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文档简介
专题02角度计算的经典八大模型
队模型解密
【题型1双垂直模型】
模型1双垂直模型
【条件】ZB=ZD=ZACE=90°.
【结论】ZBAC=ZDCE,ZACB=ZCED.
图]典例精讲
【典例1】AD、BE为△ABC的高,AD、BE相交于H点,ZC=50°求/BHD.
【解答】解:是△ABC的高,
:./BHD+NHBD=9O°,
:BE是△ABC的高,
AZHBD+ZC=90°,
:.ZBHD=ZC,
VZC=50°,
/.ZBHD=5O°.
【变式1-1】如图所示,在△ABC中,CD、BE分另I]是AB、AC边上的高,并且CD、BE交
于点尸,若/A=60°,则N3PC等于()
A
【答案】B
【解答】解:・.・NA=60°,BELAC,
:.ZABE^90°-60°=30°,
又・.・CD_LA3,
AZBDP=90°,
ZBPC=90°+ZABE=120°.
故选:B.
【变式1-2】在3c中,已知NA5C=50°,ZACB=60°,BE是AC上的高,。厂是AB
上的高,”是BE和C厂的交点.求NA8E和NB"C的度数.
【解答】解:・・・5E是AC上的高,
AZAEB=9Q°,
VZABC=50°,ZACB=60°,
AZA=180°-60°-50°=70°,
ZABE=180°-90°-70°=20°,
***CF是AB上的IWJ,
AZAFC=90°,
ZACF=180°-90°-70°=20°,
VZABE=20°,
AZEBC=ZABC-ZABE=50°-20°=30°,
VZACF=20°,ZACB=60°,
AZBCH=40°,
典例精讲
【典例2】探索归纳:
(1)如图1,已知△ABC为直角三角形,ZA=90°,若沿图中虚线剪去NA,则N1+
Z2=270°
(2)如图2,已知△ABC中,ZA=40°,剪去乙4后成四边形,则21+/2=220°.
(3)如图2,根据(1)与(2)的求解过程,你归纳猜想N1+/2与/A的关系是180°
(4)如图3,若没有剪掉NA,而是把它折成如图3形状,试探究N1+/2与NA的关系,
并说明理由.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)::四边形的内角和为360。,直角三角形中两个锐角和为90°
;./1+/2=360°-(ZA+ZB)=360°-90°=270°.
等于270°.
故答案为:270°;
(2)Zl+Z2=180°+40°=220°,
故答案是:220°;
(3)/1+/2与NA的关系是:Zl+Z2=180°+ZA;
故答案为:180°+ZA;
(4)是由△石曲折叠得到的,
ZAFE=ZPFE,ZAEF=ZPEF
AZI=180°-2ZAFE,Z2=180°-2ZAEF
.,.Zl+Z2=360°-2(/AFE+/AEF)
XVZAFE+ZAEF=180°-/A,
.,.Zl+Z2=360°-2(180°-ZA)=2ZA.
【变式2-1]如图,已知AABC为直角三角形,ZC=90°,若沿图中虚线剪去/C,则/
A.90°B.135°C.270°D.315°
【答案】C
【解答】解:•••四边形的内角和为360°,直角三角形中两个锐角和为90°
.,.Zl+Z2=360°-(ZA+ZB)=360°-90°=270°.
故选:C.
【变式2-2】如图,在△ABC中,E、尸分别是A3、AC上的两点,Zl+Z2=235°,则NA
=55
度.
【解答】解:..T+N2=235°,
AZB+ZC=360°-(Z1+Z2)=360°-235°=125°,
故NA=180°-(ZB+ZC)=180°-125°=55°.
故答案是:55.
【变式2-3]在如图所示的四边形中,若去掉一个50。的角得到一个五边形,则/1+/2=
【答案】见试题解答内容
【解答】解:由于/I和N2是三角形的外角,
所以Nl=N4+50°,Z2=Z3+50°,
所以/1+/2=/4+50°+Z3+5O0=(Z4+500+Z3)+50°=180°+50°=230°.
