利用导数研究切线与单调性问题（9题型+高分技法+限时提升练）-2025年天津高考数学复习专练（解析版）

热点05利用导数研究切线与单调性问题

明考情・知方向

三年考情分析2025考向预测

导数的切线问题，单调性问题一直是天津高考数学的

切线：

中重点内容，从近几年的高考情况来看，高考依旧会

2022年，第20题（1）,考察求“在”型切线

涉及导数的运算及几何意义，以选择填空题或出现在

2023年，第20题（1）,考察求“在”型切线

解答题第一问的形式考察导数的意义、求曲线的切线

2024年，第20题（1）,考察求“在”型切线

方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问

进行考查，试题难度属中低档。

热点题型解读

题型1"在"型切线

题型2"过”型切线

题型7已知函数在区间上存在单调区间

题型3公切线问题4

I—切线与单调性

题型8已知函数在区间上不单调

题型4切线条数问题

题型9含参问迈讨论单调性|.■

夕

题型5与切线有关的距离最小值问题7

题型1"在"型切线

sV*w*

;已知：函数/（X）的解析式.计算：函数/（X）在x=x。或者（4,/（%））处的切线方程.

;步骤：第一步：计算切点的纵坐标/（%）（方法：把X=X。代入原函数/（X）中），切点（4,/（%））.

:第二步：计算切线斜率左=/（%）.

:第三步：计算切线方程.切线过切点（后,/（兀）），切线斜率左=/'（4）。

根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-/（x0）=/'（%0）（x-x0）.

1.（2022,河南焦作•二模）函数f（x）=（2e-4cosx的图象在尤=0处的切线方程为（）

A,x-2y+l=0B.x-y+2=0

C.x+2=0D.2尤-y+l=0

【答案】B

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

【分析】利用导数，由切点和斜率求得切线方程.

【详解】由题意，函数/（x）=（2e*-x）-cosx,可得尸（x）=（2e、-l）-cosx-（2e，-x）-sinx,

所以r（0）=（2e°-l）.cos0—（2e°-0）.sin0=l,/（0）=（2e°-0）-cos0=2,

所以/（x）在x=0处的切线方程为、_2=*_0,即x_y+2=0.

故选：B

2.（24-25高三上・江西•阶段练习）已知函数〃x）=l-2x-sinx,则曲线y=在尤=0处的切线方程为

（）

A.2x+y-1=0B.2x-y+1=0C.3%-y+l=0D.3%+y-l=0

【答案】D

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

【分析】导函数在尤=0处的函数值即为斜率，点斜式即可写出直线方程.

【详解】因为/（x）=l—2x-sinx,所以尸（x）=-2—cosx,故/（0）=1,/'（0）=-3,所以曲线y=/（均在x=0

处的切线方程为>T=-3x,即3x+y-l=0.

故选：D.

22

3.（23-24高三上•天津滨海新•期中）函数y=lnx——的导数为,曲线y=Inx-—在％=1处的切线

xx

方程为.

1?

【答案】-+—3x-y-5=0

xx

【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

【分析】由导数运算法则可求导数，再利用导数求出斜率，由点斜式可得切线方程.

2

【详角军】设/（%）=lnx——,x>0,

e,,/、1<1]12

则/W=--2---=-+—；

尤\X)XX

所以r(1)=3,且/⑴=一2,

即直线斜率左=3,过点(1,-2率

2

故曲线y=lnx-*在尤=1处的切线方程为y+2=3(x-l),

x

即3%—y—5=0,

1?

故答案为：—+—；3%-丁一5二0.

xx

2x-l1

4.(22-23高三上•天津滨海新•期中)已知函数〃x)=则曲线y=〃x)在x处的切线方程是一

【答案】8元+>-8=0

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、求过一点的切线方程、导数的运算法则、简单复合函

数的导数

【分析】先求出导函数，求出广(£|=-8,在x处点为g,4),再根据点斜式求出直线再转化为一般式即可.

