专题强化八　卫星运动的三类问题

专题强化八卫星运动的三类问题学习目标1.会分析卫星的变轨过程及各物理量的变化。2.掌握双星或多星模型的特点。3.会分析卫星的追及与相遇问题。考点一卫星的变轨和对接问题1.变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有Geq\f(Mm,req\o\al(2,1))＝meq\f(v2,r1)，如图1所示。图1(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，Geq\f(Mm,req\o\al(2,1))<meq\f(veq\o\al(2,A),r1)，即万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。2.对接航天飞船与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是卫星的变轨运行问题。3.变轨过程各物理量比较速度关系在A点加速：vⅡA＞vⅠ，在B点加速：vⅢ＞vⅡB，即vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB(向心)加速度关系aⅢ＝aⅡBaⅡA＝aⅠ周期关系TⅠ＜TⅡ＜TⅢ机械能EⅠ＜EⅡ＜EⅢ例12023年5月10日21时22分，天舟六号货运飞船发射成功，并于次日5时16分成功与中国天宫空间站对接，为航天员送去所需的服装、食物、水、实验设备等物资。现将其发射对接过程简化如图2所示，圆轨道1为中国天宫空间站的运行轨道，天舟六号在运载火箭的托举下沿轨道PA运动至A点“船箭分离”，飞船进入与圆轨道1相切于B点的椭圆轨道2运行，最后择机与空间站对接。下列相关说法中正确的是()图2A.天舟六号飞船由P点运动至B点的过程中机械能持续增大B.天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行周期要小于空间站的运行周期C.天舟六号飞船由P点运动至B点的过程中，飞船内的物资始终处于超重状态D.天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行速度始终小于与空间站对接后在轨道1上的运行速度答案B解析飞船由P点到B点过程中的AB段，飞船只受万有引力，只有引力做功，机械能守恒，故A错误；由开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，可知轨道半长轴越小，周期越小，飞船在轨道2的半长轴比轨道1的小，所以飞船在轨道2运动的周期比空间站的运动周期小，故B正确；飞船由P点到A点，飞船获得外界提供的动力，加速上升，处于超重状态，飞船从A点到B点，只受地球对其的万有引力，处于完全失重状态，故C错误；飞船在轨道2运动到B点要经历点火加速才能进入轨道1运动，所以飞船在轨道2的B点运动速度比与空间站对接后在轨道1上的运行速度要大，故D错误。1.(多选)(2024·广东茂名模拟)2022年5月5日，我国在太原卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将吉林一号宽幅01C卫星送入预定轨道。已知该卫星发射后在圆轨道做圆周运动，稳定后再变轨为如图3所示的椭圆轨道，两轨道相切于P点、P、Q分别为椭圆轨道的近地点和远地点，忽略空气阻力和卫星质量的变化，则()图3A.宽幅01C卫星在椭圆轨道上运动的周期大于在圆轨道上运动的周期B.宽幅01C卫星在椭圆轨道上运动时，在P点的线速度小于在Q点的线速度C.宽幅01C卫星在P点由圆轨道变为椭圆轨道时需要在P处点火加速D.宽幅01C卫星在椭圆轨道从P点运动到Q点的过程中，卫星的机械能增大答案AC解析根据开普勒第三定律知，卫星的轨道半长轴越大，周期越大，故A正确；由开普勒第二定律知，卫星在近地点P的速度大于在远地点Q的速度，故B错误；卫星在P点由圆轨道变为椭圆轨道是离心运动，需要加速，故C正确；卫星从P点运动到Q点的过程中，只有万有引力做功，卫星的机械能守恒，故D错误。2.空间站的运行轨道可近似看作圆形轨道Ⅰ，椭圆轨道Ⅱ为神舟十六号载人飞船与空间站对接前的运行轨道，已知地球半径为R，两轨道相切于P点，地球表面重力加速度大小为g，下列说法正确的是()图4A.空间站在轨道Ⅰ上的运行速度小于eq\r(gR)B.神舟十六号载人飞船在P点的加速度小于空间站在P点的加速度C.神舟十六号载人飞船在P点经点火减速才能从轨道Ⅱ进入轨道ⅠD.轨道Ⅰ上的神舟十六号载人飞船想与前方的空间站对接，只需要沿运动方向加速即可答案A解析根据万有引力提供向心力，有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，根据地球表面万有引力等于重力，有eq\f(GMm,R2)＝mg，可知空间站在轨道Ⅰ上的速度小于eq\r(gR)，故A正确；由牛顿第二定律eq\f(GMm,r2)＝ma可知，飞船和空间站在P点的加速度相等，故B错误；神舟十六号载人飞船若要从轨道Ⅱ进入轨道Ⅰ，做离心运动，需要在P点点火加速，故C错误；轨道Ⅰ上的神舟十六号飞船加速后轨道半径会变大，无法与空间站对接，故D错误。考点二双星或多星模型1.双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图5所示。图5(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2。②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)。⑤双星的运动周期T＝2πeq\r(\f(L3,G（m1＋m2）))。