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文档简介
第二章轴对称图形(知识拓展)
知识拓展
一、角平分线模型
辅助线做法:①垂两边:
②截两边:
③角平分线+平行一等腰三角形
④角平分线+垂线一等腰三角形(三线合一)
典例1
如图,AD是△ABC的角平分线,DFLAB,垂足为EDE=DG,△AOG和△AED的面积分
别为40和28,则的面积为()
A.12B.6C.7D.8
典例2
如图,在RtAABC中,AB=AC,ZBAC=90°,Z1=Z2,CE±BD的延长线于E.求证:BD=2CE.
跟踪训练1
如图,在△ABC中,BD平分NABC,与AC交于点D,DELAB于点E,若BC=5,△BCD
的面积为5,则ED的长为()
B.1C.2D.5
跟踪训练2
已知点P是/BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:PC-PB<AC-AB.
B
二、将军饮马(求两线段和最小值)
1、两定一动
思想:化折为直
方法:先对称,再连接
2、两动一定
思想:化折为直
方法:先对称,再垂直,面积法求垂线段
3、邮差送信(求三折线段和最小值)
思想:化折为直
方法:作两次对称再连接
典例3
按下列要求进行尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):
(1)如图1:己知直线m及直线m外两点A、B,在直线m上求作点P,使点P到A、B两
点的距离相等.
B
m
(2)如图2:已知直线m及直线m外两点A、B,在直线m上求作点P,使点P到A、B两
点的距离之和为最小.
B.
典例4
如图:等腰△ABC的底边BC长为6,面积是18,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB
边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则ACDM周长的最小值
为()
典例5
如图,△ABC中,AB=AC=13,BC=10,AD是BC边上的中线,F是AD上的动点,E是
AC边上的动点,则CF+EF的最小值为.
如图,A是锐角MON内部一点,在NMON的两边OM,ON上各取一点B、C,组成三角形
ABC,使三角形ABC周长最小.
-N
典例7
若在NMON内部有A、B两个定点,在NMON的两边OM、ON上求作点C、D,使得AC
+CD+DB的长度最小
跟踪训练3
如图,四边形ABCD中,ZBAD=110°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,
使△AMN周长最小时,则NAMN+NANM的度数为()
A.110°B.120°C.130°D.140°
过关训练
1、如图,△ABC的面积为1cm2,BP平分NABC,APLBP于P,则△PBC的面积为
2、如图,在等边三角形ABC中,BC边上的高AD=6,E是高AD上的一个动点,F是边
AB的中点,在点E运动的过程中,存在EB+EF的最小值,则这个最小值是()
A.5B.6C.7D.8
3、如图,已知正方形ABCD的边长是为10cm,△ABE为等边三角形(点E在正方形内),
若P是AC上的一个动点,PD+PE的最小值是多少()
B.8cmC.10cmD.5cm
4、如图,直线1旁有两点A,B,在直线上找一点C使到A,B两点的距离之和最小.在直
线上找一点D使到A,B两点的距离相等.
5、如图,点P是NAOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上
的动点,PN+PM+MN的最小值是5cm,则ZAOB的度数是.
0
第二章轴对称图形(角平分线+将军饮马模型)(知识拓展)
答案全解全析
知识拓展
一、角平分线模型
工「土
。B0B0BB
①②③④
辅助线做法:①垂两边:
②截两边:
③角平分线+平行一等腰三角形
④角平分线+垂线一等腰三角形(三线合一)
典例1
如图,AD是△A3C的角平分线,DFLAB,垂足为EDE=DG,△ADG和△AED的面积分
别为40和28,则△瓦甲的面积为()
A.12B.6C.7D.8
BDC
【答案】B
【分析】解析:如图,过点D作DHLAC于H
BDC
VAD是^ABC的角平分线,DFLAB
/.DF=DH
在RtADEF和RtADGH中,
\DE=DG
[DF=DH
Z.RtADEF^RtADGH(HL)
ASAEDF=SAGDH,设面积为S,
同理RtAADF^RtAADH(HL)
ASAADF=SAADH
即28+S=40-S,解得S=6
典例2
如图,在RtAABC中,AB=AC,ZBAC=90°,Z1=Z2,CE±BD的延长线于E.求证:BD=2CE.
【答案】见解析
【分析】解析:延长CE、BA交于F点,如图,
VBEXEC,
.,.ZBEF=ZCEB=90°.
:BD平分NABC,
.\Z1=Z2,
,ZF=ZBCF,
.*.BF=BC,
VBE1CF,
.\CE=-CF,
2
:△ABC中,AC=AB,ZA=90°,
.*.ZCBA=45°,
ZF=(180-45)。+2=67.5。,ZFBE=22.5°,
?.ZADB=67.5°,
,在△ADB和^AFC中,
'NF=NADB
-ZBAC=ZFAC,
AB=AC
.'.△ADB^AAFC(AAS),
,BD=FC,
.*.BD=2CE.
跟踪训练1
如图,在△ABC中,BD平分NABC,与AC交于点D,DELAB于点E,若BC=5,△BCD
的面积为5,则ED的长为()
A.-B.1C.2D.5
2
【答案】c
【分析】解析:过D点作DFLBC于F,如图
-DFBC=5
2
VBC=5
,DF=2
:BD平分NABC,DE±AB,DF±BC
.\DE=DF=2
跟踪训练2
已知点P是NBAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:PC-PB<AC-AB.
