辽宁省锦州市2024年中考数学模拟试卷（解析版）

辽宁省锦州市2024年中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.-2的相反数是（）

A.一一B.—C.2D.-2

22

【答案】C

【解析】

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数.

【详解】解：-2的相反数是2,

故选：C.

【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键.

2.据相关研究，经过40min完全黑暗后，人眼对光的敏感性达到最高点，比黑暗前增加25000

倍，将数据25000用科学记数法表示为（）

A.25X103B.2.5X104C.0.25X105D.

0.25X106

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为"ion的形式，其中13al<io,〃为整数.确定”的值时，

要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数

绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，〃是负整数.

【详解】解：将数据25000用科学记数法表示为2.5XI（A

故选：B.

【点睛】此题考查科学计数法，科学记数法的表示形式为"ion的形式，其中1皆3<10,〃

为整数.

3.如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（）

A.B.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案.

【详解】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形,

故选：A.

【点睛】本题考查几何体的左视图，关键在于牢记左视图的定义.

4.某班50名学生一周阅读课外书籍时间如下表所示：

时间/h6789

人数7181510

那么该班50名学生一周阅读课外书籍时间的众数、中位数分别是（）

A.18,16.5B.18,7.5C.7,8D.7,7.5

【答案】D

【解析】

【分析】根据众数、中位数的定义，结合表格数据进行判断即可.

【详解】解：由统计表给出的数据可知阅读课外书籍的时间为7小时的有18人，出现的次

数最多，所以众数是7,

因为有50个学生，所以第25、26个数的和的平均数是中位数，又因为25、26个数分别是

7,8,所以中位数是7.5

故选：D.

【点睛】此题考查数据中关于众数，中位数的知识，根据题意解题即可.

5.如图，AM//BN,ZACB=90°,NM4c=35°,则NCBN的度数是（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】C

【解析】

【分析】过C点作C尸〃利用平行线的性质解答即可.

【详解】解：过C点作CF//AM,

A

■:AM〃BN,

：.AM//CF//BN,

：.ZMAC=ZACF,/CBN=/FCB,

VZACB=90°,ZMAC=35°,

:・NCBN=NFCB=NACB-ZACF=ZACB-ZMAC=90°-35°=55

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，根据题意构造平行线，并熟练掌握平行线的

性质定理是解题的关键.

2x+y=10

6.二元一次方程组《的解是（）

x=2y

x=lx=2

A.4B.4C.4D.4

y=ly=2y=21y=4

【答案】C

【解析】

【分析】方程组利用代入消元法求出解即可.

2x+,y—10O

【详解】解：

x=2y（2）

把②代入①得：4y+y=10,

解得：尸2,

把＞=2代入②得：x=4,

x=4

则方程组的解集为，.

尸2

故选：c.

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与

加减消元法.

7.如图，△48C内接于。。，N8为。。的直径，。为。。上一点（位于下方），CD交

48于点若NBDC=45。，BC=6历,CE=2DE,则CE的长为（）

40C.3&D.4百

【答案】D

【解析】

【分析】连接CO,过点。作DGL4B于点G,连接4D,因为CE=2Z)E,构造

△DGEsMOE,求出DG=3,设GE=x,则。E=2x,DG=3,则NG=6-3x,BG=6+

3x,再利用列出方程即可解决.

【详解】解：连接C。，过点D作。GL/8于点G,连接

；./CAO=/CDB=45°,

,：AB为（DO的直径，

:./ACB=/ADB=9Q°,

:./CAB=/CBA=45°,

,:BC=6&,

，/8=08C=12,

"：OA=OB,

：.COLAB,

：.ZCOA=ZDGE=90°,

•；ZDEG^ZCEO,

：.△DGEs/\C0E,

.DE函1_DG

CEOE2CO

\'CE=2DE,

设G£=x,则。£=2x,DG=3,

•\AG=6-3xf5G=6+3x,

VZADB=ZAGD=90°,

/DAG=NBAD,

：.^AGD^^ADB,

:・DG?=AG*BG,

：.9=(6-3x)(6+3x),

Vx>0,

；.X=君,

：.OE=2jj,

在此△OCE中，由勾股定理得：

CE=Vo^+OC2=也2+36=而

故选：D.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助

线构造出△DG£s/^cOE是解题关键

8.如图，在四边形DEFG中，/E=NF=90°,NDGF=45°,DE=1,FG=3,RtAABC

的直角顶点C与点G重合，另一个顶点8(在点C左侧)在射线尸G上，且8C=1,AC=

2,将△NBC沿G尸方向平移，点C与点厂重合时停止.设CG的长为x,△4BC在平移过

程中与四边形。斯G重叠部分的面积为丹则下列图象能正确反映丁与x函数关系的是()

