苏科版七年级数学上册思想方法：线段与角计算中的思想方法压轴题四种模型（解析版）

专题16思想方法专题：线段与角计算中的思想方法压轴题四种模型全攻略

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目录

【典型例题】.............................................................................1

【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】...................................................1

【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】.....................................................3

【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】......................................7

【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】.......................................12

【过关检测】........................................................................17

【典型例题】

【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】

例题：（2023秋•七年级课时练习）画直线〃，并在直线。上截取线段=5cm,再在直线。上截取线段

BC=2cm,则线段AC的长是cm.

【答案】3或7/7或3

【分析】分两种情况：当点C在线段上时，当点C在线段AB的延长线上时，利用线段的和与差即可求

解.

【详解】解：当点C在线段A3上时，

AC=AB-BC=5cm-2cm=3cm,

当点。在线段A5的延长线上时，

AC=AB+BC=5cm+2cm=7cm,

故答案为：3或7.

【点睛】本题考查了线段的和与差，熟练掌握其计算方法是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023秋•云南昭通•七年级统考期末）已知线段AB=6a",点C为线段AB的中点，点。是直线A3上的

一点，且CD=2on,则线段3£）的长是（）

A.\cmB.5cmC.1cmBK5cmD.4c或5。"

【答案】C

【分析】根据题意画出图形，由于点。的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论.

【详解】解：回线段AB=6cm,C为AB的中点，

A_DCBACD_5

图1图2

团当点。如图1所示时，

AC=BC=—AB=3cm,

2

BD=BC+CD=3+2=5cm；

当点。如图2所示时，

BD=BC-CD=3-2=lcm

团线段3。的长为1cm或5cm.

故选：C.

【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解.

2.（2023秋•云南昆明,七年级统考期末）有A3、8两根木条，长度分别为24c%、18cm,将它们的一端

重合且放在同一条直线上，此时A3、。两根木条中点之间的距离为cm.

【答案】3或21

【分析】假设端点B和端点。重合，分两种情况如图：①不在AB上时，MN=BM+BN,②BC在AB

上时，MN=BM-BN,分别代入数据进行计算即可得解.

【详解】解：假设端点B和端点。重合

如图，

[III，

AMBNC

图1

I1・.《

AcMNB

图2

设较长的木条为AB=24cm,较短的木条为3C=18cm,

回M、N分别为A3、BC的中点，

0BM-12cm,BN=9cm,

①如图1,BC不在A3上时，MN^BM+BN=12+9=21(cm),

②如图2,BC在A3上时，MN=BM-BN=12-9=3(cm),

综上所述，两根木条的中点间的距离是21cm或3cm,

故答案为：3或21.

【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，解题的关键是在于要分情况讨论，作出

图形更形象直观.

3.(2022秋•湖北,七年级校考阶段练习)将一根绳子对折后用线段48表示，现从P处将绳子剪断，剪断后

的各段绳子中最长的一段为84cm,若则这条绳子的原长为cm.

【答案】140或210/210或140

【分析】根据绳子对折后用线段A3表示，可得绳子的长度是A3的2倍，分类讨论，尸B的2倍最长，可得

PB,”的2倍最长，可得"的长，再根据线段间的比例关系，可得答案.

【详解】解：①当网的2倍最长时，得PB=42,

AP=|AB,

3

\PB=-AB=42,

AB=70,

回这条绳子的原长为2AB=140cm,

②当AP的2倍最长时，得AP=42,

\AP=|AB=42,

\AB=105,

回这条绳子的原长为2AB=210cm.

综上所述，这条绳子的原长为140cm或210cm.

故答案为：140或210.

【点睛】此题考查了线段的和差倍分及分类讨论的思想，根据线段之间的比例关系列式为解题关键.

【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】

例题：(2023秋•七年级课时练习)已知/AO3=80。，40c=20。，OP平分/3OC,则ZAOP等于.

【答案】70。或90。

【分析】分两种情况：利用角平分线的定义即可求解.