【答案】见解析
【分析】解析:如图,在AC上截取AE,使AE=AB,连接PE,
VAD是NBAC的平分线,
/.ZBAD=ZCAD,
在△AEP和^ABP中,
AE=AB
■ZCAD=ZBAD,
AP=AP
.,.△AEP注△ABP(SAS),
.•.PE=PB,
在^PCE中,PC-PE<CE,
APC-PE<AC-AE,
.'.PC-PB<AC-AB.
二、将军饮马(求两线段和最小值)
1、两定一动
思想:化折为直
方法:先对称,再连接
2、两动一定
思想:化折为直
方法:先对称,再垂直,面积法求垂线段
3、邮差送信(求三折线段和最小值)
思想:化折为直
方法:作两次对称再连接
典例3
按下列要求进行尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):
(1)如图1:已知直线m及直线m外两点A、B,在直线m上求作点P,使点P到A、B两
点的距离相等.
B.
(2)如图2:已知直线m及直线m外两点A、B,在直线m上求作点P,使点P到A、B两
点的距离之和为最小.
B
图2
【答案】见解析
【分析】解析:如图,点P即为所求
典例4
如图:等腰△ABC的底边BC长为6,面积是18,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB
边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则^CDM周长的最小值
为(C)
C.9D.10
【答案】C
【分析】解析:连接AD、MA
,.'△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,
AADXBC,
SAABC=^BC-AD=^X6XAD=1S,解得AD=6,
VEF是线段AC的垂直平分线,
•••点A关于直线EF的对称点为点C,MA=MC
AMC+DM=MA+DMNAD,
AAD的长为CM+MD的最小值,
/.△CDM的周长最短=(GW+ATO)+CD=AD+;BC=6+gx6=6+3=9
典例5
如图,△ABC中,AB=AC=13,BC=10,AD是BC边上的中线,F是AD上的动点,E是
AC边上的动点,则CF+EF的最小值为.
【分析】解析:作E关于AD的对称点M,连接CM交AD于F,连接EF,过C作CNLAB
于N,
VAB=AC=13,BC=10,AD是BC边上的中线,
.*.BD=DC=5,AD±BC,AD平分NBAC,
,M在AB上,
在RtZiABD中,AD=12,
ASAABC=-XBCXAD=-XABXCN,
22
."JBCxAD10x12120
..CN=---------=-------=——,
AB1313
・「E关于AD的对称点M,
AEF=FM,
ACF+EF=CF+FM=CM,
根据垂线段最短得出:CMNCN,
即CF+EF^—,
13
即CF+EF的最小值是詈
典例6
如图,A是锐角MON内部一点,在NMON的两边OM,ON上各取一点B、C,组成三角形
ABC,使三角形ABC周长最小.
【答案】见解析
【分析】解析:作A关于OM的对称点",关于ON的A对称点N,与OM、ON相交于B、
C,连接ABC即为所求三角形.
YA与A,关于OM对称,A与A"关于ON对称,
,AB=ABAC=A"C,
于是AB+BC+CA=AfB+BC+A,C=A,A%
根据两点之间线段最短,人公”为4人:6©的最小值.
典例7
若在NMON内部有A、B两个定点,在NMON的两边OM、ON上求作点C、D,使得AC
+CD+DB的长度最小
【答案】见解析
【分析】解析:作点A关于OM的对称点E,作点B关于ON的对称点F,连接EF交OM、
ON于点C、D,即为所求
跟踪训练3
如图,四边形ABCD中,ZBAD=110°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,
使△AMN周长最小时,则NAMN+NANM的度数为()
A.110°B.120°C.130°D.140°
D
【答案】D
【分析】解析:如图,作点A关于BC的对称点N,关于CD的对称点A",连接A,A"与BC、
二NA'+ZAH=180°-Z110°=70°,
由轴对称的性质得:ZA'=ZA'AM,NA"=NA"AN,
ZAMN+ZANM=2(NA,+NA")=2x70°=140°.
过关训练
1、如图,△ABC的面积为1cm2,BP平分NABC,APLBP于P,则△PBC的面积为
【答案】0.5cm2
【分析】解析:延长AP交BC于E
:BP平分NABC
/.ZABP=ZEBP
VAPIBP
ZAPB=ZEPB=90°
在AABP和AEBP中,ZABP=ZEBP,BP=BP,ZAPB=ZEPB
?.△ABP^AEBP(ASA)
,AP=PE
S△ABP=S△EBP,SAACP=SAECP
.*.SAPBC=-SAABC=-xlcm2=0.5cm2
22
2、如图,在等边三角形ABC中,BC边上的高AD=6,E是高AD上的一个动点,F是边
AB的中点,在点E运动的过程中,存在EB+EF的最小值,则这个最小值是()
A.5B.6C.7D.8
【答案】B
【分析】解析:连接CF,
,等边AABC中,AD是BC边上的中线
...AD是BC边上的高线,即AD垂直平分BC
.*.EB=EC,
当B、F、E三点共线时,EF+EC=EF+BE=CF,
,等边^ABC中,F是AB边的中点,
.*.AD=CF=6,
.,.EF+BE的最小值为6
3、如图,已知正方形ABCD的边长是为10cm,△ABE为等边三角形(点E在正方形内),
若P是AC上的一个动点,PD+PE的最小值是多少(C)
A.6cmB.8cmC.10cmD.5cm
【答案】c
【分析】解析:连接BP.
,正方形ABCD
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