人教版高二年级上册数学（选择性必修2）第五章《一元函数的导数及其应用》单元检测卷（含答案）

人教版高二上学期数学（选择性必修2）《第五章一元函数的

导数及其应用》单元检测卷含答案

学校:班级：姓名：考号：

注意事项：

i.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形

码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.下列求导数运算错误的是()

%xz\，j

A.(3y=3ln3B.(logx)=——

3xln3

(cosxY_xsinx-cosx

C-t—J=?D.(/in%)=2xlnx+x

2.函数y=f-21nx的单调增区间为()

A.-1)U(“1)B.(1,+℃)C.(-l，0)U(l，+8)D.(0,1)

3.函数〃%）=-$3+4%_4在［0,3］上的最大值为（）

4

A.-4B.4C.-D.2

3

4.若曲线〃％）=/+必在点（0,〃0））处的切线与2x-y-1=0平行，贝普的值为（）

A.-2B.0C.1D.2

5.已知函数二-矿（%）的图象如图所示,其中1（X）是函数八%）的导函数，则函数y="x）的大致

图象可以是（）

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6.函数〃同=。111》+彳在区间[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围为()

A.ci>—3B.a>—2C.aN—3D.a2-2

7.若函数〃%)=丁+以2+(〃+6b+1有极大值和极小值，则实数。的取值范围是()

A.(—1,2)B.(―8,—3)U(6,+°0)

C.(—3,6)D.(―8,—1)U(2,+°0)

8.设点尸是曲线y=d-屈+1上的任意一点，点尸处切线的倾斜角为。，则角口的取值范围是

()

八2兀1一「八兀|「2兀A-(7i2K-|一「兀2兀

A4.0,—B.0，一U一，兀C.一，一D.一，一

L3JL2jL3)(23」|_33」

9.函数/(x)=X3—3X在(4,2)上有最小值，则实数。的范围是()

A.(-8,1)B.(—14)C.[—2,1)D.[—L1)

10.已知函数〃兀)=-%3—7%+sinx,若/(片)+/(々-2)>0,则实数。的取值范围是()

A.(-2,1)B.(-8,3)C.(-1,2)D.(-8,1)

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11.已知函数/(x)=为自然对数的底数)，若/(x)>。在(0,+8)上恒成立，则实数机的

取值范围是()

「e2、Ce2、

A.(f2)B.(-oo,e)C.一,+ooD.-co,一

14JI4J

12.设函数的导函数为r(x),若对任意xeR都有r成立，则()

A./(In2015)<2015/(0)

B./(ln2015)=2015/(0)

C./(ln2015)>2015/(0)

D./(In2015)与2015/(0)的大小关系不能确定

二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上)

13.函数无)=xsinx在x=7i处的切线方程为.

14.设函数满足〃力=炉+3f(1)无一/(1),则广⑴=.

15.已知函数/(x)=x(x-〃z)2在*=2处取得极小值，贝！|/w=.

16.已知函数〃x)==-2x2+ln;c(a>0),若函数在［1,2］上为单调函数，则a的取值范围是

三、解答题(本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

14

17.(10分)已知曲线>=§尤3+耳.求：

(1)曲线在点尸(2,4)处的切线方程；

(2)曲线过点尸(2,4)的切线方程.

(参考数据：x3-3x2+4=(x+l)(x-2)2)

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18.（12分）已知函数/（x）=gx3+办2+Zzx（a,6eR）在x=-3处取得极大值为9,

（1）求。，6的值；

（2）求函数在区间［-3,3］上的最值.

19.（12分）已知函数〃x）=x-21nx,

（1）求曲线y=〃x）在点（11（1））处的切线方程；

（2）求y=〃x）的最小值.

20.（12分）已知函数/（%）=*+alnx的极值点为2.

（1）求实数。的值；

（2）求函数/（九）的极值；

（3）求函数/（%）在区间：,e上的最大值.

21.（12分）已知函数/（x）=ae"—可-x?-2x（aGR）,

（1）当a=l时，求y=/（x）在x=0处的切线方程；

（2）若函数/（九）在［-1,1］上单调递减，求实数。的取值范围.

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3

22.（12分）已知函数/'（%）=尤3-/or?.

（1）若直线y=«<awO）与曲线y=〃x）相切，求a的值；

（2）若函数外引在（1,3）上不单调，且函数g（x）="x）+”有三个零点，求a的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.【答案】C

【解析】（3，）=3YIn3,A对；（无21nx）=（xjlnx+x?（inx）'=2xlnx+x,D对；

（cosx\-xsinx-cosx/、，11,

------=----------j--------，C错；（k^x）=一log3e=-,B对，故选C.