2x-12%-122x-1

【详解】•..〃x)=MP2ex-2xe2e2f_2e2、'T

x3

2e°x1-2e°

=——=一8,曲线y=/(x)在x=：处的切线过点，,41

GJ

贝I曲线y=〃x)在x=；处的切线方程是、-4=一81一£|,即8x+y-8=0.

故答案为：8x+y-8=0.

5.(2024•贵州铜仁•模拟预测)已知定义在R上的函数满足2〃x)=/(T)+6e*,则曲线y=〃尤)在

点(0,/(0))处的切线方程为.

【答案】2x-y+6=0

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)

【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程.

【详解】因为2/(x)=〃f)+6e”,所以2r("=—/'(r)+6/,

令x=0,得2尸(0)=-尸(-0)+6e°,解得/'(0)=2,所以切线斜率为2,

因为2/(x)=/(r)+6e，，令x=0,得2〃0)=〃-0)+6e。，

解得/(。)=6,所以切点坐标为(0,6).

所以y=/(x)在点(0，〃0))处的切线方程为y-6=2(A0),即2x-y+6=0.

故答案为：2x-y+6=0.

题型2"过”型切线

!0O甘百

：已知：函数/(x)的解析式.计算：过点4(xi，x)(无论该点是否在y=/(x)上)的切线方程.

1步骤：第一步：设切点6(%,%)

;第二步：计算切线斜率左=/'(/)；计算切线斜率左=,-；

%一昌

第三步：令：左=/'(%)=耳三，解出/,代入上=/'(%)求斜率

X]—XQ

第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-%=/'(%)(x-%).

石1膏三蒜侪晟煮笄承西至友赢茄而■浦i营元彳二，二二二显而募薪

A.1B.2C.3D.0

【答案】B

【知识点】求过一点的切线方程

【分析】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可.

【详解】由/(x)=d-3x—2=/'(耳=3/—3,

当点(2,0)是切点时，此时切线的斜率为­(2)=3X22-3=9,此时有一条切线；

当点(2,0)是不切点时，设切点为5,%),则切线的斜率为尸(x0)=3x；-3,

切线方程为：y-(^-3%0-2)=(3x^-3)(x-x0),该切线过点(2,0),

于是有0—(%；—3%0—2)=(3片—3)(2—毛)=>X；—3%Q+4=0=>片+1—3年+3=0

n(无o+1)(考_尤0+1)(尤0-1)=On(/+1)伉—2)2=0=>%=—1或=2(舍去),

综上所述：过点(2,0)可作曲线〃力=X3-3X-2的切线条数为2,

故选：B

2.(2024•天津和平•二模)过点(0,0)作曲线y=2'(xeR)的切线，则切点的坐标为.

【答案】GM

【知识点】基本初等函数的导数公式、求过一点的切线方程

【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立方程，将(0,0)代入求解即可.

【详解】设切点的坐标为卜2),由y=2«eR),y=21n2,

所以过切点的切线方程为：y-2'=2'ln2(xT),

把（0,0）代入得：一2t=-t-2fIn2,即Hn2=1,

所以，=/二，则切点坐标为:,Oln2

In2'

3.(2024•贵州•模拟预测)过点尸(1,-3)作曲线y=2x3-3x的切线，请写出切线的方程.

【答案】3x+y=0或21尤-2了-27=。

【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的加减法、求过一点的切线方程

【分析】设切点3,2〃-3”)，求导并写出切线方程，代入点(1,-3)求出。值即可.

【详解】设切点为(a,2a3-3a),而洋(分=6叱-3,

所以切线的斜率左=(⑷=61-3,故切线方程为j-(2a3-3a)=(6a2-3)(.r-。)，

因为切线过点(1,一3),.'.-3-(2a3-3a)=(6a2-3)(1-a),

化简可得。=0或a=9,则切点为(o,o)或(I，3，

则代入得切线方程为：3x+y=0或21一2y—27=。，

故答案为：3x+y=0或21x-2y-27=°.