VA

【答案】B

【解析】

【分析】根据移动过程分三个阶段讨论，第一个是点2到达点G之前，即0<x<l时，求

出了和尤的关系式，确定图象，第二个是点C到达点H之前，即l<x<2时，求出y和x

的关系式，确定图象，第三个是点C到达点尸之前，即2Vx<3时，求出y和x的关系式,

确定图象，即可确定选项.

【详解】解：过点。作

：.EH=2,DH=EF=2,

当0<x<l时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为x,

：；>0,

...该部分图象开口向上,

设4B与DG交与点N,HC与DG交与点M,

则S重叠uSzkGMC-SAGNB''

设5'K=q,则NK=2Q,

VGC=x,B'C=1,

：.GB'=x-1,

・・•AGKN是等腰直角三角形，

:・GK=NK,

••x-1+Q=2Q,

・•Q~~X-1,

：.NK=2x-2,

5___•

；・S重叠=—JtP-（x2-2x+1）=——f+2x—1,

22

v-l<0

...该部分图象开口向下，

当2cx<3时，重叠部分的面积为SA^C，是固定值，

•••该部分图象是平行x轴的线段，

故选：B.

【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要把移动过程分成几个阶段，然后根据

每个阶段的情况单独讨论，确定y和x之间的函数关系式，从而确定图象.

二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）

9.若二次根式依为有意义,则x的取值范围是一

【答案】

2

【解析】

【分析】根据二次根式的被开方数为非负数列式求值.

【详解】•.•二次根式缶豆有意义，

，2x-320,

2

故答案是：

2

【点睛】考查二次根式有意义的条件；解题关键是运用了二次根式有意义的条件，即被开方

数为非负数.

10.甲、乙两名射击运动员参加预选赛，他们每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差

分别是s2甲=1.2,s2乙=2.4,如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参赛，那么应选—

（填“甲”或“乙”）.

【答案】甲

【解析】

【分析】根据方差的意义求解即可.

【详解】解：入2甲=1.2,s2乙=2.4,

S2甲Vs2乙,

则甲的成绩比较稳定,

故答案为：甲.

【点睛】此题考查方差的实际应用，掌握方差的大小对数据稳定性的决定性作用是解题的关

键.

11.一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中

随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了300次球，发

现有120次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为一.

【答案】8

【解析】

【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为04,然后根据概率公式计算这个

口袋中红球的数量.

【详解】解：因为共摸了300次球，发现有120次摸到红球，

所以估计摸到红球的概率为0.4,

所以估计这个口袋中红球的数量为20X0,4=8（个）.

故答案为：8.

【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置

左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来

估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实

验次数的增多，值越来越精确.

12.关于x的一元二次方程N+2x-左=0有两个实数根，则左的取值范围是.

【答案】栏-1

【解析】

【分析】利用判别式的意义得到A=22-4X（-k）然后解不等式即可.

【详解】解：根据题意得A=22-4X（-左）加，

解得心-1.

故答案为左》-1.

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程aN+fcr+c=0（°邦）的根与△=〃-4℃有如下

关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，方程有两个相等的实数根；当

△<0时，方程无实数根.

13.如图，在中，/C=4,N/=60°,/8=45°,8c边的垂直平分线DE交于

点。，连接。，则的长为.

【答案】2+2%

【解析】

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到。B=DC,根据三角形的外角性质得到

90°,根据含30°角的直角三角形的性质求出4D,根据勾股定理求出DC,进而求出/左

【详解】解：•••OE是3c的垂直平分线，

：.DB=DC,

：.ZDCB=ZB=45°,

：.ZADC=ZDCB+Z5=90°,

：N/=60°,

.•.N/CD=30°,

：.AD=—AC^2,

由勾股定理得：DC=J/2_初2=m=2/，

:.DB=DC=2、8,

：.AB=AD+DB=2+2®

故答案为：2+2a.

【点睛】本题主要考查了三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾

股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

14.如图，在矩形4BCD中，4B=6,BC^IO,以点3为圆心、3c的长为半径画弧交

于点E，再分别以点G£为圆心、大于工CE的长为半径画弧，两弧交于点尸，作射线2尸

2

交CD于点G,则CG的长为.

