图形的相似50道压轴题型专训（10大题型）原卷版-2024-2025学年北师大版九年级数学上册

图形的相似50道压轴题型专训（10大题型）

旨【题型目录】题型一黄金分割压轴题型

题型二平行线分线段成比例压轴题

题型三相似多边形压轴题

题型四相似三角形的判定与性质综合

题型五相似三角形的动点问题

题型六相似三角形的应用

题型七图形的位似压轴

题型八相似三角形的模型问题

题型九相似三角形的综合

题型十相似三角形的新定义问题

今【经典例题一黄金分割压轴题型】

1.（2023•宁夏银川•一模）如图①，点C把线段分成两部分（/C>8C）,若类=娶，那么称点C为

线段的黄金分割点.

类似的，可以定义“黄金分割线”：直线/把一个面积为S的图形分成面积为凡和S2的两部分（百〉邑），如果

节=”，那么称直线/为该图形的黄金分割线.

，一H

BDABEDA

①②③

（1）如图②，在△ABC中，若点。是线段的黄金分割点（8。>/。）,-线段8所在直线是△N5C的黄金分

割线吗？为什么？

（2）在（1）的条件下，如图③，过点C作一条直线交AD边于点E,过点。作。尸〃EC交MBC的一边于

点尸，连接E尸，交8于点G,回答问题.

①S.CFG_______S&EDG（填“>”“<”或“="）.

②E尸是△4BC的黄金分割线吗？为什么？

2.（23-24九年级上•江苏连云港•期末）（1）在图①中按下列步骤作图：

IIII

ACAB

图①图②

第一步：过点c画c。，/c,使cr>=g/c；

第二步：连接以点。为圆心，DC的长为半径画弧，交于点£；

第三步：以点/为圆心，/E的长为半径画弧，交/C于点瓦

（2）在所画图中，点3是线段/C的黄金分割点吗？为什么？

（3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你在图②

中以线段42为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形N3C.（不写作法，保留作图痕迹）

3.（22-23八年级下•浙江温州•期中）根据以下素材，探索完成任务.

素

定义：如图1,点G将线段4。分成两部分，如果笑=窄，那么点G称为线段NZ）的黄金分割点.

材

1

某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：

素

直线/将一个面积为S的图形分成面积分别为E，邑的两部分，如果1k=去，那么直线/称为该图形

材

2

的黄金分割线.

素平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转180。，其余两边与旋

材转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图2中的△43。绕8。的中点旋转180。后与原三角形

3组成一个平行四边形ABCD（如图3）.

<AGDAGD

图1图2图3

问题解决

任问题1：如图3,边上黄金分割点G旋转后的对称点H是否也是8c边上的黄金分割点？请写出你

务的判断结论，并说明理由.

1问题2：直线G8是不是四边形/BCD的黄金分割线？请写出你的判断结论：______.

任

请在图3探索：2c边上是否存在点使得直线GW是四边形/BCD的黄金分割线？如果存在，请

务

说明点"的位置；如果不存在，请说明理由.

2

任

兴趣小组探索图2时猜想：在△2AD中，若点G为AD边上的黄金分割点，连接2G,则直线2G是

务

△4AD的黄金分割线，你认为对吗？为什么？

3

任

兴趣小组探索图2时还发现：若点G是的边ND的黄金分割点，过点2任意作一条直线交GD

务

于点E,再过点G作G尸〃8c交48于点尸，则直线£尸是的黄金分割线，请你给出证明.

4

4.（2022九年级上•浙江•专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：

公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论

著.黄金分割（goldensection）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较

大部分的比值.

如图①，在线段4。上找一个点C,C把AD分为/C和cr＞两段，其中/C是较小的一段，如果

AC:CD=CD:AD,那么称线段AD被C点黄金分割，点C叫做线段ND的黄金分割点，/C与。的比值

叫做黄金分割数.

为简单起见，^AD=\,CD=x,贝!|/。=1-》.

•••AC-.CDCD,AD,：....

任务：

(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数.

(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：

①设48是已知线段，过点8作3。2且使8O=g/3；

②连接ZM,在ZM上截取。£

③在48上截取ZC=/E；

则点C即为线段黄金分割点.你能说说其中的道理吗？

(3)已知线段/3=1,点C,。是线段N8上的两个黄金分割点，则线段CD的长是

5.(23-24八年级下•广西南宁•阶段练习)【背景知识】

宽与长的比等于叵口的矩形称为黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.世界上很多著名建筑,

2

为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等.

