苏科版七年级数学下册压轴题：角度计算的经典八大模型（解析版）

专题02角度计算的经典八大模型

队模型解密

【题型1双垂直模型】

模型1双垂直模型

【条件】ZB=ZD=ZACE=90°.

【结论】ZBAC=ZDCE,ZACB=ZCED.

图］典例精讲

【典例1】AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，ZC=50°求/BHD.

【解答】解：是△ABC的高,

:./BHD+NHBD=9O°,

：BE是△ABC的高，

AZHBD+ZC=90°,

：.ZBHD=ZC,

VZC=50°,

/.ZBHD=5O°.

【变式1-1】如图所示，在△ABC中，CD、BE分另I］是AB、AC边上的高，并且CD、BE交

于点尸，若/A=60°,则N3PC等于（）

A

【答案】B

【解答】解：・.・NA=60°,BELAC,

：.ZABE^90°-60°=30°,

又・.・CD_LA3,

AZBDP=90°,

ZBPC=90°+ZABE=120°.

故选：B.

【变式1-2】在3c中，已知NA5C=50°,ZACB=60°,BE是AC上的高，。厂是AB

上的高，”是BE和C厂的交点.求NA8E和NB"C的度数.

【解答】解：・・・5E是AC上的高，

AZAEB=9Q°,

VZABC=50°,ZACB=60°,

AZA=180°-60°-50°=70°,

ZABE=180°-90°-70°=20°,

***CF是AB上的IWJ,

AZAFC=90°,

ZACF=180°-90°-70°=20°,

VZABE=20°,

AZEBC=ZABC-ZABE=50°-20°=30°,

VZACF=20°,ZACB=60°,

AZBCH=40°,

典例精讲

【典例2】探索归纳:

(1)如图1,已知△ABC为直角三角形，ZA=90°,若沿图中虚线剪去NA,则N1+

Z2=270°

(2)如图2,已知△ABC中，ZA=40°,剪去乙4后成四边形，则21+/2=220°.

(3)如图2,根据(1)与(2)的求解过程，你归纳猜想N1+/2与/A的关系是180°

(4)如图3,若没有剪掉NA,而是把它折成如图3形状，试探究N1+/2与NA的关系，

并说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)：：四边形的内角和为360。，直角三角形中两个锐角和为90°

；./1+/2=360°-(ZA+ZB)=360°-90°=270°.

等于270°.

故答案为:270°；

(2)Zl+Z2=180°+40°=220°,

故答案是：220°；

(3)/1+/2与NA的关系是：Zl+Z2=180°+ZA；

故答案为：180°+ZA；

(4)是由△石曲折叠得到的，

ZAFE=ZPFE,ZAEF=ZPEF

AZI=180°-2ZAFE,Z2=180°-2ZAEF

.,.Zl+Z2=360°-2(/AFE+/AEF)

XVZAFE+ZAEF=180°-/A,

.,.Zl+Z2=360°-2(180°-ZA)=2ZA.

【变式2-1］如图，已知AABC为直角三角形，ZC=90°,若沿图中虚线剪去/C,则/

A.90°B.135°C.270°D.315°

【答案】C

【解答】解：•••四边形的内角和为360°,直角三角形中两个锐角和为90°

.,.Zl+Z2=360°-(ZA+ZB)=360°-90°=270°.

故选：C.

【变式2-2】如图，在△ABC中，E、尸分别是A3、AC上的两点，Zl+Z2=235°,则NA

=55

度.

【解答】解：..T+N2=235°,

AZB+ZC=360°-(Z1+Z2)=360°-235°=125°,

故NA=180°-(ZB+ZC)=180°-125°=55°.

故答案是：55.

【变式2-3］在如图所示的四边形中，若去掉一个50。的角得到一个五边形，则/1+/2=

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由于/I和N2是三角形的外角,

所以Nl=N4+50°,Z2=Z3+50°，

所以/1+/2=/4+50°+Z3+5O0=(Z4+500+Z3)+50°=180°+50°=230°.

【变式2-4］如图，四边形A20C中，NA4C与N30C的角平分线相交于点P,若N2=16°,

ZC=42°,则NC=13°.

【解答】解：延长CO交48于点O,OC与AP交于点E,

根据三角形的外角的性质，

ZBDC=ZC+ZBAC=42°+2ZBAP,

ZBOC=ZB+ZBDC=5S°+2N2AP则NCO尸=29°+ZBAP,

根据三角形的内角和定理，

ZCOP+ZP=ZC+ZBAP,

所以/P=/C+N54P-/COP=13°,

故答案为：13.

