三次函数的图像与性质（4大题型）-2025年高考数学复习热点题型专项训练（原卷版）

i重难题型•解题技巧攻略

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专题03三次函数的图像与性质

♦>-----------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01三次函数的零点.........................................................................1

题型02三次函数的极值、极值点................................................................3

题型03三次函数的切线.........................................................................4

题型04三次函数的对称性.......................................................................6

♦>-----------题型探析,明规律-----------O

题型01三次函数的零点

【解题规律•提分快招】

一、三次函数概念

定义：形如/(久)=ax3+bx2+ex+d(aW0)叫做三次函数

/(x)=3ax2+2bx+c,把4=4Z?2—12ac叫做三次函数导函数的判别式

22

人,-b-b-3ac-b+lb-3ac

当4>。时,令/(x)=0,记两根为%1=——---,々=——纥----

二、三次函数的零点个数

若三次函数/(%)=+b%2+c%+d(aH0)存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下:

三次函数图像

性质说明

a>0a<0

零1\Kb2—3ac>0

点三一八)一fN),f(久2)<0

个个(v

\/\\两个极值异与

数TXT

图像与久轴有三个交点

【典例训练】

一、单选题

1.（24-25高三上•辽宁・期中）已知函数/（£）=三+依2+云+。的三个零点分别为1,4，%2（0<^<%2）,若

函数满足/（2X+1）=-〃1-2X）,则/（3）的取值范围为（）

A.[2,4]B.（4,6）C.（6,8）D.[4,8]

二、多选题

2.（24-25高三上•辽宁沈阳•期中）已知函数/（无）=*3一依+2（aeR）,则（）

a

A.〃-2)+〃2)=4B.若。>0,则/'（x）的极大值点为x=

C.若f（x）至少有两个零点，则。23D.f（x）在区间上单调递增

3.（24-25高三上・甘肃兰州•阶段练习）已知三次函数/（耳=依3+凉+B+4有三个不同的零点

xl,x2,x3（xl<x2<x3）,函数g（x）=/（x）T也有三个零点Hz%,<%<4），则（）

A.b2>3ac

b

B.若为，％/3成等差数列，则％2=-丁

3a

C.M+%<%+J

D.%；+君+君二4+名+/

三、填空题

x3+3x2-2,x<0,

4.（24-25高三上广东•阶段练习）已知〃龙）=出九八若函数g（%）=/（x）-机有两个零点，则加

-----,x>0,

、兀

的取值范围为

5.（0分）（24-25高三上•天津•阶段练习）已知函数/（力=1一2彳，尤若方程〃力+/（_句=0有且仅

Ix+a,x>0

有两不等实根，则实数。的取值范围是.

题型02三次函数的极值、极值点

【解题规律•提分快招】

一、三次函数的图像及单调性

注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个!

系数关系式f(x)的图像/'(x)的图像f(x)的性质

a>0

f'M>o恒成立

{J<0

/(x)在R上递增

a>0

/(x)无极值点

{b2<3ac

a<0

f'M<o恒成立

{J<0

/(久)在R上递减

a<0

/(x)无极值

{b2<3ac

c

a>0增区间(一00,久J,3，+8)

上>0减区间(叼，久2)

a>0/(久)有两个极值点

极大值极小值f(%2)

{b2>Sac

a<0

增区间11，久2)

{d>0减区间(一8,久J,12，+8)

a<0/(久)有两个极值点

极大值f(%2)，极小值

{b2>3ac

【典例训练】

一、单选题

1.（2024・四川泸州•一模）已知函数〃尤）=Mx-4在尤=1处取得极大值，则。的值是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（24-25高三上・吉林长春•阶段练习）若x=0是函数/（x）=；V-；卜+（/+°口一1的极小值点，则

