBCD>
BF=CE
:.AABF咨ABCE(SAS).
;.AF=BE,故①正确;
':ZBAF+ZBFA=90°,
ZBAF=ZEBC,
:.ZEBC+ZBFA=90°,
:.ZBGF^90°,
:.AF.LBE,故②正确;
•••GF与BG的数量关系不清楚,
无法得AG与GE的数量关系,故③错误;
AABF咨/\BCE,
:.SAABF=SABCE,
•*.S^ABF-SABGF=SABCE-SABGF,
即SAABG=S四边彩CEGF,故④正确;
故答案为:①②④.
24.如图,七个正方形拼成一个长方形图案,若中间小正方形的面积为1,则图中最大正方形的面积等于
25.
【解答】解:如图,
由中间小正方形的面积为1,则小正方形的边长为1,
设次小正方形A的边长为则正方形2的边长为a+1,
正方形C的边长为a+2,最大正方形D的边长为a+3,
由长方形的性质可知,a+3+a+2=a+a+a+a+1,解得a=2,
.•.大正方形。的边长为5,
最大正方形的面积为25.
故答案为:25.
25.如图,在正方形ABC。中,AB=4cm,点E是的中点,动点厂从点A出发,以2c/n/s的速度沿A8
向终点8运动,设点尸的运动时间为S当△CEF为等腰三角形时,t的值是1或2或工.
【答案】1或2或1.
4
【解答】解:根据题意得,;四边形ABC。是正方形,
:.AB=AD=CD=BC=4,ZB=ZD=90°,
是A£>的中点,
:.AE=DE=2,
在Rt^CDE中,C£=^/CD2+DE2=^42+22=275-
①当CE=C/时,即CF=2炳,
在RtABCF中,BF=4.F2_Bc2=yj2\[S)-4=2,
:.AF^AB-BF=2,
.'"=2+2=1;
②当CE=EF时,即E尸=2,
在RtAA£F中,AF=<^gp22=yj2\[5)-2=%
.1=4+2=2;
③当E/=CT时,设AF=x,贝!]BF=4-x,
在RtZ^BC尸中,CF2=BC2+BF2,
在RtZkAE尸中,EF2=AE2+AF2,
即4?+(4-x)2=22+X2,
解得x=Z,
2
即AF=±,
2
;,=工+2=1.
24
故答案为:1或2或工.
4
26.如图1,在正方形A8CZ)中,ZAEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点反
(1)若点E是BC边上的中点,求证:AE=EF;
(2)如图2,若点E是8c的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,那么结论"AE=E尸’
是否仍然成立,若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,若点E是BC边上的任意点一,在A8边上是否存在点M,使得四边形。是平行四边
形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
F
【答案】见试题解答内容
【解答】(1)证明:取的中点H,连接即;如图1所示
图1
•.,四边形A3CD是正方形,AE1EF;
:.Z1+ZAEB=9O°,Z2+ZAEB=90°
.\Z1=Z2,
•:BH=BE,NBHE=45°,且/尸CG=45°,
/.ZAHE=ZECF=135°,AH=CE,
在△A”E和△EC尸中,
rZl=Z2
•AH=CE,
ZAHE=ZECF
/.AAHE^/\ECF(ASA),
:.AE^EF;
(2)解:AE=EF成立,
理由如下:如图2,延长班到使AM=CE,
图2
ZAEF=90°,
:.ZFEG+ZAEB=9Q°.
,/ZBAE+ZAEB=90°,
:./BAE=NFEG,
:.ZMAE=ZCEF.
":AB=BC,
:.AB+AM^BC+CE,
即BM=BE.
/.ZM=45°,
:.NM=NFCE.
在△AME与中,
,ZMAE=ZCEF
<AKE,
ZM=ZFCE
:./\AME^/\ECFCASA),
:.AE=EF.
(3)存在,
理由如下:如图3,作。于AB交于点则有:DM//EF,连接ME、DF,
图3
在与△8AE中,
,ZADM=ZBAE
-AD=AB,
ZDAM=ZABE
AAADM^ABAE(ASA),
:.DM=AE,
由(2)AE=EF,
:.DM=EF,
四边形0M所为平行四边形.
27.正方形A8CD的对角线AC、3。相交于。,直角三角板EFG的直角顶点E在线段AC上,EF、EG与
BC、CD边相交于M、N.
(1)如图1,若E点与。点重合,求证:EM=EN;
(2)如图2,若E点不与。点重合:
①还等于EN吗?说明理由;
②试找出MC、CN、EC三者之间的等量关系,并说明理由.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)在正方形ABC。中,0A=OB=OC=OD,且N0BC=/0CD,ZBOC=90°,
VZFOG=90°,
:.ZBOM^ZBOC-ZMOC^900-ZMOC,NC0N=4F0G-/MOC=90°-ZMOC,
:.ZBOM=ACON,
在△OBM和△OCN中,
'NBOM=NCON
"OB=OC,
ZOBM=ZOCN
:.AOBM咨AOCN(ASA),
:.EM=EN;
(2)
过E作EH_LBC,EG'LCD,
由正方形ABCD可知,AC平分NBC。,
:.EH=EG
:NHEG=360°-ZEHC-ZEG'C-ZHCG'=90°,
/.ZMEH=ZNEG',而NEHM=/EG'N=90°,
:.AEMH%AENG',
:.EM=EN;
(3)由LEMH咨AENG'可知,MH=NG',而EG'=HC,
:.MC+NC=MH+HC+NC=NG'+EG+NC=EG'+CG'=2CG',
,:CG'=亚改,
2
:.MC+NC^yf2EC.
答:⑴EM=EN,(2)EM=EN,(3)MC+NC=®EC.
六.正方形的判定(共3小
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