三角函数与解三角形-2025年高考数学考试易错题（新高考）

模块03三角函数与解三角形

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（24-25高三上•山东济宁•阶段练习）在三角形ABC中，a=2,A=^,b=2。则NC=（）

6

兀

A.—C4或4D,；或5

6,6^2

【答案】C

【分析】由正弦定理求得8,即可求解.

22右

ab

【详解】由可得：T-sinB>

sinAsinB

2

所以sinB=立，又b>a,

2

所以8或g,

结合内角和定理，所以/C=J或

62

故选：C

且贝!

2.（2024.海南.模拟预测）若兀）,cosa—sina=g,Jtana=()

A.2B.7c4+不

5533

【答案】D

3

【分析】先左右两边平方，得出sinacosa=f,再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值.

O

1/\21

【详解】因为cos。一sin。=5,所以（cosa-sina）=—,

13

即1一2sinacosa=—,所以sincrcostz=—,

48

sincrcos6r得tana3

所以3

sin261Z+cos2crl+tan2a8,

解得tana=4+且或tana=-——

33

因为a£(0,兀)，且cosa-sincr=g>°，

所以a”,：

，所以Ovtanavl,所以tana=、一"

3

故选：D.

3.(24-25高三上•安徽•阶段练习)已知角W亏,左eZj的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合,

终边经过点尸(tana,4),则知2。+1=()

cos2^+1

A.-9B.9-C.9二或1!D.9乙或1士

282288

【答案】C

4

【分析】由已知可得tana=——,可求得tana=±2,利用二倍角的正余弦公式可得

tan。

sm2a+111八、、口口一r

------------=tana+—+—tan2a,代入求值即可.

cos2a+122

【详解】因为戊工昼,女EZ,所以tanawO,

4

因为。的终边过点P(tana,4),所以tana=-------,解得tana=±2,

tan。

sin2cr+12sinacosa+cos2a+sin2a11

=7=tanaHF-tan2a,

cos2a+l------------2cos2戊-1+1-----------------------22

sin2a+111-29

当tana=2时,------------=2+-+-x22

cos2a+1222

sin2。+1

当tana=-2时,

cos2a+12

sin2a+19sin2cr+11

综上所述:------------——-------------——

cos2a+12cos2a+12

故选：C.

4.(24-25高三上・甘肃临夏・期末)将函数g(x)=2sin2x的图象向左平移刍个单位长度，再向下平移1个单

位长度得到函数/(x)的图象，则函数/(x)的()

一个对称中心为(II',0)D.

A.最大值为3B.最小值为-1C.一条对称轴为X

O

【答案】D

【分析】利用平移变换求得了。)的解析式，进而求得最值判断AB；求得对称中心与对称轴方程判断CD.

jr

【详解】函数g(x)=2sin2x的图象向左平移展个单位长度，

可得8。+心=25皿2(尤+3=25也卜+看］的图象，

又再向下平移1个单位长度得到函数/(》)的图象，所以/(x)=2sin12x+E)-l,

当sin12x+1=l时，/(%)_=!,故A错误；

当sin0Y）=-l时，/（无需=-3,故B错误;

兀得x=*g,keZ,所以函数/⑺的卜工+9，-1］,左eZ,

由2%+—=kji,kGZ,

6

当k=l时，/（X）的一个对称中心为一，-1,故C错误;

由2X+畀尹杭逐Z,得x4与所以/⑺的对称轴为Y+^eZ,

7T

当当上=0时，/（无）的一条对称轴为尤=/，故D正确.

6

故选：D.

5.（2024.河南.模拟预测）已知函数/（x）=tan（2x+：J,则下列说法正确的是（）

A.〃x）为奇函数B,在区间会,雪上单调递增

C./⑺图象的一个对称中心为］1,ojD.〃尤）的最小正周期为兀

【答案】C

【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.