J模型解密

模型3：8字模型

典例精讲

【典例3】图1,线段AB、C。相交于点O,连接A。、CB,我们把形如图1的图形称之为

“8字形”.如图2,在图1的条件下，ND4B和/BCD的平分线A尸和CP相交于点P,

并且与C。、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：

(1)在图1中，请直接写出NA、NB、NC、ND之间的数量关系：ZA+ZD=ZC+

/B；

(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：6个;

(3)图2中，当/0=50度，/B=40度时，求/尸的度数.

(4)图2中ND和N2为任意角时，其他条件不变，试问NP与ND、N2之间存在着

怎样的数量关系.(直接写出结果，不必证明).

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1),/ZA+ZD+ZAOD=ZC+ZB+ZBOC=ISO°,ZAOD^ZBOC,

：.ZA+ZD=ZC+ZB,

故答案为：NA+/_D=NC+/&

(2)①线段A3、CD相交于点0,形成“8字形”;

②线段AA\CM相交于点0,形成“8字形”；

③线段AB、”相交于点M形成“8字形”；

④线段AB、CW相交于点0,形成“8字形”；

⑤线段AP、C。相交于点形成“8字形”；

⑥线段4V、CD相交于点。，形成“8字形”；

故“8字形”共有6个，

故答案为：6；

(3)ZDAP+ZD=ZP+ZDCP,①

ZPCB+ZB=ZPAB+ZP,②

,//DAB和NBCO的平分线AP和CP相交于点P,

：.ZDAP=ZFAB,ZDCP=ZPCB,

①+②得：

ZDAP+ZD+ZPCB+ZB=ZP+ZDCP+ZPAB+ZP,

即2NP=ND+NB,

又：/£>=50度，N2=40度，

：.2ZP=50°+40°,

：.ZP=45°；

(4)关系：2NP=ND+NB.

/。+/1=/尸+/3①

ZB+Z4=ZP+Z2@

①+②得：

ZD+Z1+Z4+ZB=ZP+Z3+Z2+ZP,

,/ZDAB和/OCB的平分线AP和CP相交于点P,

?.Z1=Z2,Z3=Z4

：.2/P=ND+NB.

【变式3-1]（2023秋•石嘴山校级期中）如图1的图形我们把它称为“8字

(1)如图1,求证：ZA+ZJB=ZC+ZD；

(2)如图2,AP,CP分别平分/BAD,ZBCD,若NABC=36°,ZADC=16°,求

ZP的度数；

(3)如图3,直线AP平分/BAD,CP平分的外角NBCE,请直接写出/尸与/

B、的数量关系是_/p=9o°(ZB+ZD)—•

【答案】(1)见解析；

(2)26°；

(3)ZP=900-tj(ZB+ZD)'

【解答】(1)证明：VZA+ZB+ZAOB=180",ZC+ZZ)+ZCOD=180°,

ZA+ZB+ZAOB=ZC+ZD+ZCOD,

'：ZAOB=ZCOD,

：.ZA+ZB=ZC+ZD.

(2)解：'：AP,CP分别平分/BADZBCD,

：.ZBAP=APAD,ZBCP=ZPCD,

由(1)的结论得，NP+/BCP=/ABC+NBAP®,

ZP+ZFAD=ZADC+ZPCD®,

①+②得，2ZP+ZBCP+ZPAD=ZBAP+ZPCD+ZABC+ZADC,

：.2ZP=ZABC+ZADC,

VZABC=36°,ZADC=16°,

；.2/P=36°+16°=52°,

：.ZP=26°.

答：/P的度数为26°.

⑶解：ZP=900用（/B+ND＞理由如下:

直线AP平分/BAD,CP平分/BCD的外角ZBCE,

：.ZPAB=ZPAD,ZPCB=ZPCE,

.,.2ZB4B+ZB=180°-2ZPCB+ZD,

.*.180°-2(Z/MB+ZPCB)+Z£)=ZB,

•/ZP+ZPAD=ZPCB+ZAOC^ZPCB+ZB+2ZFAD,

：.ZP=ZPAD+ZB+ZPCB=ZPAB+ZB+ZPCB,

：.NFAB+NPCB=ZP-NB,

.*.180°-2(ZP-ZB)+ZD=ZB,

即4=90。卷(NB+ND)，

【变式3-2](2023春•汝阳县期末)如图，NC4D与NCB。的角平分线交于点P.

