立体几何外接球与内切球、截面问题（6类题型全归纳）-2025年北京高考数学二轮复习热点题型专练（解析版）

热点题型•选填题攻略

专题07立体几何外接球与内切球+截面问题

O----------------题型归纳•定方向----------♦>

目录

题型01内切球等体积法.........................................................................1

题型02内切球独立截面法......................................................................6

题型03补形法.................................................................................8

题型04单面定球心法（定+算）................................................................12

题型05双面定球心法（两次单面定球心）.......................................................17

题型06平行线（相交线）法做截面..............................................................21

♦>-----------题型探析,明规律------------♦>

题型01内切球等体积法

【典例1-11（24-25高三上•浙江•开学考试）若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球）,

且母线与底面所成角的余弦值为:，则此圆台与其内切球的体积之比为（）

【答案】A

【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问

题

【分析】将圆台还原成圆锥，作出圆锥的轴截面，再结合给定角求出圆锥底面圆半径、高与内切球半径的

关系即可计算得解.

【详解】将圆台母线延长交于点S,得圆锥5。一作圆锥SO】的轴截面，等腰梯形ABC。为圆台的轴截面，

截内切球。得大圆，并且是梯形ABC。的内切圆，令&4切圆。于T,如图,

设底面圆直径AB=2R,依题意，cosZ&AO,=1,SA=3R,SQ=20R,

设内切球半径为r,则。7=。。[=。。2=厂，cosZSOT=1,SO=3r,

SQ=4r=20R,于是R=6r,且。?为SO^的中点，而内切球体积匕=可，,

圆台的体积％=/—叫-:兀（、产：501=2（何2.4厂=93,

所以圆台与其内切球的体积比为1=:.

故选：A

【典例1-2]（23-24高一下•福建龙岩•期末）已知球。内切于圆台ER其轴截面如图所示，四边形ABCQ

为等腰梯形，AB//CD,且CD=2AB=6,则圆台所的体积为（）

27扃D51ali「57瓜、630兀

D.C.D.

4---------------------4------------------------------4------------------------------4

【答案】D

【知识点】台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、切线长

【分析】根据题意，作出图形，得到上下底面的半径，进而分析运用勾股定理求出高即可.

【详解】根据圆和等腰梯形的对称性知道，E歹分别为上下底的中点.

连接E尸，则EFLOC,过8GLDC于G.四边形£BCG为矩形.

33

由于8=6"=3,则"=3冲=]'则GC=FC"G="dEw

39

由切线的性质知道BCnBE+CFn=+Bn不

22

贝！]BG=y]BC2-GC2=

V4s上+X+F）力，SE（|）2=X32=9兀,,BG=3底.

代入计算可得，y[x咛+9兀+尸）X3应=『.

【变式1-1]（2024•河南开封•二模）已知经过圆锥SO的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥

5。分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是

（）

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

【答案】C

【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】作出圆锥SO的轴的截面，根据题意推出上、下两部分几何体的两部分的内切球的半径之比为1:3,

从而可得上部分圆锥的体积与圆锥SO的体积之比为1:27,从而可得解.

【详解】如图，作出圆锥S。的轴截面

设上、下两部分几何体的两部分的内切球的球心分别为E,F,半径分别为r，R,

即OF=FG=R,EG=r,

根据题意可知△SAB为正三角形，易知SE=2r,圆锥SO的底面半径08=再，

:.SO=2r+r+R+R=3r+2R,又SO=~jiOB,

3r+27?=37?,/.R=3r,

••・上部分圆锥的底面半径为高为力，

又圆锥SO的底面半径为O8=V5R=3Br,高为SO=3r+2R=9r,

上部分圆锥的体积与圆锥SO的体积之比为f-Y=—,

y3J27

上、下两部分几何体的体积之比是1:26.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到上、下底面的半径的关系，从而得到两圆锥的体积之比.

