上海市某中学2024-2025学年高三年级上册10月月考数学试卷（解析版）

敬业中学2024学年高三第一学期10月考试

数学试卷

（完卷时间：120分钟满分：150分）

考生注意：

1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷

上的解答一律无效；

2.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；

3.本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟.

一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1.若集合4={%1%—1<2/€阴，则AiN=.

【答案】{0,1,2}

【解析】

【分析】首先化简集合A,再根据交集的定义计算可得，

【详解】因为A={x|x—l<2,xeR}={x|x<3,xwR},N为自然数集，

所以AN={0,l,2}.

故答案为：{0,1,2}

2.若复数Z满足」一=』（i为虚数单位），则2=.

z—12

【答案】l+2i

【解析】

【分析】处理方程，即可求得z

【详解】因为一!一=L所以z—1=2"即z=l+2i

z-12

故答案为：1+2，

【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题

3.已知圆C：/+y2=/与直线3%—4y+10=。相切，则圆。的半径厂=.

【答案】2

【解析】

|0+0+10|

【详解】试题分析：圆与直线相切，等价于圆心到直线的距离等于半径，所以。

y)32+41

考点：直线与圆相切

4.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：工一上=1的右焦点重合，则抛物线C的方程是

72

【答案】y2=Ux

【解析】

22

【详解】试题分析：由于双曲线：-乙=1中a2=7,b2=2,所以c=3,

72

从而它右焦点为(3,0),

所以抛物线C的方程是y=12x.

故答案为y'12x.

考点：圆锥曲线的方程.

5.在二项式(V-2)5的展开式中，x的一次项系数为.(用数字作答)

x

【答案】-80

【解析】

2

【详解】试题分析：二项式的通项4+1=6(炉广'(——y=(-2),C；x10-3r,410-3r=l,r=3,止匕时了的

一次项系数为(-2)3。；=-80.

考点：二项式定理.

6.已知一个圆柱的高为1,底面半径石，则它的侧面积的大小为

【答案】2遍兀

【解析】

【分析】根据圆柱的侧面积公式计算可得.

【详解】因为圆柱的高为1,底面半径6，

所以其侧面积S=2x71x6x1=2^3?1.

故答案为：267r

7.若a为第四象限角，且sin。=—工，贝Mana的值是.

3

【答案】一《2

4

【解析】

【分析】根据给定条件，利用同角公式计算即得.

【详解】由a为第四象限角，sin«=-1,得cosa=—sin2a=3—(J)?二当

匚匚2sina1v2

所以tan。=------=——产=-------.

cosa2,24

故答案为：监

4

JIJI

8.函数/OOnsin'Xme-,n的单调递增区间为

【答案】［3,可

【解析】

【分析】根据正弦函数的单调性求法结合给定闭区间求解.

717r7L

【详解】令2E——<-x<2hi+-,k^Z,

222

71

得4左一左+1,kcZ,又xe—,n,

故单调递增区间为［3,兀］.

故答案为：［3,兀］.

9.如图：在ZL4BC中，若AB=AC=3,cosZBAC=g,DC=2BD，则ADBC=

【解析】

【分析】用基底A3、AC表示向量AD和BC，然后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出

ATbBC的值.

[1O

【详解】AB=AC=3,cosABAC=-,AB-AC=|Afi|•|Ac|cosABAC=32x-=-.

UUUlUUIU，一,-\-12

QDC=2BD，即AC-A4D=2(AD-A3),..4£)=§40+5的BC=AC-AB>

(12Y\1.2122

因止匕，ADBC^^-AC+-AB\(AC-AB^-AC+-ABAC--AB

1-9223

33232

3

故答案为：—.

2

【点睛】本题考查三角形中数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示问题所涉及的向量，考

查计算能力，属于中等题.

10.若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中至少有1门相同的选法种数为.

【答案】380

【解析】

【分析】分有1门相同、2门相同、3门相同三种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计

算可得.

【详解】若甲、乙所选的课程有1门相同，贝I有©：*(2；乂(^=180种情况；

若甲、乙所选的课程有2门相同，贝U有©；*(2；*(2；=：180种情况；

若甲、乙所选的课程有3门相同，则有C：=20种情况;

综上可得甲、乙所选修的课程中至少有1门相同的选法种数为180+180+20=380.

故答案为：380

11.设a>0,函数/(x)=x+2(l-无)cos(at),XG(0,1),若函数y=2x—l与y=/(x)的图像有且

仅有一个公共点，则。的取值范围是

2兀4兀

【答案】T,T

【解析】

【分析】函数图形交点问题转化为方程解的问题，由余弦函数图像的性质即可得到参数的取值范围.