【答案】—

3

【解析】

【分析】根据作图过程可得8尸是/E3C的平分线，然后证明AEBG会ZkCBG,再利用勾股

定理即可求出CG的长.

【详解】解：如图，连接EG,

D

B

根据作图过程可知：8尸是NE8C的平分线，

/EBG=/CBG,

在AEgG和△C2G中，

EB=CR

ZEBG=ZCBG,

BG=BG

:.4EBGqACBG(SAS),

:.GE=GC,ABEG=NC=90。，

在必△/BE中，AB=6,BE=BC=10,

；•/£=JAS-W=8,

；.DE=4D-4E=1Q-8=2,

在放△OGE中，DE=2,DG=DC-CG=6-CG,EG=CG,

:.EG2-DE^=D(?

：.C(?-22=(6-CG)2,

解得CG=—.

3

故答案为：—.

3

【点睛】本题考查了矩形的性质，作图-基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质.

15.如图，在平面直角坐标系中，口。48。的顶点/,8在第一象限内，顶点C在y轴上，

经过点/的反比例函数尸上G>0)的图象交3c于点D.若CD=2BD,口O4BC的面积

X

为15,则左的值为.

【解析】

【分析】过点。作DNA.y轴于N,过点B作BMVy轴于可得CM-2MN，设OC=

a,CN=2b,则MN=b,根据口CM2C的面积为15表示出BM的长度，根据CD=2BD求

出ND的长，进而表示出4。两点的坐标，根据反比例函数系数人的几何意义即可求出

【详解】解：过点。作DNJ_y轴于N,过点3作2MLy轴于

.CN_CD

IN-~BD'

,:CD=2BD,

•CNCD„n

••--=—=，，即CAT=JL

MNBD

设OC=a,CN=2b,则MV=6,

•JaOABC的面积为15,

15

:.BM=——，

-DN/fBM

,•©N~CBlf

.DN__CD_

••前一~CB'

■:CD=2BD,

.CD2

CB-3

：.ND=-BM=—,

3a

1510

・•・/,。点坐标分别为（士，3b）,（―,Q+26）,

aa

—>3Z?=—（a+2b）,

aa

2

・・b=­cif

5

k=-,36=—,3^-a=18,

aa5

故答案为：18.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和反比例函数的几何意义，相似三角形的性质和

判定，利用数形结合思想是解题的关键.

16.如图，/MON=30°,点4在射线上，过点4作出交射线ON于点囱,

将△4081沿4S折叠得到△/㈤囱，点也落在射线（W上；过点也作上比上切交射线

ON于点为，将△也。扇沿及外折叠得到△也出昆，点也落在射线上；…按此作法进

行下去，在NMCW内部作射线分别与小氏，A2B2,A3B3,…,4圈，交于点尸1，尸2，

尸3，…P"，又分别与42又,A3B2,/遇3，…，A„+lB„,交于点。1，Qi,Q,…，Qn-若点

尸1为线段小囱的中点，。4=万,则四边形4舄。/"+1的面积为（用

含有n的式子表示）.

3

【解析】

【分析】先证明△CMlPlS^O外尸2，△。尸1B1S△。尸2%，又点P1为线段小巴的中点，从

而可得22为线段上比的中点，同理可证尸3、尸4、2依次为线段小心、N抠4、…4,5,的中

点.结合相似三角形的性质可得△尸归1。1的PlBi上的高与△PzZzOi的也22上的高之比为

1：2,所以△尸由1。1的尸|囱上的高为同理可得△尸2%。2的尸2星上的高为g4A

…，从而国4=-S.n，以此类推来求4glMc4整A，从而找到

的面积规律.

【详解】解：由折叠可知,0A\=A\A2=,

由题意得：A\B\HA^B^,

.MOARsLOA2P2,AOPiBisAOPzB2,

*"O黑9出1

咨04O石玷出.币一2,

又•••点尸I为线段4S的中点，

••A\P1=P9

.,・/2。2=尸2台2，

则点尸2为线段出殳的中点，

同理可证，尸3、2、…尸”依次为线段出名、曲以、…4Q”的中点.