【变式1-21（23-24高一下•湖北黄冈,期末）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1,

当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（）

A.2B.4C.73D.2上

【答案】B

【知识点】球的截面的性质及计算、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接

问题

【分析】先设出未知量，即圆锥半径为「，圆锥高为〃，分析组合体轴截面图，找出"与「的一组关系式，

再根据题意中圆锥与球体的体积关系找出另一组人与厂的关系式即可求出答案.

【详解】如下图组合体的轴截面，设圆锥半径为「，圆锥高为力，则=AO=h-l,AC=^+r2-

由$111/。4£1=5111/。4/7得襄=曾,代入得/?r-2/?r2-/z2=0①，

Cz/i

23

由"该圆锥体积是球体积两倍"可知V=1^./Z=2x（1^xl）,即加2=&②，联立两式得h=4.

故选:B

【变式1-3]（24-25高三上•河北保定•开学考试）如图，已知球。内切于圆台（即球与该圆台的上、下

底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径4=1/=3,则球。与圆台。。2侧面的切痕所在平面分圆

台上下两部分体积比为

【知识点】台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】作出该几何体的轴截面，利用平面几何知识，分别计算出切痕所在平面圆的半径。3尸和上下两个

圆台的高。03和。2。3，即可代入圆台体积公式计算即得.

【详解】

如图为该几何体的轴截面，其中圆。是等腰梯形ABC。的内切圆,

设圆0与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底分别切于点。，。2，

圆台上、下底面的半径为4="=3.则CQ=CP=1,BO2=BP=3,.

TT

BC=BP+PC=4,于是，在直角梯形GQ8C中，易得=

=20尸="2-（3-1）2=2A/3，则^6>16>P=ZB=|,

设0P与002交于点。3,则尸=6sing=1,

003=0。1-。。3=凤6cosm=孝，

09=O&=2后与=当,

故圆台。1。3体积为K=；义^~（兀+卜义］+；兀）=与¥兀，

圆台QC体积为K=；义巧^（；兀+/；兀*9兀+9兀）=63f兀,

19百

V兀19

故切痕所在平面分圆台上下两部分体积比为于=3丁=厮-

v26373Iov

19

故答案为：.

题型02内切球独立截面法

【解题规律•提分快招】

定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体

的外接球。

定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多

面体的内切球。

【典例1-1】(2024•江苏宿迁•三模)若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面

体的内切球.在四棱锥中，侧面上钻是边长为1的等边三角形，底面ABCC)为矩形，且平面

平面A2CD.若四棱锥尸-ABCD存在一个内切球，设球的体积为用,该四棱锥的体积为匕，则J的值为

72

()

6兀n百兀C岛n百兀

A.D.>------------U•

6121854

【答案】C

【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、面面垂直证线面垂

直

【分析】过点尸作出四棱锥P-ABCD的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体积求出球半

径计算作答.

【详解】如图，取中点8中点N,连接尸Af,PN,MN,

因△声是正三角形，则又ABCD是矩形，有MN上AB,

而平面平面平面尸ABc平面ABCD=AB,PA/u平面弘8,A£Vu平面ABC£>,

因此PA/_L平面ABCD,初V_L平面上钻，

又ADIIMNIIBC,则A£>_L平面上45,3C_L平面则A£)_LR1,BC1PB,

PMcMN=M,PM,MNu平面尸MV,则平面9V,又PNu平面尸MV,

所以AB_LPN,而AB〃CD,则CDLPN,显然APADRPBC,

由球的对称性和正四棱锥尸-ABCD的特征知，平面尸MV截四棱锥尸-A5CE>的内切球。得截面大圆，

此圆是RtZkPMN的内切圆，切MN,分别于E,F,有四边形OEMF为正方形，

2>

设AD=x,又PM=昱,PN=J-+x2则球的半径r=gi一-+x

2V424J

又四棱锥P-ABCD的表面积为S=SVMB+2S、PAD+SABCD+SVPCD=^-+x+x+^,

由^P-ABCD=J=3^ABCD，PM,解得X={>

所以"=

v2lo

故选：c.