(1)若/C=35°,ZD=29°,求/P的度数；

(2)直接写出4D,/C,/P的数量关系；

(3)若/CA。与NCBD的大小发生变化，(2)的结论是否仍然成立？若成立，说明理

由，若不成立，写出成立的式子.

⑵ZP^-(Zc+ZD);

(3)(2)的结论仍然成立，证明见解析过程.

【解答】解：(1)vZAEC=ZBEP,ZBFD=ZAFP,

.\180o-(ZC+ZCAE)=180°-(NP+NPBE),

180°-CZD+ZDBF)=180°-(ZP+ZB4F),

..JNC+NCAE=NP+NPBE①,

"1ZD+ZDBF=ZP+ZPAF(2)'

①+②，Wzc+ZCAE+ZD+ZDBF=ZP+ZPBE+ZP+ZPAF,

•:/CAD与/CBD的角平分线交于点P,

：.ZCAE=ZPAF,/DBF=/PBE,

・・・NC+N0=2NP,

•••NP卷(NC+ND),(35。+29°)=32。；

⑵ZP^-(ZC+ZD)'

理由同(1);

(3)•:NAEC=NBEP,NBFD=/AFP,

.\180°-(ZC+ZCAE)=180°-(NP+NPBE),

180°-(ZD+ZDBF)=180°-(ZP+ZB4F),

..JNC+NCAE=/P+NPBE①,

'lZD+ZDBF=ZP+ZPAF(2)'

①+②，ZC+ZCAE+ZD+ZDBF=ZP+ZPBE+ZP+ZB\.F,

VZCAD与NCBD的角平分线交于点P,

：.ACAE=ZPAF,ZDBF=ZPBE,

：.ZC+ZD=2ZP,

此时NC、ZD,NP的关系与/CAD与NCBD的大小无关，

­■•NP蒋(NC+ND)，

即(2)的结论仍然成立.

【变式3-3](2023秋•太平区期末)我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”

字图形，如图1,AD,BC相交于点O,连接AB,CD得到“8”字图形ABDC.

(1)如图1,试说明的理由；

(2)如图2,/ABC和/AOC的平分线相交于点E,利用(1)中的结论探索/E与/A、

NC间的关系；

(3)如图3,点片为CZ)延长线上一点，BQ、0P分别是NABC、NAO石的四等分线，

且/CBQ=」/ABC,ZEDP=1ZADE,QB的延长线与DP交于点P,请探索/P与

44

乙4、/C的关系.

【答案】(1)详见解析;

(2)2ZE=ZA+ZC；

(3)ZA+3ZC+4ZP=180°.

【解答】解：(1)如图1,

VZAOB+ZA+ZB=ZCOD+ZC+ZD=iSO°,ZAOB=ZCOD,

：.ZA+ZB=ZC+ZD.

(2)如图2,

,/ZABC和NADC的平分线相交于点E,

：.ZABE=ZCBE,ZCDE=ZADE,

由(1)可得：ZA+ZABE=ZE+ZADE,ZC+ZCDE=ZE+ZCBE,

：.ZA+ZABE+ZC+ZCDE=ZE+ZADE+ZE+ZCBE,

：.2/E=ZA+ZC.

(3)由(1)得：ZA+ZABC=ZC+ZCDA,

TZA4VZABC=-7NC^NCDA，

4444

又NCBQ=4"NABC，NEDP=2NADE，/CZM=180°-AADE,

44

•二NA+NCBQJ/C+45。-ZEDF'

44

设AD与尸。的交点为点O,

贝！IZCBQ+/BOD=ZC+ZADC,

两式相减可得：ZBOD-VZA-YZC+ZADC+ZEDP-450;

44

1q

ZBOD-4-ZA=VZC+180°-ZADP-450'

44

1o

,45°-TZA=TZC+1800-ZADP-ZBOr

44

/P=180°-ZBOD-ZADP,

•••45°-vZA-yZC+ZP'

44

即/A+3/C+4/P=180°.