F。）的极大值为（）

A.-B.-C.--D.--

6336

3.（24-25高三上•辽宁•阶段练习）已知函数=d-2ox2+bx+c（a,已ceR）,/'（x）是的导函数,

则下列说法错误的是（）

A.“a=c=0”是“〃力为奇函数”的充要条件

B."4=6=0”是“〃x）为增函数”的充要条件

C.若不等式〃耳＜。的解集为何无＜1且XN-1},则“X）的极小值为-II

D.若毛、%是方程尸（x）=0的两个不同的根，且不+『=1,贝物＜0或。＞3

二、多选题

4.（24-25高三上•江西南昌•阶段练习）已知函数〃尤）=（x-a）“x-6）（a＜6）,2为，（无）的极大值点，则下

列结论正确的有（）

A.a=2

B.若4为函数了。）的极小值点，则b=4

C.若/（x）在（看，“内有最小值，则6的取值范围是1|,+8）

D.若+4=0有三个互不相等的实数解，则6的取值范围是（5,+s）

5.（24-25高三上•江苏•阶段练习）已知三次函数/（x）=ax（x-b）2,贝|（）

A.函数/Xx）一定有两个极值点B.当。＜0＜8时，/（«）＞/（«+&）

C.当必＞0时，f（x）的极小值为0D.加力6艮“的在区间口切上的值域为.向

三、填空题

6.（0分）（24-25高三上•四川攀枝花•阶段练习）已知函数/（尤）=y3+—必+元+2两个极值点分别为椭

圆与双曲线的离心率，则实数机的取值范围是.

题型03三次函数的切线

【典例训练】

一、单选题

1.（23-24高三上•广东汕头•阶段练习）若过点（八〃）（机〉0）可作曲线y=V—3%三条切线，贝lj（）

A.n<—3mB.n>m3—3m

C.n=m3—3m或〃=—3mD.—3m<n<m3—3m

二、多选题

2.(24-25高三上•河北张家口•开学考试)已知函数/(x)=：尤3一依2+，，则()

36

A.。>0时，x=0是/'(x)的极大值点

B.若f(x)存在三个零点，则a>g

C.当。=0时，过点(0,0)可以作的切线，有且只有一条

1232022337

D.存在〃，使得/（——）+/（——）+/（」）+）=—

20232023202320232

3.(24-25高三上•广东广州•阶段练习)已知函数/(x)=；V+尤z+6+bQbeR),贝"()

A.a=-3时，若/(x)有3个零点，则实数6的取值范围是

B.。=6=0时，过(1,0)可作函数f(x)的切线有两条

C.若直线/与曲线>=/(元)有3个不同的交点4(%,%),3(%,%),C(w，%),S.\AB\=\AC\,则

玉+%+工3=3

D.若f(x)存在极值点％,且了(%)=〃占)，其中占，则%+2%+3=0

4.(24-25高三上•浙江•开学考试)三次函数〃x)=/+依2+x+l叙述正确的是()

A.函数〃x)可能只有一个极值点

B.当a=0时，函数〃x)的图象关于点(0,1)中心对称

C.当毛=-三时，过点(5,/(/))的切线可能有一条或者两条

D.当无0工-4时，在点(天,〃%))处的切线与函数y=〃x)的图象有且仅有两个交点

三、填空题

5.(23-24高三上.四川内江.期末)己知函数〃x)=-V+Zf-x+l,若过点尸(1J)可作曲线y=的三条

切线，贝"的取值范围是.