4.(2024•江西鹰潭•三模)已知函数/(x)=21nx+l.

(1)求曲线y=过点(。,1)的切线方程；

【答案】(l)2x-ey+e=。

【知识点】由导数求函数的最值(不含参)、利用导数研究不等式恒成立问题、求过一点的切线方程

【分析】(1)利用导数的几何意义求解，设切点为(为,%),对函数求导后可得切线的斜率为左=((%),

然后利用点斜式求出切线方程，再将(0,1)代入切线方程可求出毛，从而可求出切线方程；

【详解】(1)设切点为(%,%),则〃x)=21nx+l,得:⑴=[,

2

则切线的斜率％=/'(尤0)=—，

玉)

22

所以切线方程为=—(尤-%),即y-(21nx0+l)=—(x-x0),

2

因为切线过点(。,1),所以l-(21nx°+l)=—(0-化简得lnx°=l,

解得%o=e,

2

所以切线方程为y—(21ne+l)=—(x—e),即2x—ey+e=。；

题型3公切线问题

已知f（x）和g（x）存在〃（〃=1,2,3）条公切线问题

第一步：求公切线的斜率，设/（%）的切点4＞1"（占）），设g（x）的切点5（%，g（X2））；

第二步：求公切线的斜率左=/'（%）与左=g'（%）；

第三步：写出并整理切线

（1）丁一/（%）=/'（%）（工一为）整理得：丫=/'（石＞》一/'（玉）石+/（王）

（2）y-g（X2）=g'（X2）（X—X2）整理得：y=S"（-^2）•X-g'（X2）X2+S（X2）

fW=g'(%2)

第四步：联立已知条件＜

-f'(xl)xl+/(%1)=-g'(x2)x2+g(x2)

消去X得到关于马的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数;

消去马得到关于看的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数;

1.（24-25高三上•江苏•阶段练习）若曲线G：y=Y与曲线Cz：y=aeX存在公切线，则a的最大值

【答案】44

e

【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题

巧2

【分析】设公切线与曲线C|切与点（玉片），与曲线G切与点（々，2）,由题意可得2%=ae*=一一*

“2—"1

化简可得=4七-4,则a=4（x「）,构造函数/（封=勺』，利用导数求出其最大值即可.

【详解】设公切线与曲线G切与点（和片），与曲线Q切与点伍，武），

由y=f,得y=2x；由y=得y，=aex.

RMCX,肥巧-

贝［J2石=ae电=------X-y,

x2一占

所以2玉=白二-2,所以a^=4x,-4,即0=以二D.

%2

x2-x1e

设=贝八）=4e-=—

由/''(xAOnxvZ；由/''(x)<0=>x>2.

所以函数/(x)在(3,2)上单调递增，在(2,”)上单调递减.

4

所以函数〃x)W〃2)=/.

即。的最大值为之.

e-

4

故答案为：—

e-

【点睛】关键点点睛：此题考查导数几何意义，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是设出两切点的

坐标，由切线为两曲线的公切线列方程组求解，考查数学转化思想和计算能力.

2.(2024•山东潍坊•模拟预测)已知〃x)=e-l(e为自然对数的底数)，g("=lnx+l,请写出与

g(x)的一条公切线的方程.

【答案】ex-y-l=O或x-y=O(写出其中一条即可)

【知识点】导数的加减法、两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题

【分析】分别设〃x)、g(x)并利用导数几何意义写出切线方程，根据所得切线相同列方程求参数，即可得

切线方程.

【详解】设公切线与〃x)相切于点(相0"-1),与g(x)相切于点(”,出"+1),

=g'(x)=)，则公切线斜率％=e"=：,

公切线方程为y-em+\=e"'(x-m]^y-lnn-l=—(x-n),

n

整理得y=e〜-(m-1)暧-l^y=—x+}nn,

n

=-fm=-1nn

所以<n，即。i，

/i\加1m-1e+l=-lnn

(m-l)e+l=-l1nn)

/.(m-l)ew+l-m=(m-l)(em-1)=0,解得根=]或机=0,

公切线方程为e%_y_l=O或％_y=0.