【详解】解：当如图所示时：

•••OP平分，3OC,ZAOB=SO°,ZBOC=20°,

ZAOP=ZAOB--NBOC=70°,

2

当如图所示时：

ZAOP=ZAOB+-NBOC=90°.

2

故答案为：70。或90。.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，利用分类讨论解决问题是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022春•黑龙江哈尔滨•六年级统考期末）已知NAOB=18。，ZAOC^ZAOB,则/30C的度数是

【答案】36。或72°

【分析】分两种情况讨论：①当在/AOC的内部时；②当在NAOC的外部时，分别求解即可得到

答案.

vZAOB=18°,ZAOC=3ZAOB,

ZAOC=54°f

ZBOC=ZAOC-ZAOB=54。—18。=36°；

②如图，当05在/AOC的外部时，

vZAOB=18°,ZAOC=3ZAOB,

..ZAOC=54。，

ZBOC=ZAOC+ZAOB=540+18°=72°；

综上可知，NBOC的度数为36。或72。，

故答案为：36。或72。.

【点睛】本题考查了角度的和差计算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键.

2.（2022春•黑龙江哈尔滨•六年级校考期中）已知NAO3=80。，OC平分203,射线。M与OC所形成的

角度是10°,那么的度数是。

【答案】30或50/50或30

【分析】分两种情况：射线在OC的上方和射线在OC的下方，根据角平分线的定义和角的和差分

别计算即可.

图1

0ZA(9B=8O°,OC平分NAO3,

0ZAOC=NBOC=-ZAOB=-x80°=40°,

22

回射线O"与OC所形成的角度是10。，

SZCOM=10°,

0ZAOM=ZAOC-ZCOM=40°-10°=30°；

如图2,

图2

回NAO3=80°,OC平分/AOB,

0ZAOC=ZBOC=-ZAOB=-x80°=40°,

22

回射线OM与OC所形成的角度是10°,

回/COM=10°,

0ZAOM=ZAOC+/COM=400+10°=50°；

综上可知NAOM的度数是30。或50°.

故答案为：30或50.

【点睛】此题考查了角平分线的定义和角的和差计算，分类讨论是解题的关键.

3.（2022春•黑龙江哈尔滨•六年级校考期中）已知射线OC是—AC®的三等分线，射线。。为—AO3的平

分线，若NAOC=40。，则NCOD=.

【答案】20。或10°

12

【分析】根据三等分线的定义可得=或出，画出图形，进行分类讨论即可.

【详解】解：回射线OC是/AQ5的三等分线，

1?

团ZAOC=-ZAOB或ZAOC=-ZAOB,

33

当=时，如图：

0ZAOC=40°,ZAOC=-ZAOB,

3

团NAO5=120。，

回射线OD为ZAOB的平分线，

0ZAOD=-ZAOB=6O°,

2

回/COD=ZAOD-ZAOC=20°；

D

C

OA

2

当NAOC=]ZAO5时，如图：

0ZAOC=40°,ZAOC=-ZAOB,

3

0ZAOB=60°,

国射线OD为ZAOB的平分线，

0ZA6>r>=-ZAOB=3O°,

2

0ZCOD=ZAOD-ZAOC=10°；

故答案为：20。或10。.

【点睛】本题主要考查了角的三等分线和角平分线，解题的关键是掌握角的三等分线有两条.

【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】

例题：（2022秋•河南南阳•七年级统考期末）（1）如图，已知线段点C是线段上一点，点M、N分

别是线段AC,BC的中点.

