6.4.3（第1课时）余弦定理+高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

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6章平面向量及其应用高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）6.4.3第1课时

余弦定理

学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．3.掌握余弦定理的几种变形公式及应用；4.能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题.目录CATALOG01.余弦定理03.题型强化训练02.余弦定理的简单应用04.小结及随堂练习01余弦定理6.4.3第1课时

余弦定理

学习新知一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系．例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系．对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，AAS等判定三角形全等的方法．这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的．那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系?下面我们利用向量方法研究这个问题．学习新知我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS).这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？这四个量，知三可求一学习新知【探究】在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c,怎样用a、b和C表示c？学习新知余弦定理的定义余弦定理:三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即你能用其他方法证明余弦定理吗？利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边.【问题】学习新知【思考】余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢?余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画．利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角．从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式．学习新知【思考】勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角的关系.你能说说这两个定量之间的关系吗？余弦定理与勾股定理的关系如果△ABC中有一个角是直角，例如C=90°，这时cosC=0.由余弦定理可得c2=a2+b2，这就是勾股定理.

由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例.一般地，三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.【解三角形的概念】学习新知【思考】勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗?ACBabc如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cosC=0.由余弦定理可得c2=a2+b2，这就是勾股定理.

由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例.一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.02余弦定理的简单应用6.4.3第1课时

余弦定理

学习新知例5：【解析】学习新知【详解】【变式】学习新知【感悟提升】1.已知两边及一角解三角形的两种情况(1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角．(2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长．学习新知【感悟提升】2.解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．学习新知例6：学习新知【详解】【变式】学习新知【反思感悟】已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，需满足大角对大边，两边之和大于第三边．通性通法(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解；(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．已知两边及一角解三角形的两种情况03题型强化训练6.4.3第1课时

余弦定理

能力提升【练习1】题型一、已知两边及一角解三角形能力提升题型一、已知两边及一角解三角形【感悟提升】已知两边及一角解三角形的两种情况(1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角．(2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长．能力提升【练习2】题型二、已知三边解三角形能力提升题型二、已知三边解三角形【感悟提升】已知三边(三边关系)求解三角形的方法(1)已知三角形的三边求角时，可利用余弦定理的推论求解出各角的大小．(2)若已知三角形的三边关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质转化为已知三边求解．能力提升题型二、已知三边解三角形若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角．【注意】通性通法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．已知三角形三边解三角形的方法能力提升【练习3】题型三、利用余弦定理判断三角形形状【详解】能力提升题型三、利用余弦定理判断三角形形状【感悟提升】利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．能力提升题型三、利用余弦定理判断三角形形状【感悟提升】利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项如何利用余弦定理判断角的形状通性通法判断三角形形状的基本思想和两条思路04小结及随堂练习6.4.3第1课时

余弦定理

课堂总结11．知识清单：(1)余弦定理．(2)余弦定理解决的两类问题．(3)余弦定理的简单应用．2．方法归纳：化归转化、数形结合．3．常见误区：易忽略三角形中的隐含条件．课堂总结2余弦定理：余弦定理推论：适合用余弦定理解三角形：（1