故答案为：叱-yT=。或%-丁=。〈(写出其中一条即可)

3.(24-25高三上•广东深圳•期末)若曲线y=e、+x与曲线y=d+〃x+i在点(0J)处有相同的切线，则

a=.

【答案】2

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、已知切线(斜率)求参数、导数的运算法则

【分析】根据给定条件，利用两条曲线在点(0,1)处的切线斜率相等求解即得.

【详解】显然点(0,1)在曲线y=e*+尤上，由〉=/+%求导得，=^+1,

由y=x3+ax+1求导得yr=3x2+a,

由曲线y=e"+x与曲线>=%3+奴+1在点（0,1）处有相同的切线，得3xO2+〃=e°+l,

所以。=2.

故答案为：2

4.（2024・山东威海•一模）已知函数/（x）=ln（G；）-召+依伍w0）.

（1）讨论〃%）的单调性;

（2）令8（尤）=〃尤）+无2-依+3，/7（尤）="（4>0）.若曲线、=8（%）与丫=/2（%）存在公切线，求实数”的取值范

围.

【答案】⑴答案见解析

【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、函数单调性、极值与最值的综合应用、由导数求函数的最值

（不含参）

【分析】（1）求导，即可对。讨论求解导函数的单调性，结合二次函数的性质求解，

1

ae*

x

（2）设出切点，根据点斜式求解直线方程，根据公切线可得v2,进而可得

3

X}

aeln(tzx2)+—

1X1

~2/rfl）,构造函数==2（x>0且xwl），求导，即可根据单调性求解函数的值域得解.

eX1Xj-1V1叭ex-1

【详解】（1）f'（x）=—-2x+a=-2x'+ax+i,

axx

①当〃>0时,/(%)的定义域为(0,+8),

令/'(%)>0,即得一2一+ax+l>0,所以2炉—ax—1<0,

61

因为A=Q2+8〉0,解得：0<x<”；

4

令广⑺(0,2/_分_1>0,解得：X>£±^Z±1,

②当a<0时，/⑺的定义域为(-8,0),

令((%)>0,即得—2x2+ax+l<0,所以2炉一QX一1>0,

因为A=Q2+8>0,角牟得：x<-----°”,

4

令r(x)<0,2f一依一1<0,解得：^EH<x<0,

综上：当。>0时，/（尤）的单调递增区间为0,—,单调递减区间为

a+J，+8

,+e；

4

7

CL—J，+8a—

当a<0时，/（%）的单调递减区间为,0,单调递增区间为一8,——

4

7

（2）由题意知:设7z（x）=oe：>0）的切点横坐标了=%,“⑺=aex,则以%）在x=%处的切线方程为

y-aeXl=ae百(x—芯).③

设8（1）=/（力+%2-依=111（依）+|^的切点横坐标兀=工2，/（%）=），则g（x）在尤=/处的切线方程为

y-ln(ar2)--=---(X-X2).(4)

aex'=

联立③④，得<

3

aeXl(1一再)=In(a/)+/

当％=1时，x=—,代入方程组，不成立,

2ae

_3

所以消去不得._1再一2

e~Xy—\

3

x——且xwl)01X)=」.(2XT)(X一2)

设函数。⑺=《2(尤>0且⑴e,2(1)2

x—1

令d(x)=0,得x=2或

人,1・,,1

令”(%)>0,解得5Vx<2且无。1；令d(%)<0,解得了<2或%>2,

所以（）在（；

9Xo,和（2,+8）上单调递减，在&。和（1,2）上单调递增,

2/、1

因为夕了r,9(2)=函■,〃>(),

3

12

结合图象可知，当0,,+e时,方程。2有解,

从而当,+8时，曲线y=9（尤）与丫=可力存在公切线.