IIIII

AMCNE

①若AC=BC=4,则线段MN的长度是；

②若AC=a,BC=b,求线段MN的长度（结果用含a、。的代数式表示）；

（2）在（1）中，把点C是线段AB上一点改为：点C是直线A3上一点，AC=a,BC=b.其它条件不

变，则线段"N的长度是（结果用含。、6的代数式表示）

［答案］（1）①）4,（2）—（a+Z?）,（2）+力）或—a）或5（0—b）

【分析】⑴①根据线段中点的定义可得MC=：AC=N,NC=?C=N,即可求解；②

MC=-AC=—,NC=-BC=—,即可求解；

NNNN

(2)根据题意进行分类讨论即可：当点C在线段AB上时，当点C在点A的左边时，当点C在点2的右边

时.

【详解】(1)解：①回点M、N分别是线段AC,BC的中点，AC=BC=4,

EIMC」AC=N,NCBC=Z,

NN

团肱V=MC+NC=N+N=4,

故答案为：4；

②回点M、N分别是线段AC,8C的中点，AC=BC=4,

SMC=—AC=-,NC=—BC=—,

NNNN

^\MN=MC+NC=^(a+b)；

(2)当点C在线段AB上时，

由(i)可得：MN=MC+NC=^(a+b)-

当点C在A左边时，

IIIII

CMANB，

回点/、N分别是线段AC,BC的中点，AC=a,BC=b,

SMC=—AC=—,NC=—BC=—,

NNNN

0MN=NC—MC=W(b_a)；

当点C在点8右边时，

IIIII

AMBNC

回点〃、N分别是线段AC,8C的中点，AC=a,BC=b,

0MC=LAC=JNC=LBC=2,

NNNN

^\MN=MC-NC=^(a-b)；

111

综上：MN=^a+b^^-(b-a)^-[a-b).

故答案为：5(〃+。)或/仅一〃)或5(〃一万).

【点睛】本题主要考查了线段中点的性质，线段的和差计算，解题的关键是掌握线段中点的定义，具有分

类讨论的思想.

【变式训练】

1.(2022秋・全国•七年级专题练习)如图，点B在线段AC上，点M、N分别是AC、BC的中点.

AMB'NC

2

⑴若线段AC=15,BC=^AC,则线段MN的长为_

(2)若8为线段AC上任一点，满足AC-3C="z,其它条件不变，求的长；

⑶若原题中改为点8在直线AC上，满足AC=a,BC=b,(awb),其它条件不变，求的长.

【答案】⑴/

(2)1m

(3)|(Z?-a)

【分析】(1)先求出3c=6,再由点M、N分别是AC、8C的中点，可得CM=；AC=?,CN=；BC=3,

再由MN=C0-CN,即可求解；

(2)由点V、N分别是AC、BC的中点，可得CM=^AC,CN，BC,再由MN=CW—CN,即可求

22

解；

(3)分三种情况讨论：当点B在线段AC上时，当点B在AC的延长线上时，当点B在C4的延长线上时，

即可求解.

2

【详解】(1)解：・.・AC=15,BC=-ACf

BC=6,

又•・・点A/、N分别是AC、3C的中点，

:.CM=-AC=—,CN=LBC=3,

222

159

:.MN=CM-CN=——3=_；

22

9

故答案为：—；

(2)解：•・・点M、N分别是AC、3C的中点，

:.CM=-AC,CN=-BC

229

(3)解：当点3在线段AC上时，

,点M、N分别是AC、3C的中点，

:.CM=-AC,CN=-BC,

22

:.MN=CM-CN=^AC-^BC=^(AC-BC)=^a-b)；

当点8在AC的延长线上时，

•.•点M、N分别是AC、3C的中点，

：.CM=-AC,CN=-BC,

22

:.MN=CM+CN=^AC+^BC=^(AC+BC)=^a+b)；

当点8在C4的延长线上时，

•・•点M、N分别是AC、8C的中点，

:.CM=-AC,CN=-BC,

22

:.MN=CN-CM=^BC-^AC=^(BC-AC)=^(b-a).

【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，根据题意，准确得到线段之间的数量关系是解题的关键.

2.(2022秋•河北石家庄•七年级石家庄市第四H^一中学校考期中)(1)如图1,点C在线段AB上，M,N

分别是AC,8C的中点，若AB=12,AC=8,求睦V的长.