【点睛】关键点睛：本题解题的关键是过点尸作出四棱锥尸-ABCD的内切球截面大圆，利用等体积法求出

内切球半径「和AD.

【变式1-1］（23-24高一下•浙江宁波•期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖

膈.在鳖膈A-BCD中，平面BCD,BCA.CD,且AB=3C=CD=1,则其内切球表面积为（）

A.3兀B.抬71C.^3—2^2j71D.—1）无

【答案】C

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、线面垂直证明线线垂直

【分析】设四面体ABCD内切球的球心为0,半径为「，则

+

^ABCD=^O-ABC+^O-ABD+^O-ACD+^O-BCD~S&ABC+S&ABD^AACD+S*CD）,求得

^ABCD~^AABC+^AABD+^AACD+^ABCD=1+V2>匕（BCD=§义］X1X1X1=q，从而求得厂,根据球的表

面积公式即可求解.

【详解】

A

因为四面体ABC。四个面都为直角三角形，平面

所以AB上BD,AB上BC,BC上CD,ACLCD,

设四面体ABC。内切球的球心为0,半径为一，

r++

则^ABCD~^O-ABC+K)-ABD+^O-ACD+^0-BCD=§(^AABC^ABD^hACD+^BCD)

LL3V

所以厂=飞一，

ABCD

因为四面体ABCD的表面积为S^CD=^AABC+^AABD+^AACD+^ABCD-+及，

又因为四面体A5CD的体积匕BCD=7x^xlxlxl=7J

32o

所以，工处，

S2

所以内切球表面积S=4兀产=(3-20)兀.

故选：C.

题型03补形法

②对棱相等模型(补形为长方体)

题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径

(AB=CD,AD^BC,AC=BD)

【典例1-1】在VA3C中，BC=6,AB+AC=8,E,F,G分别为三边BC,CA,A8的中点，将AAFG,

△BEG,△€£尸分别沿尸G,EG,斯向上折起，使得A,B,C重合，记为P,则三棱锥尸-EFG的外接球

表面积的最小值为（）

15K17兀19兀21K

A.B.C.D.

2222

【答案】B

【知识点】基本（均值）不等式的应用、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】设凡8=2m，AC=2n,由题设m+〃=4.将尸-EFG放在棱长为x,y,z的长方体中，可得羽

的关系式，三棱锥P-EFG的外接球就是长方体的外接球，利用基本不等式结合球的表面积公式求解.

【详解】设AB=2m,AC=2n,由题设“i+〃=4.

三棱锥尸―EFG中，FG=PE=3,EF=PG=m,EG=PF=n,

将P-EFG放在棱长为x,y,z的长方体中，如图，

三棱锥尸—EFG的外接球就是长方体的外接球，

2

所以（2R）2=x+y2+z2=g（9+根？+〃2）,

由基本不等式疗+〃2"+-=8,当且仅当〃?="=2时等号成立，

2

所以外接球表面积s=4几后＞|（9+8）7t=^.

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题解决的难点是根据题意得到三棱锥尸-EPG的特征，从而放置到相应的长方体中,

由此得解.

【典例1-2】据《九章算术》中记载，"阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”,

24,底面4BCD,底面4BC。是矩形，且PA=5,AB=4,BC=3,则这个“阳马”的外接球表面积为（）

A.5TTB.200兀C.50TID.100兀

【答案】C

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥P-ABCD的

外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积.

【详解】把四棱锥P-ABC。补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥尸-ABCD的

外接球直径，

设球半径为R，则（2R>=PA2+AB2+BC2=50,

球表面积为S=4兀4=5071.

【变式1-1】三棱锥P-ABC中，上4,平面ABC,S.PA=AB=2,ABrBCS.BC=4,三棱锥尸—ABC的

外接球表面积为（）

28»

A.16rcB.20nC.-----D.24rt

3

【答案】D

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线，则得到长方体外接球的直径，利用球的表

面积公式求解即可.

