苏科版八年级数学上册 第二章 轴对称图形（2类知识拓展）

第二章轴对称图形（知识拓展）

知识拓展

一、角平分线模型

辅助线做法：①垂两边：

②截两边：

③角平分线+平行一等腰三角形

④角平分线+垂线一等腰三角形（三线合一）

典例1

如图，AD是△ABC的角平分线，DFLAB,垂足为EDE=DG,△AOG和△AED的面积分

别为40和28,则的面积为（）

A.12B.6C.7D.8

典例2

如图，在RtAABC中，AB=AC,ZBAC=90°,Z1=Z2,CE±BD的延长线于E.求证:BD=2CE.

跟踪训练1

如图，在△ABC中，BD平分NABC,与AC交于点D,DELAB于点E,若BC=5,△BCD

的面积为5,则ED的长为（）

B.1C.2D.5

跟踪训练2

已知点P是/BAC平分线AD上一点，AC>AB,求证：PC-PB<AC-AB.

B

二、将军饮马（求两线段和最小值）

1、两定一动

思想：化折为直

方法：先对称，再连接

2、两动一定

思想：化折为直

方法：先对称，再垂直，面积法求垂线段

3、邮差送信（求三折线段和最小值）

思想：化折为直

方法：作两次对称再连接

典例3

按下列要求进行尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

（1）如图1：己知直线m及直线m外两点A、B,在直线m上求作点P,使点P到A、B两

点的距离相等.

B

m

(2)如图2：已知直线m及直线m外两点A、B,在直线m上求作点P,使点P到A、B两

点的距离之和为最小.

B.

典例4

如图：等腰△ABC的底边BC长为6,面积是18,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB

边于E,F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则ACDM周长的最小值

为()

典例5

如图，△ABC中，AB=AC=13,BC=10,AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是

AC边上的动点，则CF+EF的最小值为.

如图，A是锐角MON内部一点，在NMON的两边OM,ON上各取一点B、C,组成三角形

ABC,使三角形ABC周长最小.

-N

典例7

若在NMON内部有A、B两个定点，在NMON的两边OM、ON上求作点C、D,使得AC

+CD+DB的长度最小

跟踪训练3

如图，四边形ABCD中，ZBAD=110°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,

使△AMN周长最小时，则NAMN+NANM的度数为（）

A.110°B.120°C.130°D.140°

过关训练

1、如图，△ABC的面积为1cm2,BP平分NABC,APLBP于P,则△PBC的面积为

2、如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=6,E是高AD上的一个动点，F是边

AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

3、如图，已知正方形ABCD的边长是为10cm,△ABE为等边三角形（点E在正方形内）,

若P是AC上的一个动点，PD+PE的最小值是多少（）

B.8cmC.10cmD.5cm

4、如图，直线1旁有两点A,B,在直线上找一点C使到A,B两点的距离之和最小.在直

线上找一点D使到A,B两点的距离相等.

5、如图，点P是NAOB内任意一点，OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上

的动点，PN+PM+MN的最小值是5cm,则ZAOB的度数是.

0

第二章轴对称图形（角平分线+将军饮马模型）（知识拓展）

答案全解全析

知识拓展

一、角平分线模型

工「土

。B0B0BB

①②③④

辅助线做法：①垂两边：

②截两边：

③角平分线+平行一等腰三角形

④角平分线+垂线一等腰三角形（三线合一）

典例1

如图，AD是△A3C的角平分线，DFLAB,垂足为EDE=DG,△ADG和△AED的面积分

别为40和28,则△瓦甲的面积为（）

A.12B.6C.7D.8

BDC

【答案】B

【分析】解析：如图，过点D作DHLAC于H

BDC

VAD是^ABC的角平分线，DFLAB

/.DF=DH

在RtADEF和RtADGH中,

\DE=DG

[DF=DH

Z.RtADEF^RtADGH(HL)

ASAEDF=SAGDH,设面积为S,

同理RtAADF^RtAADH(HL)

ASAADF=SAADH

即28+S=40-S,解得S=6

典例2

如图，在RtAABC中，AB=AC,ZBAC=90°,Z1=Z2,CE±BD的延长线于E.求证:BD=2CE.

【答案】见解析

【分析】解析：延长CE、BA交于F点，如图,

VBEXEC,

.,.ZBEF=ZCEB=90°.

：BD平分NABC,

.\Z1=Z2,

，ZF=ZBCF,

.*.BF=BC,

VBE1CF,

.\CE=-CF,

2

:△ABC中，AC=AB,ZA=90°,

.*.ZCBA=45°,

ZF=(180-45)。+2=67.5。，ZFBE=22.5°,

?.ZADB=67.5°,

,在△ADB和^AFC中，

'NF=NADB

-ZBAC=ZFAC,

AB=AC

.'.△ADB^AAFC(AAS),

，BD=FC,

.*.BD=2CE.

跟踪训练1

如图，在△ABC中，BD平分NABC,与AC交于点D,DELAB于点E,若BC=5,△BCD

的面积为5,则ED的长为()

A.-B.1C.2D.5

2

【答案】c

【分析】解析：过D点作DFLBC于F,如图

-DFBC=5

2

VBC=5

，DF=2

：BD平分NABC,DE±AB,DF±BC

.\DE=DF=2

跟踪训练2

已知点P是NBAC平分线AD上一点，AC>AB,求证：PC-PB<AC-AB.