【变式2-4]如图,四边形A20C中,NA4C与N30C的角平分线相交于点P,若N2=16°,
ZC=42°,则NC=13°.
【解答】解:延长CO交48于点O,OC与AP交于点E,
根据三角形的外角的性质,
ZBDC=ZC+ZBAC=42°+2ZBAP,
ZBOC=ZB+ZBDC=5S°+2N2AP则NCO尸=29°+ZBAP,
根据三角形的内角和定理,
ZCOP+ZP=ZC+ZBAP,
所以/P=/C+N54P-/COP=13°,
故答案为:13.
J模型解密
模型3:8字模型
典例精讲
【典例3】图1,线段AB、C。相交于点O,连接A。、CB,我们把形如图1的图形称之为
“8字形”.如图2,在图1的条件下,ND4B和/BCD的平分线A尸和CP相交于点P,
并且与C。、AB分别相交于M、N.试解答下列问题:
(1)在图1中,请直接写出NA、NB、NC、ND之间的数量关系:ZA+ZD=ZC+
/B;
(2)仔细观察,在图2中“8字形”的个数:6个;
(3)图2中,当/0=50度,/B=40度时,求/尸的度数.
(4)图2中ND和N2为任意角时,其他条件不变,试问NP与ND、N2之间存在着
怎样的数量关系.(直接写出结果,不必证明).
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1),/ZA+ZD+ZAOD=ZC+ZB+ZBOC=ISO°,ZAOD^ZBOC,
:.ZA+ZD=ZC+ZB,
故答案为:NA+/_D=NC+/&
(2)①线段A3、CD相交于点0,形成“8字形”;
②线段AA\CM相交于点0,形成“8字形”;
③线段AB、”相交于点M形成“8字形”;
④线段AB、CW相交于点0,形成“8字形”;
⑤线段AP、C。相交于点形成“8字形”;
⑥线段4V、CD相交于点。,形成“8字形”;
故“8字形”共有6个,
故答案为:6;
(3)ZDAP+ZD=ZP+ZDCP,①
ZPCB+ZB=ZPAB+ZP,②
,//DAB和NBCO的平分线AP和CP相交于点P,
:.ZDAP=ZFAB,ZDCP=ZPCB,
①+②得:
ZDAP+ZD+ZPCB+ZB=ZP+ZDCP+ZPAB+ZP,
即2NP=ND+NB,
又:/£>=50度,N2=40度,
:.2ZP=50°+40°,
:.ZP=45°;
(4)关系:2NP=ND+NB.
/。+/1=/尸+/3①
ZB+Z4=ZP+Z2@
①+②得:
ZD+Z1+Z4+ZB=ZP+Z3+Z2+ZP,
,/ZDAB和/OCB的平分线AP和CP相交于点P,
?.Z1=Z2,Z3=Z4
:.2/P=ND+NB.
【变式3-1](2023秋•石嘴山校级期中)如图1的图形我们把它称为“8字
(1)如图1,求证:ZA+ZJB=ZC+ZD;
(2)如图2,AP,CP分别平分/BAD,ZBCD,若NABC=36°,ZADC=16°,求
ZP的度数;
(3)如图3,直线AP平分/BAD,CP平分的外角NBCE,请直接写出/尸与/
B、的数量关系是_/p=9o°(ZB+ZD)—•
【答案】(1)见解析;
(2)26°;
(3)ZP=900-tj(ZB+ZD)'
【解答】(1)证明:VZA+ZB+ZAOB=180",ZC+ZZ)+ZCOD=180°,
ZA+ZB+ZAOB=ZC+ZD+ZCOD,
':ZAOB=ZCOD,
:.ZA+ZB=ZC+ZD.