不

■''T^

（1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米？（结果保留根号）

【实验操作】

折一个黄金矩形

第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形"NC8,然后把纸片展平;

第二步：如图2,将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平；

第三步：折出内侧矩形的对角线,并将48折到图3所示的AD处；

第四步：展平纸片，按照所得的点。折出。尸，得到矩形BCDF（如图4）.

ME_B__F

III

III

III

III

N'A'C^D

图1图2图3图4

【问题思考】

（2）若上W的长为2,请证明：矩形38尸是黄金矩形；

（3）在（2）的条件下，以图3中的折痕40为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积.

A【经典例题二平行线分线段成比例压轴题】

6.（24-25九年级上•黑龙江哈尔滨•开学考试）如图，在△4BC中，ZABC=90°,

ZACB=a（Q0<a<450）.将线段C4绕点C顺时针旋转90。得到线段CD,过点。作。E18C,垂足为E.

(1)如图1,求证：AABC三ACED.

(2)如图2,乙4co的平分线与的延长线相交于点尸，连接。尸，。尸的延长线与C8的延长线相交于点

P,猜想尸C与PD的数量关系，并加以证明.

(3)如图3,在(2)的条件下，将△BFP沿/尸折叠，在a变化过程中，当点尸落在点E的位置时，连接

EF.若CD=20,求△(?£•尸的面积.

7.(22-23九年级下•辽宁盘锦•开学考试)(1)如图1,E是正方形488边48上的一点，连接81)、DE,

将NADE绕点。逆时针旋转90。，旋转后角的两边分别与射线2c交于点尸和点G.

①线段DB和DG的数量关系是二

②线段5E,班'和08之间的数量关系是

(2)当四边形为菱形，/4DC=60。，点E是菱形48CD边N3所在直线上的一点，连接5£＞、DE,

将NADE绕点。逆时针旋转120。，旋转后角的两边分别与射线3c交于点尸和点G.

①如图2,点E在线段上时，请探究线段放、W和3。之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3,点E在线段48的延长线上时，DE交射线3C于点若BE=1,AB=2,直接写出线段GW

的长度.

图1图3

8.(23-24八年级下•江苏南京•期末)定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应

成比例.

图3

(1)探究说理

BDAB

AD平分/BAC,

如图1,己知△4BC中,求证:~CD~~AC

请根据提示完成证明.

证明：显然沁=罟

…AACD

作DE/4B于点E,DFJ.AC于点、F,...

(2)问题解决

I""7'求建的长

①如图2,已知正方形ABCD的边长为1,E为边上的一点，NADE

②如图3,在矩形/BCD中，4E平分NBAC,将4E沿直线E尸折叠，使点A落在边4D上的点4处,

分别交/C于点G、H,若GH=2,HC=8,则3E=_.

9.(23-24九年级上•吉林长春•开学考试)如图①，在正方形/BCD中，N2=4.点尸从点。出发，沿折

线•-N8以每秒2个单位长度的速度向点3运动，同时点。从点2出发，沿以每秒1个单位长度的

速度向点C运动.点尸关于直线。8的对称点P,当点尸不与点。、2重合时，连结尸P、P'Q、PQ.设

点尸的运动时间为/秒.

图①图②

(1)当尸。〃/3时，求f的值；

(2)当点口与点0重合时，求才的值；

(3)当尸'。=1时，/的值为」

(4)如图②，点£为尸。中点，连接PE,当PE与正方形/BCD的边平行时，贝化的值为

10.(2024•安徽合肥•一模)四边形4BCD的两条对角线NC,AD相交于点。，ABAD=90°.

DBD

C

图I图2

(1)如图1,已知NC=CO.

①求证：ZACD=2NBAC；

什OC24OB....

②右了二’求速的值;

AC1

(2)如图2,若/8CQ=90。，AB=ADCD=3BC,求防的值.

A［经典例题三相似多边形压轴题】

11.（23-24九年级上•江苏南京•阶段练习）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，己知一个矩

（图3）

一分为二

（1）如图1,将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则。的值为

（2）如图2,将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则a的值为.

一分为多

（3）有同学说“无论。为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意

这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例.

