人教版八年级数学期中必刷常考60题（31个考点专练）（解析版）

期中真题必刷常考60题（31个考点专练）

一.三角形（共2小题）

1.（2022秋•安次区校级期中）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（）

【分析】因为三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形.

【解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形.

故选：C.

【点评】此题考查了三角形的定义.解题的关键是熟练记住定义.

2.（2022秋•宁化县期中）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：A（l,3）,B（-2,-1）,C（4,-l）,

并依次连接成三角形；

（2）计算出AABC的周长.

【分析】（1）根据点的坐标确定点在坐标系中的位置；

（2）求出边长即可求解.

【解答】解：（1）如图所示，AABC就是所求作的三角形;

y

（2）由图形可知，AB=M+32=5,AC=742+32=5,BC=6,

」.AABC的周长为16.

【点评】本题主要考查点的坐标及平面直角坐标系中图形周长的求法，确定图中三角形的边长是解题的关

键.

二.三角形的角平分线、中线和高（共2小题）

3.（2021春•高邮市期中）在下列各图的AABC中，正确画出AC边上的高的图形是（）

【分析】根据三角形的高的概念判断.

【解答】解：AC边上的高就是过5作垂线垂直AC交AC的延长线于。点，因此只有C符合条件,

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答.

4.（2024春•肇源县期中）如图，在AABC中，AD是3c边上的中线，AADC的周长比AABD的周长多5cMi,

至与AC的和为13cm,求AC的长.

cDB

【分析】根据中线的定义知CD=BD.结合三角形周长公式知AC-AB=5cm；又AC+AB=13c〃z.易求AC

的长度.

【解答】解：•.•AD是BC边上的中线，

为3c的中点，CD=BD.

AADC的周长的周长=5cm.

AC—AB=5cm.

又AB+AC=13cm,

/.AC=9cm.

即AC的长度是9cm.

【点评】本题考查了三角形的中线，根据周长的差表示出AC-=是解题的关键.

三.三角形的稳定性（共2小题）

5.（2023秋•祁阳县期中）下列生活中的一些事实运用了“三角形稳定性”的是（）

A.

c.

【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改

变.

【解答】解：儿童座架利用三角形的稳定性，座架形成三角形不变形，结实，故C符合题意;

A、B、£＞不是三角形，故选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用.三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房

屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得.

6.（2023秋•滨城区期中）如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利

用了三角形的稳定性.

【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可.

【解答】解：三角形的支架很牢固，这是利用了三角形的稳定性，

故答案为：稳定.

【点评】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是能够了解三角形具有稳定性，属于基础题，难度不大.

四.三角形的重心（共1小题）

7.（2020秋•巴东县期中）三角形三条中线的交点叫做三角形的（）

A.内心B.外心C.中心D.重心

【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果.

【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点.

故选：D.

【点评】考查了三角形的重心的概念.三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角

形的内心是三角形的三条角平分线的交点.

五.三角形三边关系（共2小题）

8.（2023秋•新洲区期中）在学习“认识三角形”一节时，小颖用四根长度分别为2cm,3cm,4cm,5cm

的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（）

A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm

【分析】根据三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，判断即可得.

【解答】解：当三角形三边长分别为：2cm,3cm,5aw时，

,.•2+3=5,不能构成三角形，

所摆成的三角形的周长不可能是10cm,

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系.

9.（2023秋•灵宝市期中）如图，在AABC中，4）是边上的中线，AABD的周长比AADC的周长多1,

A3与AC的和为11.

（1）求AB、AC的长；

（2）求BC边的取值范围.

【分析】（1）根据三角形中线的定义，BD=CD.所以AABD和AADC的周长之差也就是AB与AC的差,

然后联立关于他、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可.

（2）根据三角形三边关系解答即可.

【解答】解：（1）•.•?1£）是BC边上的中线，

BD=CD,

.,.八46。的周长—小4/）。的周长=（45+4）+5。）—（4。+4）+8）=帅—4。=1,

即AB-AC=l®,

又AB+AC=11②，

①+②得.2AB=12,

解得AB=6,

②-①得，2AC=10,

解得AC=5,

和AC的长分别为：AB=6,AC=5；

（2）-.AB=6,AC=5,

【点评】本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解

是解题的关键.