(2)解:':AP,CP分别平分/BADZBCD,
:.ZBAP=APAD,ZBCP=ZPCD,
由(1)的结论得,NP+/BCP=/ABC+NBAP®,
ZP+ZFAD=ZADC+ZPCD®,
①+②得,2ZP+ZBCP+ZPAD=ZBAP+ZPCD+ZABC+ZADC,
:.2ZP=ZABC+ZADC,
VZABC=36°,ZADC=16°,
;.2/P=36°+16°=52°,
:.ZP=26°.
答:/P的度数为26°.
⑶解:ZP=900用(/B+ND>理由如下:
直线AP平分/BAD,CP平分/BCD的外角ZBCE,
:.ZPAB=ZPAD,ZPCB=ZPCE,
.,.2ZB4B+ZB=180°-2ZPCB+ZD,
.*.180°-2(Z/MB+ZPCB)+Z£)=ZB,
•/ZP+ZPAD=ZPCB+ZAOC^ZPCB+ZB+2ZFAD,
:.ZP=ZPAD+ZB+ZPCB=ZPAB+ZB+ZPCB,
:.NFAB+NPCB=ZP-NB,
.*.180°-2(ZP-ZB)+ZD=ZB,
即4=90。卷(NB+ND),
【变式3-2](2023春•汝阳县期末)如图,NC4D与NCB。的角平分线交于点P.
(1)若/C=35°,ZD=29°,求/P的度数;
(2)直接写出4D,/C,/P的数量关系;
(3)若/CA。与NCBD的大小发生变化,(2)的结论是否仍然成立?若成立,说明理
由,若不成立,写出成立的式子.
⑵ZP^-(Zc+ZD);
(3)(2)的结论仍然成立,证明见解析过程.
【解答】解:(1)vZAEC=ZBEP,ZBFD=ZAFP,
.\180o-(ZC+ZCAE)=180°-(NP+NPBE),
180°-CZD+ZDBF)=180°-(ZP+ZB4F),
..JNC+NCAE=NP+NPBE①,
"1ZD+ZDBF=ZP+ZPAF(2)'
①+②,Wzc+ZCAE+ZD+ZDBF=ZP+ZPBE+ZP+ZPAF,
•:/CAD与/CBD的角平分线交于点P,
:.ZCAE=ZPAF,/DBF=/PBE,
・・・NC+N0=2NP,
•••NP卷(NC+ND),(35。+29°)=32。;
⑵ZP^-(ZC+ZD)'
理由同(1);
(3)•:NAEC=NBEP,NBFD=/AFP,
.\180°-(ZC+ZCAE)=180°-(NP+NPBE),
180°-(ZD+ZDBF)=180°-(ZP+ZB4F),
..JNC+NCAE=/P+NPBE①,
'lZD+ZDBF=ZP+ZPAF(2)'
①+②,ZC+ZCAE+ZD+ZDBF=ZP+ZPBE+ZP+ZB\.F,
VZCAD与NCBD的角平分线交于点P,
:.ACAE=ZPAF,ZDBF=ZPBE,
:.ZC+ZD=2ZP,
此时NC、ZD,NP的关系与/CAD与NCBD的大小无关,
■•NP蒋(NC+ND),
即(2)的结论仍然成立.
【变式3-3](2023秋•太平区期末)我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”
字图形,如图1,AD,BC相交于点O,连接AB,CD得到“8”字图形ABDC.
(1)如图1,试说明的理由;
(2)如图2,/ABC和/AOC的平分线相交于点E,利用(1)中的结论探索/E与/A、
NC间的关系;
(3)如图3,点片为CZ)延长线上一点,BQ、0P分别是NABC、NAO石的四等分线,
且/CBQ=」/ABC,ZEDP=1ZADE,QB的延长线与DP交于点P,请探索/P与
44
乙4、/C的关系.
【答案】(1)详见解析;
(2)2ZE=ZA+ZC;
(3)ZA+3ZC+4ZP=180°.