一分为三

（4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似.画出所有可能的分割方案的示意图，并在每

个示意图下方直接写出对应的a的值.

12.（2022・山西大同•一模）数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画

一个与透明的菱形相似的菱形"E尸G.把透明的菱形放在上面记作菱形/夕8,它们的锐角顶点/重合，且

NBAD=NEAG,连接8E,DG.

图1

（1）如图1,当边4。在边工E所在的射线上,直接写出BE与DG的数量关系;

⑵如图2,将菱形/BCD绕点/按逆时针方向旋转，使点。落在E尸边上，连接3E和。G.你认为（1）中

的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由;

（3）如图3,在（2）的条件下，当/8/O=/E/G=90。时，探究并说明线段BE和。G的数量关系和位置关系.

13.（2021九年级上•全国•专题练习）如图1,矩形。。斯的一边落在矩形/2C。的一边上，并且矩形

ODEF-^B.^ABCO,其相似比为1：4,矩形/3CO的边/B=4,8c=4g.

（1）求矩形下的面积；

（2）将图1中的矩形。。斯绕点。逆时针旋转一周，连接EC、EA,A/CE的面积是否存在最大值或最小

14.(23-24九年级上•河南郑州•阶段练习)如图，点E是菱形ZBCZ)对角线&的延长线上任意一点，以线

段/E为边作一个菱形/EFG,且菱形4EFGs菱形/8C。，相似比是百：2,连接£8,GD.

(1)求证：EB=GD；

(2)若。45=60。，AB=2,求GD的长.

15.（2020九年级•浙江绍兴•学业考试）如果一条直线把矩形分割成两个矩形；其中一个为黄金矩形（宽与

长的比为由二1的矩形），则称这条直线为该矩形的黄金线.例如图所示的矩形中，直线EFLBC,

2

分别交8c于点E、F,且=1二1,显然直线E户是矩形48co的黄金线.

AB2

（1）如图，在矩形488中，AB=2,AD=3.请在图中画出矩形48CD的其中一条黄金线MN,其中

〃■在4D边上，N在2c边上，并标注出线段月M的长度；

（2）将正方形纸片按图所示的方式折叠.

如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕是否为正方形的黄金线？请说明理由.

（3）在矩形/BCD中，AB=\,AD=a,已知矩形N8CZ）的黄金线E尸恰好将矩形/BCD分割成两个黄金

矩形，则。=（只要求直接写出其中三个答案）.

41经典例题四相似三角形的判定与性质综合】

16.(24-25九年级上•广东深圳•阶段练习)如图，在菱形ABC。中，点P为对角线NC上的动点，连接DP,

将。尸绕点。按逆时针方向旋转至。。，^ZQDP=ZCDA,PQ与CD交于点、E.

(1)请在图中找出与△/如相似的三角形是；(在不添加任何辅助线条件下)

(2)已知/。=5,AC=8,

①当DP_L4D时，求APEC的面积；

②连接C。，当A£QC为直角三角形时，求心的长；

③当。C将△。尸。分成的两部分的面积之比为1:2时，请直接写出心值.

17.(24-25九年级上•上海•阶段练习)在梯形ABCD中，AD//BC,£在边A3上且/E=；AB.

(1)如左图，若点尸在边上，且OF=；CD,连结E尸，求证：EF//BC；

(2)如图，已知4D=/E=1,点〃在边3c上，连结EM、DM、EC,AM与EC交于点N.若8c=4,

CD2=DNDM,NDMC=NCEM,求边CO的长.

18.(24-25九年级上•湖北武汉•阶段练习)在等腰△4BC中，AB=AC,M为NC中点，。为平面内一点.

(1)如图，。点在边8c上，连接40、MD,AADM=AB,AD=DM,求=的值;

(2)如图，。点在5c下方，连接将线段绕点/逆时针旋转线段到4E,且/DAE=/B4C,连接

恰好过点ZABD+2ZAMD=180°,证明：DM=2EM；

(3)如图，已知/B/C=90。，。点在边48上，连接8,动点P在线段CO上，将线段尸/绕点尸逆时针旋

转90。得到线段产。，连接/。，点N为中点，连接ZW.若里>=2,NN£>C=60。，请直接写出线段ZW

的最小值为.