六.三角形内角和定理（共2小题）

10.（2024春•岳阳县期中）AABC中，ZC=90°,ZA=35°,贝1」/8=_55。_.

【分析】直接根据三角形的内角和是180。即可得出结论.

【解答】解：•.•NC=90。，ZA=35°,

.-.ZB=180°-90°-35°=55°.

故答案为：55°.

【点评】本题考查的是三角形的内角和，熟知三角形的内角和是180。是解答此题的关键.

11.（2023春•民权县期中）如图，在AABC中，E,G分别是钻，AC上的点，F,。是3c上的点，连

接班，AD,DG,AB//DG,Zl+Z2=180°.

（1）求证：AD//EF；

（2）若DG是NADC的平分线，N2=140。，求ZB的度数.

【分析】（1）由平行线的性质可得N1=NZME,由Nl+N2=180。可得NZME+N2=180。，即可证明；

（2）由（1）可知NZME=40。，再由平行线的性质可得4=40。，由角平分线的定义可得NADC=80。，再

由三角形外角性质即可求出NB.

【解答】（1）证明：•.•A5//DG,

:.Z1=ZDAE,

•.•Nl+N2=180°,

.-.ZZME+Z2=180°,

:.AD//EF；

（2）解：-.-AD//EF,Z2=140°,

ZDAE=180°-Z2=180°—140°=40°,

•：ABIIDG,

:.Zl=ZDAE^40o,

•.•DG是NADC的平分线，

ZADC=2/1=2x4O。=80°,

ZB+ZBAD=ZADC,

.­.ZS=ZADC-ZBAD=80°-40°=40°.

【点评】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练

掌握平行线的判定与性质.

七.三角形的外角性质（共2小题）

12.（2023秋•松滋市期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则NCBE的度数为（）

E

【分析】根据三角板的性质得出NACB=60。，44c=45。，再利用外角的性质计算即可.

【解答】解：由题意可得：

ZACB=60°,ZBAC=45°,

NCBE=ZACB+ABAC=600+45°=105°,

故选：C.

【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的

关键.

13.（2024春•武进区期中）如图，已知NA=60。，ZB=20°,NC=30。，则NBDC的度数为_110。

【分析】延长交AC于E,根据三角形的外角性质计算，得到答案.

【解答】解:延长班）交AC于E,

,.•/DEC是AABE的外角，ZA=60°,ZB=20°,

ZDEC=ZA+ZB=80°,

则ZBDC=ZDEC+"=110°,

【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的

关键.

八.全等图形（共2小题）

14.（2023秋•长沙期中）如图，在2x3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1,则/I和N2的

关系是（）

A.Z2=2Z1B.Z2-Zl=90°C.Zl+Z2=180°D.Zl+Z2=90°

【分析】根据题意可得：AC=BD=2,BC=DE=1,ZACB=NBDE=90。,从而可得4+/BED=90。，

然后利用&4s证明AABCMABED,从而可得/2=N3ED,再利用等量代换可得Nl+N2=90。，即可解答.

【解答】解：如图：

由题意得：AC=BD=2,BC=DE=1,ZACB=ZBDE=90°,

:.Z1+ZBED=9O°,

在AABC和ABED中,

AC=BD

<NACB=NBDE,

BC=DE

:.AABC^ABED（SAS）,

:.Z2=ZBED,

.-.Zl+Z2=90o,

故选：D.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

15.（2023秋•二道区校级期中）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则N1+N2的度数为_45。

【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论.

【解答】解：如图，

在AABC与AEDC中,

AB=DE=2,

</ABC=ZD=90°,

BC=CD=1

:.AABC=AEDC(SAS),

:.Z1=Z.CED,

・.・NCED+N2=45。,

.-.Zl+Z2=45°,

故答案为：45°.

【点评】主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定.充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而

判定全等后利用全等三角形的性质解题.

九.全等三角形的性质(共2小题)

16.(2023秋•虞城县校级期中)如图，AACEwADBF,AD=8,BC=2,贝fjAC=()

A.2B.8C.5D.3

【分析】根据全等三角形的对应边相等可得=,再求出A5=CZ)=g8Q-BC)=3,那么

AC=AB+BC,代入数值计算即可得解.

【解答】解：尸，

/.AC=DB,

:.AC-BC=DB-BC,即AB=CD,

・・・A£>=8,BC=2,

AB=1(AD-BC)=1x(8-2)=3,

:.AC^AB+BC=3+2=5.