⑥双星的总质量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)。2.多星模型所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星及规律：常见的三星模型①eq\f(Gm2,（2R）2)＋eq\f(GMm,R2)＝ma向②eq\f(Gm2,L2)×cos30°×2＝ma向常见的四星模型①eq\f(Gm2,L2)×cos45°×2＋eq\f(Gm2,（\r(2)L）2)＝ma向②eq\f(Gm2,L2)×cos30°×2＋eq\f(GmM,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,\r(3))))\s\up12(2))＝ma向例2如图6所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，则()图6A.恒星A、B运动的周期为TB.恒星A的质量小于B的质量C.恒星A、B的总质量为eq\f(π2d3,GT2)D.恒星A线速度大于B的线速度答案C解析每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为T′＝2T，故A错误；根据万有引力提供向心力，有Geq\f(mAmB,d2)＝mAeq\f(4π2,（2T）2)rA＝mBeq\f(4π2,（2T）2)rB，又rA<rB，则mA>mB，故B错误；由B选项得，两恒星总质量为m＝mA＋mB＝eq\f(π2d3,GT2)，故C正确；根据v＝ωr，两恒星角速度相等，则vA<vB，故D错误。3.(多选)如图7所示是宇宙中存在的某三星系统，忽略其他星体的万有引力，三个星体A、B、C在边长为d的等边三角形的三个顶点上绕同一圆心O做匀速圆周运动。已知A、B、C的质量分别为2m、3m、3m，引力常量为G，则下列说法正确的是()图7A.三个星体组成的系统动量守恒B.A的周期小于B、C的周期C.A所受万有引力的大小为eq\f(3\r(3)Gm2,d2)D.若B的角速度为ω，则A与圆心O的距离为eq\f(3\r(3)Gm,d2ω2)答案AD解析该系统属于稳定的三星系统，三个星体的角速度、周期相同，动量大小不变，运动过程中总动量不变，A正确，B错误；A所受万有引力的大小为F＝eq\r(3)Geq\f(3m·2m,d2)＝eq\f(6\r(3)Gm2,d2)，C错误；若B的角速度为ω，则A的角速度也为ω，根据eq\f(6\r(3)Gm2,d2)＝2mω2r，则A与圆心O的距离为r＝eq\f(3\r(3)Gm,d2ω2)，D正确。考点三天体中的追及相遇问题1.相距最近：天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(如图8甲)，此时刻行星与地球相距最近。甲从初始时刻到之后再次“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有以下两种解决方法。(1)角度关系ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3，…)(2)圈数关系eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝n(n＝1，2，3，…)解得t＝eq\f(nT1T2,T2－T1)(n＝1，2，3，…)2.相距最远：行星处在地球和太阳连线的延长线上(如图8乙)，三者共线，运转方向相同，有关系式ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)或eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝eq\f(2n－1,2)(n＝1，2，3，…)。eq\a\vs4\al(乙,图8)例3(2023·湖北卷，2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图9所示。根据以上信息可以得出()图9A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前答案B解析火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有eq\f(req\o\al(3,火),req\o\al(3,地))＝eq\f(Teq\o\al(2,火),Teq\o\al(2,地))，可得eq\f(T火,T地)＝eq\r(\f(req\o\al(3,火),req\o\al(3,地)))＝eq\f(3\r(3),2\r(2))，故A错误；当火星与地球相距最远时，两者的速度方向相反，此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面，根据万有引力定律有Geq\f(Mm,R2)＝mg，由于不知道火星和地球的质量比和半径比，所以无法得出火星和地球表面的自由落体加速度之比，故C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω火＝eq\f(2π,T火)，ω地＝eq\f(2π,T地)，要发生下一次火星冲日则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T地)－\f(2π,T火)))t＝2π，得t＝eq\f(T火T地,T火－T地)>T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错误。