B

19.(24-25九年级上•四川成都•阶段练习)如图1,在矩形ABCD中(AD>4B),E为线段3c上一点，将

“BE沿AE折叠得到AAB'E，点"恰好在线段AD1..

(1)求证：四边形是正方形；

(2)如图2,将图1中的矩形纸片沿过点。的直线折叠，使得点C恰好落在上的点。处，为折痕，

延长MC'交线段4E于点N.若/B=10,AD=\6,求MV的长；

(3)小丽同学用不同形状的矩形纸片/8CQ(AD>AB),按照题中(2)的方法折叠并延长MC,发现有些

点N不在线段/E上，若要使点N落在线段/E上(不含端点)，请直接写出下的取值范围.

AD

20.(24-25九年级上•陕西渭南•期中)【问题探究】

(1)如图1,在矩形4BCD中，点£、尸分别是48、8C边的中点，连接3DEF,求证：

△BCDs^FBE；

【问题拓展】

(2)如图2,在四边形4BCD中，AD//BC,NBCD=90。,点E是4B的中点，点尸是2c边上一点，连

接EF,BD交于点G,AD=2CF.

①试说明仍=GF；

②若2/O=3CD,EFLAB,求孚的值.

J【经典例题五相似三角形的动点问题】

21.(24-25九年级上•河南开封•期中)如图，及△/36的两条直角边48=8<»1,NC=6cm,点。沿48

从/向2运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿3c从3向C运动，速度为2cm/秒.动点E到达点C时运

动终止连接DE、CD、AE.

⑴若ABDE与相似，求动点的运动时间；

(2)在运动过程中，当CDLDE时，求动点的运动时间；

(3)在运动的过程中，DE能否为“3C的中位线？说明理由.

22.(24-25九年级上•河北石家庄•阶段练习)如图，在中，ZC=90°,AC=8,BC=6,动点P

从点2出发,沿线段R4以每秒2个单位长度的速度向终点/运动，同时动点。从点N出发,沿折线ZC-C8

以每秒2个单位长度的速度向点8运动.当点尸到达终点时，点。也停止运动，设运动的时间为/秒.

cc

2

BPABA

备用图

(1)A8=;

(2)当。在/C上运动时，若以点N、P、。为顶点的三角形与△4BC相似，求f的值;

(3)设点。是尸/的中点，当。。与△/2C的一边垂直时，请直接写出t的值.

23.(23-24九年级上•辽宁丹东•阶段练习)在RM48c中，ZC=90°,4B=10,AC=8,动点N从点C

同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿C/、CB向终点/,3移动，同时动点P从点2出发，以每秒2cm

的速度沿A4向终点N移动，连接W,PN,设移动时间为:(单位：秒)三个点中有一个到达终点即停止

运动.

A

(1)若以3、P、N为顶点的三角形与△NBC相似，求t的值；

(2)当△尸是等腰三角形时，求f的值；

(3)在运动过程中，是否存在以为直角边MAPMN的，存在则直接写出/的值.

24.(23-24九年级上•广西桂林•阶段练习)如图，在矩形中，AB=12厘米，8c=6厘米.点尸沿4B

边从A开始向点8以2厘米/秒的速度移动；同时点。沿ZX4边从点。开始向点A以1厘米/秒速度移动，用/

(秒)表示移动的时间(0</<6).

(1)当t为何值时，AQ4P为等腰直角三角形？

(2)求四边形Q/PC的面积；

(3)当t为何值时，以点。，4尸为顶点的三角形与△ABC相似?

25.(23-24八年级下•吉林长春・期末)如图①，在RtZ\48C中，445C=90。，NC=15,48=9,动点。从

点C出发沿CN以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，同时动点E从点A出发沿N8以每秒3个单位长

度的速度向终点8运动.设点。运动的时间是，秒(0<»<3).过点。作。尸1BC于点F,连结。E、EF.

c

(2)当四边形ZEED是菱形时，，的值为—；

(3)当DE垂直于△48C的一边时，求才的值；

(4)如图②，将△。胡沿。E翻折，点/的对应点为点4,直接写出点4在△4BC外部时t的取值范围.

［经典例题六相似三角形的应用】

26.(24-25九年级上•江苏南京•开学考试)一块直角三角形木板，它的一条直角边/C长为2m,面积为

1.5m2,现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面.甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所

示.请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求.

