苏科版七年级数学下册常见几何模型专练：平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型）（解析版）

专题05平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型）

平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟

悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模

型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，

这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

模型1：蛇形模型（“5”字模型）

基本模型：如图，AB//CD,结论：Zl+Z3-Z2=180".

图1

如图1,已知：AB//DE,结论：6Z+/=/7+180°.

如图2,已知：AB//DE,结论：。+尸=7+180°.

【模型证明】在图1中，过C作A8的平行线CF,，/4二/b圆.

'：AB//DE,J.CF//DE,：.Zy+ZFCD=180°,'：Aa=ZFCD+ZFCB,AZa+Z/=Z+180°

在图2中，过C作AB的平行线CF,.•.//?+/PC8=180°,

'：KB//DE,C.CF//DE,:.Ny=/FCD,'：Za=ZFCD+ZFCB,：.Za+Z^=Z/+180°

例L（2023•江苏扬州•校考二模）已知，如图，AB//CD,ZA=140,40=28。，那么NAED=

【答案】68

【分析】过E作E尸〃A2,根据平行线的性质N1和N2的度数，即可得到/回的度数.

【详解】解：如图：过E作E尸〃A3,则A3〃E尸〃CD,

vZA=130°,.•.Nl=180。—140°=40°,

vZD=25°,,-.Z2=ZD=28°,ZA£E>=40°+28°=68°,故答案为：68.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，通过作辅助线，构造同旁内角和内错角是解决问题的关键.

例2.（2023下•上海松江•七年级校考期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐

弯处的一A是71。，第二次拐弯处的角是-3,第三次拐弯处的NC是154。，这时道路恰好是和第一次拐弯

之前的道路平行，则N3=.

【答案】97。/97度

【分析】过3作由推出&）〃C尸，再根据平行线的性质可求出/4BO和，进

而求出—ABC.

【详解】解：如图，过8作3£>〃包，

EC

B

^AE//CF,SBD//CF,0ZA=ZABD=71°,ZD5C+ZC=180°,

0ZC=154°,EZDBC=26°,贝!］拉3。=//血）+/08。=71°+26。=97°.故答案为：97°.

【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和角的计算.

例3.（2023下•山东泰安•七年级统考期末）如图，已知直线AB〃a>,P为平面内一点，连接R4,PD.则

/A、/D、NAPZ）之间的等量关系为.

【答案】ZAPD=180°+ZA-ZD

【分析】过点尸作PM〃M，从而可得N4=NAPM,再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得

PM//CD,然后利用平行线的性质可得NDPM=180。-〃，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答.

【详解】解：如图，过点P作，NA=N/4PM,

AB//CD,:.PM//CD,AD+ZDPM=180°,:.ZDPM=180°-ZD,

■：ZAPD=ZAPM+ZDPM,ZAPD=ZA+1800-ZD,

则NA、/D、NAP。之间的等量关系为/APD=180o+/A—ND,故答案为：ZAPD=180°+ZA-ZD.

【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

例4.（2023下•江苏苏州,七年级校考期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架AB、

BC为固定支撑杆，灯体是8,其中垂直地面于点A,过点C作射线CE与地面平行（即CE〃/）,已

知两个支撑杆之间的夹角ZABC=140°,灯体。与支撑杆8C之间的夹角ZDCB=80°,则/OCE的度数

【答案】30。/30度

【分析】过点8作3尸〃CE.先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出NC3尸，再利用平行

线的性质和角的和差关系求得结论.

【详解】解：过点8作跖〃CE.•.,CE〃/,:.BF//l..-.ZABF=Z1=9O°.

VZABC=140°,Z.CBF=140°-90°=50°.-.BF//CE,ZECB=ZCBF=50°.

故答案为：30°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题的关键.