【详解】因为"x）=tan［2x+。所以勿+扛瓶+不解得x吟+5,keZ

即函数的定义域不关于原点对称，所以/＞（X）不是奇函数，故A错误；

当苫=需时，2x+g=g,此时〃x）无意义，故〃切在区间「工，号］上单调递增不正确，故B错误；

当苫=工时，2x+g=g,正切函数无意义，故［卷,。］为函数的一个对称中心，故C正确；

TTJTTTTTI7T|TT

因为/（x+R=tan2（x+-）+-=tan（2x+-+7r）=tan2x+-=/（x）,故彳是函数的一个周期，故D错误.

故选：c

6.（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心0距离水面2米，已知

水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点尸从水中浮现时（图中点综）开始计时，则下列说法错误的

A.点尸第一次到达最高点需要20秒

B.当水轮转动155秒时，点P距离水面1米

C.当水轮转动50秒时，点尸在水面下方，距离水面2米

D.点尸距离水面的高度〃（米）与时间f（秒）之间的函数解析式为〃=4sin］二"三；+2

【答案】B

【分析】根据题意求出点P距离水面的高度〃（米）与时间t（秒）之间的函数解析式为〃=4sin（S-1］+2,

结合选项依次判断即可.

【详解】设点尸距离水面的高度为，（米）与时间/（秒）之间的函数解析式为々=Asin（初+协+5,

A〉0,o〉0jd<5

A+B=6A=4

由题意,解得，

-A+B=-2B=2

T=—=60,:.a)=y=^,则/z=4sin(4l+01+2.

当(=0时，/2=0,/.4sin^+2=0,则sin0=—g,

又网<\则0=_].

26

综上，〃=4sin(2f—[]+2,故D正确；

令…由舟-曾+2=6,则sin儒V.1,

若得，=20秒，故A正确；

3062

当，=155秒时，/z=4sin]三xl55-g]+2=4sin5兀+2=2米，故B不正确;

(306)

当/=50秒时，/?=4sin(1x50-2]+2=4sin=+2=-2米，故C正确.

故选：B.

7.（24-25高三上•湖南长沙•期末）若cos（a-£）=g,cos2e=噜，并且d尸均为锐角，且£＜尸，则a+尸

的值为（）

.兀c兀―3兀5兀

A.-B.-C.—D.

644~6

【答案】C

245,sin2a=3叵，再由两角差的余

［分析］根据同角三角函数之间的基本关系计算可得sin（。-⑶=•

一_§10

弦公式计算可得结果.

jrjr

【详解]由0<a<夕<,，可得一万<[―/?<0,

又cos(a-0)=^-,所以sin(a—>)=—J]—cos2(a-0、=-2f,

因为cos2a=Q<2a<TI,所以sin2a=Jl-cos?2a=,

1010

所以cos(a+⑶=cos[2a-(a-⑶]=cos2acos(cr-⑶+sin2asin(a-⑶

M非3M2A/5V2

=------X----------------X-------=--------,

1051052

47r

又因为a+，e(O,7i),所以a+/?=?.

故选：C

8.(2025高三•全国・专题练习)已知VABC的内角A,民C所对的边分别为a,4c,若

(c-a)sinA=csmC-bsmB,b^3,则AC边上中线长度的最大值为()

A30R4g「3上n4及

2323

【答案】C

【分析】根据正弦定理角化边得到〃+，—9=公，结合基本不等式得到"+，418,再由中线长公式求解.

【详解】(c-<2)sinA=csinC-Z?sinB,由正弦定理可得(c-a)a=，一〃，

1jr

即4+°2_〃=欧，贝I」cos5=5,二BG(0,^"),.,.B=—,

22

又6=3,所以/+°2-9=a，因为acW巴士二,当且仅当。=c=3时等号成立，

2

22

所以"+。2-94巴上J,则Y+C2418.

2

设AC边上中线的长度为力，则2八=与=,2(片+。2)一9W厉=3石,

所以AC边上中线长度的最大值为48.

2

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.(24-25高三上・吉林・期末)在VABC中，内角A,3,C所对的边分别为〃也c,已知。=3,b=2,sinB=sin2A,

则()

A.sinB=4^^B.cosA=—

93

C.c=3D•S=2\/2

【答案】ACD

【分析】由二倍角公式结合正弦定理的角化边公式求出cosAsinAsinBcosB,进而由和角公式得出

cosCsinA=cosA,进而得出c=a=3,最后求出三角形面积.

