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文档简介
敬业中学2024学年高三第一学期10月考试
数学试卷
(完卷时间:120分钟满分:150分)
考生注意:
1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷
上的解答一律无效;
2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚;
3.本试卷共21道试题,满分150分;考试时间120分钟.
一.填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)
1.若集合4={%1%—1<2/€阴,则AiN=.
【答案】{0,1,2}
【解析】
【分析】首先化简集合A,再根据交集的定义计算可得,
【详解】因为A={x|x—l<2,xeR}={x|x<3,xwR},N为自然数集,
所以AN={0,l,2}.
故答案为:{0,1,2}
2.若复数Z满足」一=』(i为虚数单位),则2=.
z—12
【答案】l+2i
【解析】
【分析】处理方程,即可求得z
【详解】因为一!一=L所以z—1=2"即z=l+2i
z-12
故答案为:1+2,
【点睛】本题考查复数的运算,属于基础题
3.已知圆C:/+y2=/与直线3%—4y+10=。相切,则圆。的半径厂=.
【答案】2
【解析】
|0+0+10|
【详解】试题分析:圆与直线相切,等价于圆心到直线的距离等于半径,所以。
y)32+41
考点:直线与圆相切
4.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点与双曲线:工一上=1的右焦点重合,则抛物线C的方程是
72
【答案】y2=Ux
【解析】
22
【详解】试题分析:由于双曲线:-乙=1中a2=7,b2=2,所以c=3,
72
从而它右焦点为(3,0),
所以抛物线C的方程是y=12x.
故答案为y'12x.
考点:圆锥曲线的方程.
5.在二项式(V-2)5的展开式中,x的一次项系数为.(用数字作答)
x
【答案】-80
【解析】
2
【详解】试题分析:二项式的通项4+1=6(炉广'(——y=(-2),C;x10-3r,410-3r=l,r=3,止匕时了的
一次项系数为(-2)3。;=-80.
考点:二项式定理.
6.已知一个圆柱的高为1,底面半径石,则它的侧面积的大小为
【答案】2遍兀
【解析】
【分析】根据圆柱的侧面积公式计算可得.
【详解】因为圆柱的高为1,底面半径6,
所以其侧面积S=2x71x6x1=2^3?1.
故答案为:267r
7.若a为第四象限角,且sin。=—工,贝Mana的值是.
3
【答案】一《2
4
【解析】
【分析】根据给定条件,利用同角公式计算即得.
【详解】由a为第四象限角,sin«=-1,得cosa=—sin2a=3—(J)?二当
匚匚2sina1v2
所以tan。=------=——产=-------.
cosa2,24
故答案为:监
4
JIJI
8.函数/OOnsin'Xme-,n的单调递增区间为
【答案】[3,可
【解析】
【分析】根据正弦函数的单调性求法结合给定闭区间求解.
717r7L
【详解】令2E——<-x<2hi+-,k^Z,
222
71
得4左一左+1,kcZ,又xe—,n,
故单调递增区间为[3,兀].
故答案为:[3,兀].
9.如图:在ZL4BC中,若AB=AC=3,cosZBAC=g,DC=2BD,则ADBC=
【解析】
【分析】用基底A3、AC表示向量AD和BC,然后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出
ATbBC的值.
[1O
【详解】AB=AC=3,cosABAC=-,AB-AC=|Afi|•|Ac|cosABAC=32x-=-.
UUUlUUIU,一,-\-12
QDC=2BD,即AC-A4D=2(AD-A3),..4£)=§40+5的BC=AC-AB>
(12Y\1.2122
因止匕,ADBC^^-AC+-AB\(AC-AB^-AC+-ABAC--AB
1-9223
33232
3
故答案为:—.
2
【点睛】本题考查三角形中数量积的计算,解题的关键就是选择合适的基底来表示问题所涉及的向量,考
查计算能力,属于中等题.
10.若甲、乙两人从6门课程中各选修3门,则甲、乙所选修的课程中至少有1门相同的选法种数为.
【答案】380
【解析】
【分析】分有1门相同、2门相同、3门相同三种情况讨论,利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计
算可得.
【详解】若甲、乙所选的课程有1门相同,贝I有©:*(2;乂(^=180种情况;
若甲、乙所选的课程有2门相同,贝U有©;*(2;*(2;=:180种情况;
若甲、乙所选的课程有3门相同,则有C:=20种情况;
综上可得甲、乙所选修的课程中至少有1门相同的选法种数为180+180+20=380.