•:AB//A2B2,

：.APiBiQis^p2A2。1，

3=坐=工

992

则△尸由1。1的P1©上的高与△尸2也。1的42尸2上的高之比为1:2,

.•.△P/1Q1的尸历1上的高为：44，

同理可得△PzBzQ的22星上的高为;4A，.................，

由折叠可知/243=2A^，/%4=4、Q'

■:/MON=30°,

C.A\B\=tan30°XOA\—1,

:・AZB2=2,-•一•一,

=」x道xl-lx」xl4,

2223

同理，AwBjgw=S-$叩0

=；AA-4A-

1

=-x2v3x21xlx】x2百，

223

^B«4IML4«=5MA-C.1-

=」x2i&x2-1-1x丈x4x2"道

2223

与B-2

=有2-2(户_、)

=5M-H

3

故答案为：5/-1

3

【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角

三角函数等知识，解决本题的关键在根据图形的变化找到规律.

三、解答题

17.先化简，再求值：(x-1—-—)4--i~—,其中x=、回-2.

x+1X+x

【答案】X(x+2),3-2、b

【解析】

【分析】先把括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，把各分子和分母因式分解，然后进

行约分化简，最后代入求值.

【详解】解：原式="d3x@+D

x+1x-2

a+2)g)/+D

x+1x-2

=x(x+2).

把％=出一2代入，原式=(君-2)(出-2+2)=3-2出.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.教育部下发的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》要求，初中生每天睡眠

时间应达到9h.某初中为了解学生每天的睡眠时间，随机调查了部分学生，将学生睡眠时

间分为4B,C,。四组（每名学生必须选择且只能选择一种情况）：

N组：睡眠时间＜8h

8组：8hW睡眠时间＜9h

C组：9hW睡眠时间＜10h

。组：睡眠时间210h

如图1和图2是根据调查结果绘制的不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问

题：

（1）被调查的学生有人；

（2）通过计算补全条形统计图；

（3）请估计全校1200名学生中睡眠时间不足9h的人数.

图2

【答案】（1）200；（2）见解析；（3）480

【解析】

【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查了多少名学生;

（2）根据（1）中的结果可以计算出8组的人数，然后即可补全条形统计图；

（3）根据统计图图中的数据，可以计算出该校学生平均每天睡眠时间不足勉的人数.

【详解】解：（1）本次共调查了90・45%=200（人），

故答案为：200；

（2）B组学生有：200-20-90-30=60（人）

补全的条形统计图如图2所示：

20+60

（3）1200X-----------=480（人），

200

即估计该校学生平均每天睡眠时间不足9/z的有480人.

【点睛】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，会计算部分的数量，根据部分的百分比求

总体的数量，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

19.为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动.规律是：将

编号为4,B,。的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上

洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱.

A（我爱你，中国）|卜歌口;祖国）

（没有共产党

就没有新中国）

（1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为；

（2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽

取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率.

【答案】（1）1；（2）图表见解析，-

33

【解析】

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；

（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得.

【详解】解：（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为C的概率为《，

3

故答案为：一；

3

（2）画树状图如下:

开始

共有9种等可能的结果数，其中两个班恰好选择一首歌曲的有3种结果,

所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为2=

93

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法，解题的关键是

理解列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事

件.

20.小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书，小江清点完600本图书比小杰清点完

540本图书少用了5min.已知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的1.25倍，求两名同

学平均每分钟清点图书各多少本.

【答案】小杰平均每分钟清点图书12本，小江平均每分钟清点图书15本

【解析】

【分析】设小杰平均每分钟清点图书x本，则小江平均每分钟清点图书1.25x本，利用时间

=清点图书的总数+平均每分钟清点图书的数量,结合小江清点完600本图书比小杰清点完

540本图书少用了5min,即可得出关于无的分式方程，解之经检验即可得出小杰平均每分钟

清点图书数量，再将其代入1.25x中可求出小江平均每分钟清点图书数量.

【详解】解：设小杰平均每分钟清点图书x本，则小江平均每分钟清点图书L25x本，

540600

依题意得：——--------=5,

xlJ25x

解得：x—12,

经检验，x=12是原方程的解，且符合题意,

...L25x=1.25X12=15.

答：小杰平均每分钟清点图书12本，小江平均每分钟清点图书15本.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

21.如图，山坡上有一棵竖直的树N8,坡面上点。处放置高度为1.6m的测倾器CZ）,测倾

器的顶部C与树底部2恰好在同一水平线上（於BCHMN）,此时测得树顶部/的仰角为

50°.已知山坡的坡度i=l：3（即坡面上点8处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求

树48的高度（结果精确到0.1m.参考数据：sin50°心0.77,cos50°-0.64,

tan50°-1.19）

【答案】约为5.7m

【解析】

【分析】先求出3c=4.8m,再由锐角三角函数定义即可求解.