例5.（2023下•浙江绍兴•七年级统考期末）如图，AB//CD,AE平分/BAN,AE的反向延长线交NCDN

的平分线于点M，则与/N的数量关系是（）

A.ZM=2ZNB.ZM=3ZNC.ZM+ZN=180°D.2ZM+Z2V=18O°

【答案】D

【分析】先利用角平分线的定义得到乙?AE=g/BAN,NCDM=；NCDN,过M作加〃A5,过N作

NH//AB,再利用平行线的判定与性质得到/FME=/a4E=』/a4N,ZBAN=ZANH,

2

NFMD=NCDM=；NCDN,ZCDN+ZHND=180°,经过角度之间的运算得到

ZCDN-ZBAN=180°-ZAND,ZDMA=~(180°-ZAND),即2/DM4+Z/VVD=180°可求解.

［详解］解：回AE1平分NA4N,DM平分2CDN,

SZBAE=-ZBAN,ZCDM=-ZCDN,

22

过M作MF〃M，过N作NH〃AB,则NFME=NBAE=工ZBAN,ZBAN=ZANH,

2

MF

AB

H—>N

__________E

CD

^AB//CD,SMF//CD,NH//CD,EZFMD=ZCDM--ZCDN,ZCDN+ZHND=180°,

2

0ZAND=ZANH+ZHND=ZBAN+180°-ZCDN,即ZCDN-ZBAN=180°-ZAND,

又用ZDMA=ZFMD-ZFME=；(ZCDN-NBAN)=1(1800-ZAND),

02ZDMA+ZAND=180°,即2ZM+Z7V=18O°,故选：D.

【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、角的运算，添加平行线，利用平行线的性质探

究角之间的关系是解答的关键.

例6.(2023下•陕西汉中•七年级校考期中)如图，已知直线P是平面内一点，连接PA、PD.

图③

(1)如图①，若ZPAB=130。，ZPDC=120°,求NAPD的度数；

⑵如图②，若NA=50。，40=150。，求/4PD的度数；

(3)如图③，试判断NB4B、NCD尸和NAPD之间的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)110°(2)80。(3)/8尸+々45—NAPD=180。，见解析

【分析】(1)过点尸作根据两直线平行同旁内角互补可得答案；(2)过点尸作历〃AB,根据

两直线平行内错角相等可得出/APE=50。，根据平行线公理及性质可得出N£P£>=30。，最后根据角的和与

差即可得出答案；(3)过点P作EF〃的，则4?//£F//CD,据平行线的性质及角的和与差即可得出答案.

【详解】(1)解：如图，过点尸作尸

图①图1图2

■.■AB//PE,:.ZPAB+ZAPE=180°,ZPAB=130°,ZAPE=180°-130°=50°,

AB//CD,AB//PE,:.PE//CD,:.ZPDC+ZDPE=180°,

ZPDC=120°,ZDPE=180°-120°=60°,

•1-ZAPE+ZDPE=ZAPD,ZAPD=50°+60°=110°；

(2)解：如图1,过点尸作EF〃人•.,NA=50。，ZAPE=ZA=50°.

•：AB//CD,..EF//CD,:.ZCDP+ZEPD=1SOP.

ZD=150°,ZEPD=180°-150°=30°,/.ZAPD=ZAPE+ZEPD=50°+30°=80°

(3)解：ZCDP+ZPAB-ZAPD=180°.

理由：如图2,过点尸作砂〃AB,则AB//EF//CD,

ZCDP=ZDPF,ZFPA+ZPAB=180°,NFPA=NDPF—ZAPD,

：.ZDPF-ZAPD+ZPAB=180°,..ZCDP+ZPAB-ZAPD=180°.

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键.

例7.(2023下•重庆璧山•七年级校联考阶段练习)已知：点A、C、8不在同一条直线上，AD//BE.

⑴如图①，当/A=48。，/8=108。时，求NC的度数；

(2)如图②，AQ,8。分别为-DAC、NE3c的平分线所在直线，试探究4b与-4。的数量关系;

⑶如图③，在(2)的前提下，且有AC〃Q3,QPLPB,直接写出NACB:NZMC:NCBE的值.