【解答】解:(1)如图1,
VZAOB+ZA+ZB=ZCOD+ZC+ZD=iSO°,ZAOB=ZCOD,
:.ZA+ZB=ZC+ZD.
(2)如图2,
,/ZABC和NADC的平分线相交于点E,
:.ZABE=ZCBE,ZCDE=ZADE,
由(1)可得:ZA+ZABE=ZE+ZADE,ZC+ZCDE=ZE+ZCBE,
:.ZA+ZABE+ZC+ZCDE=ZE+ZADE+ZE+ZCBE,
:.2/E=ZA+ZC.
(3)由(1)得:ZA+ZABC=ZC+ZCDA,
TZA4VZABC=-7NC^NCDA,
4444
又NCBQ=4"NABC,NEDP=2NADE,/CZM=180°-AADE,
44
•二NA+NCBQJ/C+45。-ZEDF'
44
设AD与尸。的交点为点O,
贝!IZCBQ+/BOD=ZC+ZADC,
两式相减可得:ZBOD-VZA-YZC+ZADC+ZEDP-450;
44
1q
ZBOD-4-ZA=VZC+180°-ZADP-450'
44
1o
,45°-TZA=TZC+1800-ZADP-ZBOr
44
/P=180°-ZBOD-ZADP,
•••45°-vZA-yZC+ZP'
44
即/A+3/C+4/P=180°.
工模型解密
["Si典例精讲
【典例4]探究与发现:如图(1)所示的图形,像我们常见的学习用品一圆规,我们,不
妨把这样图形叫做“规形图
(1)观察“规形图(1)”,试探究NBDC与NA、NB、/C之间的数量关系,并说明理
由;
(2)请你直接利用以上结论,解决以下问题:
①如图(2),把一块三角尺XFZ放置在AAC上使三角尺的两条直角边XKXZ恰好经过
点、B、C,若/A=40°,则NABX+/ACX=50°.
②如图(3),0c平分/AOB,EC平分/AEB,若/。AE=40°,/DBE=130°,求/
DCE的度数.
图(1)图(2)图(3)
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)如图(1),ZBDC=ZBAC+ZB+ZC,理由是:
过点A、D作射线AR
NFDC=ZDAC+ZC,/BDF=ZB+ZBAD,
:.ZFDC+ZBDF=ZDAC+ZBAD+ZC+ZB,
即ZBDC=ZBAC+ZB+ZC;
(2)①如图(2),VZX=90°,
由(1)知:ZA+ZABX+ZACX=ZX=90°,
VZA=40°,
AZABX+ZACX=50°,
故答案为:50;
②如图(3),VZA=40°,ZDBE=130°,
ZADE+ZAEB=130°-40°=90°,
•..0C平分NAD8,EC平分NAEB,
:.ZADC=1-ZADB,ZAEC=1-ZAEB,
22
AZADC+ZAEC=1(ZADB+ZAEB)=45°,
AZDCE=ZA+ZADC+ZAEC=40°+45°=85°.
图(1)
【变式4-1】一个零件的形状如图,按要求/A=90°,ZB=32°,ZC=21°,检验工人
量得/CDB=148。,就断定这个零件不合格,运用三角形的有关知识说明零件不合格的
理由.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:如图,
延长CD交于E,
VZA=90°,ZC=21°,
:.Z1=ZA+ZC=9O0+21°=111°,
VZB=32°,
:.ZBDC^ZB+Z1=32°+111°=143°.
又:NBDC=148°,
这个零件不合格.
【变式4-2]附加题:如图,试说明:
®ZBDC>ZA;
②/8OC=/B+/C+/A.
如果点。在线段BC的另一侧,结论会怎样?
【解答】解:①延长8。交AC于E,则N2DONDEC,而/DEO/A,所以/3DC
>ZA;
②由NBOC=NC+/OEC,ffi]Zr>EC=ZA+ZB,所以/8OC=/A+/B+NC.