［x/xxxin3

2.【答案】B

【解析】函数y=V-21nx的定义域为（0,+co）,

2

求函数y=X2-2inx的导数得V=2x——，令y>0,解得xv-l（舍）或X>1,

X

・・・函数y=/—2in%的单调增区间为（1,+8）,本题选择B选项.

3.【答案】C

【解析】函数/（x）=-gx3+4x—4的导数为尸"）=-/+4,

QA

由r（x）=0,可得％=2（-2舍去），由/（2）=4-|=g,/（0）=-4,/（3）=-1,

可得“X）在［0,3］上的最大值为本题选择C选项.

4.【答案】D

【解析】由函数/（元）=%3+依,得解（%）=3南+4,

因为函数〃x）=%3+OX在点（0,/（0））的切线为2%-丁-1=0,

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所以广(0)=2,解得。=2,故选D.

5.【答案】A

【解析】由函数丁=-^'(无)的图象得到：

当x<-l时，:(尤)<。，是减函数；

当—l<x<0时，-(x)>0,是增函数；

当0<x<l时，尸(x)>0,是增函数；

当x>l时，/(x)<0,〃尤)是减函数.

由此得到函数y=的大致图象可以是A.故选A.

6.【答案】D

【解析】根据函数的导数与单调性的关系，〃力=。111》+尤在区间［2,3］上单调递增，只需尸(x)NO

在区间［2,3］上恒成立.

由导数的运算法则，/(x)=-+l>0,移向得，->-l,aN—x，。只需大于等于-x的最大值即可，

XX

由—X«—2,。之一2,故选D.

7.【答案】B

【解析】V/(x)=x3+ax2+(«+6)x+l,f\x)=3x2+2ax+(a+6)；

又・・•函数/(x)=V+加+s+6)%+1有极大值和极小值，

/./=(2〃)2-4x3x(a+6)>0；故a>6或QV-3；故选B.

8.【答案】B

【解析】,・,曲线y=V一+1,/.yf=3x2~y/3>-y/3,

•・,点尸是曲线上的任意一点，点。处切线的倾斜角为a,

tanccN—\［3,*.*ccG［0,兀)，ocG0,—［U—，兀］,故选B.

9.【答案】C

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【解析】由函数〃x)=x3-3x,得/'(%)=3/一3=3(尤+1)(尤一1),

当"(一8,-1见。，+8)时，尸(町>0,所以在区间,。，+8)单调递增,

当xe(-U)时,r(x)<0,所以〃尤)在区间(-1,1)单调递减，

又由〃1)=一2,令〃尤)=一2,即炉一3%=-2,解得工=一2或x=l,

要使得函数“力=V-3x在(“2)上有最小值，

结合函数的图象可得，实数。的取值范围是故选C.

10.【答案】A

【解析】V/(x)=-x3-7x+sinx,

/(x)=-x3-7x+sinx=-(-x3-lx+sinxj=-f(x),则/(x)是奇函数，

函数的导数广(x)=-3尤2-7+COSX<0,则函数/(尤)是减函数,

则由/3)+/(4-2)>0,得/(a2)>-^(o-2)=/(2-a),

得。？<2-a,BPa2+a-2<0,得

即实数a的取值范围是(-2,1).故答案为A.

11.【答案】D

XX

【解析】因为--机X〉0在(0,+8)上恒成立，故在(0,+8)上不等式机〈工总成立,

/、e*/、ex(x-2)

令g(x)==，则g'(x)=----3—•

X%

当xe(O,2)时,g'(x)<0,故g(x)在(0,2)上为减函数；

当xe(2,+8)时,g'(x)>0,故g(x)在(2,+。。)上为增函数;

22

所以g(x)mm=g(2)=eZ,故机<e1,故选D.

12.【答案】C

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【解析】令g(x)=%|»，x>0,则g'⑺,

因为对任意xeR都有尸(x)>"力成立，所以g，3J(ln”〃lnx)>。恒成立，

即g⑺=工?在(0,+«)上单调递增,则〃黑15)>2M=/(0),

gp/(ln2015)>2015/(0).

二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上)

13.【答案】=-TlX+K2

【解析】当彳=兀时，/(兀)=7rsin7t=O,求解函数的导数可得/''absinx+xcosx,

贝/'(7r)=sin7T+7IXCOS7I=-7I,据此可知，切线过点(无,0),切线的斜率为左=—兀，

切线方程为：y-0=-兀(了一无)，即：J=-7LX+712.