【答案】（1）120°⑵NBCF=2ZAQB⑶NDACZACB;NCBE=1:22

【分析】（1）过点C作CF〃AD,则CF〃鹿，根据平行线的性质可得出NACF=NA、ZBCF=180°-ZB,

将其代入NACB=NACF+N3CF即可求出-ACS的度数；（2）过点。作。“〃4。，则根据平

行线的性质、角平分线的定义可得出NAQB=；（NCBE-NCAD）,结合（1）的结论可得出2ZAQ8+NC=180。；

（3）由（2）的结论可得出/C4D=gNCB2①，由尸2可得出NG4D+NCBE=180。②，联立①②

可求出/C4D、/CBE的度数，再结合（1）的结论可得出—ACB的度数，将其代入NACB:ND4C:NCBE

中可求出结论.

【详解】（1）如图1,过C点作CF〃AD,则CF〃m,

0ZACB=ZACF+NBCF=18O°-(ZB-ZA)=120°；

(2)如图2,过。作则Q河〃BE,^ZAQM=ZNAD,ZBQM=ZEBQ,

回A。平分NC4D,BQ平分NCBE,^\ZNAD=-ZCAD,NEBQ’NCBE,

22

0ZAQB=ZBQM-ZAZAQB=ZBQM-ZAQM=|(NCBE-ZCAD),

由(1)知，ZACB=180°-(ZCBE-ACAD)=180°-2ZAQB,

^ZACB=1800-ZBCF,0180°-2ZAQB=1800-ZBCF,回NBC尸=2ZAQ3；

(3)^AC/IQB,0ZAQB=ZCAP=|ACAD,ZACP=ZPBQ=|ZCBE,

0ZACB=180°-ZACP=180°--ZCBE,02ZAQB+ZACB=180°,^\ZCAD=-ZCBE,

22

^QP//PB,^ZCAP+ZACP=90°,即NC4r)+/C3E=180°,

0ZG4£>=6O°,ZCBE=120°,0ZACB=180°-(Z.CBE-ZCAD)=120°,

0ADACZACBZCBE=60°:120°:120°=1:22.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键.

例8.(2023下•河北邢台•七年级校考阶段练习)已知AB〃CD.

【初步感知】如图，若NC=3/3,求/3的度数；

【拓展延伸】如图，点E,尸在两平行线之间，求证：NB+NE=NC+/F；

【类比探究】如图，ZABE=3NEBP,NCFE=3NEFP,若NE=88。，NC=130。，求-P的度数.

【答案】初步感知：/B=45。；拓展延伸：见解析；类比探究：ZP=102°

【分析】(1)【初步感知】由平行线的性质及已知即可求得结果；

(2)【拓展延伸】过点E作H欣〃互，过点F作FN〃AB.由平行线的性质即可证得;

(3)【类比探究】利用【拓展延伸】中得到的结论，结合已知即可求得.

【详解】解：【初步感知】B1AB//CD,ISZB+ZC=180°.

B1ZC=3ZB,0ZB+3Zfi=18O°,EIZB=45°；

【拓展延伸】证明：如图，过点£作醐/〃9，过点F作FN〃AB.

SAB//CD,SAB//CD//EM//FN,

^ZB+ZBEF+ZFEM=18Q°,ZEFN+ZEFC+ZC=180°,/EFN=/FEM,

BZB+ZBEF=ZC+ZEFC；

【类比探究】由【拓展延伸】中的结论，^ZABE+ZE=ZCFE+ZC,

0ZABE-ZCFE==130°-88°=42°.

^ZABE=3ZEBP,NCFE=3/EFP,^ZEBP-ZEFP=14°.

同理可得ZABP+Z.P=ZCFP+ZC,即2NEBP+NP=2NEFP+NC,

a2(NEBP-NEFP)+NP=NC,回NP=NC-2(NEBP-N£FP)=130°—2xl4°=102°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，角的运算，掌握平行线的性质是解题的关键.

课后专项训练

1.（2023下•山东青岛•七年级校考期末）如图，AB//DE,4=40。，ZD=110°,NC的度数为（）

【答案】D

【分析】过点C作B〃回，再由平行线的性质即可得出结论.