题型04三次函数的对称性

【解题规律•提分快招】

一、三次函数的韦达定理

设/(%)=a/+人/+,％+或。。0)的三个零点分别为%i，x2,%3,则

b

⑴叼+x2+x3=--

(2)叼2+X2X3+X3X1=；

⑶叼久2久3=-5

/八

(4)—1.I--1---.-1—1=--C

%]X2X3d

二、三次函数的对称性

结论1三次函数/（%）=+b%2+C%+d（QW0）的图象关于点（一》/（—勺）中心对称

结论2已知三次函数/（%）=ax3+bx2+c%+d（aW0）中心对称点的横坐标为%0,两个极值点分别为久j

久2,则"?二㈤=/［。）=_炎1-叼）2

结论3若y=/（X）图像关于点（zn,n）对称，则y=/0）图像关于轴尤=m对称

点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数

奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数

【典例训练】

一、多选题

1.（2024高三.全国.专题练习）（多选）已知函数/（x）=V—x+1,贝U（）

A.“X）有两个极值点B.“X）有三个零点

C.点（0,1）是曲线y=/（x）的对称中心D.直线y=2尤是曲线y=〃x）的切线

2.（24-25高三上•辽宁丹东•期中）设函数/（%）=（尤+2）2（犬-1）,则（）

A./（x）有三个零点B.x=O是/（x）的极小值点

C./（%）的图象关于点（T-2）对称D.当0<x<l时，/（x）>/（x2）

3.（24-25高三上•陕西汉中•阶段练习）设。eR,函数/。）=-/+办一2,则下列说法正确的有（）

A.当。<0时，函数/（尤）为增函数B.点（。,-2）为函数y=/（x）图象的对称中心

C.存在a,使得函数有且仅有一个极值点D.函数/（无）至少有一个零点

4.（24-25高三上•广西南宁•阶段练习）函数/（x）=gx3+依2+3》一1,则下列结论正确的是（）

A.当。=2时，函数y=〃尤）只有一个零点

B.若函数的对称中心为11,。，贝IU=—1

C.若函数〃尤）在[g,3]上为减函数，则

D.当a=-2时，设〃元）的三个零点分别为玉,马，W，曲线“X）在点（X，。），伍,0），（工,。）处的切线

,,111c

斜率分别记为K，k],k,则7+厂+厂=°

3/v|鼠2K3

二、解答题

5.（24-25高三上•辽宁•阶段练习）设函数〃x）=；x3一（2°+1）尤?+84元+32",其中a是常数.

⑴讨论了（X）的单调性；

⑵若x=l是函数〃尤）的极值点，证明：函数“X）的图象关于点成中心对称.

0---------------题型通关•冲高考-----------♦>

一、单选题

2-ax,x<1

1.（24-25高三上•福建龙岩•期中）已知函数/（尤）=133202八5若对任意玉<马，都

—X——ax+（2a+l）x——,x>l

[326

有/（%）一/（九2）〈石一无2，则实数〃的取值范围是（）

A.B.[1,+8）C.1-2,；D.1

2.（24-25高三上•四川•期中）已知实数〃满足2。+々=2,则函数/⑴=2d—3/+1—〃的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

3.（24-25高三上•湖南•阶段练习）已知函数〃x）J/-尤2+如，若/⑺的图象上存在两点A,B,使得“可

的图象在A,B处的切线互相垂直，且过点尸（0,-。）只能作1条切线与“X）的图象相切，则。的取值范围

是（）

C.卜D.1-“J（L+00）

二、多选题

4.（24-25高三上云南昆明・阶段练习）已知函数）7=/0）的导函数为37=90）,且8（尤）=彳3-3了+2,则（）

A.点（0,2）是曲线y=g（x）的对称中心B.函数g（x）有三个零点

C.函数“X）只有一个极值点D.当x+l＞0时，/（el）＞/（x+l）

5.（24-25高三上•湖南•阶段练习）已知函数/（力=加-乐+2,则（）

A.“X）的值域为R

B.图象的对称中心为（0,2）

C.当》—3。＞0时，在区间（一1,1）内单调递减

D.当必＞0时，“X）有两个极值点

6.（24-25高三上•广西•期中）已知函数〃x）=a/_3x+l,则（）

A.若a=l,则/（x）有三个零点B.若a＞0,则函数“X）存在2个极值点

C.〃尤）在曰』单调递减，则D.若〃"2。在曰』恒成立，则”4

7.（24-25高三上•江西•阶段练习）已知函数〃尤）=gd+