如果点。在线段BC的另一侧,如图所示:
结论:①/BDC与NA无法比较大小;
②NBZ)C=360°-(ZA+ZB+ZC),
【变式4-3]如图,ZVIBC中,ZA=30°,D为CB延长线上的一点,DELAB于点E,Z
25=40°,则/6:为()
C.30°D.25°
【答案】A
【解答】VDEXAB,
AZDEB=90°,
VZD=40°,
AZABD=18O°-ZD-ZDEB=50°,
VZABD=ZA+ZC,ZA=30°,
ZC=AABD-ZA=50°-30°=20°.
故选:A.
队模型解密
模型5风筝模型
「Si典例精讲
【典例5】(2023秋•兰山区校级月考)现有一张△ABC纸片,点。、E分别是△ABC边上
两点,若沿直线。E折叠,折成如图的形状.
(1)若/1=25°、Z2=35°,求/A的度数;
(2)猜想N1、/2和NA的数量关系,并说明理由.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)由折叠得:ZADE=ZA'DE,ZAED=ZA'ED,
ZAED+ZA'ED=180°-Zl=180°-25°=155°,
ZADE+ZA'DE=180°-Z2=180°-35°=145°,
AZADE+ZAED=(155°+145°)4-2=150°,
:.ZA=180°-150°=30°;
(2)猜想:Z1+Z2=2ZA,
理由是:由折叠得:ZADE=ZA'DE,/AED=NA'ED,
VZADB+ZAEC=360°,
Zl+Z2=360°-ZADE-ZA'DE-ZAED-/A'£D=360°-2AADE-2/AED,
AZ1+Z2=2(180°-ZADE-ZAED~)=2ZA,
:.Z1+Z2=2ZA.
【变式5-1](2022秋•萍乡期末)如图,将一张三角形纸片ABC的三角折叠,使点A落在
△ABC的A'处折痕为。E,若/A=a,ZCEA'=0,ZBDA'=y,那么下列式子中正
确的是()
A.y=180°-a-pB.y=a+20
C.y=2a+pD.Y=a+0
【答案】C
【解答】解:如图,设AC交DV于尸.
由折叠得:ZA=ZA\
':ZBDA'=ZA+ZAFD,ZAFD=ZA'+ZC£A\
VZA=a,ACEA'=0,ZBDA=y,
/BDA=Y=a+a+B=2a+0,
故选:C.
【变式5-2](2023秋•合江县期中)如图,在△ABC中,Zl=120°,Z2=50°,将AAB
C沿着直线/折叠,点C落在点O的位置,则/C的度数是()
A
J厅\二
D
A.40°B.35°C.50°D.45°
【答案】B
【解答】解:由折叠的性质得:/Q=/C,
21\
D
根据外角性质得:Z1=Z3+ZC,Z3=Z2+ZD,
:.Z1=Z2+ZD+ZC=Z2+2ZC,
:.ZC=(Z1-Z2)4-2=(120°-50°)4-2=35°.
故选:B.
【变式5-3](2023•青岛模拟)如图,在△ABC中,ZB+ZC:=a,按图进行翻折,使B,D〃
CG//BC,B,E//FG,则/CFE的度数是()
A
6』、
BEFC
A.—B.90°--C.a-90°D.2a-180°
22
【答案】D
【解答】解:设/AD3'=丫,ZAGC'=p,ZCEB'=y,NC'FE=x,
\"B'D//CG,
,Y+B=N8+NC=a,
■:EB'//FG,
:.ZCFG=ZCEB'=y,
.,.x+2y=180°①,
Vy+j=2ZB,P+x=2ZC,
;.Y+y+B+x=2a,
;.x+y=a②,
②义2-①可得x=2a-180°,
ZCFE=2oi-180°.