详解】由题意得2%—l=x+2(l—X)COS(G;)由且只有一个解,

则（x-l）［l+2cos（ox）］=0,又•:%£（0,1）,

85（以）二一5有一个解，

12兀4兀

*/——=cos——=cos——

233

xG（0,1）,orG（0,

12.已知QER,若存在定义域为R的函数/(%)满足下列两个条件：

①对任意x()eR,/(%o)e{x|x=%o，^eN*),②关于x的方程/(x)=a无实数解，

则a取值范围为

【答案】(—8,0)。(0,1)"1,+8)

【解析】

【分析】通过条件分析得出awO且awl,构造一个满足其要求的函数，即可得出答案.

【详解】考虑/(a),由关于x的方程/(x)=a无实数解，则=,

故aw0且awl,注意此为必要条件.

/、「羽xwa

同时构造出/(%)=2_是满足条件的函数，

X,X—CL

故ae(-oo,0)u(0,1)u(Ly)•

二.选择题(本题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，第15、16每题5分)

13.已知。、Z?eR,若a<b,贝!1()

332

A.a<2bB.a<bC.ab<bD.a-'<b-'

【答案】B

【解析】

【分析】利用特殊值判断A、C、D,根据不等式性质判断B.

【详解】因为。、beR且。<占，

对于A：当。=一2,/?=-1时，满足但是a=2），故A错误;

对于B：因为丁=/在定义域R上单调递增，所以故B正确；

对于C：当a=—1,6=0时，满足a<b,但是0人=/=0，故c错误；

对于D：当a=l,Z?=2时，满足a</?,但是.t>8，故D错误.

故选：B

14.关于直线/,机及平面a,夕，下列命题中正确的是（）

A.若/〃tz,a/?=根，则/mB.若/〃a,ma,则/〃

C若/_L。，m。，贝!j/J_mD.若/〃c,加_L/,则7”_La

【答案】C

【解析】

【分析】通过线面关系的判定即可得出结论.

【详解】A选项：/〃a,lu/3,a\/3=m,则/”故A选项错误；

B选项：若/〃a,ma,存在/m=A,/与加不一定平行，故B选项错误；

C选项：若/_La,则VZ?uJ_Z?；ma,则Elc^tz，坂7c,；./_Lc,c〃m，；.故C选项

正确；

D选项：若/〃cz,m工I,存在加ua或“7a,则不成立，故D选项错误.

故选：C

15."x=E+?（AeZ）”是“tanx=l”成立的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据正切函数的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】当工=版+：（左eZ）时可得tanx=tan[E+：1=tan：=l,故充分性成立；

由tanx=l可得x=E+：（左eZ）,故必要性成立；

所以"x=E+:(keZ)"是"tanx=l”成立的充要条件.

故选：C

16.已知函数〃尤)的定义域为。，值域为A,函数/(x)具有下列性质：⑴若》,”£>,则

f(x)

⑵若x,ye£>,则/(x)+/(y)eA.下列结论正确的是()

f(y)

2021

①存XG。，使得〃X)=谢；

②对任意XGD,都有/2(x)eA.

A.①②都正确B.①正确、②不正确C.②正确、①不正确D.①②都不正确

【答案】A

【解析】

【分析】依题意可得/(x)wO,从而推出leA，即可得至U2020eA,2021eA,即可判断①；再由

1

A,即可推导从而判断②.

“X)

f(x}

【详解】由⑴可知〃x)wO,令丁=不则今4=leA

f(x\1于(X)—产匚.

不妨令/(40)=1，则与WeA,即所以1V7,故②正确;

小)小).

由⑵若x,ye。，则/(x)+/(y)eA,所以/(%)+/伍)=2eA,

同理可得3,4,5,L,2020,2021均属于A,

故存在王右。，96。使得/(%)=2020,/(X2)=2021,所以4M=

J\\)，uzu

2021

所以存在工使得了(%)=茄，故①正确.

故选：A

三.解答题(本大题共有5题，满分78分)

17.如图，四棱锥P-48co中，PA±^ABCD,AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=A,M为线段A。上

一点，AM=2MD,N为PC的中点.

p

5—后。

c

(I)证明MN〃平面PAB-,

（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

【答案】（I）详见解析；（II）典.

25

【解析】

【详解】（I）由已知得AM=2AO=2.