0ZD=11O°,EZ2=180°-Z£>=70°,0ZBCD=Z1+Z2=400+70°=110°.故选：D.

【点睛】本题考查了平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角

互补.

2.（2023下•辽宁大连•七年级统考期中）如图，AB//CD,CB//DE,NB=42。，则“的度数为（）

【答案】A

【分析】根据平行线的性质可求得NB=NC,ZC+ZD=180°,据此可求得答案.

【详解】回AB〃CD,fflZB=ZC=42°.

SCB//DE,ElZC+ZD=180°.0Z£>=18OO-ZC=18OO-42O=138°.故选：A.

【点睛】本题主要考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补），牢记平行

线的性质是解题的关键.

3.（2023下,河北邯郸•七年级统考期中）如图，若ABHCD,则/«、/、々之间关系是（）

A

A.Za+Z^+Z/=180°B,Za+Z/?-Z/=360°C,Za+Z^-Z/=180°D.Zcr-Z^+Z/=360o

【答案】C

【分析】作所〃AB,根据平行线的性质可得Ntz+NAEF=180。，Ny=NDEF,然后由N£=NA跖+ZDE歹

整理后可得答案.

^AB//CD,SAB//CD//EF,0Za+ZAEF=180°,Z/=ZDEF,

又E|N£=NA£F+ZDEF,0Za+Z^=18O°+Z7,gpZ«+Z^-Zz=180°.故选：c.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是

解题的关键.

4.（2023•河北衡水•九年级校考期中）如图，一艘快艇向正东方向行驶至点A时，接到指令向右转70。航行

到B处，再向左转100°航行至C处.若该快艇到达点C后仍向正东方向行驶，则在点C处调整的航向是（）

A.向左转10°B.向左转30°C.向右转10°D.向右转30°

【答案】D

【分析】根据平行线的性质，可得ZEBb的度数，进而求得NEBC,再运用平行线的性质可得NNCG,最后根

据角的和差即可解答.

【详解】解：如图：根据题意得：ZDAB=90°-10°=20°,

^\AD//BE,SZEBF=ZDAB=20°.

0NEBC=ZEBF+ZFBC=20°+100°=120°,

自BE〃CG,0ZNCG=ZEBC=120°,

EIZ2VCW=12O°—90°=30°,即向右转30°.故选：C.

【点睛】本题主要考查了方向角、平行线的性质等知识点，灵活利用平行线的性质得出NABC的度数是解

题的关键.

5.（2023下•四川广元•七年级校联考期中）如图，AB//DE,ZABC=8O°,ZCDE=140°,则ZBCD的度数

A.70°B.60°C.50°D.40°

【答案】D

【分析】延长ED交于点F,根据两直线平行内错角相等求得/BED=80。，根据平角求出ZDFC=100°,

再利用三角形外角性质即可求出ZBCD的度数.

■.■AB//DE,AABC=ABFD=^°,ZDFC=180°-ZBFD=100°

QACDE=ZDFC+ZBCD=140°,ZBCD=140°-ZDFC=140°-100°=40°,故选：D.

【点睛】本题考查平行线性质，三角形外角性质，正确作出辅助线结合平行线性质求角度是解答本题关键.

6.（2023下•江苏苏州•七年级苏州市平江中学校校考阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而

过，如果第一次拐的角44=120。，第二次拐的角/3=140。，第三次拐的角是NC,这时的道路恰好和第一

次拐弯之前的道路平行，则/C是（）

BC

A.120°B.130°C.140°D.160°

【答案】D

【分析】首先根据题意作辅助线：过点8作即可得/场〃3r）〃CF,则可求得：ZA=Z1,

?2?C180?,则可求得/C的值.

【详解】解：过点8作8O〃AE,^\AE//CF,

EBC

^AE//BD//CF,.-,ZA=Z1,?2?C180?,

vZA=120°,Zl+Z2=ZABC=140°,.-.Z2=20°,

ZC=180°-Z2=180°-20°=160°.故选：D.