【变式5-4](2022秋•邯山区校级期末)如图,将△ABC一角折叠,若/1+/2=80°,则
ZB+ZC=()
【答案】c
【解答】解:连接44'.
Zl+Z2=Z3+Z4+Z5+Z6=ZEAD+ZEA'D,
•:/EAD=NEA'D,
:.Z1+Z2=2ZEA£>=160°,
AZEAD=40°,
・・・N8+NC=180°-40°=140°,
故选:C.
大模型解密
典例精讲
【典例6】【问题】
如图①,在△ABC中,ZA=74°,平分/ABC,0c平分/ACB.求/。的度数,对
于上述问题,在以下解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式).
解:ZABC+ZACB+ZA=180°(三角形内角和180°).
ZABC+ZACB=180°-ZA(等式性质).
VZA=74°(已知),
ZABC+ZACB=106°(等量代换).
平分/ABC(已知),
/.ZDBC=1ZABC(角平分线的定义).
2
同理,ZDCB=1.ZACB;
-2
•••/DBC+/DCB总(/ABC+/ACB)=53。(等式性质).
VZDBC+ZDCB+ZD=MO°,
;./£(=180°-CZDBC+ZDCB)=127°(等式性质).
【拓展】如图②,在△ABC中,ZA=p,DB平分/ABC,0c平分/ACB.
则/£>=(90°+巨).
2―
【应用】如图③,在△ABC中,DB平分/ABC,DC平分/ACSEB平分/DBC,EC
平分/OCB.若/E=146°,则/4=44°.
图②图③
【答案】(1)180°-ZA;106°;IZACB;53°;127°;
2
(2)90°+巨;
2
⑶44°.
【解答】解:(1)VZABC+ZACB+ZA=180°(三角形的内角和定理),
AZABC+ZACB=180°-/A(等式性质).
VZA=74°(已知),
AZABC+ZACB=IQ6°(等量代换).
平分NA2C(已知),
•1*ZDBC=yZABC(角平分线的定义)•
同理,ZDCB=1ZACB.
2
•••NDBC+NDCB-|(NABC+NACB)=53°(等式性质).
VZDBC+ZDCB+ZD=1SO°,
:.ZD=180°-CZDBC+ZDCB)=127°(等式性质).
故答案为:180°-ZA;106°;AZACB;53°;127°;
2
(2),/ZABC+ZACB+ZA=180°(三角形的内角和定理),
AZABC+ZACB=180°-/A(等式性质).
ZA=p(已知),
ZABC+ZACB=180°-B(等量代换).
YDB平分NA3C(己知),
•••NDBC=]/ABC(角平分线的定义)•
同理,ZDCB=1ZACB.
2
•**ZDBC+ZDCB-|(ZABC+ZACB)=90°(等式性质).
VZDBC+ZDCB+ZD=180°,
:.ZD=180°-CZDBC+ZDCB)=90°+且;
2
故答案为:900+且;
2
(3)•.,£>3平分NABC,DC平分NAC3,EB平分NDBC,EC平分NDCB,
:.ZCBD=1.ZCBA,/BCD=L/BCA,ZCBE=1.ZCBD,ZBCE=1-ZBCD,
2222
,'-ZCBE=—ZCBA,^BCE=1ZBCA,
44
VZCBE+ZBCE+ZE=ISO°,Z£=146°,
;.NCBE+NBCE=180°-ZE=34°,
:.ZCBE+ZBCE=^ZCBA+1ZBCA=34°,
44
:.ZCBA+ZBCA=136°,
VZCBA+ZBCA+ZA=180°,
AZA=180°-CZCBA+ZBCA)=44°.
故答案为:44°.
【变式6-1](2023秋•天津校级月考)如图,在△ABC中,ZA=52°,/ABC与/ACB的
平分线交于点A,NAB。与/ACP的平分线交于点。2,依次类推,NABD4与/ACLU
的平分线交于点。5,则/BO5c的度数是()
【答案】B
【解答】解:在△ABC中,
VZA=52°,
:.ZB£)iC=180°-180°-/A=i80。-1800-52°=180°-64°.