AMCNB

图1

(2)设AB=a,C是线段A3上任意一点(不与点42重合).

AMCNB

图2

①如图2,当M,N分别是AC,8C的中点时，MN的长是；

AMCNB

图3

②如图3,若M,N分别是AC,BC的三等分点，即AM=gAC,BN=^BC,请直接写出线段MN的长.

]2

【答案】(1)6(2)(1)—(1(2)—a

【分析】(1)由AB=12,AC=8,得3C=AB—AC=4,根据M,N分别是AC,BC的中点，即得

CM」AC=4,CN=、BC=2,故MN=CM+CN=6；

22

(2)①由M,N分别是AC,BC的中点，知CM=」AC,CN=』2C,即得加=J4。+工8。=!42,

22222

故MN=L；

2

ii22222

②由3N=§8C,知CM=§AC,CN=w2C,即得M2V=CM+CN=wAC+g2C=wA2,故

…2

MN=-a•

3

【详解】解：(1)vAB=12,AC=8

:.BC=AB-AC=4

•••M,N分别是AC,BC的中点

:.CM=-AC=4,CN=-BC=2

22

:.MN=CM+CN=6

故答案为：6

(2)①M,N分别是AC,8C的中点

:.CM=-AC,CN=-BC

22

:.MN=-AC+-BC=-AB

222

AB=a

:.MN=-a

2

故答案为：—a

2

②:AM=^AC,BN=^BC

22

:.CM=-AC,CN=-BC

33

222

...M7V=CM+CN=—AC+—BC=—A5

333

,/AB=a

MN=—a

3

2

故答案为：

【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算.

【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】

例题：(2023秋•全国•七年级课堂例题)已知：如图，OC在N493的内部，平分

ZAO5(ZAOB<180°),ON平分■/BOC.

⑴当ZAOC=90。，/3OC=60。时，ZMON=。；

⑵当NAOC=80°,N3OC=60°时，ZMON=°；

(3)当ZAOC=80°,N3OC=50°时，ZMON=°；

⑷猜想：不论NAOC和/3OC的度数是多少，NMON的度数总等于的度数的一半.

【答案】⑴45

(2)40

⑶40

(4)/AOC

【分析】(1)(2)(3)利用角平分线的定义求得，和/NOC的度数，再求得/MOC,进一步计算即

可求解；

(4)由(1)(2)(3)可得出结论；

【详解】(1)解：0ZA(9C=9O°,ZBOC=60°,

0ZAOB=90°+60°=150°,

回CM平分,AO3,

回ZAOM=4NAOB=75。，

2

0Z.MOC=90°-75°=15°,

又回ON平分/3OC,

0Z?/OC=-ZBOC=3O°,

2

EZMON=ZMOC+ZNOC=15°+30°=45°,

故答案为：45；

(2)解：0ZAOC=80°,ZBOC=60°,

0ZAOB=80°+60°=140°,

团QM平分NAOB,

0ZAOM=-ZAOB=70°,

2

fflZMOC=80°-70°=10°,

又回ON平分/BOC,

HZNOC=-ZBOC=30°,

2

0AMON=ZMOC+ZNOC=10°+30°=40°,

故答案为：40；

(3)解：SZAOC=80°,ZBOC=50°,

0ZAOB=80°+50°=130°,

回ON平分/AO3,

0ZAOM=-ZAOB=65°,

2

0ZMOC=80°-65°=15°,

又EION平分/BOC,

团NNOC=工N30C=25。，

2

0ZMON=ZMOC+ZNOC=150+25°=40°,

故答案为：40；

(4)解：由以上(1)(2)(3)得出结论NMON=：NAOC,

即不论,AOC和ZBOC的度数是多少，AMON的度数总等于NAOC的度数的一半.

故答案为：ZAOC.

【点睛】此题考查了角平分线的定义、角的计算，关键是根据角平分线定义得出所求角与己知角的关系转

化求解.