3

取的中点T,连接AT,7N,由N为PC中点知77V〃BC,TN=~BC=2.

2

又ADHBC,故TN11AM,TN=AM，四边形4VWT为平行四边形，于是MNAT.

因为ATu平面ALB,平面MB,所以"N//平面E钻.

(II)取5c的中点E,连结AE.由AB=AC得AEL3C,从而AE_LA£),

且AE=y/AB2-BE2=JAB2-

以A为坐标原点，的方向为了轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系IA-孙z.

由题意知,

尸(0,0,4),M(0,2,0),C(V5,2,0),N

PM=(0,2,-4),PN=,1,-2)，AN=,L2).

设〃=（x,y,z）为平面RMV的一个法向量，则

2y—4z=0,

n-PM-0,

即

n,PN=。,——x+y-2z=0,

12'

可取〃=(0,2,1).

_8

于是|cos〈九,AN〉“,利君

ti\AN\25

【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角.

【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形

的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐

标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理.

18.己知7ABe内角A&C的对边分别为。，4c,已知a=3,b=2c.

27r

（1）若A=y,求VABC的面积；

（2）若2sinB—sinC=l,求sinA.

【答案】（1）2®

14

（2）4^2+^/54y/2—^/5

9-9

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理解得，的值，代入三角形面积公式即可的结果.

（2）由正弦定理得到sin氏sinC的关系，解出sin民sin。的值，分类讨论角5是否为锐角，利用和差角公

式计算出sinA的值.

【小问1详解】

1

2bc2

9

7

•*,s

ABC27214

【小问2详解】

*.*b=2c,由正弦定理可得sini3=2sinC

12

■:2sinB-sinC=LAsinC=-,sinB,

33

•:b=2c,5可能为锐角可能为钝角，。为锐角,

cosC=A/l-sin2C=

3

当B为锐角，cosB=A/1—sin2B=

3

sinCc°sB+c°sCsinB」x5+.」=ai

sinA=sin[兀-(C+B)]=sin(C+B)=

33339

当B为钝角，cosB=—Vl—sin2B=—

=sin-Csin或述反=谨壬

sinA=sin[兀一(C+8)]=sin(C+B)

33339

..“4后+2君世

••smA=--------------或-------—

99

19.已知双曲线C以耳(—2,0)、鸟(2,0)为焦点，且过点P(7,12)

(1)求双曲线C与其渐近线的方程

(2)若斜率为1的直线/与双曲线C相交于A3两点，且苏,而(。为坐标原点)，求直线/的方程

【答案】(1)双曲线C的方程为必―1_=1；渐近线方程为y=±也x.(2)/方程为y=x±J§.

【解析】

【分析】(1)设出双曲线C方程，利用已知条件求出c,a,解得6,即可求出双曲线方程与渐近线的方程;

2

(2)设直线/的方程为y=x+/,将其代入方程――2L=i,通过△>(),求出/的范围，设A(xi,%),B

3

(垃，>2),利用韦达定理，通过的垃+以丁2=0,求解/即可得到直线方程.

【详解】(I)设双曲线C的方程为上=1(〃>0,Z?>0),半焦距为

则c=2,2a=|P耳卜|巡卜1的2+122―正+逐=2,a=l,

所以b2=c2-a2=3,

2

故双曲线c的方程为必―21=1.

3

双曲线C的渐近线方程为y=土瓜.

2

(2)设直线/的方程为y=x+r,将其代入方程好一乙=1,

3

可得2尤2-2tx-t2-3=0(*)

△=4p+8(P+3)=12P+24>0,若设A(xi,yi),B(必”)，

/2+3

则Xl,x2是方程(*)的两个根，所以芯+%2=%，X1X2-----—，

又由Q4_LQB，可知的检+丁1丁2=。，

即X1X2+(X1+/)(垃+力=0,可得+%(%+%2)+/=0，

故-(5+3)+-=0,解得/=±若，

所以直线/方程为y=x±百.

【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的综合应

用，考查计算能力.

20.已知函数/(x)=竺詈二其中。是常数.

x+a

(1)若。>0,判断函数/(九)的奇偶性，并说明理由；

(2)若且函数/(可在(1,y)严格单调减，求实数。的最大值；

(3)若/(l)=g,且不等式对一切实数。恒成立，求实数f的取值范围.