;产9(x)

I-i---____

Oi/2x

2

【点睛】方法点睛：

1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问

题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)

值问题处理.

2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论

和数形结合思想的应用.

3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这

种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

5.(24-25高三上•山东烟台•期中)已知函数/(x)=优Ina,g(x)=aln(x-l),a>l.

Q)证明：当a=e时，曲线>=/(尤)与y=g(x)有且只有两条公切线；

【答案】(1)证明见解析

【知识点】利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用

【分析】(1)直线/与/(x)=/相切于点®,d),直线/与g(x)=eln(x-l)相切于点仇,eln区-1)),进而

可得111(尤2-1)=(尤2-1)111(尤2-1)-尤2，利用换元法得tint—lnfT-l=0,构建=-ln/T-1,利用导

数证明耳⑺在(0,+s)上有且只有两个零点即可.

巳

【详解】(1)当a=e时，/(x)=ev,g(尤)=eln(无一1),求导得广(x)=e=g'(x)=--,

x-1

设直线/与/(x)=e*相切于点®,e，，)，则切线斜率左=炉，

直线/与g(x)=eln(x-l)相切于点®,eln(x,-1)),则切线斜率左2=，7，

y-eXi=ex'{x—x^)y=eX1-x-eX|+e*

则一ce/、，整理得＜e[,1、叫，

y—eln(x2-1)=----(x-x2)y=----x+eln(x2-1)------

——

x0-l11

由题意可得：*一,

%1

-ex%+e』=eln(x2-1)——^―

x2-1

消去不可得：ln(w-1)=(x2-l)ln(x2-l)-x2,

令，=%2-1，则％2=才+1，可得-1=0,

令7z«)=t\nt—\nt—t—l,

要证曲线>=/(%)与丁=g。)有且只有两条公切线，即证"⑺在©+8)上有且只有两个零点，

求导可得"⑺=1型+1」-1=1型二，可得"⑺在定义域内单调递增，

tt

且〃(1)=-1,//(e)=1-1>0,故〃⑺在上有唯一零点为，且代(l,e),

e

当0</<务时，"⑺<0,当时，W)>0,

则附)在上(0,?0)单调递减,在(%,+◎上单调递增，

可知打⑺的最小值为"Co),又因为〃(e)=elne-lne-e-l=-2<。，

则/74)</?(e)<0,注意到f趋近0时，/?⑺趋近+8,t趋近+8时，力⑺趋近+8,

所以h(t)在(0/。)和仇,+CO)上分别存在一个零点，

故在(0,+◎上有且只有两个零点，故原命题得证.

题型4切线条数问题

1------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I00©百

i

已知/(幻,过点(。力)，可作曲线的〃(〃=1,2,3)条切线问题

I

第一步：设切点6(%,%)

第二步：计算切线斜率左=/'(不)；

I

第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-y0^fWx-x0).

第四步：将»代入切线方程，得：6-%=/'(%)(。-/),整理成关于。得分方程；

I

第五步：题意已知能作几条切线，关于毛的方程就有几个实数解；

i

二…7u五谪三不足豪百施福市而宜晟宿S蔡丁晨:而曾黄百友靛篆71S茄的/首

可能为()

A.-2B.-3C.-4D.-5

【答案】D

【知识点】导数的运算法则、求过一点的切线方程

【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，并将点A的坐标代入建立方程，求出方程有

两个不等实根的参数范围即可.

【详解】设切点为为,%e加),由〉=立工，求导得y'=(x+l)e",

则切线方程为：y=(Xo+l)e-(x-Xo)+x0e-,而切线过点(a,0),

于是0=(%+1)6④°-工薪用，又e%>0,则x；0-0=0,

依题意，方程尤:-%-。=。有且仅有两个不等实根，则A=“2+44>0,

解得。>0或a<T,所以。=-5符合题意.