故选：C.

【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质并求出AB=C0是解题的关键.

17.(2023秋•永昌县校级期中)为了庆祝神舟十五号的成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小明

计划制作一个如图所示的简易模型，已知该模型满足AABD=AACE，点3和点C是对应顶点，若AB=8cm,

AD=3cm,贝!JDC=5cm.

【分析】由AARDMAACE,得至IjAC=AB=8cm,即可求出CD的长.

【解答】解：•.•AA8D=AACE,

AC=AB=8cm,

AD—3cm,

CD=AC—AD=5(cm).

故答案为：5.

【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等.

一十.全等三角形的判定(共2小题)

18.(2023秋•永泰县期中)如图，已知AB=AC,当添加条件_N3=NC_时，可由“角边角”判定

AABE=AACD.

【分析】用“角边角”证明两个三角形全等，已知条件给出一组边相等和一组对应角相等，进而添加一组角

相等即可.

【解答】解：添加ZB=NC,

在AABE与AACD中，

ZA=ZA

<AB=AC,

ZB=ZC

:.AABE=AACD（ASA）,

故答案为：ZB=ZC.

【点评】本题考查的是三角形全等的判定，理解“角边角”定理是解题的关键.

19.（2022秋•交城县期中）如图，在四边形ABCD中，=.在3c上求作一点P使△ABPM△ADP.（要

求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【分析】作44D的平分线得44P=NZMP,结合=AP=AP可得△ABPM△ADP.

【解答】解：如图所示，点尸即为所求.

【点评】本题主要考查作图-基本作图,解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的尺规作图.

一十一.直角三角形全等的判定（共2小题）

20.（2023秋•中山区期中）如图，在AABC和ADFE1中，ZA=ZD=90°,AC=DE,若要用“斜边、直角

边（HL）”直接证明RtAABCvRtADFE,则还需补充条件：_BC=FE_.

【分析】由AC=Z）E,BC=FE,即可推出RtAABC=RtADFE（HL）,于是得到答案.

【解答】证明：在RtAABC和RtADFE中，

AC=DE

BC=FE

RtAABC=RtADFE(HL).

故答案为：BC=FE.

【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法.

21.（2021秋•镇平县期中）如图，AB=AC,ZBAC=90°,于CE_LAE于石，且BD>CE.

求证：BD=EC+ED.

【分析】由题中=以及AB和AC所在三角形为直角三角形，可以判断出应证明AABDWAC4七.

【解答】证明：・.•"40=90。，CE±AE,BDLAE,

:.ZABD+ZBAD=90°,ZBAD-^ZDAC=90°,ZADB=ZAEC=90°.

.\ZABD=ZDAC.

・・•在△ABD和AC4E中

NABD=ZEAC

<ZBDA=ZE,

AB=AC

:.AABD=ACAE(AAS).

:.BD=AE,EC=AD.

AE=AD+DE,

BD=EC+ED.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS,ASA,

AAS.HL.得到NABD=4MC是正确解答本题的关键.

一十二.全等三角形的判定与性质（共2小题）

22.（2023秋•海淀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，C（4,4）,点、B、A分别在x轴正半轴和y轴

正半轴上，ZACB=90°,则等于（）

【分析】过。作CM_Ly轴于M,CN_Lx轴于N,证△ACM二△5OV,推出AM=BN,即可解决问题.

【解答】解：过。作CM_Ly轴于M,CN_Lx轴于N,

则/CMA=NCNB=90。,

•・•C(4,4),

,,.CN=CM=4,

•;ZMON=/CNO=NCMO=90。,

ZMCN=360°-90°-90°-90°=90°,

・・・ZACB=90°,

:.ZACB=ZMCN,

:.ZACM=ZBCN,

在△ACM和△BCN中，

ZCMA=ZCNB

CM=CN

/ACM=/BCN

△ACM=△BCN(ASA),

:.AM=BN,

:.OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=^^=^.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质和判定，四边形的内角和定理，坐标与图形性质等知识，证明

三角形全等是解题的关键.

23.(2023秋•沙市区期中)如图，平面直角坐标系中有点5(-1,0)和点A(0,2),以A点为直角顶点在第二象

限内作等腰直角AABC,则。点的坐标为_(-2,3)_.