【详解】解：因为三棱锥P-A2C中，24,平面ABC,AB±BC,

不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，

因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，因为g=AB=2,BC=4,

则长方体的长宽高分别为4,2,2,所以三棱锥P-ABC外接球的半径R=gJ2?+噌+」=日,

故三棱锥尸-ABC外接球的表面积S=4irR2=24n.

故选：D.

p

【变式1・2】已知三棱锥A-5CD的所有棱长均为2,球。为三棱锥A-5CD的外接球，则球。的表面积为

()

A.兀B.2兀C.4兀D.6兀

【答案】D

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】把正四面体放置在正方体中，转化为正方体外接球问题，求出半径，代入球的表面积公式求解即

可.

【详解】三棱锥A-BCD的所有棱长均为2,

故可把三棱锥A-BCD放置在正方体中，

如图

设正方体的棱长为则/+/=22,解得八五，

三棱锥A-8CD的外接球就是正方体的外接球，

故球。的半径7?=率=当，所以球。的表面积5=4兀［*］=671.

故选：D

【变式1-3］在边长为4的正方形A8CQ中，如图甲所示，E,F,M分别为BC,CD,BE的中点，分别沿

AE,AP及所所在直线把“£3以4万和折起，使B,C,O三点重合于点P,得到三棱锥P-AEF,

如图乙所示，则三棱锥尸-AEF外接球的体积是；过点M的平面截三棱锥尸-但外接球所得截

甲乙

【答案】8扁［兀,6兀］

【知识点】球的截面的性质及计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】对于第一空，三棱锥尸-AE尸外接球即为补形后长方体的外接球，从而即可求解；对于第二空，由

最大截面为过球心。的大圆，最小截面为过点M垂直于球心。与“连线的圆即可求解.

【详解】对于第一空，由题意，将三棱锥补形为长、宽、高分别为2,2,4的长方体，如图所示，

三棱锥尸乂所外接球即为补形后长方体的外接球，

所以外接球的直径（2R『=22+2?+4?=24,所以R=布,

所以三棱锥尸-A所外接球的体积为V==8诟t；

对于第二空，过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面为圆，

其中最大截面为过球心。的大圆，此时截面圆的面积为兀汽2=兀（«了=6兀，

最小截面为过点M垂直于球心。与M连线的圆，

此时截面圆半径,=JR2一。〃2=一］等：=后*=1（其中"N长度为长方体前后面对角线长度）,

则截面圆的面积为兀r2=it,

所以过点M的平面截三棱锥P-W的外接球所得截面的面积的取值范围为［兀,6兀］.

故答案为：8扃；［兀,6兀］.

题型04单面定球心法（定+算）

【解题规律•提分快招】

步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-A5C中，选中底面AABC,确定其外接圆

圆心a（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心

a

2。r=------）、；

sinA

②过外心做（找）底面AABC的垂线，如图中pq，面ABC,则球心一定在直线（注意不一定在线段尸。1

上）PQ上;

③计算求半径R：在直线尸。1上任取一点。如图：则0P=Q4=R,利用公式042=014+00;可计算

出球半径

【典例1-1】已知球。是正三棱锥尸-A5c的外接球，若正三棱锥尸-ABC的高为近，底边=则

球心0到平面ABC的距离为（）

A.正B.也C.旦D."

4242

【答案】A

【知识点】多面体与球体内切外接问题

【分析】设正三棱锥尸-A6C的底面中心为Q为BC的中点，连接A。，显然球心O在直线PM上，由

OA2=+侬2可得外接球半径，从而得解.

【详解】设正三棱锥尸-ABC的底面中心为。为BC的中点，连接AD

显然球心。在直线上，设球。的半径为凡因为尸加=忘，

所以球心。到底面ABC的距离为OM=|鱼-R|,AM=-AD=-ABx^=l,

332

由042=0“+.2,得R2=（QR）2+F,R=_^=£^,

2V24

所以球心。到平面ABC的距离为0一逑=1.