【点睛】此题考查平行线的性质.注意过一点作已知直线的平行线，再利用平行线的性质解题是常见做法.

7.（2023下•河南郑州•七年级统考期中）如图，如果那么N8CD=（）

C.180°+Z2-ZlD.180°+/1—/2

【答案】D

【分析】过点C作CF〃帅，由筋〃OE可知，AB//DE//CF,再由平行线的性质可知，NBCF=NL

Z2+ZDCF=180°,故可得出结论.

【详解】解：过点C作CF〃AB,

■.■AB\\DE,AB//DE//CF,ZBCF=Zl®,N2+/DC尸=180°②,

即4cD=180°+Nl—N2.故选：D.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键.

8.（2023•陕西榆林•校考三模）如图，AB〃CD,DE〃CB/B=35°,则ND的度数为（）

C.135°D.120°

【答案】B

【分析】由利用"两直线平行，内错角相等”，可得出NC的度数，由小〃CB,再利用"两直线

平行，同旁内角互补”，即可求出一。的度数.

【详解】解：・相〃CD,.•.NC=ZB=35。，

XvDE//CB,.-.ZC+ZD=180°,/.ZD=180°-ZC=180°-35°=145°.故选：A.

【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质定理.

9.（2023下•吉林松原•八年级校联考期中）如图，如果CD,则N1、/2、N3之间的关系为（）

B.Zl-Z2-Z3=90°C.Zl-Z2-Z3=90°D.Zl+Z2-Z3=180°

【答案】D

【分析】设N2的顶点为点E,过点E作射线所，使AB〃EF,可求得ZA£F=180。-Nl,Z3=ZCEF,结

合/2=ZAEF+ZCEF即可求得答案.

【详解】如图所示，设N2的顶点为点E,过点E作射线所，使产.

^AB//EF,SZ1+ZA£F=18O°.0ZAEF=18O°-Z1.

SAB//EF,AB//CD,^CD//EF.0Z3=ZCEF.

0Z2=ZAEF+ZCEF=18O°-Z1+Z3.0Z1+Z2-Z3=18O°.故选：D.

【点睛】本题主要考查平行公理的推论、平行线的性质，牢记平行公理的推论（如果两条直线都与第三条

直线平行，那么这两条直线也互相平行）、平行线的性质（两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内

角互补）是解题的关键.

10.（2023下•湖南长沙•九年级校联考期中）如图，若AB〃CD,/夕=65。，N7=25。，则"的度数是（）

A.115°B.130°C.140°D.150°

【答案】C

【分析】利用平行线的传递性作出辅助线防，再通过平行线的性质即可解决问题.

【详解】解：过E作A3的平行线所，如图所示；

.•.ZAEF=180o-Ztt=180o-65o=115°,

•/AB//CDSEF//CD：.NFED=Zv=25°

Z/?=ZAEF+ZFED=115°+25°=140°故选c.

【点睛】本题考查了平行线的基本性质与平行的传递性，两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，根据

传递性做出辅助线是解决问题的关键.

11.（2023•江西•九年级校考阶段练习）如图NBAC=10。，ZACD=125°,CDLEF于点D,将AB绕点A逆

时针旋转a,使则a的最小值为.

【分析】过点。作C"〃上F,过点A作A?〃砂，利用平行线的性质即可求解.

【详解】解：如图，过点C作CM〃EF,则NMCD=180。—NCDE=90。,

ElZACM=ZACD-ZMCD=35°.过点A作AB'〃EF,则/B'AC=/ACM=35。.

故a的最小值为25。.故答案为：25。

【点睛】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题关键.

12.（2023下•山东济宁•七年级统考期中）如图，lA//l2,A8口，垂足为点D.若Nl=25。，则N2=度.

【分析】过点8作BE〃3则BE〃4〃/2,利用平行线的性质，求解即可.

【详解】解：过点B作m?〃人如下图:

SBDll^BD_LBE,即/D3E=90°

〃/?回BE〃/i〃4l3/l=/CBE=25。，

EI/2=N£«E+NCBE=115。故答案为：115

【点睛】此题考查了垂直的定义，平行线的性质，解题的关键是构造出合适的辅助线，利用平行线的性质

进行求解.