【分析】由“A4S”可证ACBE三ABAO,可得CE=BO=2,BE=AO^1,即可求解.

【解答】解：作CELy轴于E.

•1•A(-l,0),8(0,2),

OA=1,OB=2,

•・・ZCBA=9Q0,

:.ZCEB=ZAOB=ZCBA=90°,

.•.ZECB+ZEBC=90。,ZCBE-^-ZABO=90°,

:.ZECB=ZABO,

在ACBE和ABAO中，

AECB=/ABO

<ZCEB=ZAOB,

BC=AB

:.ACBE=ABAO(AAS),

:.CE=BO=2,BE=AO=1,

即OE=l+2=3,

C(-2,3),

故答案为：(-2,3).

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

一十三.全等三角形的应用（共2小题）

24.（2023秋•青秀区校级期中）如图，工人师傅设计了一种测零件内径4?的卡钳，卡钳交叉点O为A4、

郎’的中点.只要量出A8的长度.就可以知道该零件内径的长度.依据的数学基本事实是（）

A.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等

B.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等

C.三边分别相等的两个三角形全等

D.两点之间线段最短

【分析】根据点O为A4'、班’的中点得出。4=。4',03=03',根据对顶角相等得到NAO3=ZA'03',

从而证得AAOB和△AO2全等，于是有=H3',问题得证.

【解答】解：•.•点O为A4'、8B'的中点，

:.OA=OA,OB=OB',

由对顶角相等得ZAOB=ZAOB',

在AAO3和△AW中，

0A=0A'

<ZAOB=ZA'OB',

OB=OB'

:.AAOB=/\A'OB'(SAS),

:.AB=AB',

即只要量出A9的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，

故选：B.

【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键.

25.(2023秋•武鸣区期中)如图，池塘两端A、3的距离无法直接测量，请同学们设计测量A、3之间距

离的方案.

图①图②

小明设计的方案如图①：他先在平地上选取一个可以直接到达A、8的点O,然后连接40和30,接着分

别延长AO和30并且使CO=AO,DO=BO,最后连接CD,测出CD的长即可.

小红的方案如图②：先确定直线过点3作AB的垂线BE,在座上选取一个可以直接到达点A的点

D,连接4),在线段钻的延长线上找一点C,使OC=",测BC的长即可.

你认为以上两种方案可以吗？请说明理由.

【分析】分别证明AABO=ACDO(S45),RtAABD=RtACBD(HL),即可解决问题.

【解答】解：以上两种方案可以，理由如下：

甲同学方案：

在AABO和ACDO中，

AO=CO

<ZAOB=ZCOD,

BO=DO

:.^ABO=^CDO(SAS),

/.AB=CD；

乙同学方案：

在RtAABD和RtACBD中，

jDA=DC

[DB=DB'

/.RtAABD二RtACBD(HL),

/.AB=BC.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的应用，解决本题的关键是得到AABOMACDO

和RtAABD=RtACBD.

一十四.角平分线的性质(共2小题)

26.(2023春•巴州区期中)如图，在AABC中，ZC=90°,AD平分44c交3C于点£),DEYAB,垂

足为E,若BC=7,DE=3,则的长为4.

【分析】由角平分线的性质可知8=止=3,根据线段的和差即可得到结论.

【解答】解：•.•4)平分N54C,DELAB,NC=90。,

CD—DE,

・.・DE=3,

CD=3,

:.BD=BC-CD=7-3=4.

故答案为：4.

【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.

27.(2024春•平南县期中)如图，在AABC中，ZC=90°,AD是NS4c的平分线，于E,尸在

AC上，且BD=DF.

(1)求证：CF=EB；

(2)试判断4?与AF,£B之间存在的数量关系.并说明理由.

【分析】(1)根据角平分线的性质得到DC=DE,证明RtAFCD三RtABED,根据全等三角形的性质证明;

(2)证明RtAACD三RtAAED,根据全等三角形的性质证明.

【解答】(1)证明：是/班。的平分线，DE±AB,ZC=90°,

:.DC=DE,

在RtAFCD和RtABED中,

(DC=DE

\DF=DB，

RtAFCD=RtABED(HL),

CF=EB；

(2)解：AB=AF+2BE,

理由如下：在RtAACD和RtAAED中,

DC=DE

AD=AD

RtAACD=RtAAED(HL),

AC=AE,

.,.AB=AE+BE=AF+FC+BE=AF+2BE.