【详解】解：•..山坡的坡度7=1：3,

.,.i—1:3=tanAf,

■:BCHMN,

：.ZCBD=ZM,

CD

tanZCSD=---=tanAf=l：3,

BC

；.8C=3Cr>=4.8(m),

在中，tan//CB=^—=tan50°^1.19,

BC

心1.198C=1.19X4.8弋5.7(〃z),

即树N8的高度约为5.7〃z.

【点睛】此题考查解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识.正确掌握解直

角三角形的应用-坡度坡角问题、仰角俯角问题是解题的关键.

22.如图，四边形N2CD内接于O。，48为。。的直径，过点C作交AD的延长

线于点E,延长EC,4B交于点F,ZECD=ZBCF.

(1)求证：CE为。0的切线；

(2)若DE=1,CD=3,求。。的半径.

【答案】(1)见解析；(2)。。的半径是4.5

【解析】

【分析】(1)如图1，连接。C,先根据四边形/BCD内接于得NCDQNOBC，再

根据等量代换和直角三角形的性质可得NOCE=90°，由切线的判定可得结论；

(2)如图2,过点。作OG_L屋于G,连接oc,OD,则N。曲=90°,先根据三个角

是直角的四边形是矩形得四边形OGEC是矩形，设OO的半径为X,根据勾股定理列方程可

得结论.

【详解】(1)证明：如图1,连接OC,

图1

-OB=OC

ZOCB=ZOBC

.四边形/BCD内接于G)O,

-ZCDA+ZJBC=1^

又NCDE+Nm4=180°

ZCDE=ZOBC，

'CEVAD

Z£=ZCD£+ZfiCD=90°

ZECD=ZBCF

ZOCB+ZBCF=9GP

ZOCR=9G0

：oc是。。的半径，

；.C£为。。的切线；

(2)解：如图2,过点。作0GJL2E于G,连接。c,OD,则/0例=90°,

Z£=ZOCE=90°

四边形OGEC是矩形，

：・OC=EGiOG=EC

图2

设。。的半径为x,

RtACDE中,CD=ADE=1，

•■•£C=732-l2=2>/2

：OG=2ji，GD=rlOD=x，

由勾股定理得：OB^OGP+DG

•，=(2^)2+(%-以

解得：r=45

.•・O。的半径是4.5.

【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练

掌握相关性质是解决问题的关键.

23.某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元〃，加工过程中原料

的质量有20%的损耗，加工费加(万元)与原料的质量xG)之间的关系为%=50+0.2x,

销售价y(万元〃)与原料的质量x(?)之间的关系如图所示.

(2)设销售收入为尸(万元)，求尸与x之间的函数关系式；

(3)原料的质量尤为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？(销售利

润=销售收入-总支出).

【答案】(1)y=-ix+20；(2)P—-1/+16乂；(3)原料的质量为24吨时，所获销

45

售利润最大，最大销售利润是冲万元

5

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法求函数关系式；

(2)根据销售收入=销售价X销售量列出函数关系式；

(3)设销售总利润为心根据销售利润=销售收入-原料成本-加工费列出函数关系式,

然后根据二次函数的性质分析其最值.

【详解】解：(1)设y与x之间的函数关系式为尸公+瓦

将(20,15),(30,12.5)代入，

20上+&=15

可得：《

30t+b=125

解得：•

3=20

'-y与%之间的函数关系式为y———X-F20；

4

(2)设销售收入为尸(万元),

4

..严=(1-20%加=-xl--x+20|X=--X2+16X,

545

与X之间的函数关系式为尸J/+16X；

5

(3)设销售总利润为M

AW=F-62c-m=--^+16x-6J2x-(50+0^x).

整理，可得：JF=-L7+&-50=-如一河+早

5

--<0,

5

当尸24时，少有最大值为学,

原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是士空万元.

5

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及了数形结合的数学模拟思想，熟练掌握待定

系数法求解析式是解决本题的关键.

24.在△N8C中，AC=AB,NBAC=a,。为线段N8上的动点，连接DC,将DC绕点。

顺时针旋转a得到连接CE,BE.

DB

图1图2备用图

(1)如图1,当a=60°时,求证：MAD会ACBE；

3

(2)如图2,当tana=一时,

4

①探究和之间的数量关系，并说明理由；

②若4C=5,H是BC上一点,在点。移动过程中，CE+EH是否存在最小值？若存在，请

直接写出CE+E”的最小值：若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）①包=叵，理由见解析；②存在，24.