22
第2次/3DC=180°-1800-52°-4x1800-52°=180。-60°-32°,
222
NgC的度数是180。-180°-52°-1xl80°-52°一工义工乂180°-52°一
222222
1乂1乂1乂180°-52°一"1乂"1乂180°-52°=寸+128^=56»,
5
2222222222
故选:B.
【变式6-2]如图1,在△ABC中,/ABC和/ACB的平分线交于点O,过点。作E〜〃BC,
交AB于E,交AC于F.
(1)当BE=5,CF=3,则EF=8;
(2)当BE>C尸时,若CO是NAC2的外角平分线,如图2,它仍然和NA3c的角平分
线相交于点O,过点。作E尸〃BC,交AB于E,交AC于R试判断ERBE,CF之间
的关系,并说明理由.
【答案】(1)8;(2)EF=EB-FC.
【解答】解:⑴,:EF//BC,
:.ZEOB=NOBC,ZFOC=ZOCB,
':ZABC和/ACB的平分线交于点O,
ZEBO=ZOBC,ZFCO=ZBCO,
:.ZEBO=ZEOB,ZFOC=ZFCO,
:.BE=OE=5,OF=CF=3,
:.EF=EO+FO=S,
故答案为:8;
(2)EF=BE-CF,理由如下:
:BO平分/ABC,
ZABO=ZOBC,
'JEO//BC,
:.ZEOB=ZOBC,
:.ZABO=ZEOB,
:.EB=EO,
同理可得尸。=尸。,
:.EF=EO-FO=EB-FC.
【变式6-3[(1)如图(1),在△ABC中,ZABC,/ACB的平分线相交于点O,ZA=40°
求/BOC的度数.
(2)如图(2),MNB'C外角的平分线相交于点O',=40°,求.NB'O'
C的度数.
(3)由(1)、(2)可以发现NBOC与O'C有怎样的数量关系?设NA=NA'
=n,/BOC与NB'O'C是否还具有这样的数量关系?这个结论你是怎样得到的?
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)在△ABC中,ZABC./ACB的平分线相交于点O,则
Z1+Z2=AZXBC+AZACB=A(ZABC+ZACB)
222
=工(180°-ZA)=」X(180°-40°)=70°.
22
故/BOC=180°-70°=110°;
(2)因为/A的外角等于180°-40°=140°,
△A'B'C另外的两外角平分线相交于点。',
根据三角形的外角和等于360。,
所以N1+/2=2X(360°-140°)=110°,
2
ZB'O'C=180°-110°=70°;
(3)(1)(2)中/20C+N"O'C=110°+70°=180°,:./BOC与NB,O'
C互补;
证明:当NA="°时,ZBOC=180°-[(180°-n)4-2]=90°+A/i°,
2
VZA(=n°,ZB'O'C=180°-[360°-(180°-n)]4-2=90°-,
2
AZA+ZA7=90°+A«°+90°-A°=180°,/BOC与NB'O'C互补,
22
...当=n,NBOC与/B'O'C还具有互补的关系.
l模型解密
回典例精讲
【典例7】(2023秋•咸安区校级期中)如图1,点P是AABC两外角平分线的交点.
(1)若NA=50°,则NI=65°;
(2)探究/P与/A的数量关系并说明理由;
(3)如图2,点P是四边形A2CD相邻两外角平分线的交点,请直接写出NP与/A,
乙0的数量关系.
(2)ZP=9O°-AZA;
2
(3)ZP=360°-2ZP.