故选：D

2.(24-25高三上•山东日照•阶段练习)若过点(区1)可以作曲线y=lnx的两条切线，则。的取值范围为()

A.(0,e)B.(f,DC.(0,e2)D.(0,1)

【答案】A

【知识点】利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、根据函数零点的个数求参

数范围

【分析】设出曲线上的切点，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程，再把点(。,1)代入，分离参数

构造函数，利用导数探讨函数的性质即可求解得答案.

【详解】设曲线y=lnx与其切线相切于点AC,In/),由y=lnx,求导得y=!，

X

则曲线y=ln尤在点处的切线方程为>=l(x-r)+lnf,

t

由切线过点(。/)，得1=l(aT)+lnf,整理得a=2r-rlnr,

t

由过点(。,1)可以作曲线>=lnx的两条切线，得方程。=2/Tint有两个解，

令/⑺=2fTlnf,则直线y=。与函数y=/(r)的图象有两个交点，

求导得/")=1-Inr,当0<f<e时，/'⑺>0,当时，f'(t)<0,

则函数/⑺在(O,e)上单调递增，在(e,+(»)上单调递减，当X=e时，/⑺取得最大值/(e)=e,

而当x从大于0的方向趋近于0时，/⑺的值趋近于0,/(e2)=0,

因此当0<a<e时，直线>与函数、=/«)的图象有两个交点，

所以。的取值范围为(O，e).

故选：A

3.(2024•福建泉州•模拟预测)若曲线y=/与y=*(tH0)恰有两条公切线，则f的取值范围为()

A.B.C.(-x,0)ug,+s]D.(-8,0)口15,

【答案】A

【知识点】利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、两条切线平行、垂直、重合

(公切线)问题

【分析】设曲线>=武切点为㈣九相)y=V的切点为NW，/),求出切线方程，根据有两条公切线转

化为方程具有两个解，构造函数利用导数求解取值范围，判断选项.

【详解】设曲线>=酒切点为，=尤2的切点为此〃,〃2),

则曲线y=te在点/（肛te"）处的切线方程为y-tem=招"（x-m）,即y=（无-m）+tem,

同理，'=/在点可〃,〃2）处的切线方程为？=2依-〃2,

根据y=疗与y=/有两条公切线，

=2〃（tPm）24相—4

则加m2,所以才铲-加忙加=-三，化简可得M具有两个交点，

tem-rntem=-n2V2Je

转化为f有两个解，构造函数〃x）=一则（（无）=—^,

eee

当x<2,尸（久）>0,〃x）单调递增；当x>2,f'M<0,/（x）单调递减，

故〃x）在x=2时有极大值即为最大值，故"2）=，，

当Xf-8时,,当Xf+8时，,

故/的取值范围为

故选：A

4.（2024•安徽•模拟预测）若直线x=l上一点P可以作曲线龙=lny的两条切线，则点P纵坐标的取值范围

为.

【答案】（0,e）

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不

含参）

【分析】先求出过点尸（1,6）的切线方程，分离参数变量，转化为函数直线y=6与曲线y=/（t）有两个交点,

借助导数研究单调性和最值，结合图像可解.

【详解】曲线x=lny即曲线y=e）

在曲线y=e*上任取一点,对函数y=/求导得V=e”,

所以曲线y=e，在点处的切线方程为y-e'=e'（xT）,即y=e'+（l—r）e'，

又切线过点尸。力），则6=上+（1-户=（2-”

令/⑺=（2T）e,则/⑺=（lT）e、

当f<l时，/'（。>。，此时函数/⑺单调递增，

当1>1时，此时函数/⑺单调递减，

所以/⑺皿=〃l）=e.

由题意知，直线y=6与曲线y=/（。有两个交点，则⑺max=e,

当f<2时，f（0>0,当/>2时，/⑺<0,故0<6<e.