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

一十五.线段垂直平分线的性质（共2小题）

28.（2022秋•阳信县期中）如图，在放△ABC中，NC=90。，AC=3,BC=4,AB的垂直平分线交BC

于点连接AD,则△ACD的周长是（）

C

【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AD=BD,进而得出答案.

【解答】解：•.•AB的垂直平分线交3C于点

.".AD=BE）9

vBC=4,AC=3,

:.CD+AD=CD+BD=BC=4,

.•.△ACD的周长为：4+3=7.

故选：A.

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确得出">=班>是解题关键.

29.（2024春•丰顺县期中）如图，在AABC中，AB的垂直平分线"N交AB于点E,交AC于点£>,且

AC=15cm,NBCD的周长等于25cm.

（1）求3c的长；

（2）若乙4=36。，并且AB=AC,求证：BC=BD.

【分析】（1）由的垂直平分线交于点E,交AC于点D,可得AD=BD,又由ABCD的周长等

于25c%,可得AC+3C=25aw,继而求得答案；

（2）由/4=36。，并且AB=AC,易求得N3DC=NC=72。，即可证得3C=BD.

【解答】(1)解：:MN是AB的垂直平分线，

.'.AD—BD9

■：AC=15cm,ABCD的周长等于25a〃，

/.BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC-25cm,

/.BC=lOcm.

(2)证明：vZA=36°,AB^AC,

・/BD=AD,

:.ZABD=ZA=36°.

/.ZDBC=ZABC-ZABD=36°,

/.ZBDC=180。—ZDBC—NO=72°,

:.ZC=ZBDC,

BC—BD.

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质.此题难度不大，注意掌握数形结

合思想与转化思想的应用.

一十六.等腰三角形的性质（共2小题）

30.（2024春•江阴市期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为3、6,则这个三角形的周长是15.

【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长

为3和6,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角

形.

【解答】解：（1）若3为腰长，6为底边长，

由于3+3=6,则三角形不存在；

（2）若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边.

所以这个三角形的周长为6+6+3=15.

故答案为：15.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的

思想方法.求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习

惯，把不符合题意的舍去.

31.（2023秋•宁津县期中）如图，AB^AE,AB!/DE,ZDAB=70°,ZE=40°.

（i）求m归的度数；

(2)若NB=30。，求证：AD=BC.

【分析】(1)根据平行线的性质可得㈤B,再根据角的和差关系即可求解;

(2)根据ASA可证AAPE二ABC4,再根据全等三角形的性质即可求解.

【解答】解(1)YABIIDE,NE=40。，

.­.ZE4B=ZE=40°,

•/ZZMB=70°,

,.ZDAE=30o；

(2)证明：在AADE与A5c4中,

ZB=/DAE

<AB=AE

ABAC=NE

:.AADE=ABCA(ASA)f

AD=BC.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的对应角，对应边相等是解题关键.

一十七.等腰三角形的判定(共2小题)

32.(2021秋•钢城区期中)如图，在AABC中，AB=20cm,AC=12cm,点尸从点3出发以每秒3a〃速度

向点A运动，点。从点A同时出发以每秒2c机速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也

随之停止，当AAP。是以尸。为底的等腰三角形时，运动的时间是4秒.

【分析】设运动的时间为x,贝|AP=2O-3x,当AP。是等腰三角形时，AP=AQ,则20-3x=2x,解得x

即可.

【解答】解：设运动的时间为X,

在AABC中，AB—20cm,AC=12cm,

点尸从点B出发以每秒3c机的速度向点A运动，点。从点A同时出发以每秒2皿的速度向点C运动,

当AAPQ是等腰三角形时，AP=AQ,

AP=20-3x,A。=2尤

即20-3x=2x,

解得x=4.

故答案为：4.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题.

33.（2023春•沈北新区期中）如图，CE是AABC的角平分线，EF//BC交AC于点、F,求证：AFEC是等

腰三角形.

【分析】根据角平分线的定义可知4CE=N3CE,根据平行线的性质可知4EC=NBCE,等量代换得

ZFCE=NFEC,根据等角对等边可得结论.

【解答】证明：•.•CE是AABC的角平分线，

:.ZFCE=ZBCE,

■：EF!IBC,

:.ZFEC=ZBCE,

:.ZFCE=ZFEC,

:.FE=FC,

」.AFEC是等腰三角形.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.