【解答】解:(1)•点尸是△ABC两外角平分线的交点,
AZPBC+ZPCB^l.(NMBC+NNCB)=▲(180°-ZABC+180°-ZACB)=2[36
222
0°-(180°-ZA)]=△(180+/A),
2
在△P8C中,/尸=180°-A(iso0+ZA)=90°-AZA,
22
VZA=50°,
:.ZP=65°;
故答案为:65°;
(2);BP,CP分别是外角4DBC,/ECB的平分线,
ZPBC+ZPCB=1.(/DBC+NECB)(180°+ZA),
22
在△PBC中,ZP=180°-A(180°-NA)=90°-AZA.
22
(3)如图,
Q
延长瓦1、co交于2,
则/尸=90。-Azg,
2
:.ZQ=180°-2ZP.
:.ZBAD+ZCDA
=180°+ZQ
=180°+180°-2ZP
=360°-2ZP.
【变式7](2022春•淅川县期末)[规律探索]探索三角形的内(外)角平分线形成的角的规
律:
在三角形中,由三角形的内角平分线外角平分线所形成的角存在一定的规律.
规律1:三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半;
规律2:三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90。减去与这两个外角不相邻的内
角度数的一半.
[问题呈现]如图①,点尸是△ABC的内角平分线BP与CP的交点,点〃是△ABC的外
角平分线与CM的交点,则NP=90°+1ZA,ZM=90°-IzA.
22
说明NP=90°如下:
2
,:BP、CP是△ABC的角平分线,
:.Z1=^ZABC,Z2=AZABC.
22
AZA+2(Z1+Z2)=180°.........①
.*.Z1+Z2=9O0-1ZA.
2
ZP=180°-(Z1+Z2)=90°+1ZA.
2
请你仔细阅读理解上面的说理过程,完成下列问题:
(1)上述说理过程中步骤①的依据是三角形内角和等于180。.
(2)结合图①,写出说明/M=90°-2乙4的说理过程.
2
[拓展延伸]如图②,点Q是△ABC的内角平分线BQ与△ABC的外角(ZACD)平分线
CQ的交点.若NA=50°,则/。的大小为25度.
图①图②
【答案】【问题呈现[(1)三角形内角和等于180°;
(2)ZM=180°-(90°+1ZA)=90°-JiZA;
22
[拓展延伸]25.
【解答】解:【问题呈现】
(1)证明过程中步骤(2)的依据是三角形内角和等于180。,
故答案为:三角形内角和等于180°;
(2);BM、CM是△A2C的外角平分线,
.*.Z3=AZ£BC,Z4=AZFCB,
22
ZABC=180°-2Z3,ZACB=180°-2/4,
AZA+(180°-2/3)+(180°-2Z4)=180°,
.*.Z3+Z4=90o+1ZA,
2
VZ3+Z4+ZM=180°,
.*.ZM=180o-(90°+1ZA)=90°-1ZA;
22
【拓展延伸】
:C。平分NACZ),
:.Z1=1ZACD,
2
;8。平分/ABC,
:.Z2=^ZABC,
2
,?ZACD=ZA+ZABC,
:.ZA^ZACD-ZABC=2(Z1-Z2),
VZl=Z2+Ze,
:.ZQ=Z1=Z2,
:.ZA=2ZQ,
即/Q=//A=25,
故答案为:25.
Q模型解密
「您典例精讲
【典例8](1)如图1,在△ABC中,8尸平分/ABC,CP平分NACB,求证:NP=90°
+—^A;
2
(2)如图2,在△ABC中,BP平分乙4BC,CP平分外角/ACE,猜想/P和/A有何
数量关系,并证明你的结论.
AA
P
图1图2
【答案】(1)证明过程见解答;
(2)ZP=-lz/A.
【解答】(1)证明:•.•?1+/ABC+NAC2=180°,
ZABC+ZACB=180°-ZA,
尸平分/ABC,CP平分NACB,
APCB=L^_ACB,NPBC=//ABC,
ZP=180°-(NPCB+NPBC)
=180°-ACZACB+ZABC)
2
=180°-A(1
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