故答案为：（O,e）,

题型5与切线有关的距离最小值问题

|00与嫉

（1）平移直线与曲线相切；

（2）利用两条平行线间距离最短求解

1.（24-25高二上•全国,课后作业）已知点P（x,y）是曲线y=Y上的一动点，则点P（x,y）到直线2元-y-4=0

的距离的最小值为（）

A.立B.撞C.童D.-

5555

【答案】C

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求点到直线的距离

【分析】当曲线在点P处的切线与已知直线平行时点尸到该直线的距离最小，结合导数的几何意义和点到直

线的距离公式计算即可求解.

【详解】联立]：一',八得/一2元+4=0，则A=4-4xlx4=-12<0,

[2x-y-4=0

所以直线2x—y-4=0与曲线y=Y不相交，

因此当曲线在点尸处的切线与直线2》-〉-4=0平行时，点P到该直线的距离最小.

因为了=2无，直线2x-y-4=0的斜率左=2,所以2x=2,解得尤=1,则尸（1,1）,

所以尸（1,1）到直线2x-y-4=0的距离最小，最小值为d=占+（—东=-j-.

故选：C

2.（2023・四川成都・二模）已知产是曲线y=-sinx（*40,兀]）上的动点，点Q在直线x-2y-6=0上运

动，则当|尸0取最小值时，点尸的横坐标为（）

万兀2兀5兀

A.-B.-C.—D.--

4236

【答案】C

【知识点】已知切线（斜率）求参数

【分析】画出曲线、=-5也n（xe[0,可）和直线x-2y-6=0的图象，将所求距离问题转化为两平行线距

离最小，从而结合两直线平行，利用导数的几何意义列方程即可求得切点的横坐标.

【详解】画出曲线了二-sinx（xe[0,7t]）和直线的x-2y-6=。图象，如下图所示

[7//x

O|\j^="sin^^x

若使得IP。I取最小值，

则曲线V=-sinxtxe[0,7i])在点尸处的切线与直线x-2y-6=。平行，

对函数>=-sinx求导得y'=-cosx,令yC=；,可得cos_r=-；,

2兀

X0<X<7I,解得X=—.

故选：C

3.(24-25高三上•上海闵行♦期中)已知0,beR,贝!](e"-a)~+(e"-Z?)~的最小值为.

【答案】2

【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量

【分析】设P(a,e)Q(e〃@,把问题转化为求〃x)=e、与g(x)=lnx图象上两点距离的平方的最小值，再

利用导数的几何意义求解即可；

[详解](eJa『+(e"_6)2=(a_e')2+(eJ»2,

设尸(a,e"),Q(e”,b),则尸在函数〃x)=e，的图象上，Q在函数g(x)=lnx的图象上，且〃x)=e，与

g(x)=lnx关于直线>=%对称，

所以问题转化为求〃x)=e*与g(x)=lnx图象上两点距离的平方的最小值，

f(x)=ex,令则x=0,由对称性可得|P0最小时，a=O,b=l,

同L=3，

所以⑹一a)2+(efl-b)2的最小值为=2.

故答案为：2.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够把所求代数式转化为求/(力=炉与g(x)=lnx图象上两点距离的

平方的最小值.

4.(22-23高二下•浙江金华•阶段练习)已知6=-4+31na,4=c+2,则(a-cP+S-d)2的最小值为.

【答案】8

【知识点】求平面两点间的距离、求点到直线的距离、求在曲线上一点处的切线方程(斜率)

【分析】由题意知，点A(a,6)(a>0)在曲线y=f2+31nx上，点B(c,d)在宜线y=x+2上，由两点之间距

离公式得|4^=&4一°)2+(6-〃)2,故可知(«-c)2+(b-d)2的最小值就是曲线y=+3inx与直线

y=x+2之间最小距离的平方，然后利用导数求出曲线的切点，最后利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】因为6=-"+3111。，