故答案为:380
11.设a>0,函数/(x)=x+2(l-无)cos(at),XG(0,1),若函数y=2x—l与y=/(x)的图像有且
仅有一个公共点,则。的取值范围是
2兀4兀
【答案】T,T
【解析】
【分析】函数图形交点问题转化为方程解的问题,由余弦函数图像的性质即可得到参数的取值范围.
详解】由题意得2%—l=x+2(l—X)COS(G;)由且只有一个解,
则(x-l)[l+2cos(ox)]=0,又•:%£(0,1),
85(以)二一5有一个解,
12兀4兀
*/——=cos——=cos——
233
xG(0,1),orG(0,
12.已知QER,若存在定义域为R的函数/(%)满足下列两个条件:
①对任意x()eR,/(%o)e{x|x=%o,^eN*),②关于x的方程/(x)=a无实数解,
则a取值范围为
【答案】(—8,0)。(0,1)"1,+8)
【解析】
【分析】通过条件分析得出awO且awl,构造一个满足其要求的函数,即可得出答案.
【详解】考虑/(a),由关于x的方程/(x)=a无实数解,则=,
故aw0且awl,注意此为必要条件.
/、「羽xwa
同时构造出/(%)=2_是满足条件的函数,
X,X—CL
故ae(-oo,0)u(0,1)u(Ly)•
二.选择题(本题共有4题,满分18分,第13、14每题4分,第15、16每题5分)
13.已知。、Z?eR,若a<b,贝!1()
332
A.a<2bB.a<bC.ab<bD.a-'<b-'
【答案】B
【解析】
【分析】利用特殊值判断A、C、D,根据不等式性质判断B.
【详解】因为。、beR且。<占,
对于A:当。=一2,/?=-1时,满足但是a=2),故A错误;
对于B:因为丁=/在定义域R上单调递增,所以故B正确;
对于C:当a=—1,6=0时,满足a<b,但是0人=/=0,故c错误;
对于D:当a=l,Z?=2时,满足a</?,但是.t>8,故D错误.
故选:B
14.关于直线/,机及平面a,夕,下列命题中正确的是()
A.若/〃tz,a/?=根,则/mB.若/〃a,ma,则/〃
C若/_L。,m。,贝!j/J_mD.若/〃c,加_L/,则7”_La
【答案】C
【解析】
【分析】通过线面关系的判定即可得出结论.
【详解】A选项:/〃a,lu/3,a\/3=m,则/”故A选项错误;
B选项:若/〃a,ma,存在/m=A,/与加不一定平行,故B选项错误;
C选项:若/_La,则VZ?uJ_Z?;ma,则Elc^tz,坂7c,;./_Lc,c〃m,;.故C选项
正确;
D选项:若/〃cz,m工I,存在加ua或“7a,则不成立,故D选项错误.
故选:C
15."x=E+?(AeZ)”是“tanx=l”成立的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据正切函数的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当工=版+:(左eZ)时可得tanx=tan[E+:1=tan:=l,故充分性成立;
由tanx=l可得x=E+:(左eZ),故必要性成立;
所以"x=E+:(keZ)"是"tanx=l”成立的充要条件.
故选:C
16.已知函数〃尤)的定义域为。,值域为A,函数/(x)具有下列性质:⑴若》,”£>,则
f(x)
⑵若x,ye£>,则/(x)+/(y)eA.下列结论正确的是()
f(y)
2021
①存XG。,使得〃X)=谢;
②对任意XGD,都有/2(x)eA.
A.①②都正确B.①正确、②不正确C.②正确、①不正确D.①②都不正确
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得/(x)wO,从而推出leA,即可得至U2020eA,2021eA,即可判断①;再由
1
A,即可推导从而判断②.
“X)
f(x}
【详解】由⑴可知〃x)wO,令丁=不则今4=leA
f(x\1于(X)—产匚.
不妨令/(40)=1,则与WeA,即所以1V7,故②正确;
小)小).
由⑵若x,ye。,则/(x)+/(y)eA,所以/(%)+/伍)=2eA,
同理可得3,4,5,L,2020,2021均属于A,
故存在王右。,96。使得/(%)=2020,/(X2)=2021,所以4M=
J\\),uzu
2021
所以存在工使得了(%)=茄,故①正确.
故选:A
三.解答题(本大题共有5题,满分78分)
17.如图,四棱锥P-48co中,PA±^ABCD,AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=A,M为线段A。上
一点,AM=2MD,N为PC的中点.
p
5—后。
c
(I)证明MN〃平面PAB-,
(II)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
【答案】(I)详见解析;(II)典.
25
【解析】
【详解】(I)由已知得AM=2AO=2.
3
取的中点T,连接AT,7N,由N为PC中点知77V〃BC,TN=~BC=2.