【变式训练】

1.(2023秋•重庆开州•七年级统考期末)已知。为直线上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在

点。处.射线OC平分

图1图2

⑴如图1,若ZAOM=40。,求/CON的度数；

(2)在图1中，若NAOW=e,直接写出NCON的度数(用含a的代数式表示)；

⑶将图1中的直角三角板。MN绕顶点。顺时针旋转至图2的位置，当NAOC=3/8ON时，求的度

数.

【答案】⑴20。

(2)ZCON=^a

(3)144°

【分析】(1)根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；

(2)根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；

(3)设=依次表示出/COM=尤，ZAOM=1S00-2x,ABON=90°-lx,ZAOC=180。—x,

最后根据ZAOC=3ZBON列方程即可得到结论.

【详解】(1)因为。为直线A3上一点，且NAOM=40。，ZMON=90°

所以=140°,ZBON=50°

因为射线OC平分NMOB

所以ZBOC=|ZBOM=70°

因为NCON=ABOC-Z.BON

所以Z.CON=70°-50°=20°

图1图2

(2)因为。为直线AB上一点，且NAOM=a,NMON=90°

所以/30河=180。一£,NBON=90。—a

因为射线0C平分/MOB

所以NBOC=工ZBOW=90。」e

22

因为NCON=ABOC-ZBON

所以NCON=90。一！&-（90。-1）="

（3）设N3OC=x,则NCOW=x,ZAOM=18O°-2x,NBON=90°—2x

因为ZAOC=AAOM+Z.COM

所以NAOC=（180°-2x）+x=1800-x

因为NAOC=3/3QN

所以180°-x=3（90°-2x）解得x=18°

因为NAOM=180。—2》

所以NAOM=180。-2x18。=144。.

【点睛】本题主要考查角平分线的定义，余角的性质，灵活运用余角的性质是解题的关键.

2.（2023春・山东济南•六年级统考期末）解答下列问题

如图1,射线OC在NAO3的内部，图中共有3个角：ZAOB,NAOC和130C,若其中有一个角的度数

是另一个角度数的两倍，则称射线OC是-403的“巧分线".

⑴一个角的平分线.这个角的“巧分线"，（填"是"或"不是"）.

⑵如图2,若/MPN=60。，且射线尸。是/MPN的“巧分线"，则/MPQ=_（表示出所有可能的结果探索

新知）.

（3）如图3,若/MPN=a,且射线尸。是NMPN的"巧分线"，则NMPQ=_（用含a的代数式表示出所有可

能的结果）.

【答案】⑴是

(2)30°,20°或40°

（3）；a或；a或：a

2733

【分析】（1）根据"巧分线"定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解

答；

⑵根据“巧分线”定义，分NMPN=2NMPQ\、NNPQLZNMPQ?、/MPQs=三种情况求解即可；

⑶根据“巧分线"定义，分NMPN=2ZMPQ、NNPQ°=2NMPQ,、ZMPQ.=2ZNPQ.三种情况求解即可.

【详解】（1）解：如图1：团0C平分/A03,

0ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,

团根据巧分线定义可得0C是这个角的“巧分线".

故答案为：是.

(2)解：如图3：①当/MPN=2NMPQ1时，则NMPQ]=gNMPN=；*60。=30。；

②当/NPQz=2/MPQz，则/〃附=/回尸2+/即。2=3/〃尸2=60。，解得：ZMPQ2=20°；

③当/MPQ3=2/NPQ3,贝|/知两=/923+/沏。3=5/M尸03=60。，解得：ZMPQ3=40°.

综上，ZMPQ可以为30。,20。,40。.

11zy

(3)解：如图3：①当=时，则NMPQ二万/其两二]乂1=不；

②当NNPQLZNMPQZ，则NMPN=/MPQ?+NNPQ?=3NMPQ2=a,解得:ZMPQ2=^a；

32

③当NMPQ3=2NNPQ3,贝1]/知两=/^?23+/沏。3=5/对/。3=£，解得：NMPQ3=Qa.