44

故选：A

【典例1-2】在四面体ABC。中，AB=4,CD=2,AC=AD=BC=BD=3,则四面体ABC。的外接球表面积

为.

■“人-,1..657C,65

【答案】

44

【知识点】多面体与球体内切外接问题

【分析】取C。中点E,连接AE,8E,设出球心，求出△38的外接圆半径，根据A尸2+0尸=A02可建

立关系求出.

【详解】如图，取8中点E,连接的,砥，

因为A5=4,Cr>=2,AC=AD=BC=BO=3,

所以人石工⑺刀石，。。,

易求得BE=AE=d3?—f=2血，满足，

所以因为BEnCO=E,所以AE_L平面BCD,

设球心为0,球半径为R,设△BCD的外接圆圆心为O',半径为「，

可得sin/BCD=^=逑,则2yBD=述,即一述

BC3sinZBCD48

2

在AE上取一点/，令OO'=EF,则EF=00'=ylOB-O'B-=

mc口。弁9虎7后AF=2V2-^7?2-1|)

OF=OE=2,2---------=--------，

88

因为在Rt^AOF中AF-+OF2=AO2,

所以20—卜+［半］=R2,解得尺=字,

所以表面积为4兀心等

故答案为：等

A

【变式1-1】已知球。为棱长为1的正四面体ABC。的外接球，若点尸是正四面体A3。的表面上的一点,

。为球。表面上的一点，则|尸0的最大值为（）

A.逅B.逅C.逅D.如

61242

【答案】D

【知识点】球的结构特征辨析、多面体与球体内切外接问题

【分析】求出正四面体外接球半径，再分析出最大值即可外接球直径.

【详解】首先求出正四面体外接球的半径：

由正四面体的对称性与球的对称性可知球心在正四面体的高上：

设外接球半径为R，如图（。为外接球球心，G为△BCD的重心），

CE=-,CG=-CE=—,EG=-CE=—,

23336

AG=^AC2-CG2=—>:.OG=直一R,

33

Rt^OCG中，OC?=OG2+CG2,

即严=g—R『+（多2,得R邛,

因为点尸是正四面体ABC。的表面上的一点，。为球。表面上的一点，

则|尸。|的最大值相当于外接球的直径,则闿最大值为2R=2x手邛.

故选：D.

D

【变式1-2】已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为40兀，则该三棱柱的体积为（

A.6A/6B.12A/6C.6MD.12A/10

【答案】B

【知识点】柱体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】利用正三棱柱的性质，依题知其内切球和外接球是同心球，先求出外接球半径，再根据球心在底

面的投影恰为底面正三角形的中心，由之求得底面三角形边长，从而可求体积.

【详解】

B

如图，设正三棱柱ABC-的外接球。的半径为R,

贝1」4兀尺2=40兀，解得R=

因三棱柱ABC-A瓦C有内切球，设内切球半径为『，则正三棱柱的高为2升,

连接443。,444。1的中心。2，9,则线段aa的中点即为球心。，

依题意，VABC内切圆半径为「，得QC=2r,AB=26r,

则（2r）2+尸=笛，解得r=应,AB=2娓,

故三棱柱的体积为V=—x（2痣yx2五=12瓜

4

故选：B.

【变式1-3】已知正VABC边长为1,将VA2C绕BC旋转至△ZJ8C,使得平面ABC_L平面BCD,则三棱

锥D-ABC的外接球表面积为.

【答案】$

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】由题意画出图形，取中点G,连接AG,DG,分别取VA3C与△OBC的外心作平面A3C与

平面。8C的垂线，相交于。，则。为四面体A-BCD的球心，再利用勾股定理求出多面体外接球的半径,

代入表面积公式得答案.