一十八.等腰三角形的判定与性质（共2小题）

34.（2022秋•邯山区校级期中）如图，在AA5c中，AB=4,AC=6,NABC和NACB的平分线交于O点,

过点。作3c的平行线交回于M点，交AC于N点，则AAMN的周长为（）

BC

A.7B.8C.9D.10

【分析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到=NC=NO,将三角形4VW

周长转化，求出即可.

【解答】解：・・・5O为NABC的平分线，CO为NACB的平分线，

:.ZABO=ZCBO,ZACO=ZBCO,

\-MN//BC,

,\ZMOB=ZOBC,ZNOC=ZBCO,

,\ZABO=ZMOB,ZNOC=ZACO,

:.MB=MO,NC=NO,

:.MN=MO+NO=MB+NC,

・・・AB=4,AC=6,

.•.儿4^周长为加/+皿+4\』411+板+3+根:=至+47=10,

故选：D.

【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.

35.（2024春•碑林区校级期中）已知：如图，在AABC中，=点石在C4的延长线上，EP上BC,

垂足为P,EP交AB于点F.求证：AAEF是等腰三角形.

【分析】根据等边对等角得出NB=NC,再根据£P_L3C,得出NC+NE=90。，ZB+ZBFP=90。，从而

得出NE=NBFP,再根据对顶角相等得出最后根据等角对等边即可得出答案.

【解答】证明：在AABC中，

・・・AB=AC,

/.ZB=ZC,

\'EPLBC,

/.ZC+ZE=90°,ZB+ZBFP=90。，

:.ZE=ZBFP,

又・.ZBFP=ZAFE,

:.ZE=ZAFE,

:.AF=AE,

二.人/止下是等腰三角形.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明NE="石，注意等边对等角，以及等

角对等边的使用.

一十九.等边三角形的性质（共2小题）

36.（2024春•武侯区校级期中）等边三角形的两条中线所成的锐角的度数是度.

【分析】根据题意画出图形，结合等边三角形的性质和三角形内角和可求得答案.

【解答】解：如图，AABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O,

•.•AABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，

:.CE±AB,班）平分ZABC,

Z.OEB=90°,NEBO=-4ABe=30°,

:.ZB0E=O)°,

故答案为：60.

【点评】本题主要考查等边三角形的性质，掌握等边三角形每边上的中线、高和对角的角平分线相互重合是

解题的关键.

37.（2023秋•龙南市期中）如图，在等边三角形ABC中，点B、P、。三点在同一条直线上,且ZABP^ZACQ,

ZBAP=ZCAQ.判断AAP。是什么形状，并说明理由.

A

Q

//P\\

BC

【分析】利用ASA证明AABP=\ACQ得至ljAP=AQ,再证明ABAC=ZPAQ=60。即可证明AAPQ是等边三

角形.

【解答】解：AAP。是等边三角形，理由如下：

AACB是等边三角形，

:.AB^AC,Zfi4c=60°,

在AABP与AACQ中，

ZABP=ZACQ

<AB=AC,

ZBAP=ZCAQ

:.AABP=AACQ（ASA）,

AP=AQ,

ZBAP+ZPAC=ZPAC+ZCAQ,即ABAC=ZPAQ=60°,

是等边三角形.

【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握这些判定是解题的关

键.

二十.等边三角形的判定（共2小题）

38.（2023秋•南岗区校级期中）下列三角形：①有两个角等于60。的三角形；②有一个角等于60。的等腰三

角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形.其中是等边三角形的有（）

A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④

【分析】直接根据等边三角形的判定方法进行判断.

【解答】解：①有两个角等于60。的三角形是等边三角形；

②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；

③三个角都相等的三角形是等边三角形；

④三边都相等的三角形是等边三角形；

故选：D.

【点评】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等

边三角形；有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

39.(2022秋•明水县校级期中)如果a,b,c为三角形的三边，S.(a-b)2+(a-c)2+\b-c\=0,则这个三

角形是等边三角形.

【分析】由偶次方的非负性质和绝对值的非负性质得出。-。=0,a-c=0>b-c=0>得出a=b=c,即可

得出结论.