例4(多选)当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，若2023年11月3日出现一次“木星冲日”。已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。则下列说法正确的是()A.下一次的“木星冲日”时间在2024年B.下一次的“木星冲日”时间在2026年C.木星运行的加速度比地球的大D.木星运行的周期比地球的大答案AD解析地球公转周期T1＝1年，由eq\f(req\o\al(3,1),Teq\o\al(2,1))＝eq\f(req\o\al(3,2),Teq\o\al(2,2))可知，木星公转周期T2＝eq\r(125)T1≈11.2年，设经时间t，再次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝eq\f(2π,T1)，ω2＝eq\f(2π,T2)，解得t≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2024年底，故A正确，B错误；设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a，由牛顿第二定律可得Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(4π2,T2)r，解得a＝eq\f(GM,r2)，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C错误，D正确。4.(多选)(2024·广东东莞联考)我国的北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星共30颗卫星组成。如图10所示，A、C为地球静止轨道卫星，B为在赤道平面的中圆地球轨道卫星，绕行方向均与地球自转方向一致。已知地球自转周期为T1，卫星B的运行周期为T2，图示时刻，卫星A与卫星B相距最近。下列说法正确的是()图10A.卫星A、B、C的向心加速度的大小关系为aA＝aC<aBB.卫星C向后喷气加速可沿圆轨道追上卫星AC.经过时间eq\f(T1T2,T1－T2)，卫星A与卫星B又一次相距最近D.卫星A、C的发射速度小于第一宇宙速度答案AC解析根据Geq\f(Mm,r2)＝ma，得a＝Geq\f(M,r2)，由题图可知rA＝rC>rB，则aA＝aC<aB，A正确；卫星C向后喷气加速做离心运动，不能追上同轨道的卫星A，B错误；根据eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T2)－\f(2π,T1)))t＝2π，卫星A与卫星B又一次相距最近的时间间隔为t＝eq\f(T1T2,T1－T2)，C正确；第一宇宙速度是最小发射速度，则卫星A、C的发射速度大于第一宇宙速度，D错误。A级基础对点练对点练1卫星的变轨和对接问题1.(多选)(2023·海南卷，9)如图1所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前、后的轨道，下列说法正确的是()图1A.飞船从1轨道变到2轨道要点火加速B.飞船在1轨道的周期大于在2轨道的周期C.飞船在1轨道的速度大于在2轨道的速度D.飞船在1轨道的加速度大于在2轨道的加速度答案ACD解析飞船从低轨道向高轨道变轨时，需要点火加速，A正确；由“高轨低速大周期”的运动规律可知，飞船在1轨道上的线速度、角速度、向心加速度均大于在2轨道上的，周期小于在2轨道上的，B错误，C、D正确。2.在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道近似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是()A.卫星的动能逐渐减小B.由于地球引力做正功，引力势能一定减小C.由于稀薄气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变D.卫星克服稀薄气体阻力做的功等于引力势能的减小量答案B解析在卫星轨道半径变小的过程中，地球引力做正功，引力势能一定减小，卫星轨道半径变小，动能增大，由于稀薄气体阻力做负功，机械能减小，选项A、C错误，B正确；根据动能定理，卫星动能增大，卫星克服稀薄气体阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减小量，所以卫星克服稀薄气体阻力做的功小于引力势能的减小量，选项D错误。3.如图2所示，神舟十七号载人飞船与天和核心舱对接前飞船经B点由椭圆轨道Ⅰ变轨至圆形轨道Ⅱ，A、B两点分别为轨道Ⅰ的近地点和远地点，已知引力常量G，地球质量M，B点到地心的距离为rB。下列说法正确的是()图2A.飞船在轨道Ⅰ上从A点运行到B点的过程中速率变大B.飞船在轨道Ⅰ上经过B点时的速率vB>eq\r(\f(GM,rB))C.飞船在轨道Ⅰ上经过B点时需点火减速才能实现变轨D.飞船在轨道Ⅱ上运行时的机械能大于在轨道Ⅰ上运行时的机械能答案D解析根据开普勒第二定律可知，飞船在轨道Ⅰ上从A点运行到B点的过程中速率变小，故A错误；若在轨道Ⅱ上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,req\o\al(2,B))＝meq\f(veq\o\al(2,B),rB)，解得vB＝eq\r(\f(GM,rB))，飞船在轨道Ⅰ上经过B点需加速才能进入轨道Ⅱ，所以飞船在轨道Ⅰ上经过B点时的速率vB<eq\r(\f(GM,rB))，故B错误；飞船在轨道Ⅱ上的半径大于轨道Ⅰ的半长轴，从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，在B点应点火加速，火箭对飞船做正功，机械能增加，故C错误，D正确。