2
又ADHBC,故TN11AM,TN=AM,四边形4VWT为平行四边形,于是MNAT.
因为ATu平面ALB,平面MB,所以"N//平面E钻.
(II)取5c的中点E,连结AE.由AB=AC得AEL3C,从而AE_LA£),
且AE=y/AB2-BE2=JAB2-
以A为坐标原点,的方向为了轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系IA-孙z.
由题意知,
尸(0,0,4),M(0,2,0),C(V5,2,0),N
PM=(0,2,-4),PN=,1,-2),AN=,L2).
设〃=(x,y,z)为平面RMV的一个法向量,则
2y—4z=0,
n-PM-0,
即
n,PN=。,——x+y-2z=0,
12'
可取〃=(0,2,1).
_8
于是|cos〈九,AN〉“,利君
ti\AN\25
【考点】空间线面间的平行关系,空间向量法求线面角.
【技巧点拨】(1)证明立体几何中的平行关系,常常是通过线线平行来实现,而线线平行常常利用三角形
的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证;(2)求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐
标系,利用空间向量中的夹角与距离来处理.
18.己知7ABe内角A&C的对边分别为。,4c,已知a=3,b=2c.
27r
(1)若A=y,求VABC的面积;
(2)若2sinB—sinC=l,求sinA.
【答案】(1)2®
14
(2)4^2+^/54y/2—^/5
9-9
【解析】
【分析】(1)利用余弦定理解得,的值,代入三角形面积公式即可的结果.
(2)由正弦定理得到sin氏sinC的关系,解出sin民sin。的值,分类讨论角5是否为锐角,利用和差角公
式计算出sinA的值.
【小问1详解】
1
2bc2
9
7
•*,s
ABC27214
【小问2详解】
*.*b=2c,由正弦定理可得sini3=2sinC
12
■:2sinB-sinC=LAsinC=-,sinB,
33
•:b=2c,5可能为锐角可能为钝角,。为锐角,
cosC=A/l-sin2C=
3
当B为锐角,cosB=A/1—sin2B=
3
sinCc°sB+c°sCsinB」x5+.」=ai
sinA=sin[兀-(C+B)]=sin(C+B)=
33339
当B为钝角,cosB=—Vl—sin2B=—
=sin-Csin或述反=谨壬
sinA=sin[兀一(C+8)]=sin(C+B)
33339
..“4后+2君世
••smA=--------------或-------—
99
19.已知双曲线C以耳(—2,0)、鸟(2,0)为焦点,且过点P(7,12)
(1)求双曲线C与其渐近线的方程
(2)若斜率为1的直线/与双曲线C相交于A3两点,且苏,而(。为坐标原点),求直线/的方程
【答案】(1)双曲线C的方程为必―1_=1;渐近线方程为y=±也x.(2)/方程为y=x±J§.
【解析】
【分析】(1)设出双曲线C方程,利用已知条件求出c,a,解得6,即可求出双曲线方程与渐近线的方程;
2
(2)设直线/的方程为y=x+/,将其代入方程――2L=i,通过△>(),求出/的范围,设A(xi,%),B
3
(垃,>2),利用韦达定理,通过的垃+以丁2=0,求解/即可得到直线方程.
【详解】(I)设双曲线C的方程为上=1(〃>0,Z?>0),半焦距为
则c=2,2a=|P耳卜|巡卜1的2+122―正+逐=2,a=l,
所以b2=c2-a2=3,
2
故双曲线c的方程为必―21=1.
3
双曲线C的渐近线方程为y=土瓜.
2
(2)设直线/的方程为y=x+r,将其代入方程好一乙=1,
3
可得2尤2-2tx-t2-3=0(*)
△=4p+8(P+3)=12P+24>0,若设A(xi,yi),B(必”),
/2+3
则Xl,x2是方程(*)的两个根,所以芯+%2=%,X1X2-----—,
又由Q4_LQB,可知的检+丁1丁2=。,
即X1X2+(X1+/)(垃+力=0,可得+%(%+%2)+/=0,
故-(5+3)+-=0,解得/=±若,
所以直线/方程为y=x±百.
【点睛】本题考查双曲线的方程的求法,双曲线的简单性质的应用,直线与双曲线的位置关系的综合应
用,考查计算能力.
20.已知函数/(x)=竺詈二其中。是常数.
x+a
(1)若。>0,判断函数/(九)的奇偶性,并说明理由;
(2)若且函数/(可在(1,y)严格单调减,求实数。的最大值;
(3)若/(l)=g,且不等式对一切实数。恒成立,求实数f的取值范围.