所以点＞0)在曲线y=-x2+31nx上，

因为d=c+2,

所以点8(c,d)在直线y=x+2上，

所以|=7(«-c)2+(^-^)2，

所以(a-c)2+(6-d)2=|A5「，

如图所示，(。-。)2+(。-1)2的最小值就是曲线y=-/+311^与直线了=犬+2之间最小距离的平方，

3

由y=-x2+3In%,y'——2%H—,

x

3

因为与y=x+2平行的切线斜率为左=1=—2x+—,

x

3

解得％=-=(舍去)或％=1，

2

把％=1代入y=-%2+31nx,得》=-1,

所以切点为(1，-1),

切点到直线＞=%+2的距离为:八『2夜,

所以|AB1mto=20,

所以(。-。)2+(6-4)2的最小值为8.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了代数和的最小值的求法，解题的关键是分析出(a-cy+S-d)2的最

小值就是曲线y=-V+31nx与直线y=x+2之间最小距离的平方，然后需要利用导数求切点以及点到直线

的距离公式.

题型6已知函数在区间上单调

①已知/（九）在区间。上单调递增oVxG。，f'（x）＞。恒成立.

②已知/（x）在区间。上单调递减oVXGD,/'（x）W0恒成立.

注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.

1.（2024•全国•模拟预测）若对任意的,L，（肛位），且为＜马，他1三卫屿＜2,则实数加的取值范

围是（）

1

C.-,+00D.—,+co

A.B.e

【答案】C

【知识点】由函数的单调区间求参数

【分析】根据题意易知力NO,变形品些二^土＜2可得电9＞电土心，故构造函数/（》）="I£nY斗*？

x2-玉石x2X

根据函数单调性的定义可得函数/（X）在（机，口）上单调递减，由f\x）＜0即可得解.

,，一,XInx,-X,Inx入

=

【详解】对任意的4，x2e0w,+co）,且不＜々，-----=-------＜2,易知〃2»0,

%2—玉

则xjn/—%21n玉＜2々一2七，所以%（in9+2）〈龙2（M玉+2）,

In$+2〉In9+2

%X2.

令/（x）=22,则函数/（X）在（加，口）上单调递减.

X

因为广。）=一生二口，由r（x）＜o,可得x＞L

xe

所以函数/（X）的单调递减区间为11+8

所以（机,+oo）[[：,+＜»）,故m2」，

即实数加的取值范围为

故选：C.

2.（2024•云南大理•模拟预测）若函数〃X）=G：2+COSX-1在（0,+“）为增函数，则实数。的取值范围为（）

1

A.—,+00B.，+CC.[1,+<»)D.(1,+<»)

22°

【答案】A

【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题

【分析】尸0)20对久6(0,+8)恒成立，其中广(0)=0,令g(x)=r(x),则g'(0)20,从而得到

验证后得到答案.

【详解】/'(x)=2ox-sinx,由题意((%)>。对xe(0,+oo)恒成立,

其中/'(。)=。，令g(x)=

则需g'(0)2。，其中g'(x)=2a—cosx,^2a-l>0=>tz>p

当时，g'(x)=2a-cosx21-cosxN0,故尸(x)在(0,+8)上递增，

小)>/(o)=o成立.

当a<g时，取xe]o,3，易知g'(x)=2a—cosx在(0,3上单调递增，

若aWO,贝i]g[x)=2a-cosx<0,所以/'(x)在]。，鼻上递减，

故r(x)<r(o)=o,与题意不符,舍去；

若0<°<；时，g,(0)=2a-l<0,g'[3=2a>0,所以存在修小。，鼻，使得/伍)=0,

当了€(0,不)时，g'(x)=2a-cosx<0,所以/'(x)在(0,飞)上递减,

故小)"(0)=0,与题意不符，舍去；

综上得“2).

故选：A.

3.(2024•山东泰安,模拟预测)已知函数/(x)=e，-alnx在区间(1,2)上单调递增，则”的最大值()

A.e2