【详解】如图，

D

A

取BC中点G,连接AGOG,则AGL3C,DGLBC,

分别取AASC与右加。的外心E,F分别过E,P作平面ABC与平面O3C的垂线，相交于O,则。为四面体

A-BCD的球心，

由AB=AC=D3=DC=3C=1,

所以正方形。EGF的边长为衣£,

二四面体A-3CD的外接球的半径R=JOG?+BG=+QJ=^,

球0的表面积为4兀

故答案为：—.

题型05双面定球心法（两次单面定球心）

【解题规律•提分快招】

如图：在三棱锥尸—ABC中：

①选定底面AABC,定AABC外接圆圆心。1

②选定面AR43,定AB43外接圆圆心。2

③分别过。1做面ABC的垂线，和。2做面的垂线，两垂线交点即为外

接球球心。.

【典例1-1】已知菱形ABC。的各边长为2,〃=60。.如图所示，将AACD沿AC折起，使得。到达点S的

位置，连接S3,得到三棱锥S-ABC,此时S3=3,E是线段S4中点，点尸在三棱锥S-ABC的外接球上

运动，且始终保持班，AC,则三棱锥S-ABC外接球半径为，则点产的轨迹的周长为.

【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直

【分析】根据线线垂直可得AC，平面SMB,由直角三角形可得三棱锥的高，结合勾股定理进而可得三棱

锥外接球的半径，可得点的轨迹为截面圆的周长.

【详解】取AC中点则AC±SM,BM^SM=M,u平面SMB,

ACmSMB,SM=MB=6，又SB=3,

:.NSBM=ZMSB=3。。,

作LAC于设点尸轨迹所在平面为a,

则平面a经过点“且AC_La,

设三棱锥S-ABC外接球的球心为0,^SAC,△班C的中心分别为。1，02,

易知。q_L平面SAC,00?_L平面BAC,且0,。「02,M四点共面,

由题可得NOMQ=|ZO]MO2=60°,OXM=；SM=与,

在RtAOOM，得OOI=6QM=1,又OR=«M=当

则三棱锥S-ABC外接球半径r=Joo；+0,2=

易知。到平面a的距离d=MH=g,

故平面a截外接球所得截面圆的半径为（=介一屋=

•・・截面圆的周长为兀钎竽兀，即点尸轨迹的周长为¥*

故答案为：与，号.

S,o

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问

题求解，其解题思维流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相

等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些

元素的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

【典例1-2］如图，在四面体中，与均是边长为2括的等边三角形，二面角

的大小为120。,则此四面体的外接球表面积为.

C

【答案】28无

【知识点】球的表面积的有关计算、由二面角大小求线段长度或距离

【分析】由已知结合二面角及三棱锥的性质先定出球心的位置，然后结合球的性质求出球的半径，进而求

得答案.

【详解】过球心。分别作平面ABD、平面BDC的垂线,垂足分别为。1，打，则。1，。2分别为与乙BCD

的外心，

取80的中点7/,连接02H,因为△ABD与△BCD均是边长为2月的等边三角形

所以为二面角A-BD-C的平面角，即ZO.HO,=120°,

在R/AOH。中,四=9冬2庠1,NOHO、=；/0则=60。,

所以oq=〃qYanNO〃q=g,在R/AOA。中，AO[=2HOi=2,

故外接球的半径7?=。4=5/^2=5，所以外接球的表面积为5=4兀々=28兀

故答案为：28兀

【变式1-1]如图，在四面体A28中，VABC和AACE)均是边长为6的等边三角形，D3=9,则四面体ABCZ)

外接球的表面积为;点£是线段A。的中点，点厂在四面体A2CD的外接球上运动，且始终保持

EF±AC,则点尸的轨迹的长度为.

【答案】84兀5后

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、立体几何中的轨迹问题

【分析】设四面体ABC。外接球的球心为。ADACABAC的中心分别为«,。2,则可得。。J_平面

DAC,OO21^BAC,且。,。|,。2，加四点共面，可得/OMa=g/qMO2=60°，进而求出。。1、O,D,

然后由勾股定理求出四面体ABCD外接球的半径；取AC中点作AC于“，设点尸轨迹所在平面

为a,求出四面体ABCD外接球半径和0到平面a的距离，从而可求出平面a截外接球所得截面圆的半径，

进而可得结果.