工模型解密

["Si典例精讲

【典例4]探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不

妨把这样图形叫做“规形图

（1）观察“规形图（1）”，试探究NBDC与NA、NB、/C之间的数量关系，并说明理

由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：

①如图（2）,把一块三角尺XFZ放置在AAC上使三角尺的两条直角边XKXZ恰好经过

点、B、C,若/A=40°,则NABX+/ACX=50°.

②如图（3）,0c平分/AOB,EC平分/AEB,若/。AE=40°,/DBE=130°,求/

DCE的度数.

图（1）图（2）图（3）

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）如图（1）,ZBDC=ZBAC+ZB+ZC,理由是：

过点A、D作射线AR

NFDC=ZDAC+ZC,/BDF=ZB+ZBAD,

：.ZFDC+ZBDF=ZDAC+ZBAD+ZC+ZB,

即ZBDC=ZBAC+ZB+ZC；

（2）①如图（2）,VZX=90°,

由（1）知：ZA+ZABX+ZACX=ZX=90°,

VZA=40°,

AZABX+ZACX=50°,

故答案为：50；

②如图（3）,VZA=40°,ZDBE=130°,

ZADE+ZAEB=130°-40°=90°,

•..0C平分NAD8,EC平分NAEB,

：.ZADC=1-ZADB,ZAEC=1-ZAEB,

22

AZADC+ZAEC=1（ZADB+ZAEB）=45°，

AZDCE=ZA+ZADC+ZAEC=40°+45°=85°.

图（1）

【变式4-1】一个零件的形状如图，按要求/A=90°,ZB=32°,ZC=21°,检验工人

量得/CDB=148。，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的

理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图，

延长CD交于E,

VZA=90°,ZC=21°,

：.Z1=ZA+ZC=9O0+21°=111°,

VZB=32°,

：.ZBDC^ZB+Z1=32°+111°=143°.

又：NBDC=148°,

这个零件不合格.

【变式4-2］附加题：如图，试说明:

®ZBDC>ZA；

②/8OC=/B+/C+/A.

如果点。在线段BC的另一侧，结论会怎样？

【解答】解：①延长8。交AC于E,则N2DONDEC,而/DEO/A,所以/3DC

>ZA；

②由NBOC=NC+/OEC,ffi]Zr>EC=ZA+ZB,所以/8OC=/A+/B+NC.

如果点。在线段BC的另一侧，如图所示:

结论：①/BDC与NA无法比较大小;

②NBZ)C=360°-(ZA+ZB+ZC),

【变式4-3］如图，ZVIBC中，ZA=30°,D为CB延长线上的一点，DELAB于点E,Z

25=40°,则/6：为（）

C.30°D.25°

【答案】A

【解答】VDEXAB,

AZDEB=90°,

VZD=40°,

AZABD=18O°-ZD-ZDEB=50°,

VZABD=ZA+ZC,ZA=30°,

ZC=AABD-ZA=50°-30°=20°.

故选：A.

队模型解密

模型5风筝模型

「Si典例精讲

【典例5】（2023秋•兰山区校级月考）现有一张△ABC纸片，点。、E分别是△ABC边上

两点，若沿直线。E折叠，折成如图的形状.

（1）若/1=25°、Z2=35°,求/A的度数；

（2）猜想N1、/2和NA的数量关系，并说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)由折叠得：ZADE=ZA'DE,ZAED=ZA'ED,

ZAED+ZA'ED=180°-Zl=180°-25°=155°,

ZADE+ZA'DE=180°-Z2=180°-35°=145°,

AZADE+ZAED=(155°+145°)4-2=150°,

：.ZA=180°-150°=30°；

(2)猜想:Z1+Z2=2ZA,

理由是：由折叠得：ZADE=ZA'DE,/AED=NA'ED,

VZADB+ZAEC=360°,

Zl+Z2=360°-ZADE-ZA'DE-ZAED-/A'£D=360°-2AADE-2/AED,

AZ1+Z2=2(180°-ZADE-ZAED~)=2ZA,

：.Z1+Z2=2ZA.

【变式5-1］（2022秋•萍乡期末）如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在

△ABC的A'处折痕为。E,若/A=a,ZCEA'=0,ZBDA'=y,那么下列式子中正

确的是（）

A.y=180°-a-pB.y=a+20

C.y=2a+pD.Y=a+0

【答案】C

【解答】解：如图，设AC交DV于尸.

由折叠得：ZA=ZA\

'：ZBDA'=ZA+ZAFD,ZAFD=ZA'+ZC£A\

VZA=a,ACEA'=0,ZBDA=y,

/BDA=Y=a+a+B=2a+0,

故选：C.