13.（2023下•江苏南通•七年级统考期末）如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架49与底座OE

垂直，支架AB,为固定支撑杆，当灯体CD与底座OE平行时，ZBAC>=138°,ZBCD=154°,则N3的

度数为°.

图1图2

【答案】74

【分析】过点8作3G〃CD,过点A作A/〃OE,根据平行线的性质NGBC=26。,N&S=48。，再根

据ZABC=ZABG+Z.CBG即可解答.

【详解】解：过点B作8G〃CD,过点A作A/〃OE,0AOXOE,回NAOE=90。，

SAF//OE,SZOAF=90°,回/&4。=138°,0ZSAF=138°-9O°=48°,

0BG〃CD,AF//OE,CD//OE,^BG//AF,团ZABG=ZBAF=48°.

0ZBCD=154°,BG\\CD,EIZGBC+ZBCD=180o,

0ZCBG=180°-154°=26°,0ZABC=ZABG+ZCBG=48°+26°=74°.故答案为：74.

【点睛】本题考查了平行线的性质，角的和差关系，根据题意作出辅助线是解题的关键.

14.（2023下•陕西榆林•七年级校考期中）如图，AB//EG,CD//EF,BC//DE,若tz=50。，（3=26。，

【答案】24。/24度

【分析】延长AB交OE于点根据平行线的性质求解.

CD//EF,/3=26。，：.ZDEF=0=26,■：AB//EG,:.NHEG=ZBHE=50。,

r=ZDEG-ZDEF=50°-26°=24°,故答案为：24。.

【点睛】本题考查根据平行线的性质求角的度数，解题的关键是掌握平行线的性质.即两直线平行，内错

角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补.

15.（2023上•黑龙江哈尔滨•七年级校考期中）如图，AB//CD,ZA=25°,ZCDP=140°,则/尸=.

【答案】65。/65度

【分析】过点尸作得到PE〃AB〃CD,进而得到/1="/2=180。-/。。尸，再利用4+N2计

算即可.本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点作平行线.

【详解】解：过点P作尸

B1AB//CD,B1PE//AB//CD,EZl=ZA=25°,Z2=180°-ZCDP=40°,

0ZAPD=Z1+Z2=65°；故答案为：65°.

16.（2023上•四川达州•八年级校考期末）如图，已知ZABC=80°,NCDE=140。，则NBC。=

AB

C

【答案】40。/40度

【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质.过点C作根据平行线的性质和角的和差，求解

即可得到结论.

【详解】解：如图，过点C作CF〃AB,•.•ZABC=8O。，.•.ZBCF=ZABC=8O。，

又,：AB〃DE,：.DE//CF,:.ZDCF+NCDE=180。,

：.ZDCF=40°,ZBCD=ZBCF-ZDCF=80°-40°=40°.故答案为：40°.

17.(2023下•河南安阳•七年级统考期末)完成下面的证明.

如图，AB//EF,ZD=ZE,ZB+ZZ)=180°,求证：BC//DE.

证明：0ZD=ZE（已知）

©CDM()

^AB//EF(已知)

0AB"()

0/8=()

0ZB+Zr)=18Oo(已知)

0+ZD=180°（）

SBC//DE（）.

【答案】EF；内错角相等，两直线平行；CD；NC；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直

线也互相平行；NC；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行.

【分析】根据平行线的判定和性质即可求解.

【详解】证明：0ZD=ZE（已知）

B1CD//EF（内错角相等，两直线平行）

BIAB//EF（已知）

^AB//CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

fflZB=ZC（两直线平行，内错角相等）

0zs+zr）=i8o°（已知）

fflZC+ZD=180（等量代换）

SBC//DE（同旁内角互补，两直线平行）.

【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法是解题的关键.

18.（2023•陕西咸阳•七年级统考期中）如图，已知且NC=110。，试探究N1与N2的数量关系.