/y12

综上，4做可以为公若a.

【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解"巧分线”的定义是解

题的关键.

【过关检测】

一、单选题

1.（2022秋•河南郑州•七年级校考期中）已知直线上有A、B、C三点，且线段AB=6cm,BC=4cm,那么

AC两点之间的距离为（）

A.10cmB.5cmC.10cm或2cmD.2cm

【答案】C

【分析】根据线段BC的位置，分类讨论，①如图所示，点C在点8的右边；②如图所示，点C在点8的

左边；根据线段的和、差计算方法，图形结合分析即可求解.

【详解】解：①如图所示，点C在点8的右边，AB=6cm,BC=4cm,

III

ABC

0AC=AS+BC=6+4=10（cm）；

②如图所示，点C在点8的左边，AB=6cm,BC=4cm,

III

ACB

0AC=AB-BC=6-4=2（cm）；

1aAe两点之间的距离为10cm或2cm,

故选：C.

【点睛】本题主要考查线段的和、差，掌握线段的和、差计算方法，图形结合分析是解题的关键.

2.（2023春•重庆渝中•七年级重庆巴蜀中学校考开学考试）已知ZAO8=120。，0c为-403的角平分线，

过点O作射线OD,若ZAOD=3ZBOD,则NCOD的角度是（）

A.30°B.120°C.30°或120°D.60°或90°

【答案】C

【分析】分当0。在ZAOB内部时，当0。在ZAOB外部时,分别求出NBOC,ZBOD的度数即可得到答

案.

【详解】解：如图1所示，当0。在—493内部时，

0ZAOB=120°,ZAOD=3ZBOD,

团ZBOD=-ZAOB=30°,

4

回0C为NAO3的角平分线,

回4OC」NAOB=60°,

2

0Z.COD=ZBOC-ZBOD=30°；

如图2所示，当。。在ZAOB外部时，

0ZAOB=120°,ZAOD=3ZBOD,

0ZBOD=-ZAOB=60°,

2

团OC为—AO3的角平分线，

团4OC」ZAQB=60°,

2

0ZCOD=ZBOC+ZBOD=120°；

综上所述，NCOD的角度是30度或120度,

故选C.

【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关

键.

3.（2023秋・山西大同•七年级统考期末）在二493的内部作射线OC,射线OC把-493分成两个角，分

11

别为NAOC和/3OC,ZAOC--ZAOBZBOC=-ZAOB,贝U称射线OC为NAO3的三等分线.若

NAOB=60。，射线OC为—AO3的三等分线，则/AOC的度数为（）

A.20°B.40°C.20°或40°D.20°或30°

【答案】C

【分析】根据题意得出NAOC=20。或/3OC=20。，再根据角之间的数量关系，得出NAOC=40。，综合即

可得出答案.

【详解】解：0ZAOB=60°,射线OC为—AO3的三等分线.

0ZAOC=-ZAOB=20°或NBOC=-ZAOB=20°,

33

0ZAOC=ZAOB-Z.BOC=60°-20°=40°,

0ZAOC的度数为20°或40°.

故选：C.

【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键.

二、填空题

4.（2023春•云南玉溪•七年级统考期末）点C是线段A3的中点，点。是直线上的一点，点E是线段4。

的中点，若AB=13,AD=3,则线段CE的长为.

【答案】5或8

【分析】分类讨论，即点。在点A左边或者右边两种情况，画出图形，按照线段的和差即可解答.

【详解】解：①当点。在点A左边时，如图所示：

I|III

BCDEA

・•,点C是线段AB的中点，点E是线段AD的中点，

11313

/.AC=-AB=—,AE=-AD=-

2222f

.\CE=AC-AE=5；

②当点。在点A右边时，如图所示：

I|III

BCAED

•・,点C是线段AB的中点，点E是线段AD的中点，

11313

/.AC=-AB=—AE=-AD=~,

222f2

.*.CE=AC+AE=8；

故答案为：5或8.