AA

27.（2022九年级•全国•专题练习）阅读理解:

AHEF

如图1,是A48C的高，点£、/分别在N8和NC边上，且EF"BC,可以得到以下结论:

拓展应用:

图1图2图3

（1）如图2,在A42C中，BC=3,2c边上的高为4,在A42C内放一个正方形EFGM,使其一边GM在2c

上，点£、尸分别在/8、AC±,则正方形EFGM的边长是多少？

（2）某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm,底边长为160c加的等腰三角形展台.现需将

展台用隔板沿平行于底边，每间隔10c加分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，

要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒.平面设计图如图3所示,将底边2C的长度看作是0排隔板的长度.

①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单

位：排）的变化而变化.请完成下表：

排数/排0123

隔板长度/厘米

160———

若用”表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与〃的关系式;

②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？

28.（2021•内蒙古鄂尔多斯・二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小

组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：

小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）.

小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2

米，落在地面上的影长为2.4米.

小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）.身高是1.6米的小明站在

坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米.

（1）在横线上直接填写甲树的高度为米，乙树的高度为米；

（2）请求出丙树的高度.

29.（2020•陕西西安•二模）小明和小刚都是篮球迷，他们常常晚上写完作业后，抽出一点时间到小区附近

的室外篮球场打篮球，小明注意到篮球场两侧有两个一样高的路灯，他想正好可以用所学的知识来测量一

下路灯的高度，便设计出如下的测量方案如图，用A、C两点表示路灯，AB上BD、CDLBD、4B=CD,

小明站在8。上的尸处.小刚帮他测得他在路灯主照射下的影长尸G=2米，在路灯C照射下的影长

FH=1.75米.已知小明的身高砂■=1.6米，篮球场的宽皮＞=15米，请根据以上数据计算出路灯的高度（N8

或的长）.

30.（2024九年级上•全国・专题练习）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测

量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点C处，他在点尸处

正好在镜中看到树尖A的像；第二次他把镜子放在点C处，他在点尸处正好在镜中看到树尖A的像.已知

AB±BF',EF±BF',E'F'±BF',小军的眼睛距地面1.7m（即斯=E'产=1.7m）,量得

CC'=12m,CF=1.8m,C户'=4.2m,求这棵古松树的高度AB.（镜子大小忽略不计）

A

【经典例题七图形的位似压轴】

31.(22-23九年级下•山东德州•开学考试)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为4(2,1)、

。(0,0)、8(1,-2).

(1)画出将△N03向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的A4°I与；

⑵以原点。为位似中心，位似比为1:2,在y轴的左侧，画出将A4a片放大后的△4。2与；

(3)判断△Z03与△4。2与，能否是关于某一点。为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点。的坐标.

32.(2023•江苏南京•模拟预测)在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度。(0°<6<180。),

再将旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为左，称这种变

换为自旋转位似变换.若顺时针旋转，记作7(4顺仇左)；若逆时针旋转，记作7(4逆仇左).

例如：如图①，先将A/BC绕点5逆时针旋转50。，得到△4BG，再将△48G以点5为位似中心缩小到原

③④

（1）如图②，△ZBC经过T（C,顺60。,2）得到^/0。，用尺规作出△NEC.（保留作图痕迹）

（2）如图③，△ABC经过7（民逆/左）得到△E8O,△48C经过T（C,顺/7,/）得到△"）（?,连接/E,AF.求

证：四边形NEDE是平行四边形.

（3）如图④，在△4BC中，ZA=150°,AB=2,AC=\.若△23C经过（2）中的变换得到的四边形ZFDE

是正方形.

I.用尺规作出点。（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；

II.直接写出ZE的长.

33.（23-24九年级下•吉林•阶段练习）如图①，在Rt448C中，48=9,8C=12,点。是48上一点，且

AD=2BD.动点厂从点C出发沿CB方向以每秒2个单位长度的速度向经点2运动，以。尸为边构造等腰

直角三角形。E尸，其中尸为直角顶点，且点E与点8位于线段两侧.设点厂的运动时间为f（秒）.

A£

(1)求线段4c的长度;

(2)当点£落在RtZX/BC的中位线上时，求出f的值:

(3)连接CE,则线段CE的最小值是.