【变式5-2］（2023秋•合江县期中）如图，在△ABC中，Zl=120°,Z2=50°,将AAB

C沿着直线/折叠，点C落在点O的位置，则/C的度数是（）

A

J厅\二

D

A.40°B.35°C.50°D.45°

【答案】B

【解答】解：由折叠的性质得：/Q=/C,

21\

D

根据外角性质得：Z1=Z3+ZC,Z3=Z2+ZD,

：.Z1=Z2+ZD+ZC=Z2+2ZC,

：.ZC=(Z1-Z2)4-2=(120°-50°)4-2=35°.

故选：B.

【变式5-3](2023•青岛模拟)如图，在△ABC中，ZB+ZC：=a,按图进行翻折，使B，D〃

CG//BC,B,E//FG,则/CFE的度数是()

A

6』、

BEFC

A.—B.90°--C.a-90°D.2a-180°

22

【答案】D

【解答】解:设/AD3'=丫，ZAGC'=p,ZCEB'=y,NC'FE=x,

\"B'D//CG,

，Y+B=N8+NC=a,

■:EB'//FG,

：.ZCFG=ZCEB'=y,

.,.x+2y=180°①，

Vy+j=2ZB,P+x=2ZC,

；.Y+y+B+x=2a,

；.x+y=a②，

②义2-①可得x=2a-180°,

ZCFE=2oi-180°.

【变式5-4](2022秋•邯山区校级期末)如图，将△ABC一角折叠，若/1+/2=80°,则

ZB+ZC=()

【答案】c

【解答】解：连接44'.

Zl+Z2=Z3+Z4+Z5+Z6=ZEAD+ZEA'D,

•：/EAD=NEA'D,

：.Z1+Z2=2ZEA£>=160°,

AZEAD=40°,

・・・N8+NC=180°-40°=140°，

故选：C.

大模型解密

典例精讲

【典例6】【问题】

如图①，在△ABC中，ZA=74°,平分/ABC,0c平分/ACB.求/。的度数，对

于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.

解：ZABC+ZACB+ZA=180°（三角形内角和180°）.

ZABC+ZACB=180°-ZA（等式性质）.

VZA=74°（已知），

ZABC+ZACB=106°（等量代换）.

平分/ABC（已知），

/.ZDBC=1ZABC（角平分线的定义）.

2

同理，ZDCB=1.ZACB；

-2

•••/DBC+/DCB总（/ABC+/ACB）=53。（等式性质）.

VZDBC+ZDCB+ZD=MO°,

；./£（=180°-CZDBC+ZDCB）=127°（等式性质）.

【拓展】如图②，在△ABC中，ZA=p,DB平分/ABC,0c平分/ACB.

则/£>=（90°+巨）.

2―

【应用】如图③，在△ABC中，DB平分/ABC,DC平分/ACSEB平分/DBC,EC

平分/OCB.若/E=146°,则/4=44°.

图②图③

【答案】（1）180°-ZA；106°；IZACB；53°；127°；

2

（2）90°+巨；

2

⑶44°.

【解答】解：（1）VZABC+ZACB+ZA=180°（三角形的内角和定理）,

AZABC+ZACB=180°-/A（等式性质）.

VZA=74°（已知），

AZABC+ZACB=IQ6°（等量代换）.

平分NA2C（已知），

•1*ZDBC=yZABC（角平分线的定义）•

同理，ZDCB=1ZACB.

2

•••NDBC+NDCB-|（NABC+NACB）=53°（等式性质）.

VZDBC+ZDCB+ZD=1SO°,

：.ZD=180°-CZDBC+ZDCB）=127°（等式性质）.

故答案为：180°-ZA；106°；AZACB；53°；127°；

2

（2）,/ZABC+ZACB+ZA=180°（三角形的内角和定理），

AZABC+ZACB=180°-/A（等式性质）.

ZA=p（已知），

ZABC+ZACB=180°-B（等量代换）.

YDB平分NA3C（己知），

•••NDBC=]/ABC（角平分线的定义）•

同理，ZDCB=1ZACB.

2

•**ZDBC+ZDCB-|（ZABC+ZACB）=90°（等式性质）.