4.(2024·广东湛江一模)2023年10月26日，神舟十七号载人飞船与“天和核心舱”完成对接。对接过程的示意图如图3所示，“天和核心舱”处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十五号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与“天和核心舱”对接。则神舟十五号飞船()图3A.由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在A点减速B.沿轨道Ⅱ运行的周期为T2＝T1eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2r1,r1＋r3)))\s\up12(3))C.在轨道Ⅰ上A点的加速度大于在轨道Ⅱ上A点的加速度D.在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度答案D解析由低轨道进入高轨道需要点火加速，所以由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在A点加速，故A错误；根据开普勒第三定律，有eq\f(req\o\al(3,1),Teq\o\al(2,1))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r3,2)))\s\up12(3),Teq\o\al(2,2))，解得T2＝T1eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r3,2r1)))\s\up12(3))，故B错误；由万有引力公式可知，在轨道Ⅰ、Ⅱ上A点的合外力相同，加速度也相同，故C错误；由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需在B点加速，所以在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度，故D正确。5.(多选)(2024·福建福州模拟)2021年2月，天问一号火星探测器被火星捕获，经过系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图4所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积，下列说法正确的是()图4A.图中两阴影部分的面积不相等B.从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器周期变大C.从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器机械能变大D.探测器在P点的加速度大于在N点的加速度答案AD解析根据开普勒第二定律可知探测器在同一轨道上相等时间内与火星的连线扫过的面积相等，但是图中两阴影部分不在同一轨道，不相等，故A正确；根据开普勒第三定律可知，从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器的轨道半长轴变小，周期变小，故B错误；从“调相轨道”进入“停泊轨道”，探测器做向心运动，需要减速，探测器机械能变小，故C错误；根据公式eq\f(GMm,r2)＝ma可知探测器在P点的加速度大于在N点的加速度，故D正确。对点练2双星和多星模型6.(多选)(2024·安徽合肥模拟)如图5甲所示，河外星系中两黑洞A、B的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点O为圆心做匀速圆周运动。为研究方便，简化为如图乙所示的示意图，黑洞A、B均可看成球体，OA>OB。下列说法正确的是()图5A.黑洞A的运行线速度大小小于黑洞B的运行线速度大小B.若两黑洞间的距离一定，把黑洞B上的物质移到黑洞A上，他们之间的引力变大C.若两黑洞间的距离一定，把黑洞A上的物质移到黑洞B上，他们运行的周期变大D.人类要把航天器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，发射速度一定大于第三宇宙速度答案BD解析黑洞A、B运行的角速度相同，A的半径较大，则A的线速度较大，A错误；设它们相距为L，角速度为ω，根据eq\f(GM1M2,L2)＝M1ω2LOA，eq\f(GM1M2,L2)＝M2ω2LOB，可得M1<M2，则当B的质量减小，A的质量增加时，两个质量的乘积变大，故它们之间的引力变大，B正确；根据LOA＋LOB＝L，整理得ω＝eq\r(\f(G\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(M1＋M2)),L3))，根据T＝eq\f(2π,ω)可知角速度不变，周期不变，C错误；人类要把航天器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，必须冲出太阳系，所以发射速度一定大于第三宇宙速度，D正确。7.如图6所示为一个简化的直线三星系统模型。三个星球的质量均为m，a、b两个星球绕处于二者中心的星球c做半径为r的匀速圆周运动。已知引力常量为G，忽略其他星体对他们的引力作用，则下列说法正确的是()图6A.星球a做匀速圆周运动的加速度大小为eq\f(2Gm2,r2)B.星球a做匀速圆周运动的线速度大小为eq\r(\f(Gm,r))C.