【解答】解：1」(a—6)~+(a—c)?+16—c|=0,

ci—Z?—0>ci—c—0Jb—c=0,

:.a=b,a=c，b=c9

;.a=b=c,

这个三角形是等边三角形；

故答案为：等边三角形.

【点评】本题考查了等边三角形的判定、偶次方的非负性质和绝对值的非负性质；熟练掌握等边三角形的判

定方法，由偶次方和绝对值的非负性质得出a=b=c是解决问题的关键.

二十一.等边三角形的判定与性质(共1小题)

40.(2023秋•辉县市期中)如图，在AABC中，ZACB=9Q°,D是AB上的点，过点。作DE_L交3C

于点F,交AC的延长线于点E,连接CD,ZDCA=ZDAC,则下列结论正确的有()

®ZDCB=ZB；®CD=-AB-,③AADC是等边三角形；④若NE=3O。，则DE=EF+CF.

2

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【分析】由在AABC中，NACB=90。，DEA.AB,易证得NDC4=NA4C,继而可得①=正确;

由①可证得AD=3D=CD,即可得②正确；

2

易得③AAOC是等腰三角形，但不能证得AADC是等边三角形；

由若NE=30。，易求得NFDC=NFCD=30。,则可证得DF=CF,继而证得DE=EF+CF.

【解答】解：,在AABC中，ZACB=90°,DE±AB,

ZADE=ZACB=90°f

.\ZA+ZB=90°,ZACD+ZDCB=9G0,

・・・NDC4=NZMC,

:.AD=CD,ZDCB=ZB；故①正确；

/.CD=BD9

\AD=CD,

:.CD=-AB；故②正确；

2

ZDCA=ZDAC,

AD=CD,

但不能判定AAOC是等边三角形；故③错误;

•.,若ZE=30°,

.-.ZA=60°,

AACD是等边三角形，

.•.ZADC=60。，

ZADE=ZACB=90°,

ZEDC=ZBCD=ZB=3QP,

:.CF=DF,

:.DE=EF+DF=EF+CF.故④正确.

故选：B.

【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质.注意证得。是AB的中点是解此题的

关键.

二十二.直角三角形的性质（共2小题）

41.（2023秋•蒙城县期中）如图，已知AC_LBC于点C,8_1钙于点£>,ZA=56°,则NDCB的度数是

)

c

A.30°B.45°C.56°D.60°

【分析】根据垂直的定义和直角三角形的性质解答即可.

【解答】街：・・・CD_LAB,AC±BC,

ZADC=NCDB=ZACB=90。，

•/ZA=56°,

/.ZACD=90°-56°=34°,

.•.ZDCB=90°-34°=56°,

故选：C.

【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的两个锐角互余解答.

42.（2023秋•从江县校级期中）在RtAABC中，NC=90。，若NA=37。，则的度数为53°

【分析】根据三角形的内角和定理即可得到结论.

【解答】解：在RtAABC中，NC=90。，NA=37。，

ZB的度数为180°-90°-37°=53°,

故答案为：53°.

【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中两锐角互余是解题的关键.

二十三.含30度角的直角三角形（共2小题）

43.（2024春•碑林区校级期中）如图，在RtAABC中，ZBAC=90°,NB=30。，AD±BC.则下列等式成

立的是（）

AD=2DCC.AB=4DCD.BD=2AC

3

【分析】根据在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半，求出瓦＞=3DC,BD=-AC,

2

BC=4DC,AC=2DC.

【解答】解：・.・44C=90。，ZB=30°,

.\BC=2AC,ZC=60°,

\AD.LBC,

:.ZDAC=30°,

AC=2DC,

.•.B不符合要求；

:.BC=4DC,

.•.C不符合要求；

BD=3DC,

符合要求；

AC^2DC,BC=4DC

3

:.BD^-AC,

2

不符合要求；

故选：A.

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，掌握此定理，应用时，要注意找准30。的角所对的直角边，

点明斜边，是解题的关键.

44.（2023秋•长沙期中）如图，在AABC中，1垂直平分分别交AB、3c于点£）、E,AE平分

NBAC,ZB=30°.

（1）求/C的度数；

（2）若DE=2,求BC的长.

【分析】（1）DE是边上的垂直平分线推=利用等腰三角形的性质和角平分线的定义推角相等,

最后得出角的度数；

（2）利用角平分线的性质求出EC的长，再由直角三角形的性质求出助的长，进而可得出结论.