【答案】(1)非奇非偶,理由见解析
(2)2(3)2--j3<t<2+-j3
【解析】
【分析】⑴当0=1时,根据奇偶函数的定义和/⑴W4—1)、+1)/0即可判断了(九)的奇偶
性;
(2)根据单调函数的定义可得斗々+(。-1)(三+々)>/,即。+("1)・221,解之即可求解;
(3)由题意可得/(x)=—j—,由(1)(2),结合函数奇偶性和单调性解不等式即可.
X+1
【小问1详解】
当。=1时,/(x)=-5—,则/(一)=—丁7=—/(乃,
X十1X十J.
所以“X)是奇函数;
当。>0且awl时,/(1)==J(T)=三,/⑴
a+1a+177
且/(1)+/(-1)^0,此时了(力是非奇非偶函数.
【小问2详解】
(x-%i)[/-axx+x)]
任取工2〉石〉1,有/(*2)-/(占)=2r22
(x;+〃)
2
因止匕"—axxx2—(a—l)(xj+x2)<0恒成立,即axxx2+(«—l)(xj+x2)>a,
因为〃21,玉A:2>L石+W>2,只需a+-1)•2N,即1<Q<2,
因此。的最大值为2;
【小问3详解】
/(1)="=:,因此a=l,贝U/GbYv,
由⑴(2)知/(%)是奇函数,且在(7—1)、(1,+8)上单调递减,在(—1,1)上单调递增,
所以此时/(%)的值域为一J,;,所以一1(号<1,
又因为-1<
所以不等式,扃M等>。=落+等2
由于cos0最小值为一1,
所以告一2。,解得2-6"2+行
21.若函数/'(x)=0,xeR的导函数y=/'(x),xeR是以T(T/0)为周期的函数,则称函数
y=/(x),xeR具有“T性质”.
(1)试判断函数>=必和丁=5亩工是否具有“2兀性质”,并说明理由;
(2)已知函数y=〃(x),其中/z(x)=or2+fer+2siiifer(0<b<3)具有“兀性质”,求函数y=〃(x)在[0,兀]上的
极小值点;
(3)若函数y=/(%),%eR具有“丁性质”,且存在实数M>0使得对任意xeR都有|/(x)|<M成立,
求证:y=/(%),%eR为周期函数.
(可用结论:若函数y=/(%),%eR的导函数满足/'(x)=O,xeR,则/(x)=C(常数).
【答案】(1)>=好不具有“2兀",y=sinx具有,理由见解析;
、2兀
(2)——;
3
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】⑴求出导数分别计算/'(0)、/'(2兀)、g'(x)=cosx,g'(x+2兀)即可判断;
✓77T
(2)根据九⑺具有“兀性质”,得至!J"(%+兀)=〃(%),从而得到cos"—cos"(X+2=:对xwR恒成立,
b
jr
可以通过赋值x=0和尤或者利用和差化积公式,得到关于。和6的关系式解出。、b,从而得到八(久)的
b
解析式,进而通过分析导数的正负得到h(x)在[。,旭上的极小值点;
(3)设g(x)=/(x+T)-/⑴,因为函数/(%)具有"T性质",所以g(x)=/(x+T)-/(x)=c,分
。=0和cwO两种情况讨论,当。=0时/(%)为周期函数,当cwO时,由/(如。=/(0)+成,令
及2四二詈或“二+i,都能推出/⑺,”,与/(%)<”矛盾,从而得到/⑴为周期函数.
【小问1详解】
y(x)=x2不具有“2兀性质”.因为/'(x)=2x,/'(2兀)一/'(0)=4兀-0=4兀/0,所以
/'(2兀)彳/'(0);
g(x)=sinx具有"2兀性质".因为g'(x)=cosx,g'(x+27i:)=cos(x+27r)=cosx=g'(x).
【小问2详解】
法一:h\x)=2ax+Z?+2Z?cosZzx(O<Z?<3),
因为w>)具有“兀性质”,所以“a+7i)=〃(%),即
2Q(x+7i)+〃+2Z?cos/?(x+7i)=2m:+6+2/?cos/?x,
整理得cosbx-cosZ?(x+兀)=—对尤£R恒成立.
b
*c/口<iarc/人兀,口<iajc/"—
令%=0,得1—COSZ?TI=一①;令元=—,得一l+cosZm=一②.
bbb
r\
由①+②得网=0,因此a=0,从而cosfer=cos(fox+碗)恒成立.
b
所以初i=2E即有人=2左,左eZ,由0<Z?v3得b=2,所以//(%)=2+4cos2%,
TT9TT
当xe[0,兀]时,令1(%)=。得工=—,x=—,列表如下:
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