【答案】见解析

【分析】解析：如图，在AC上截取AE,使AE=AB,连接PE,

VAD是NBAC的平分线，

/.ZBAD=ZCAD,

在△AEP和^ABP中，

AE=AB

■ZCAD=ZBAD,

AP=AP

.,.△AEP注△ABP(SAS),

.•.PE=PB,

在^PCE中，PC-PE<CE,

APC-PE<AC-AE,

.'.PC-PB<AC-AB.

二、将军饮马(求两线段和最小值)

1、两定一动

思想：化折为直

方法：先对称，再连接

2、两动一定

思想：化折为直

方法：先对称，再垂直，面积法求垂线段

3、邮差送信(求三折线段和最小值)

思想：化折为直

方法：作两次对称再连接

典例3

按下列要求进行尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：

(1)如图1：已知直线m及直线m外两点A、B,在直线m上求作点P,使点P到A、B两

点的距离相等.

B.

(2)如图2：已知直线m及直线m外两点A、B,在直线m上求作点P,使点P到A、B两

点的距离之和为最小.

B

图2

【答案】见解析

【分析】解析：如图，点P即为所求

典例4

如图：等腰△ABC的底边BC长为6,面积是18,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB

边于E,F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则^CDM周长的最小值

为（C）

C.9D.10

【答案】C

【分析】解析：连接AD、MA

,.'△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

AADXBC,

SAABC=^BC-AD=^X6XAD=1S,解得AD=6,

VEF是线段AC的垂直平分线，

•••点A关于直线EF的对称点为点C,MA=MC

AMC+DM=MA+DMNAD,

AAD的长为CM+MD的最小值，

/.△CDM的周长最短=（GW+ATO）+CD=AD+；BC=6+gx6=6+3=9

典例5

如图，△ABC中，AB=AC=13,BC=10,AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是

AC边上的动点，则CF+EF的最小值为.

【分析】解析：作E关于AD的对称点M,连接CM交AD于F,连接EF,过C作CNLAB

于N,

VAB=AC=13,BC=10,AD是BC边上的中线,

.*.BD=DC=5,AD±BC,AD平分NBAC,

，M在AB上，

在RtZiABD中，AD=12,

ASAABC=-XBCXAD=-XABXCN,

22

."JBCxAD10x12120

..CN=---------=-------=——,

AB1313

・「E关于AD的对称点M,

AEF=FM,

ACF+EF=CF+FM=CM,

根据垂线段最短得出：CMNCN,

即CF+EF^—,

13

即CF+EF的最小值是詈

典例6

如图，A是锐角MON内部一点，在NMON的两边OM,ON上各取一点B、C,组成三角形

ABC,使三角形ABC周长最小.

【答案】见解析

【分析】解析：作A关于OM的对称点"，关于ON的A对称点N,与OM、ON相交于B、

C,连接ABC即为所求三角形.

YA与A，关于OM对称，A与A"关于ON对称，

，AB=ABAC=A"C,

于是AB+BC+CA=AfB+BC+A,C=A,A%

根据两点之间线段最短，人公”为4人：6©的最小值.

典例7

若在NMON内部有A、B两个定点，在NMON的两边OM、ON上求作点C、D,使得AC

+CD+DB的长度最小

【答案】见解析

【分析】解析：作点A关于OM的对称点E,作点B关于ON的对称点F,连接EF交OM、

ON于点C、D,即为所求

跟踪训练3

如图，四边形ABCD中，ZBAD=110°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,

使△AMN周长最小时，则NAMN+NANM的度数为（）

A.110°B.120°C.130°D.140°

D

【答案】D

【分析】解析：如图，作点A关于BC的对称点N,关于CD的对称点A",连接A，A"与BC、

二NA'+ZAH=180°-Z110°=70°,

由轴对称的性质得：ZA'=ZA'AM,NA"=NA"AN,

ZAMN+ZANM=2(NA，+NA")=2x70°=140°.

过关训练

1、如图，△ABC的面积为1cm2,BP平分NABC,APLBP于P,则△PBC的面积为

【答案】0.5cm2

【分析】解析：延长AP交BC于E

：BP平分NABC

/.ZABP=ZEBP

VAPIBP

ZAPB=ZEPB=90°

在AABP和AEBP中，ZABP=ZEBP,BP=BP,ZAPB=ZEPB

?.△ABP^AEBP(ASA)

，AP=PE

S△ABP=S△EBP,SAACP=SAECP

.*.SAPBC=-SAABC=-xlcm2=0.5cm2

22

2、如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=6,E是高AD上的一个动点，F是边

AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】解析：连接CF,

,等边AABC中，AD是BC边上的中线

...AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC

.*.EB=EC,

当B、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF,

,等边^ABC中，F是AB边的中点，

.*.AD=CF=6,

.,.EF+BE的最小值为6

3、如图，已知正方形ABCD的边长是为10cm,△ABE为等边三角形（点E在正方形内）,

若P是AC上的一个动点，PD+PE的最小值是多少（C）

A.6cmB.8cmC.10cmD.5cm

【答案】c

【分析】解析：连接BP.

,正方形ABCD