VZDBC+ZDCB+ZD=180°,

：.ZD=180°-CZDBC+ZDCB）=90°+且；

2

故答案为：900+且；

2

（3）•.,£>3平分NABC,DC平分NAC3,EB平分NDBC,EC平分NDCB,

：.ZCBD=1.ZCBA,/BCD=L/BCA,ZCBE=1.ZCBD,ZBCE=1-ZBCD,

2222

,'-ZCBE=—ZCBA,^BCE=1ZBCA,

44

VZCBE+ZBCE+ZE=ISO°,Z£=146°,

；.NCBE+NBCE=180°-ZE=34°,

：.ZCBE+ZBCE=^ZCBA+1ZBCA=34°,

44

：.ZCBA+ZBCA=136°,

VZCBA+ZBCA+ZA=180°,

AZA=180°-CZCBA+ZBCA）=44°.

故答案为：44°.

【变式6-1］（2023秋•天津校级月考）如图，在△ABC中，ZA=52°,/ABC与/ACB的

平分线交于点A，NAB。与/ACP的平分线交于点。2,依次类推，NABD4与/ACLU

的平分线交于点。5,则/BO5c的度数是（）

【答案】B

【解答】解：在△ABC中，

VZA=52°,

：.ZB£)iC=180°-180°-/A=i80。-1800-52°=180°-64°.

22

第2次/3DC=180°-1800-52°-4x1800-52°=180。-60°-32°,

222

NgC的度数是180。-180°-52°-1xl80°-52°一工义工乂180°-52°一

222222

1乂1乂1乂180°-52°一"1乂"1乂180°-52°=寸+128^=56»,

5

2222222222

故选：B.

【变式6-2］如图1,在△ABC中，/ABC和/ACB的平分线交于点O,过点。作E〜〃BC,

交AB于E,交AC于F.

(1)当BE=5,CF=3,则EF=8；

(2)当BE>C尸时，若CO是NAC2的外角平分线，如图2,它仍然和NA3c的角平分

线相交于点O,过点。作E尸〃BC,交AB于E,交AC于R试判断ERBE,CF之间

的关系，并说明理由.

【答案】(1)8；(2)EF=EB-FC.

【解答】解：⑴,：EF//BC,

：.ZEOB=NOBC,ZFOC=ZOCB,

'：ZABC和/ACB的平分线交于点O,

ZEBO=ZOBC,ZFCO=ZBCO,

：.ZEBO=ZEOB,ZFOC=ZFCO,

：.BE=OE=5,OF=CF=3,

：.EF=EO+FO=S,

故答案为：8；

(2)EF=BE-CF,理由如下：

：BO平分/ABC,

ZABO=ZOBC,

'JEO//BC,

：.ZEOB=ZOBC,

：.ZABO=ZEOB,

：.EB=EO,

同理可得尸。=尸。，

：.EF=EO-FO=EB-FC.

【变式6-3[(1)如图(1),在△ABC中，ZABC,/ACB的平分线相交于点O,ZA=40°

求/BOC的度数.

(2)如图(2),MNB'C外角的平分线相交于点O',=40°,求.NB'O'

C的度数.

(3)由(1)、(2)可以发现NBOC与O'C有怎样的数量关系？设NA=NA'

=n，/BOC与NB'O'C是否还具有这样的数量关系？这个结论你是怎样得到的？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）在△ABC中，ZABC./ACB的平分线相交于点O,则

Z1+Z2=AZXBC+AZACB=A(ZABC+ZACB)

222

=工(180°-ZA)=」X(180°-40°)=70°.

22

故/BOC=180°-70°=110°；

(2)因为/A的外角等于180°-40°=140°,

△A'B'C另外的两外角平分线相交于点。'，

根据三角形的外角和等于360。，

所以N1+/2=2X(360°-140°)=110°,

2

ZB'O'C=180°-110°=70°；

(3)(1)(2)中/20C+N"O'C=110°+70°=180°,:./BOC与NB，O'

C互补；

证明：当NA="°时，ZBOC=180°-[(180°-n)4-2]=90°+A/i°,

2

VZA(=n°,ZB'O'C=180°-[360°-(180°-n)]4-2=90°-,

2

AZA+ZA7=90°+A«°+90°-A°=180°,/BOC与NB'O'C互补，

22

...当=n,NBOC与/B'O'C还具有互补的关系.

l模型解密

回典例精讲

【典例7】(2023秋•咸安区校级期中)如图1,点P是AABC两外角平分线的交点.