【答案】Z2=Z1+7O°

【分析】先添加辅助线，再根据平行线的性质可得角之间的关系，从而N1与/2的数量关系即可求解.

【详解】解：过点C作如图：

则C尸〃0ZBCF=Z1,ZDCF+Z2=180°,

0ZBCD=11O°,0/。。尸=110°—/3。尸=110°—/1,

011O°-Z1+Z2=18O°,0Z2=Z1+7O°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是作出平行线，利用平行线的性质得出角之间的关系.

19.（2023下•江西南昌•七年级校考期末）如图，AB//CD,求SB,0C,SBEC三者之间的数量关系.

【答案】ZB+ZBEC-ZC=180°.

【分析】过点E作防〃AB,由平行线的性质可知，AB//CD//EF,故可得NB+/l=180。，Z2=ZC,由

此即可得出结论.

【详解】解：过点E作

^AB//CD,SAB//CD//EF,回/3+/1=180°①，N2=NC②，

团①+②得，ZB+Zl+Z2=180o+ZC,BPZB+ZBEC-ZC=180°.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键.

20.（2023下•福建厦门•七年级校考期中）如图1,已知AM〃OV,点B为平面内一点，过点8作

于点。，钙13。于8」1）若/^^=120。，贝!|NASD=.（2）求证：ZABD=ZC

⑶如图2,G在射线ZM上，当3G平分/D3C时，求ZABG与/D4B的数量关系.

【答案】（1）30。（2）见解析闭246=445

【分析】（1）依据题意，根据三角形的外角的性质，ZMAB=ZD+ZABD,又/皿4=90。，故可得解.

（2）过点8作BE〃/由于AM〃。丫，从而3£1〃。'，，则NC=/CBE,再结合ABIiSC,ZC+ZABE=90°,

又BE〃DM,可得/ASD+/ABE=90。，进而可以得解.

(3)过点8作BE〃/由(2)可得，ZAGB=ZGBE.设ZASG=x,ZDAB=y,则ZAG8=NG8E=y-x；

由？。90?,从而ZABD=NC=NCBE=90。-、；又BG平分/DBC,可得NDBG=NGBC,故

90°-y+x=y-x+90°-y,进而可得ZABG与的关系.

【详解】(1)解：由题意，ZMAB=ZD+ZABD,:.ZABD=ZMAB-ZD.-：BD^AM,ZBDA=90°.

又♦.•ZM4B=120。，ZABD=ZMAB-ZD=120°-90°=30°.故答案为：30°.

(2)证明：如图1,

过点8作助〃ZW,又QAM〃CN,:.BE//CN//AM,:.ZC=ZCBE.

ABLBC,ZABE+ZCBE=90°.ZC+ZABE=90°.

■.■BE//DM,ZD+ZDBE=19,0°.ZD=90°,ZDBE=ZABD+ZABE=90°.

又NC+ZABE=90。.:.ZABD=ZC■,

(3)如图2,过点B作BE〃2根，由(2)可得BE〃C?V〃AW,:.ZAGB=Z.GBE.

设ZABG=x,ZDAB=y,贝IjZAGB=NG3E=y-尤.

ZD=90°,ZABD=ZC=ZCBE=90°-y.

又BG平分/DBC,：.ZDBG=ZGBC..■-90o-y+x=y-x+900-y.:.2x=y..-.2ZABG=ZDAB.

【点睛】本题考查了平行线的性质和平行公理的应用以及三角形的外角的性质，需要熟练掌握角度之间的

转化，并学会借助方程的思想来解题.

21.(2023下•河北秦皇岛•七年级校考期中)(1)问题背景：

如图1,已知写出/AEG.NCR;与NG之间的数量关系，并说明理由.

(2)知识迁移：如图2,Zl=60°,m//n,则N2—N3=—°.

(3)方法应用：如图3,一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A,B,C三处经过三次拐弯此时道路

恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即A£〃CD）,若ZA=110。，ZB=150°,则NC的度数是.