取AC中点M,连接曲公DM,则u平面DMg,

又VA3C和均是边长为6的等边三角形，DB=9,

,ACJ_平面DMB，DM=MB=正-号=3下）,

所以8sZDBM=1+卜.—"=走，

2x9x3括2

•••ZDBM=NMDB=30°,

设四面体ABCD外接球的球心为O,GAC,^BAC的中心分别为旦,O?,

易知。平面ZMC,Oa，平面BAC，且O。。，加四点共面，

由题可得

ZOMOX=|ZOXMO2=60°,OjAf=；DM=道,

在R〃OO|M中，得OO[=6C\M=3,又0\D=%DM=2坦,

2

则四面体ABCD外接球半径r=《00；+0P=干+2可=721,

所以四面体ABC。外接球的表面积为4W2=4兀x（0T）2=84兀；

作EHLAC于a，设点尸轨迹所在平面为a,

则平面a经过点H且4c_La,

3

易知。到平面。的距离d=MH=7，

2

故平面a截外接球所得截面圆的半径为外=介_/=即；=（,

所以截面圆的周长为/=2叫=56,即点P轨迹的周长为5岳.

故答案为：84兀；5石7i.

题型06平行线（相交线）法做截面

【解题规律•提分快招】

平行线法:经过两条平行（相交）直线确定唯一平面

【典例1-1]（23-24高三上•北京东城•期末）如图，在正方体ABCD一片B£R中，A8=2,£尸分别是DD「即

的中点.用过点/且平行于平面ABE的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（）

A.&B.275C.V5D.叵

2

【答案】B

【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形

【分析】根据平行四边形的性质可得四边形RG*w为截面所在的四边形，即可利用线面垂直得四边形

QG&w为矩形，即可求解.

【详解】取AA的中点加，连接

则MFUABUCR，故四边形D£FM为平行四边形，即为过点F且平行于平面4洱的截面,

DtM=石,MF=2,且CQ_L平面ADDXCX,DXMu平面ADD©，则CQ±D,M,

故四边形为矩形，

故四边形的面积为MB，/=26，

故选：B

【典例1-2］（21-22高二上•北京•阶段练习）正方体ABCD-A/B/C/Q中，E是棱A/Q中点，/是棱48中

点，G是棱BC中点，作出过E,F,G的平面截得正方体的截面形状.

【答案】作图见解析

【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形、面面平行证明线线平行

【分析】根据正方体的几何结构特征，结合平面的性质，即可求得截面的性质.

【详解】过E,F,G的平面截得正方体的截面为六边形EKPGH。，如图所示，

作法：根据给定的条件，得到尸G就是一条交线，

又因为平面ABCOII平面4B/C/Q,第三个平面和它们相交，截面和面A/SG。/的交线一定和尸G平行,

又由石是4。/的中点，故取。口的中点。，则E。也是一条交线，

再延长QE和8/4的延长线交于点M,则点M在平面A/B/C/功和平面ABBiAt的交线上，

连接交A/A于点K,则EK,KP又是两条交线，

同理可以得到。"，HG两条交线，

因此，六边形EKFGHQ就是所求截面.

【变式1-1]（23-24高一下•北京通州,期末）如图，正方体48CD-ABIGR的棱长为1,E为8C的中点,

产为线段CG上的动点，过点A,E,尸的平面截该正方体所得截面记为S,则下列命题正确的是

①直线与直线"相交；

②当0<CF<；时，S为四边形；

③当尸为C4的中点时，平面AE尸截正方体所得的截面面积为六；

O

④当Cb=：时，截面S与42，G2分别交于则削=4.

