6.4.3（第2课时）正弦定理+高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第

6章平面向量及其应用高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）6.4.3.2第2课时

正弦定理

学习目标1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.2.掌握正弦定理，用向量的方法推导正弦定理.3.能利用正弦定理解三角形；4.正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用．目录CATALOG01.正弦定理03.题型强化训练02.利用正弦定理解三角形04.小结及随堂练习01正弦定理6.4.3.2正弦定理学习新知【探究】余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式．如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论.实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系.从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为∶在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系.如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在△ABC中，已知A，B，a，求b”的问题.学习新知我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.根据锐角三角函数，在Rt△ABC中（如图6.4-9），有学习新知在直角三角形中，有对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否任然成立？因为涉及三角形的边、角关系，所以任然采用向量的方法来研究.我们希望获得△ABC中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间的关系式．在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究．学习新知【思考】向量的数量积中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？由诱导公式可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系.学习新知ABC学习新知ABC学习新知正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即【问题】正弦定理有几个等式，每个等式中有几个元素？正弦定理中有三个等式，每个等式中有四个元素（两角及其对边）.【问题】利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？利用正弦定理，我们可以解已知“两角和一边”和“两边和其中一边的对角”的三角形.学习新知以上我们利用向量方法获得了正弦定理、余弦定理事实上，探索和证明这两个定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加简洁你还能想到其他方法吗?证法二：可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：学习新知再看钝角三角形的情况02利用正弦定理解三角形6.4.3.2正弦定理学习新知例7：学习新知【变式】学习新知例8：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理．【分析】【详解】为什么角C有两个值？学习新知学习新知【变式】【详解】学习新知学习新知【探究】【详解】【分析】ABCabABCab学习新知ABCabABCba=bsinAAB1B2CaabABCba<bsinA学习新知若A为锐角时:若A为直角或钝角时:无解一解（直角）二解（一锐、一钝）一解（锐角）无解一解（锐角）学习新知学习新知ABCabc学习新知证法四：图形证明ABCabcDABCabcD03题型强化训练6.4.3.2正弦定理能力提升【练习1】题型一、已知两边及其中一边的对角解三角形【详解】能力提升题型一、已知两边及其中一边的对角解三角形【感悟提升】已知两边及一边的对角解三角形的方法(1)首先用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角(唯一)．(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值．能力提升【练习2】题型二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状能力提升【详解】利用三角函数解决几何问题，首先要审清题意，然后要明确角的取值范围，最后一定要回归到实际问题当中去．【反思感悟】能力提升题型二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状【感悟提升】判断三角形形状的方法(1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．能力提升题型二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状【感悟提升】(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．(3)判断三角形的形状，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．能力提升【练习3】题型三、正弦、余弦定理的综合应用【详解】能力提升能力提升题型三、正弦、余弦定理的综合应用【感悟提升】利用正弦、余弦定理解三角形的注意点正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．能力提升【练习4】题型四、有关三角形面积的计算能力提升题型四、有关三角形面积的计算三角形面积计算的依据和解题策略(2)解题策略：①若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，

转化为求三角形的面积；②若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹

角，再利用三角形面积公式进行求解．

能力提升【练习5】题型五、已知两角及一边解三角形能力提升题型五、已知两角及一边解三角形【感悟提升】已知两角及一边解三角形的基本思路(1)当所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．(2)当所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．注意：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的转化，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．04小结及随堂练习6.4.3.2正弦定理课堂总结11．知识清单：(1)正弦定理．(2)利用正弦定理解三角形．(3)三角形解的个数的判断．2．方法归纳：化归转化、数形结合．3．常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论．课堂总结2已知三角形中的三个元素解三角形：（1）已知两边及其夹角（SAS）；（2）已知三条边（SSS）；（3）已知两边及一边对角（SSA）；（4）已知两角和一边；---用余弦定理求解---用余弦定理求解---用正、余弦定理都可解---用正弦定理求解注：已知两边或三边的用余弦定理求解；已知两角的用正弦定