星球b做匀速圆周运动的周期为4πeq\r(\f(r3,5Gm))D.若因某种原因中心星球c的质量缓慢减小，则星球a、b的线速度均将缓慢增大答案C解析对于a星球，由牛顿第二定律可得Geq\f(m2,r2)＋Geq\f(m2,（2r）2)＝ma，故星球a做匀速圆周运动的加速度大小为a＝eq\f(5Gm,4r2)，A错误；由a＝eq\f(v2,r)，可得星球a做匀速圆周运动的线速度大小为v＝eq\r(\f(5Gm,4r))，B错误；由a＝eq\f(4π2,T2)r，可得星球a做匀速圆周运动的周期为T＝4πeq\r(\f(r3,5Gm))，由题意可知a与b的运行周期相同，C正确；若因某种原因中心星球c的质量缓慢减小，则星球a、b受到的引力将减小，会做离心运动，线速度将缓慢减小，D错误。对点练3天体中的追及相遇问题8.冲日是指某一外行星(火星、木星、土星、天王星、海王星、冥王星)于绕日公转过程中运行到与地球、太阳成一直线的状态，已知火星的公转周期约为地球公转周期的1.9倍，半径约为地球的一半，质量约为地球质量的eq\f(1,9)，现认为地球和火星在同一平面上、沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，下列说法中正确的是()A.火星冲日时间间隔约为两年零一个月B.火星与地球公转轨道半径之比约为6∶1C.火星与地球表面重力加速度之比约为2∶9D.火星与地球密度之比约为4∶9答案A解析由(ω地－ω火)t＝2π和T＝eq\f(2π,ω)，可得火星冲日时间间隔t＝eq\f(T地T火,T火－T地)＝2.1年，选项A正确；由开普勒第三定律可得eq\f(Teq\o\al(2,火),Teq\o\al(2,地))＝eq\f(req\o\al(3,火),req\o\al(3,地))，则火星与地球公转轨道半径之比约为3∶2，选项B错误；由g＝eq\f(GM,R2)，可得火星与地球表面重力加速度之比约为4∶9，选项C错误；由ρ＝eq\f(3M,4πR3)，可得火星与地球密度之比约为8∶9，选项D错误。9.(多选)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季时间是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为在同一平面上的匀速圆周运动，且绕行方向相同。下列说法正确的是()A.火星与地球距离最近时火星相对于地球的速度最小B.火星的运行轨道半径约为地球的1.88倍C.火星与地球相邻两次距离最近的时间间隔约为2.14年D.地球公转的线速度为火星公转线速度的1.88倍答案AC解析由于火星和地球运动的线速度大小不变，在距离最近处火星和地球速度方向相同，相对速度最小，故A正确；由题意可知，火星的公转周期约为地球公转周期的1.88倍，根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知火星的运行轨道半径不是地球的1.88倍，故B错误；设两次距离最近的时间间隔为t，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T地)－\f(2π,T火)))t＝2π，解得t＝2.14年，故C正确；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，结合B选项，可知火星的公转线速度小于地球的公转线速度，但不是1.88倍的关系，故D错误。B级综合提升练10.一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不因自转而瓦解的最小密度之比为()A.eq\f(T0,T) B.eq\f(T,T0) C.eq\f(Teq\o\al(2,0),T2) D.eq\f(T2,Teq\o\al(2,0))答案D解析对近地卫星，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T0)))eq\s\up12(2)R，地球的质量M＝ρ1·eq\f(4,3)πR3，联立解得ρ1＝eq\f(3π,GTeq\o\al(2,0))，以地球赤道处一质量为m0的物体为研究对象，只有当它受到的万有引力大于等于它随地球一起旋转所需的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为ρ2，则有Geq\f(Mm0,R2)＝m0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R，M＝ρ2·eq\f(4,3)πR3，联立解得ρ2＝eq\f(3π,GT2)，所以eq\f(ρ1,ρ2)＝eq\f(T2,Teq\o\al(2,0))，故D正确。11.“天问一号”探测器需要通过霍曼转移轨道从地球发送到火星，地球轨道和火星轨道看成圆形轨道，此时霍曼转移轨道是一个近日点M和远日点P分别与地球轨道、火星轨道相切的椭圆轨道(如图7所示)，在近日点短暂点火后“天问一号”进入霍曼转移轨道，接着“天问一号”沿着这个轨道运行直至抵达远日点，然后再次点火进入火星轨道。已知引力常量为G，地球轨道和火星轨道半径分别为r和R，地球、火星、“天问一号”运行方向都为逆时针方向。若只考虑太阳对“天问一号”的作用力，下列说法正确的是()图7A.“天问一号”在霍曼转移轨道由M点运动到P点过程中机械能增大B.两次点火喷射方向一次与速度方向相同，一次与速度方向相反C.“天问一号”在地球轨道上的线速度与在火星轨道上的线速度之比为eq\r(\f(R,r))D.“天问一号”运行过程中在转移轨道上P点的加速度与在火星轨道上P点的加速度之比为eq\f(R