【详解】因为sinB=sin2A,所以sinB=2sinAcosA,〃=2acosA,又。=3/=2,

所以cosA=4,sinA=sin3="夜，又b<a，所以cos3=(,

3399

cosC=—cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=；=cosA,所以c=〃=3,

SABC=gbcsinA=gx2x3x芈=2点.

故选：ACD

10.(24-25高三上•重庆・期末)已知函数〃x)=sin(3x+Mq<。后］的图象关于直线x=*对称，则

()

A.〃x）的最小正周期为三B.〃x）的图象关于点QpOj对称

C.在（0,：]上有最小值D.“X）在上有两个极值点

【答案】ABD

【分析】根据对称可得展-:，即可得〃x）=sin[3x圄，根据周期的计算公式求解A,代入即可求解B,

根据整体法即可求解CD.

71兀兀777口137r11r~r

【详解】3x+(p=-----F°=—+E,左EZ,即0=-----卜kit,keZ,

12424

而一5<e<g，故上=_1,0=一故〃x）=sin3x--,

I4)

T2兀2兀

对于选项A：最小正周期7=q=彳，正确.

对于选项B：%=三时，3%」=私（私0）为、=$加的对称中心，正确.

对于选项C：时，3x-无最小值，错误.

对于选项D：，9）时，结合V=sinx的图象可知，有两个极值点，正确.

\Ux乙Ji,\tT乙J

故选：ABD

11.（24-25高三上•湖北•开学考试）受潮汐影响，某港口5月份每一天水深了（单位：米）与时间x（单位：

元71

时）的关系都符合函数y=Asin（（yx+°）+/z（A＞。，。＞0,--＜cp＜~,〃eR）.根据该港口的安全条例，

要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面

的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时

0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月

某天的时刻与水深关系：

时刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00

水深/米1074710747

以下选项正确的有（）

A.水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为＞=3sin|jx+《J+7,%e[0,24）

B.该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口

C.该船卸完货物后可以在19：00离开港口

D.该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：00

【答案】ABD

3sin—xH—1+726+2.5

【分析】根据题意求出函数的解析式，即可判断A；解不等式组166）,即可判断B；

0＜x＜24

求出19时水的深度，即可判断C；求出函数y=43x+6+2.5与＞=35皿&+2+7的图象的交点，即可

判断D.

【详解】解：依题意A=3,/7=12±f=7,&=14-2,解得

2co6

显然函数y=3sin]》,+7的图象过点（2,10）,

即sin[g+0]=l,又一g＜夕＜[,因此夕=g,

所以函数表达式为＞=3sin[£x+£）+7,A:e[0,24],故A对；

.I兀兀)、1

3sin—xH—1+726+2.5sin_xH-12―

依题意,(66)整理得J(66J2,

0<x<240<x<24

JC_,7L7L5兀_,一、

,_—F2An<—xH—W----F2k1li(k£Z)

即有《6666

0<x<24

12k<x<4+nk(k&Z)

即

0<x<24

解得04xW4或12W16,

所以该船可以在。点到4点以及12点到16点进入港口，故B对;

该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5,

19时水深为y=3sin［二、19+工］+7=铝+7<5.5,故C错；

（66）2

该船。点进港即可以开始卸货，设自。点起卸货X小时后，

该船符合安全条例的最小水深为y=-0.3尤+6+2.5

函数旷=-0.3%+6+2.5与丫=3$m（£“+^|+7的图象交于点（5,7）,

即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，

下次水深为7米时刻为11点，

故该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，

综上，该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务，故D

对.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（24-25高三上•河北沧州•阶段练习）已知d夕分别为第一象限角和第三象限角，

tana-tan£=4,tana-tan£=V2-1,则sin（cz—尸）=.

【答案】-述

3

【分析】根据两角差的正切公式得tanQ-/）的值，再结合两个角的取值范围得到a-尸的取值，即可得到

结果.