(4)如图②.以点B为位似中心，将ADEF缩小后得到AD'E'F，且。尸=3D'F'连接E'C，当E'C与RtADEF

的某条边平行时，直接写出/的值.

34.(2024・湖北武汉•一模)如图是由小正方形组成的网格，四边形的顶点都在格点上，仅用无刻度

的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.

(1)在图1中，先以点A为位似中心，将四边形/BCD缩小为原来的;，画出缩小后的四边形/4G2,再

在48上画点E,使得DE平分四边形的周长；

(2)在图2中，先在上画点F，使得CF=BC,再分别在上画点M,N,使得四边形8CW

是平行四边形.

35.(23-24九年级上•辽宁大连•阶段练习)【问题背景】

人教版九年级下册教材第58页第11题：如图1,一块材料的形状是锐角三角形N3C,边3c=120mm,高

/D=80mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在3c上，其余两个顶点分别在45,AC±,这个正

方形零件的边长是多少？

在满足正方形的一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上的条件下，能否在上面的材料上,

加工一个面积更大的正方形？如何用直角尺（只能画直角）和圆规画出这个正方形？

【分析问题】

小敏认为，由于正方形的一边在三角形的一边上，这样就存在三种可能.在已知三边长度的情况下，可以

通过计算，分别求出三个正方形的边长，然后比较三条边长的大小，进而知道面积最大的正方形；也可以

结合当前所学的位似，分别画出满足条件的正方形，再利用圆规比较三个正方形的边长的大小，即可解决

问题.

【解决问题】

为了简化探索过程，小敏取边长分别为5cs,5c俏,6c机的三个等腰三角形（其中/C为腰）木块进行研究.

如图2,正方形EFGH的顶点E,H分别在/A/C上，边尸G在2c上.如图3,正方形跖VP0的顶点河，N

分别在48,2c上，边尸。在/C上.

请你完成下面两个问题：

（1）通过计算，比较这两个正方形的边长的大小；

（2）在图4中，用直角尺（只能画直角）和圆规画出面积最大的正方形，使其一边在三角形的一边上，其

余两个顶点分别在另外两边上（保留画图痕迹）.

【学以致用】

定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.

小敏类比上面的研究方法，又提出下面问题:

在如图5所示的扇形中，能否用直角尺和圆规画出一个正方形，使其两个顶点在弧上，另外两个顶点在半

径上？

你认为可以吗？如果可以、在图中画出符合条件的正方形（保留画图痕迹）；如果不可以，说明理由.

图5

j［经典例题八相似三角形的模型问题】

36.（24-25九年级上•吉林•阶段练习）如图①，在△ABC中，。是边4B上的点，E是边NC上的点，连结

ADCE14EF,,

BE、CD交于点、F,若育彳，求怎7的值.

DB~AE2Dr

E

A

(1)猜想证明：

思路1：过点E作EG〃48交CD于点G.

思路2：过点D作DH〃4c交BE于点H.

思路3：过点A作8c分别交CD、BE延长线于点W、点N.

请选择一种思路、写出解答过程.

⑵类比探究：

如图②，在△4BC中，。是边2B上的点，£是边C4延长线上的点，连结3E、CD交CD延长线于点尸.若

ADAJ71

-=且A/CZ)面积为2,则四边形4DFE的面积为________.

DBZC2

(3)延伸拓展：

如图③，在矩形4BC。中，E、尸分别为边BC、CD上的点，AB=3,40=6,DE与4F、3尸分别交于点

P、Q.若CF=2DF,CE=2BE,则尸。的长为.

37.(24-25九年级上•上海•阶段练习)如图，直线4、右、4分别截直线乙于点力、B、C,截直线4于点。、

)ABDE£

E、F,h〃I、，H.-------=--------

BCEF3

⑴求证：4〃4；

（2）如果力。=3,CF=4,求即的长.

AR?

38.（243九年级上泗川成都•阶段练习）在RW5C中,”g=9。。，前』点”分别是犯BC

的中点，连接MV.然后将ABMN绕点5顺时针旋转炉（0。＜&。＜360。），连接CN,NM,直线CN与直线

交于点K.

M

(1)如图1,在旋转过程中，石口的值是否发生变化？若不变，求出奇的值;

4

(2)如图2,当点K在直线3。的上方时，连接3K,当2K=8时，求的值；

(3)若C3=4,在旋转过程中，当C瓦N三点构成的三角形为直角三角形时，请直接写出CK的长.