图1图2图3

【答案】（1）ZAEG+NCFG=NG,理由见解析；（2）120。；（3）140。

【分析】（1）过点G作G//〃利用平行线的性质可解；（2）由（1）可知：N4+N5=/2,且Nl=60。，

可得N4=18（T-N1=12O。，从而得出N2-N3=N2-N5=24=120。；（3）延长EA至点延长。C至点N,

根据AE〃CD,可得/EAB+/NCB=ZABC,进而得到NNCB=NA3C-NE4B=150°-110°=40°,然后可

求出NC的度数.

【详解】（1）问题背景：ZAEG+ZCFG=ZG,理由如下：过点G作G"〃AB,

图1

QABIICD,^GH\\AB\\CD,@ZAEG=NHGE,NCFG=NFGH,

0ZAEG+NCFG=ZHGE+NFGH=NEGF,

(2)知识迁移：回机〃“，回由(1)可知：N4+N5=N2,

13/1=60°,0Z4=18O0-Z1=12O<>,0Z2-Z3=Z2-Z5=Z4=12O0,故答案是：120°；

图2

（3）方法应用：延长EA至点延长。C至点N,

M

图3

^AE//CD,aZEAB+ZNCB=ZABC,

0ZEAB=11O°,ZABC=150°,0ZNCB=ZABC-ZEAB=150°-110°=40°,

0ZBCD=1800-ZNCB=140°.故答案是：140°.

【点睛】此题主要考查了平行线性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等.

22.（2023下•吉林松原•七年级统考期中）（1）问题发现：如图①，直线A3//CD,E是A3与AD之间的

一点，连接BE,CE,可以发现：NB+NC=NBEC,请你写出证明过程；

（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：ZB+ZC=360°-ZBEC.

（3）解决问题：如图③，AB//DC,ZC=120°,ZAEC=80°,则NA=.（直接写出结论，不用

写计算过程）

图①图②图③

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）20°

【分析】（1）根据平行判定得到斯//DC,利用平行线的性质得/C=/C£F,NB=ZBEF,得到

NB+NC=NBEF+NCEF,即可求证出答案；

（2）类比（1）,过点E作班3AB,然后根据平行线的判定和性质即可求证出答案；

（3）类比，过点E作EF〃/由，根据平行判定得到E尸//DC,再根据平行的性质得：ZC+ZCEF=180°,

/么=乙囱，根据角与角的关系求得：ZAEF=80°-60°=20°,则可求出答案.

【详解】（1）证明：如图①，过点E作EF//AB,

DC

图①

0AB//DC（已知），EF//AB（辅助线的作法）.

HEF//ZX?（平行于同一直线的两直线平行），

团NC=NCEF（两直线平行，内错角相等）.

0EF//AB,0ZB=ZBEF,

田NB+NC=/BEF+NCEF（等量代换）BPZfi+ZC=ZBEC.

（2）证明：如图②，过点、E作EF//AB,

图②

S1AB//DC（已知），EF//AB（辅助线的作法）.

QEFHDC（平行于同一直线的两直线平行）.

回NC+ZCEF=180°,Z.B+NBEF=180°,

0ZB+ZC+ZBEC=36O°,0ZB+ZC=360°-ZBEC.

（3）解：如图③，过点E作EF〃AB,

图③

0AB//DC（已知），EF//AB（辅助线的作法），

0EF//ZX?（平行于同一直线的两直线平行），0ZC+ZCEF=18O°,ZA=ZBEF,

0ZC=120°,ZAEC=80°,0ACEF=180°-120°=60°,

0ZAEF=80°-60°=20°,回44=//空卯=20。.故答案为：20。.

【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，灵活运用平行判断以及平行线的性质

找到角与角之间的关系.

23.（2023下•湖南娄底•七年级统考阶段练习）已知点B,。分别在AK和CP上，且CD〃8K.

⑴如图1,若NCDE=25。,ZDEB=80°,则的度数为；若/CDE=a,ZABE=j3,则

的度数为；（2）如图2,探究NO、"EB和N3三个角之间的数量关系，并说明理由.

（3汝口图3