［详解］依题意，tan（a一力）==,

1+tanatan夕I+A/2-I

71371

因为2勺兀<a<2勺兀+—,仁£Z,2左2兀+TL</3<2k2Ti+—,GZ,

3

即一2k亦1—5兀＜一Bv—2左之兀一兀,左2wZ,

371

所以2（左—左2）兀兀/＜2（左一左2）兀_耳，又tan（a_£）〉O,

所以2（左］_&）兀_兀＜々~■尸＜2（左］_&）兀一,,占，k?EZ,

所以sin（a_g）=一昔2.

故答案为：-迪.

3

TT

13.（24-25高三上•黑龙江大庆•期中）如图，。尸。是以。为圆心，半径为1,圆心角为§的扇形，C是扇形

弧上的动点，AB在线段OP上，ABC。是扇形的内接矩形，则AB+2叵AD的最大值为.

3

【答案】空

3

【分析】设NPOC=e，0,g,表达出AT>=sin。，A3=cos8-史包乌，利用三角恒等变换得到

L3」3

AB+^AD=^sin^+-l求出最大值，得到答案.

33I3J

71

【详解】设/poc=e,o,-,

则BC=OCsin3=sin3,OB=OCcos0=cos0

故AZ)=sin。，

八4_AO_sin_73sin0石小口

贝1=tanN尸OQ=~3~，则AB-OA=cos">加_,

tan耳3

2石gA6sin。2A/3.。石sind

贝mi1lA4BD+----AD=cos0---------H----sin0N=cos0---------

3333

二---sin0+—,

3I3；

因为。e0,1,所以呜epy,

故当。+工=巴，即。=?时，AB+毡4。=拽^/。+'］取得最大值，

32633I3)

最大值为撞.

3

故答案为：巫

3

14.(24-25高三上•江苏无锡•阶段练习)在VA5C中，内角C所对的边分别为a,b,c(awb).已知

c=2acosA,则sin5+sinA的最大值是.

【答案】巫

99

7T

【分析】根据条件，利用正弦定理边转角得到。=2A,0<A<—,从而有sinB+sinA=-4sin3A+4sinA,构

造函数1)=-4户+4/,"$皿4€(0，¥),利用导数，求出/⑺=-4户+4/的单调区间，即可求解.

【详解】由c=2acosA,则由正弦定理可得sinC=2sinAcosA=sin2A,A,CG(0,TI),

所以C=2A或C+2A=兀，A+B+C=TI,且“WZ?,即

TT

所以。=2A,且0vA+C=3Av兀，即0<A<1,

sinB+sinA=sin3A-2sinA=sinAcos2A+cosAsin2A+sinA

=sinA(l-2sin2A)+2cos2AsinA+sinA=sinA-2sin3A+2(1-sin2A)sinA+sinA

=—4sin3A+4sinA,

令f=sinAe(0,孝)，贝U/(f)=-4?+4f,所以/'(r)=-12?+4=-12(z2-1)=-12。+g)Q-g),

当t『o,当时，r(f)>o,贝u/⑺在［。,等］上递增；

当时，/X0<0,贝！J在上递减；

所以"%*…国+4xf哈

故答案为：述.

9

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(24-25高三上・黑龙江・期末)记VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB.

⑴求B;

(2)若a=2,c=3,求6和sinA的值.

【答案】⑴方

Q)b=布，—

7

【分析】(1)运用两角和的正弦公式，结合诱导公式以及特殊角化简计算即可;

(2)运用余弦定理和正弦定理计算即可.

【详解】(1)因为sinBcosC=2sinAcos_B-sinCcos_B,

则sin（B+C）=2sinAcosB,

因为在VABC中，A+B+C=TT,

所以sin（_B+C）=sin（兀一A）=sinA,

则有sinA=2sinAcosB，

因为A,3e（O,兀）,

所以sinAHO,cosB=,

故2=孑

TT

（2）由（1）可知：B=-,

在VABC中，因为a=2,c=3,

由余弦定理可得：b1=a2+c2—2accosB=4+9—2x2x3x—=7,

2

则b=

a_b

由正弦定理可得:即sinAy/3，

sinAsinB

T

V3_V21

所以sinA=乃丁

16.(24-25高三上•山东德州•期末)在单位圆中，锐角a的终边与单位圆相交于点尸九,连接圆心。和

P得到射线OP,将射线。尸绕点。按逆时针方向旋转6后与单位圆相交于点B,其中6e(0,卞.

