2024-2025学年沪科版初中数学九年级下册课件 24.6 第2课时 正多边形的性质

24.6正多边形与圆第24章圆第2课时正多边形的性质问题1什么是正多边形？

问题2如何作出正多边形？

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

将一个圆

n等分，就可以作出这个圆的内接或外切正

n边形.复习引入正多边形的性质OABCD

问题1以正方形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？EFGH∵EF是边

AB、CD的垂直平分线，∴

OA=OB，OD=OC.同理，OA=OD，OB

=

OC.∴OA

=

OB

=

OC

=

OD.∴正方形

ABCD有一个以点

O为圆心的外接圆.观察与思考OABCDEFGH∵AC是∠DAB和∠DCB的平分线，BD是∠ABC和∠ADC的平分线，∴

OE=OH

=OF

=OG.∴

正方形

ABCD还有一个以点

O为圆心的内切圆.

所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.想一想：OABCDEFGHRr正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径.内切圆的半径叫做正多边形的边心距.知识要点正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于

.正多边形边数内角中心角外角346n60°120°120°90°90°90°120°60°60°正多边形的外角=中心角完成下面的表格：练一练如图，已知半径为

4的圆内接正六边形

ABCDEF：①

它的中心角等于

度；②

OC

BC(填＞、＜或＝）；③

△OBC是

三角形；

④

圆内接正六边形的面积是

△OBC面积

的

倍.⑤

圆内接正

n边形面积公式：___________________.CDOBEFAP60=等边6正多边形的有关计算探究归纳S正多边形

=例1

有一个亭子,它的地基是半径为

4

m的正六边形，求地基的面积(精确到

0.1m2).抽象成典例精析CDOEFAPB利用勾股定理，可得边心距则亭子地基的面积4mOABCDEFMr解：过点

O作

OM⊥BC于

M.易得

△OBC为正三角形.∴BC=OB=

4，例2求边长为

a的正六边形的周长和面积.解：如图，过正六边形

ABCDEF的中心

O作

OG⊥BC，垂足为

G，连接

OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为

l和

S.FABCDEOG在正六边形

ABCDEF中，∠BOC=60°，OB=OC，∴△BOC是等边三角形.则

l=6BC=6a.在△BOC中，∴(1)正

n边形的中心角怎么计算？CDOBEFAP(2)正

n边形的边长

a，半径

R，边心距

r之间有什么关系？aRr(3)边长为

a，边心距为

r的正

n边形的面积是多少？其中

l为正

n边形的周长.想一想：

如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是（）A．60°B．45°C．36°

D．30°·ABCDEO练一练C2.作边心距，构造直角三角形.1.连半径，得中心角；OABCDEFRMr·圆内接正多边形中常见的辅助线作法方法归纳O边心距

r边长一半半径

RBM中心角的一半画一画：画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结论？

正

n边形都是轴对称图形，都有

n条对称轴，且这些对称轴都通过正多边形的中心.如果

n为偶数，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.要点归纳例3

如图，AG

是正八边形

ABCDEFGH

的一条对角线.(1)在剩余的顶点

B、C、D、E、F、H

中，连接两个顶

点，使连接的线段与

AG

平行，并说明理由；解：连接

BF，CE，则

BF∥AG，CE∥AG．理由如下：∵ABCDEFGH

是正八边形，∴

它的内角都为

135°．又∵

HA

=

HG，∴∠HAG

=

22.5°.∴∠GAB=

135°

-∠HAG

=

112.5°.∵正八边形

ABCDEFGH

关于直线

BF

对称，即∠BAG+∠ABF

=

180°，故

BF∥AG．同理，可得

CE∥BF，∴CE∥AG.(2)两边延长

AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点

P、Q、M、N，若AB

=

2，求四边形

PQMN

的面积．PNMQ解：由题意可知∠PHA

=∠PAH

=

45°，∴∠P

=

90°.同理可得∠Q

=∠M

=

90°，∴

四边形

PQMN

是矩形．∵∠PHA

=∠PAH

=∠QBC

=∠QCB

=∠MDE

=∠MED

=

45°，AH

=

BC

=

DE，∴△PAH≌△QCB≌△MDE．∴

PA

=

QB

=

QC

=

MD．∴PQ

=

QM．故四边形

PQMN

是正方形．PNMQ在

Rt△PAH

中，∵∠PAH

=

45°，AB

=

2，故

S四边形PQMN

=PNMQ2.若正多边形的边心距与半径的比为1∶2，则这个正多边形的边数是

.正多边形边数半径边长边心距周长面积34161.

填表：21284221234.要用圆形铁片截出边长为

4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小为

cm.也就是要找这个正方形外接圆的直径3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状可近似看作是正七边形，则一个内角为

度.（不取近似值）

5.如图，四边形

ABCD

是

⊙O

的内接正方形，若正方形的面积等于

4，求

⊙O

的面积．解：∵

正方形的面积等于

4，则半径为∴

⊙O

的面积为∴

正方形的边长

AB

=

2.ABCDEFP6.如图，正六边形

ABCDEF

的边长为，点

P

为六边形内任一点，则点

P

到各边的距离之和是多少？解：过

P

作

AB

的垂线，分别交

AB、DE于

H、K，连接

BD，作

CG⊥BD

于

G.GHK∴P

到

AF

与

CD

的距离之和，及

P

到

EF、BC

的距离之和，均为

HK

的长.∵

六边形

ABCDEF

是正六边形，∴

AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF.GABCDEFP∴点P到各边的距离之和为3BD=3×6=18.GHK∵BC

=

CD，∠BCD

=∠ABC

=∠CDE

=

120°，∴∠CBD

=∠BDC

=

30°，BD∥HK，且

BD

=

HK.∵CG⊥BD，∴BD

=

2BG

=

2BC·cos∠CBD

=6.G拓广探索7.如图,M,N分别是☉O内接正多边形的边AB,BC上的点,且BM=CN.(1)图①中∠MON=______°，图②中∠MON=