(1)若NA=50°,则NI=65°；

(2)探究/P与/A的数量关系并说明理由；

(3)如图2,点P是四边形A2CD相邻两外角平分线的交点，请直接写出NP与/A,

乙0的数量关系.

(2)ZP=9O°-AZA；

2

(3)ZP=360°-2ZP.

【解答】解：(1)•点尸是△ABC两外角平分线的交点，

AZPBC+ZPCB^l.(NMBC+NNCB)=▲(180°-ZABC+180°-ZACB)=2[36

222

0°-(180°-ZA)]=△(180+/A),

2

在△P8C中，/尸=180°-A(iso0+ZA)=90°-AZA,

22

VZA=50°，

：.ZP=65°；

故答案为：65°；

(2);BP,CP分别是外角4DBC,/ECB的平分线，

ZPBC+ZPCB=1.(/DBC+NECB)(180°+ZA),

22

在△PBC中，ZP=180°-A(180°-NA)=90°-AZA.

22

(3)如图,

Q

延长瓦1、co交于2,

则/尸=90。-Azg,

2

：.ZQ=180°-2ZP.

：.ZBAD+ZCDA

=180°+ZQ

=180°+180°-2ZP

=360°-2ZP.

【变式7］(2022春•淅川县期末)［规律探索］探索三角形的内(外)角平分线形成的角的规

律：

在三角形中，由三角形的内角平分线外角平分线所形成的角存在一定的规律.

规律1：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半；

规律2：三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90。减去与这两个外角不相邻的内

角度数的一半.

［问题呈现］如图①，点尸是△ABC的内角平分线BP与CP的交点，点〃是△ABC的外

角平分线与CM的交点，则NP=90°+1ZA,ZM=90°-IzA.

22

说明NP=90°如下：

2

,:BP、CP是△ABC的角平分线，

：.Z1=^ZABC,Z2=AZABC.

22

AZA+2(Z1+Z2)=180°.........①

.*.Z1+Z2=9O0-1ZA.

2

ZP=180°-(Z1+Z2)=90°+1ZA.

2

请你仔细阅读理解上面的说理过程，完成下列问题：

(1)上述说理过程中步骤①的依据是三角形内角和等于180。.

(2)结合图①，写出说明/M=90°-2乙4的说理过程.

2

［拓展延伸］如图②，点Q是△ABC的内角平分线BQ与△ABC的外角(ZACD)平分线

CQ的交点.若NA=50°,则/。的大小为25度.

图①图②

【答案】【问题呈现［(1)三角形内角和等于180°；

(2)ZM=180°-(90°+1ZA)=90°-JiZA；

22

［拓展延伸］25.

【解答】解：【问题呈现】

(1)证明过程中步骤(2)的依据是三角形内角和等于180。，

故答案为：三角形内角和等于180°；

(2);BM、CM是△A2C的外角平分线，

.*.Z3=AZ£BC,Z4=AZFCB,

22

ZABC=180°-2Z3,ZACB=180°-2/4,

AZA+(180°-2/3)+(180°-2Z4)=180°,

.*.Z3+Z4=90o+1ZA,

2

VZ3+Z4+ZM=180°,

.*.ZM=180o-(90°+1ZA)=90°-1ZA；

22

【拓展延伸】

：C。平分NACZ),

：.Z1=1ZACD,

2

；8。平分/ABC,

：.Z2=^ZABC,

2

,?ZACD=ZA+ZABC,

：.ZA^ZACD-ZABC=2(Z1-Z2),

VZl=Z2+Ze，

：.ZQ=Z1=Z2,

：.ZA=2ZQ,

即/Q=//A=25,

故答案为：25.

Q模型解密

「您典例精讲

【典例8](1)如图1,在△ABC中，8尸平分/ABC,CP平分NACB,求证：NP=90°

+—^A；

2

(2)如图2,在△ABC中，BP平分乙4BC,CP平分外角/ACE,猜想/P和/A有何

数量关系，并证明你的结论.

AA

P

图1图2

【答案】(1)证明过程见解答；

(2)ZP=-lz/A.

【解答】(1)证明：•.•?1+/ABC+NAC2=180°,

ZABC+ZACB=180°-ZA,

尸平分/ABC,CP平分NACB,

APCB=L^_ACB,NPBC=//ABC,

ZP=180°-(NPCB+NPBC)

=180°-ACZACB+ZABC)

2

=180°-A(1