（1）求出m的值和锐角a的大小；

4sin31*6ir+—|+2s*in2|-6Z|-4cos（a+7i\

（2）求II2J<）的值；

2+2COS2（57l+6Z）+COS（-6f）

（3）记点B的横坐标为/®）,若/（夕一[]=：，求cos,-5]+8$卜一,]的值.

【答案】（1）机=31，夕=571

（2）1

【分析】（1）由单位圆与三角函数的定义求解；

（2）用诱导公式化简后可得；

（3）已知条件代入得cos（6+e）=；,由同角三角函数关系得sin（e+Sj,再由诱导公式化简后可得.

【详解】（1）由于点尸在单位圆上，且。是锐角，

可得利>0,

I兀

所以cosa=],且a为锐角，可得c=NxOP=y；

⑵4si“a+j+2sin2（：T一48s（…）

2+2COS2（57l+6T）+COS（-6Z）

4cos3a+2cos2a+4cosa小,

=-----------7------------=2cosa=1；

2+2cosa+cosa

TT

（3）由（1）可知c==

根据三角函数定义可得：/（0）=cos,+W）

因为/（0_']=cos[0+2]=!>O,月

IT兀2兀V15

因止匕。,所以sin0+£

o65T

17.（24-25高三上•山东淄博・期末）在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2,b2,cz成等差

数列，且2

（1）求证：VA3C为等边三角形;

（2）如图，点。在边BC的延长线上，且30=20AD=不，求sin/BAD的值.

【答案】（1）证明见详解

⑵通

14

22

【分析】（1）根据等差中项可得"=巴士，再结合余弦定理分析证明；

2

（2）设5C=2c0=2%>0,在中，利用余弦定理可得x=l,再利用正弦定理运算求解.

22

2

【详解】（1）因为"，b,C?成等差数列，则/巨，

2

JT

又因为8=1，由余弦定理可得62=q2+c2—2“ccos8,

22

即£11£1=/+02一四，解得a=c,

2

所以VABC为等边三角形.

（2）设3C=2CD=2x>0,贝iJA5=2x,3O=3x,

在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosZB,

即7=4f+9x2-2x2xx3尤x1,解得尤=1,即A3=2,BO=3,

V3

由正弦定理‘竺一=———可得.BDsin/B3屈.

sinZBsinZBADZBAD=————=—^=——

AD1714

18.（24-25高三上•安徽•阶段练习）函数/■（同=然叫5+夕）卜>0,0>0,网<雪的部分图象如图所示.

(1)求函数y=/(%)的解析式;

(2)将函数y=fO)的图象向左平移三个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的;倍，纵坐标不

变，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)在0,(上的值域.

【答案】(l)/(x)=2sin12x+1

⑵卜如，2]

【分析】(1)根据图象易得A和周期，结合/[]1)=0可得结果；

(2)根据平移和伸缩变换可得g(x),进而由整体法即可求解函数的值域.

1Ijr(TTA971

【详解】(1)观察图象可得A=2,函数/(%)的周期丁=---寿=兀=一，解得0=2,

12\12Jco

即/(x)=2sin(2x+0),由/'[一展)=2sin[-£+0)=0,得一塔+夕=也，

JTITJT

即0=M1+:，keZ,而则9=>

626

所以函数>=〃x)的解析式是fM=2sin[2x+[]

(2)将/(x)的图象向左平移当个单位长度，

可得到函数>=2sin2卜+总+弓=25山口+智的图象,

再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的！，纵坐标不变，

得到函数g(x)的图象，贝Ijg(x)=2sin(4x+,

当OVxW4时，-<4x+-<—,

4333

贝l]一由W2sin(4x+]]w2,即一gwg(x)V2,

因此g(x)在0,：上的值域为

19.(24-25高三上・山东•阶段练习)16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》

中给出了积化和差与和差化积恒等式.

积化和差：sinasin.=g[cos(a—〃)—cos(a+/7)],cosacosy0=g[cos(a—/7)+cos(a+^)