39.(24-25九年级上•上海浦东新•阶段练习)从特殊到一般，联系问题本质，是数学学习的重要方法.

AB=4,BC=3,将矩形对折，使得点2、点。重叠，折痕为E尸，过点尸作48

的垂线交4B于点G,求：斯的长;

(2)如图2,矩形/BCD中，点£,厂分别在“8DC上，点G,X分别在ZD8c上且MlG”,求证:

EF-AB=GHBC.

(3)如图3,四边形/BCD中，/48C=90。，AB=AD=4,BC=CD=2,1ON,点分别在边3C,AB

,qAM../士

上,求：丽的值.

40.(24-25九年级上•四川成都•阶段练习)在正方形48CD中，E为CD边上一动点，将△4DE沿NE折叠,

得到A/E尸，过点尸作直线MN〃4D,分别交CD,AB于点、M,N.

C

P

B

(1)如图①，求证：AEMFsAFNA；

(2)如图①，当DE=3时，若MF-FN=10,求正方形48co的边长；

DF

(3)如图②，延长E尸交CB边于点P,连接/尸交〃N于点。，当MR+N0=Q尸时，求出大的值.

一31经典例题九相似三角形的综合】

41.(23-24九年级上•四川成都•阶段练习)如图，将矩形/BCD沿加'折叠,,使点。落在3C边的点E处,

过点E作EGIICD交/尸于点G,连接。G.

(1)求证：四边形EFDG是菱形；

(2)求证£0=46尸・/尸；

2

(3)若NG=3,EG=M,求的长.

42.(2021•江苏无锡・二模)在矩形N5CD的CD边上取一点E,将A3CE沿翻折至42尸£的位置.

(1)如图1,当点尸落在矩形/BCD内部时，连接C尸并延长，交4D于点G,若48=12,3c=15,

DG=5,则G尸的长度为；

(2)如图2,当点C恰好落在40边上点尸处时，若48=5,且4b-ED=10,求2C的长；

(3)如图3,当点C恰好落在边上点尸处时，延长ER与乙48厂的角平分线交于点M,BM交AD于

AR

点N,当NF=/N+FD时，求工的值.

43.(2021•内蒙古赤峰•中考真题)数学课上，有这样一道探究题.

如图，已知“BC中，AB=AC=m,BC=n,/8/C=a（0°<a<180。），点尸为平面内不与点/、C重合的任

意一点，将线段CP绕点尸顺时针旋转。，得线段PD,E、尸分别是C2、CD的中点，设直线NP与直线

FF

所相交所成的较小角为夕，探究-右的值和/的度数与加、n、a的关系，请你参与学习小组的探究过程，

AP

并完成以下任务：

（1）填空：

【问题发现】

EF

小明研究了a=60。时，如图1,求出了不~7=，B=；

PA

FF

小红研究了a=90。时，如图2,求出了3=，尸=;

PA

【类比探究】

FF

他们又共同研究了。=120。时，如图3,也求出了3；

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律：名=（用含加、"的式子表示）；夕=（用含a的式

子表示）.

FF

（2）求出。=120。时^的值和方的度数.

PA

44.（2020•安徽合肥•一模）如图，是A48C的中线，。是线段上一点（不与点N重合）.交

/C于点尸，CEWAM,连接

图1图2图3

（1）如图1,当点。与M重合时，求证：AB=ED；

（2）如图2,当点。不与M重合时，请判断四边形4BDE的形状，请说明理由；

（3）如图3,延长8。交NC于点〃，若BHLAC,且当FH=下,,DM=6时，求。”的长.

45.（2021•四川乐山•中考真题）在等腰△ASC中，4B=/C,点。是3c边上一点（不与点8、C重合）,

连结4D.

(1)如图1,若/C=60。，点。关于直线48的对称点为点£,结4E,DE,贝UZBDE=；

(2)若/C=60。，将线段4D绕点A顺时针旋转60。得到线段4E,连结BE.

①在图2中补全图形；

②探究CD与3E的数量关系，并证明；

Ar)

(3)如图3,^—=—=k,且乙4DE=/C,试探究8E、BD、NC之间满足的数量关系，并证明.

BCDE

_，3【经典例题十相似三角形的新定义问题】

46.（