14.【答案】—1

【解析】•••〃尤)=犬+3/⑴•♦.「(x)=2x+3r(l),

令x=l,则-⑴=2+3-⑴，即尸⑴=一1,故答案为T.

15.【答案】2

【解析】；函数/(x)=尤(工-机)~,.，.―(》)=3/-4"吠+77?,

,函数/(尤)在x=2处取得极小值，.•./(2)=12-8抑+加=0,

m=2或zn=6,

当机=2时，/'(x)=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2),函数在％=2处取得极小值，符合题意；

当m=6时，fr(x)=3x2-24x+36=3(x-2)(x-6),函数在x=2处取得极大值，不符合题意.

：.m=29故答案为2.

16.【答案】[。,|U[l，+s)

【解析】由函数"x)=^-2/+lnx,得尸(X)=±_4X+L

6Zax

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因为函数f（x）在［1,2］上为单调函数,所以xe［1,2］时,广（x）NO或尸（x）WO恒成立,

Q1Q1

即224x-上或2W4尤一上在xe［l,2］上恒成立，且。＞0,

axax

设力（%）=4%一工,

因为函数尤）在［1,2］上单调递增，所以三2M2）=4X2-L=B或士4.1）=3,

a22a

解得0＜。4|或即实数。的取值范围是（0,gU［l，+s）.

三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.【答案】⑴4元-y-4=0；（2）4x-y-4=0或x-y+2=0.

【解析】（1）因为2（2,4）在曲线y=gY+g上，且y'=f,

在点尸（2,4）处的切线的斜率Uy4.

曲线在点尸（2,4）处的切线方程为＞一4=4（无一2）,即4x_y_4=0.

（2）设曲线y=$3+：与过点P（2,4）的切线相切于点,

则切线的斜率左=〉'匕2=*，，切线方程为＞-3%3一：=%2（彳一毛）,

•••点尸（2,4）在切线上，；.4=2年-；为3+；即％3_3尤。2+4=0,

22

+x0-4x0+4=0,即（升+1）（%0-2）2=0解得尤0=-1或％=2,

・\所求的切线方程为4x-y-4=0或i-＞+2=0.

18.【答案】（1）（"=1；（2）最大值为9,最小值为-

【解析】⑴f'（x）=x1+2ax+b,依题意得HFy,

［/（一"=9

(9-6ab=0,解得仁

+3经检验，上述结果满足题意.

\-9+9a-3b=9

(2)由(1)得=gv+》2—3》，.f\x)=x2+2x-3=(x+3)(%-l),

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令—(x)〉0,得xv-3或％>1；令/得一3V%vl,

.•"(九)的单调递增区间为(1,+8)和(-8,-3),/(X)的单调递增区间是(-3,1),

•••〃尤)极大值=〃-3)=9,〃x)极小值⑴=-［,又“3)=9，

所以函数“X)在区间［-3,3］上的最大值为9,最小值为-1

19.【答案】(1)x+y-2=0；(2)2-21n2.

o

【解析】(1),•,"H=x-21nx,.•.尸(x)=l"1)=1,

.••/(X)的切线方程为x+y-2=0.

(2)==令/(x)=0,x=2,

XX

.,"⑴在xe(0,2)递减，在xe(2,+co)递增，；./(尤)1nm=〃2)=2-21n2.

20.【答案】(1)a=—8；(2)极小值为/(2)=4—8山2；

【解析】⑴V/(x)=x2+alnx,x>0,/./f(x)=2x+—,

又函数/(£)的极值点为2,.­./,(2)=2x2+|=0.

解得a=-8.经验证得a=-8符合题意，.•.a=-8.

“、2…，/、82(x+2)(x—2)

(2)由⑴得〃x)=x2+81nx./.f(x)=2x——=-----------------,

XX

当0<尤<2时，/'(%)<0,/(%)单调递减，

当x>2时，/'(x)>0,/(九)单调递增.

.•.当x=2时，“X)有极小值，且极小值为"2)=4—81n2.

(3)由⑵得/(%)在2)当单调递减，在(2,e］上单调递增，

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•••〃”--81n2,

/(e)=e2-8<

21.【答案】(1)x+y-1—0；(2)a4—.

e

【解析】(1)-：a=\,:.f(x)=ex---x12-342x,

:.f(x)^ex-x2-2x-2,.-.^=/,(0)=-