【答案】(1)非奇非偶，理由见解析

(2)2(3)2--j3<t<2+-j3

【解析】

【分析】⑴当0=1时，根据奇偶函数的定义和/⑴W4—1)、+1)/0即可判断了(九)的奇偶

性;

(2)根据单调函数的定义可得斗々+(。-1)(三+々)>/，即。+("1)・221，解之即可求解;

(3)由题意可得/(x)=—j—,由(1)(2),结合函数奇偶性和单调性解不等式即可.

X+1

【小问1详解】

当。=1时，/(x)=-5—,则/(一)=—丁7=—/(乃，

X十1X十J.

所以“X)是奇函数；

当。>0且awl时，/(1)==J(T)=三，/⑴

a+1a+177

且/(1)+/(-1)^0,此时了(力是非奇非偶函数.

【小问2详解】

(x-%i)[/-axx+x)]

任取工2〉石〉1，有/(*2)-/(占)=2r22

(x；+〃)

2

因止匕"—axxx2—(a—l)(xj+x2)<0恒成立，即axxx2+(«—l)(xj+x2)>a,

因为〃21,玉A：2>L石+W>2,只需a+-1)•2N,即1<Q<2,

因此。的最大值为2;

【小问3详解】

/(1)="=:，因此a=l,贝U/GbYv，

由⑴(2)知/(%)是奇函数，且在(7—1)、(1,+8)上单调递减，在(—1,1)上单调递增,

所以此时/(%)的值域为一J,；,所以一1(号<1,

又因为-1<

所以不等式，扃M等>。=落+等2

由于cos0最小值为一1,

所以告一2。，解得2-6"2+行

21.若函数/'(x)=0,xeR的导函数y=/'(x),xeR是以T(T/0)为周期的函数，则称函数

y=/(x),xeR具有“T性质”.

(1)试判断函数>=必和丁=5亩工是否具有“2兀性质”，并说明理由;

(2)已知函数y=〃(x),其中/z(x)=or2+fer+2siiifer(0<b<3)具有“兀性质”,求函数y=〃(x)在［0,兀］上的

极小值点；

(3)若函数y=/(%),%eR具有“丁性质”，且存在实数M>0使得对任意xeR都有|/(x)|<M成立，

求证：y=/(%),%eR为周期函数.

(可用结论：若函数y=/(%),%eR的导函数满足/'(x)=O,xeR,则/(x)=C(常数).

【答案】(1)>=好不具有“2兀"，y=sinx具有，理由见解析；

、2兀

(2)——；

3

(3)证明见解析.

【解析】

【分析】⑴求出导数分别计算/'(0)、/'(2兀)、g'(x)=cosx,g'(x+2兀)即可判断;

✓77T

(2)根据九⑺具有“兀性质”，得至！J"(%+兀)=〃(%),从而得到cos"—cos"(X+2=:对xwR恒成立，

b

jr

可以通过赋值x=0和尤或者利用和差化积公式，得到关于。和6的关系式解出。、b,从而得到八(久)的

b

解析式，进而通过分析导数的正负得到h(x)在［。,旭上的极小值点；

(3)设g(x)=/(x+T)-/⑴，因为函数/(%)具有"T性质"，所以g(x)=/(x+T)-/(x)=c,分

。=0和cwO两种情况讨论，当。=0时/(%)为周期函数，当cwO时，由/(如。=/(0)+成，令

及2四二詈或“二+i,都能推出/⑺,”,与/(%)<”矛盾，从而得到/⑴为周期函数.

【小问1详解】

y(x)=x2不具有“2兀性质”.因为/'(x)=2x,/'(2兀)一/'(0)=4兀-0=4兀/0,所以

/'(2兀)彳/'(0)；

g(x)=sinx具有"2兀性质".因为g'(x)=cosx,g'(x+27i:)=cos(x+27r)=cosx=g'(x).

【小问2详解】

法一：h\x)=2ax+Z?+2Z?cosZzx(O<Z?<3),

因为w>)具有“兀性质”，所以“a+7i)=〃(％),即

2Q(x+7i)+〃+2Z?cos/?(x+7i)=2m:+6+2/?cos/?x,

整理得cosbx-cosZ?(x+兀)=—对尤£R恒成立.

b

*c/口<iarc/人兀,口<iajc/"—

令％=0,得1—COSZ?TI=一①；令元=—,得一l+cosZm=一②.

bbb

r\

由①+②得网=0,因此a=0,从而cosfer=cos(fox+碗)恒成立.

b

所以初i=2E即有人=2左，左eZ,由0<Z?v3得b=2,所以//(%)=2+4cos2%,

TT9TT

当xe［0,兀］时，令1(％)=。得工=—,x=—,列表如下：