BE225

【解析】

【分析】（1）首先证明△NC8,都是等边三角形，再根据S/S证明三角形全等即可.

⑵①结论：理=叵.利用相似三角形的性质解决问题即可.

班2

②如图2中，过点C作C7L2E交3E的延长线于/作点C关于2E的对称点R,连接

BR,ER,过点R作RTJ_BC于7.利用相似三角形的性质求出CJ=2匝，推出点E的运

5

动轨迹是射线BE,利用面积法求出RT,可得结论.

【详解】（1）证明：如图1中，

图1

Va=60°,AC=AB,

：.AABC是等边三角形，

：.CA=CB,ZACB^60°,

:将DC绕点D顺时针旋转a得到DE,

:.DC=DE,NCDE=6Q°,

...△CDE是等边三角形，

：.CD=CE,ZDCE=ZACB=60°,

：.ZACD=ZBCE,

:.ACADmACBE(S/S).

⑵解：①结论：—=2^?.

BE2

如图2中，过点C作CKLAB于K.

CK3

*.*tanNC4K=------=",

AK4

.•.可以假设CK=3左，AK=4k,则/C=/2=5九BK=AB-AK=k,

BC=JiF+cF=而比

■;NA=/CDE,AC=4B,CD=DE,

：./ACB=NABC=/DCE=/DEC,

:.△ACBsADCE,

,ACCB

CDCE

,^C=CD

CBCE

'：ZACB=ZDCE,

：.ZACD=ZBCE,

:.AACDsABCE,

.AD_4C_5左次

BE诟、版F

②如图2中，过点C作交3E的延长线于/作点C关于BE的对称点凡连接

BR,ER,过点R作K7_L3C于7.

'：AC=5,

由①可知，NK=4,CK=3,8C=而，

；ACADs^BCE,CKL4D,CJLBE,

./^=—=叵（全等三角形对应边上的高的比等于相似比），

CJBC2

——3而

5

/.点E的运动轨迹是射线BE,

VC,R关于BE对称，

“R=2Q=6厮.

5

,：BJ=Caf=｛（而

ii

■:S&CBR=—・CR，BJ=—'CB'RT,

22

••-Zvi55，

屈25

,：EC+EH=ER+EH^RT,

：.EC+EH^,

25

：.EC+EH的最小值为24a.

图2

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形

的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，确定

点E的运动轨迹是最后一个问题的突破点，属于中考压轴题.

25.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-x+l分别与x轴、y轴交于点4C,经过点

4

副图2

（1）求抛物线的表达式.

（2）M为抛物线上的动点.

①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；

②如图2,点M在直线CD下方，直线（OM〃CO的情况除外）交直线CO于点8,作

直线8。关于直线对称的直线8以，当直线8ZX与坐标轴平行时，直接写出点M的横

坐标.

【答案】⑴尸Jr-h+1；⑵①点〃的坐标为（3+屋2）或（3-项,

44222

-）；②点M的横坐标为3或3或上祖匹

2

【解析】

【分析】（1）先由直线解析式求出/,C,。的坐标，再由C,。坐标求出抛物线解析式；

（2）①设N0）,由平移与坐标关系可得点M的坐标，然后代入抛物线的解析式求解

即可；②因为直线8以与坐标轴平行，所以8以〃x轴和8ZX〃y轴分类讨论，以8ZX〃x

轴为例，画出草图，由于平分/D8/X!,又NAOB=/等量代换，可以证得△NO8

是等腰三角形，求出N8的长度，并且有力和。点坐标，求出ND/O的三角函数值，过8

作轴于〃，在直角中，利用N8的长度，和N8M7的三角函数值，求出

和的长度，得到5点坐标，进一步得到直线的解析式，联立直线03和抛物线解析

式，求得交点M点坐标，当2以〃y轴，用同样的方法解决.

【详解】解：（1）令x=0,则y=-x+l=l,

4

，C点坐标为（0,1）,

3

令>>=0,则一次+1=0,①

4

4

••x=—>

3

一4

•''A点坐标为（---，0）,

3

311

令Ax=6,贝1|尸一其+1=—，

42

二。点坐标为（6,卫），

2

将C,D两点坐标代入到抛物线解析式中得，

C=1

11,

9+66+c=—