【答案】②③④

【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形、异面直线的判定

【分析】①，由，£>//平面ACQA，可知直线与直线AF不可能相交，即可判断；

②，由0<b<；可得截面S与正方体的另一个交点落在线段。A上，即可判断；

③，由E为BC的中点，尸为CC]的中点，可得截面为等腰梯形，求出等腰梯形的上、下底和高，即可求得

截面面积，即可判断；

31

④，当CF=a时，延长。。至&，使=连接AT?交AA于连接跖交GR于N连接MN,取AD

的中点s,D2上一点Q,使连接SE、SQ.QF,可求得再利用勾股定理求出MN,

4

即可判断.

【详解】①，因为尸为线段CG上的动点，所以诙U平面ACGA，由正方体可知2。//平面ACGA，所

以直线A。与直线AF不可能相交，故①错误;

②，当0<CF<g时，截面S与正方体的另一个交点落在线段。A上，如图所示:

所以截面为四边形；

又AGu面4MG,故4G〃面4.，故②正确;

③，连接AR,R尸,AEBG，如下所示：

因为E为BC的中点，/为CC|的中点，

则EF//BCJIADt,故面AEFD,即为平面AEF截正方体所得截面；

在RtA，G尸和RtAABE中,

又==乎，故该截面为等腰梯形，

又EF=：BCi={BB；+qC；=曰,AD1=JM+A.=友,

故截面面积S=；（EF+A2）xJoJp^^y=；x等+应*竽=|,故③正确;

31

④，当=a时，延长。。至R,使D[R=],

连接AR交AR于M,连接火尸交C2于N连接肱V,

3

取AD的中点S,OR上一点。，使连接S区SQ.QF,

4

如图所示:

R

因为SE〃/）C且SE=DC,。//ADC且。尸=DC,

所以SE〃。尸且SE=QF,所以四边形SEFQ是平行四边形，则SQ〃族,

133

由。R=5，DQ=-,所以QR=QR+DR=D〃一。Q+RR=Z，

则。为。R中点，则SQ//4?,所以砂//4?,

又ARD\N~^FClN,^RDlM~^A\M,

11

RN_2K=2D1M=D\R=2=1

倚£NQFt_3AA12

一4

2211

所以，N=

则在RtAMRN中MN=SN+DIM2=+[]=y-，故④正确；

故答案为：②③④.

【变式1-2]（23-24高一下•北京昌平・期末）在棱长为1的正方体A2CD-ABGR中，E,F,G分别为

棱44-CR,CQ的中点，动点以在平面屏'G内，且DH=1.给出下列四个结论：

①AB〃平面EFG；

②点H轨迹的长度为无；

③存在点H,使得直线DHL平面所G；

④平面跳G截正方体所得的截面面积为38.

一4

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【知识点】判断正方体的截面形状、判断线面平行

【分析】根据aEG都是棱的中点，可以做出过耳尸,G的截面，再根据正方体的棱长和。”的长度，可确

定H点的轨迹，从而可判断各个结论的正确性.

【详解】如图：

因为歹，G分别为GA，CG中点，所以尸G//CR,

又CD］AB,所以AB//尸G,又歹Gu平面跳G,人田。平面E〃G,

所以A3//平面EFG,故①成立；

连接。鸟，交EG于点0,易证。与，平面EFG,0D=—,DH=l,

2

所以OH=g,故H点轨迹是平面EFG内以。为圆心，以g为半径的圆，

所以H点轨迹长度为：2兀、：=兀，故②成立；

由②可知，不可能与平面跳G垂直，故③不成立；

做出截面所G,可知截面是正六边形，且边长为交，其面积为：6x3x［变］=迪,故④成立.

24(2)4

故答案为：①②④

【点睛】方法点睛：根据线面平行的判定和性质，可以确定过点EEG三点的截面.

题型通关•冲高考

一、单选题

1.（2024・北京朝阳•一模）在棱长为1的正方体ABCD-A瓦GR中，£,F,G分别为棱44一BC,CQ

的中点，动点H在平面