【点睛】本题考查了线段的中点的概念，线段的和差，正确地画出图形，分类讨论是解题的关键.

5.（2023秋•黑龙江大庆•七年级校考阶段练习）已知2405=40。，0。平分/AOB,ZBOC=5Q°,贝ij

ZDOC=.

【答案】70。或30。.

【分析】需要分两种情况讨论：射线OC位于0B下方；射线OC位于。8上方分别进行求解.

(详解］解：回ZAOB=40°,OD平分NAOB，

^iZBOD=-ZAOB=20°.

2

①如图所示，射线OC位于下方.

ZDOC=ZBOD+ZBOC=200+50°=70°.

②如图所示，射线OC位于。3上方时.

ZDOC=ZBOC-ZBOD=50°-20°=30°.

综上所述，NOOC=70。或30。.

故答案为：70。或30。.

【点睛】本题主要考查角的平分线和角的运算，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键.

6.(2023春•浙江杭州•九年级校考阶段练习)已知线段A6=6cm,点C是直线上一点，且BC=4cm,

若点。是AC的中点，则8=cm.

【答案】5或1

【分析】根据中点的计算方法，求线段和差的计算，图形结合，分类讨论即可求解.

【详解】解：①如图所示，点C在点8的右边，

_______I_______________I_____I________I__________

ADBC

团AB=6cm,BC=4cm,

0AC=AB+BC=6+4=lO(cm),

回点。是AC的中点，

=DC=-AC=-xl0=5(cm)；

22

②如图所述，点C在点8的左边，

]__I____I_________________I______

ADCB

团AB=6cm,BC=4cm,

回=—5C=6—4=2(cm),

回点。是AC的中点，

0AZ)=DC=-AC=-x2=l(cm)；

22

综上所述，CD=5cm或CD=1cm,

故答案为：5或1.

【点睛】本题主要考查线段的和、差，中点的相关计算，理解图示表示的线段的关系，掌握线段和、差，

中点的计算方法是解题的关键.

三、解答题

7.(2022秋•山西太原•七年级校考阶段练习)如图，点C在线段上，AC=6cm,BC=4cm,点N分

别是AC,的中点

AMCNB

⑴求线段MN的长.

(2)若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm,其他条件不变，你能猜想的长度吗？请说明理由.

⑶若C在线段A3的延长线上，且满足AC-8C=Am,M,N分别是AC,3C的中点，你能猜想的长

度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由.

⑷用一句简洁的话描述你发现的结论.

【答案】⑴5cm

(2)|cm,理由见解析

b

⑶图形见解析，MN^-cm,理由见解析

(4)见解析

【分析】(1)根据线段中点的定义结合线段的和差解答即可；

(2)根据线段中点的定义结合线段的和差解答；

(3)根据题意即可画出图形，再根据线段中点的定义结合线段的和差解答；

(4)由(2)(3)进行归纳即可得出结论.

【详解】(1)-M.N分别是AC、的中点,

:.MC=-AC,CN=-BC,

22

\-MN=MC+CN,AB=AC+BC=10cm,

AW=1(AC+BC)=1AB=5cm

(2)MN=：；理由如下:

---M,N分别是AC、3c的中点,

:.MC=-AC,CN=-BC,

22

:.MN=MC+CN,AB=AC+BC.

.-.M?/=|(AC+BC)=|AB=|(cm)；

(3)如图，•.•〃、N分别是AC、8C的中点,

:.MC=-AC,NC=-BC,

22

■：AB=AC-BC,NM=MC-NC

11A

:.MN=-(AC-BC)=-AB=-(cm)；

I___________I_______________I・I___________I

ABMNC

(4)根据(2)(3)可得结论：只要满足点C在线段A3所在直线上，点M,N分别是AC、的中点，那

么MN=—AB.