【解答】解：（1）是边4?上的垂直平分线，

AE=BE,

ZB=ZBAE^30°.

•.•AE平分NBAC,

:.ZBAE=ZEAC=3O°,

ZBAC=ZBAE+ZEAC=30°+30°=60°,

NC=180°—NS4C—NB=180°—60°—30°=90°；

（2）平分ZBAC,ZACB=90°,DE±AB,

:.EC=ED=2,

•.•DE垂直平分AB,

:.ZBDE=90。.

在ABDE中，

,;NBDE=90。.ZB=30°.

:.BE=2DE=4.

:.BC=BE+EC=4+2=6

【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质，熟知在直角三角形中，30。角所

对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.

二十四.多边形（共2小题）

45.（2022秋•夏津县期中）如图，五边形ABCDE是正五边形，则尤为（）

A.30°B.35°C.36°D.45°

【分析】根据正多边形的每个内角相等以及多边形的内角和公式可得NE=NCDE=108。，再根据正多边形

的各边相等可得AADE是等腰三角形，据此可得N1的度数，再根据角的和差关系求解即可.

【解答】解：因为五边形4JCDE是正五边形，

所以NE=NCDE="经生且=108°,AE=DE,

5

所以Nii』空=36。，

2

所以x=NCDE-Nl-N3=36°.

故选：C.

【点评】本题主要考查了多边形，熟记多边形的内角和公式是解答本题的关键.

46.（2021秋•新城区校级期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则

原多边形纸片的边数可能是18边形或17边形或19边形.

【分析】一个〃边形剪去一个角后，剩下的形状可能是，边形或（"+1）边形或（〃-1）边形.

【解答】解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，

则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形.

故答案为：18边形或17边形或19边形.

【点评】此题主要考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过

一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条.

二十五.多边形内角与外角（共2小题）

47.（2024春•西湖区校级期中）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）

A.6B.7C.8D.9

【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算.

【解答】解：多边形的外角和是360。，根据题意得：

180-（/2-2）=3x360,

解得n=8.

故选：C.

【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征.求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解

决.

48.（2024春•济南期中）如图，正五边形ABCDE和正六边形昉的边CD、FG在直线/上，正五边

形在正六边形左侧，两个正多边形均在/的同侧，则的大小是48度.

【分析】解法一：根据多边形内角和公式，分别求出正五边形和正六边形的内角度数，即可得ZEDF和ZEFD

的度数，再根据三角形的内角和定理即可得出答案；

解法二，根据多边形的外角和是360。，分别求出NEZ/和NEFD的度数，再根据三角形的内角和是180。，

从而得出ND砂的度数.

【解答】解：•.•五边形ABCDE是正五边形，

每个内角度数为（5—2）x180。—og。.

5

:.ZEDC=108°,

ZEDF=72°,

同理可得正六边形BFGHMN每个内角度数为120。.

ZEFG=120°f

:.ZEFD=60°,

,\ZDEF=180o-ZEDF-ZEFD=180o-72o-60o=48°.

解法二：・・•五边形ABCDE1是正五边形,

:.ZEDF=72°,

•・・六边形EFGHMN是正六边形，

:.ZEFD=60。,

.*.ZDEF=180o-Z£DF-ZE7T>=180o-72o-60o=48°；

故答案为：48.

【点评】本题主要考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和度数是解题的关键.

二十六.作图一基本作图（共2小题）

49.（2023秋•渝北区期中）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误

的是（）

A.ZBDE=ZBACB.ZBAD=ZBC.DE=DCD.AE=AC

【分析】由尺规作图的痕迹可得，DELAB,AD是44。的平分线，根据同角的余角相等可判断A,根据

角平分线的性质可判断。，证得RtAAED二RtAACD可判定。，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明

NBAD=NB-

【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，

・.・DE可以理解成是平角的角平分线，

:.DE±ABfAO是NBA。的平分线，

・・・NC=90。，

:.DE=DC,ZB+ZBDE=ZB+ZBAC=90。,

:.ZBDE=ZBAC,

在RtAAED和RtAACD中，

AD=AD

DE=DC

/.RtAAED工RtAACD（HL）,

AE=AC,

・.・DE不是AB的垂直平分线，故不能证明NSM>=Nfi,

综上所述：A,C,D不符合题意，3符合题意，

故选：