2

【点睛】本题考查了线段中点的定义和线段的和差计算，熟练掌握线段中点的定义、数形结合是解题的关

键.

8.(2022秋・北京西城•七年级北京师大附中校考阶段练习)如图，NOC®=50。，。。平分ZAOC,ZAOC=60。，

OE平分NBOC.

备用图

⑴用直尺、量角器画出射线。4OB,OC的准确位置;

⑵求-3OC的度数，要求写出计算过程；

⑶当/DOE=a,NAOC=2£时（其中0。</?</0。<。+4<90。），用以夕的代数式表示-3OC的度数.（直

接写出结果即可）

【答案】（1）作图见详解

（2）NBOC的度数为40。或160°

（3）ZBOC的度数为2（a-4）或2（a+力）

【分析】（1）根据NAOC=60O,ZDOE=50。，角平分线的性质即可求解;

（2）图形结合，根据角平分线的性质即可求解；

（3）证明方法同（2）.

【详解】（1）解：0ZAOC=6O°,0。平分/AOC,

13ZAOD=ZDOC=-ZAOC^-x60°=30°,

22

①当。4在。。的左边，如图所示，

②当。4在。。的右边，如图所示,

（2）解：①如图所示,

回NAOC=60°,0。平分/AOC,且N£>OE=50°,

0ZAOD=NDOC=-ZAOC=-x60°=30°,

22

0ZCOE=ZDOE-ZDOC=50°-30°=20°,

回OE平分/BOC,

0ZBOC=2ZCOE=2x20°=40°；

②如图所示，

同理，NOOC=30°,ZDOE=50°,

0ZCOE=ZCOD+ZDOE=30°+50°=80°,

团OE平分NBOC,

0ZBOC=2ZCOE=2x80°=160°；

综上所述，/3OC的度数为40。或160。.

(3)解：NDOE=e,NAOC=26时(其中0。＜尸＜%0。＜£+6＜90。)，由(2)的证明方法可得，

①当在。。的左边时，NBOC=2(a-(3)；

②当。1在。。的右边时，NBOC=2(a+6)；

综上所述，NBOC的度数为2(a-0或2(c+0.

【点睛】本题主要考查角平分线的性质，图形中角的和、差关系，掌握角平分线的性质，角的和、差计算

方法是解题的关键.

9.(2022秋•河北邯郸•七年级校考期中)直线/上的三个点A,B,C,若满足=,则称点C是点A

关于点B的"半距点”.如图1,BC=^AB,此时点C就是点A关于点8的一个"半距点”.如图2,若〃,

N,P三个点在同一条直线机上，且点P是点M关于点N的"半距点"，W=6cm.

⑴①当点尸在点N的左侧时，求的长度；

②当点尸在点N的右侧时，求的长度；

⑵若点G也是直线机上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度.

---1--------1-----1------I

ABC

图1

---1----------'-----------m

MN

图2

【答案】⑴①3cm；②9cm

9、3

⑵5cm或5cm

【分析】（1）①可求PN=；W=3cm,由=—RV即可求解；②可求PN=；MN=3cm,由

MP=MN+PN即可求解.

（2）①当点P在点N的左侧时，^GP=-MP=-cm,由GN=GP+PN即可求解；②当点P在点N

19

的右侧时，可求MG=]MP=]Cm,由GN=MN-MG即可求解.

【详解】（1）解：①如图，

---1-----1-----1------------m

MPN

图2

因为点尸是点“关于点N的"半距点"，W=6cm,

所以PN=^MN=3cm,

2

所以MP=MN—PN

=6-3=3cm,

故MP的长度为3cm；

②如图，

--1-------1----1-----m

MNP

图2

因为点P是点M关于点N的"半距点"，W=6cm,

所以PN=^MN=3cm,

2

所以MP=MN+PN

=6+3=9cm,

故M尸的长度为9cm.

（2）解：①当点尸在点N的左侧时，如图，

---1-1'---1-----------